高考数学(理)二轮专题练习：解答题的八个答题模板(含答案)

解答题的八个答题模板

【模板特征概述】

数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．在高考考场上，能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，在高考备考中学会怎样解题，是一项重要的内容．本节以著名数学家波利亚的《怎样解题》为理论依据，结合具体的题目类型，来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式，即所谓的“答题模板”．

“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型，把数学解题的思维过程划分为一个个小题，按照一定的解题程序和答题格式分步解答，即化整为零．强调解题程序化，答题格式化，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现答题效率的最优化．

模板1 三角变换与三角函数的性质问题

已知函数f (x )＝2cos x ·sin ???

?x ＋π

3－3sin 2x ＋sin x cos x ＋1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的最大值及最小值；(3)写出函数f (x )的单调递增区间．

审题路线图 不同角化同角→降幂扩角→化f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋h →结合性质求解．

(2014·福建)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－1

2

.

(1)若0<α<π2，且sin α＝2

2，求f (α)的值；

(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 解 方法一 (1)因为0<α<π2，sin α＝2

2，

所以cos α＝2

2

. 所以f (α)＝

22×(22＋22)－12＝12

. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －1

2

＝1

2sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋1

2cos 2x ＝

22sin(2x ＋π4

)， 所以T ＝2π2

＝π.

由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π

2，k ∈Z ，得

k π－3π8≤x ≤k π＋π

8，k ∈Z .

所以f (x )的单调递增区间为[k π－

3π8，k π＋π

8

]，k ∈Z . 方法二 f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －1

2

＝1

2sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋1

2cos 2x ＝

22sin(2x ＋π4

)． (1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4，

从而f (α)＝

22sin(2α＋π4)＝22sin 3π4＝12

.

(2)T ＝2π2

＝π.

由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π

2，k ∈Z ，得

k π－3π8≤x ≤k π＋π

8，k ∈Z .

所以f (x )的单调递增区间为[k π－

3π8，k π＋π

8]，k ∈Z . 模板2 解三角形问题

在△ABC 中，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝3

2

b .

(1)求证：a ，b ，c 成等差数列； (2)求角B 的取值范围．

审题路线图 (1)化简变形―→用余弦定理转化为边的关系―→变形证明 (2)用余弦定理表示角―→用基本不等式求范围―→确定角的取值范围

(2014·辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c ，已知BA →·BC

→

＝2，cos B ＝1

3，b ＝3.求：

(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．

解 (1)由BA →·BC →

＝2得c ·a cos B ＝2.

又cos B ＝1

3

，所以ac ＝6.

由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×6×1

3

＝13.

解????? ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得????? a ＝2，c ＝3或?

????

a ＝3，c ＝2. 因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中， sin B ＝1－cos 2B ＝ 1－(13)2＝22

3

，

由正弦定理，

得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.

因为a ＝b >c ， 所以C 为锐角， 因此cos C ＝1－sin 2C ＝

1－(429)2＝7

9.

于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝

23

27

. 模板3 数列的通项、求和问题

(2014·江西)已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n

＋2b n ＋1b n ＝0.

(1)令c n ＝a n

b n ，求数列{a n }的通项公式；

(2)若b n ＝3n －

1，求数列{a n }的前n 项和S n .

审题路线图 (1)a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0→a n ＋1b n ＋1－a n

b n

＝2→c n ＋1－c n ＝2→c n ＝2n －1 (2)c n ＝2n －1→a n ＝(2n －1)·3n

－1

――→错位相减法

得S n

已知点???

?1，1

3是函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象上的一点．等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c .数列{b n } (b n >0)的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n －S n －1＝S n ＋S n －1 (n ≥2)． (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；

(2)若数列????

??1b n b n ＋1的前n 项和为T n ，问满足T n >1 001

2 012的最小正整数n 是多少？

解 (1)∵f (1)＝a ＝1

3，∴f (x )＝????13x . 由题意知，a 1＝f (1)－c ＝1

3－c ，

a 2＝[f (2)－c ]－[f (1)－c ]＝－2

9，

a 3＝[f (3)－c ]－[f (2)－c ]＝－2

27

. 又数列{a n }是等比数列， ∴a 1＝a 22

a 3＝481－227

＝－23＝1

3

－c ，

∴c ＝1.又公比q ＝a 2a 1＝13

，

∴a n ＝－23·????13n －1＝－2·????13n (n ∈N *)． ∵S n －S n －1＝(S n －S n －1)(S n ＋S n －1) ＝S n ＋S n －1 (n ≥2)．

又b n >0，S n >0，∴S n －S n －1＝1.

∴数列{S n }构成一个首项为1、公差为1的等差数列， S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，即S n ＝n 2.

当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 当n ＝1时，b 1＝1也适合此通项公式．

∴b n ＝2n －1 (n ∈N *)．

(2)T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1

b n b n ＋1

＝

11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)×(2n ＋1)

＝12×????1－13＋12×????13－15＋12×????15－17＋…＋12×????12n －1－12n ＋1＝12×????1－12n ＋1＝n

2n ＋1.

由T n ＝n 2n ＋1>1 0012 012，得n >1 00110，

∴满足T n >1 001

2 012

的最小正整数n 的值为101.

模板4 利用空间向量求角问题

(2014·山东)如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD

是等腰梯形，∠DAB ＝60°，AB ＝2CD ＝2，M 是线段AB 的中点． (1)求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1；

(2)若CD 1垂直于平面ABCD 且CD 1＝3，求平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值．

审题路线图 (1)M 是AB 中点，四边形ABCD 是等腰梯形――→AB ＝2CD

CD ∥AM CD ＝AM ??AMC 1D 1→C 1M ∥平面A 1ADD 1

(2)CA ，CB ，CD 1两两垂直→建立空间直角坐标系，写各点坐标

→求平面ABCD 的法向量→将所求两个平面所成的角转化为两个向量的夹角

，C1D1＝MA，所以四

所以C1M∥平面A1ADD1. 所示的空间直角坐标系C－xyz，所以

如图所示，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D

是BC 的中点．

(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值； (2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．

解 (1)以A 为坐标原点，分别以AB →，AC →，AA 1→

为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系A －xyz ，

则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0,4)，D (1,1,0)，C 1(0,2,4)． 所以A 1B →＝(2,0，－4)，C 1D →

＝(1，－1，－4)． 所以cos 〈A 1B →，C 1D →

〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →|×|C 1D →|

＝

1820×18

＝310

10.

所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为310

10.

(2)由题意，知AC →

＝(0,2,0)是平面ABA 1的一个法向量． 设平面ADC 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，

因为AD →＝(1,1,0)，AC 1→

＝(0,2,4)，

由m ⊥AD →，m ⊥AC 1→

，得?????

x ＋y ＝0，2y ＋4z ＝0.

取z ＝1，得y ＝－2，x ＝2，所以平面ADC 1的一个法向量为m ＝(2，－2,1)． 设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角为θ，

所以|cos θ|＝|cos 〈AC →

，m 〉|＝|AC →

·m |AC →|×|m ||＝|－42×3|＝23

，得sin θ＝53.

所以平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为

53

. 模板5 圆锥曲线中的范围问题

椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为

2

2

，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝3PB →

. (1)求椭圆C 的方程； (2)求m 的取值范围．

审题路线图 (1)设方程→解系数→得结论

(2)设l ：y ＝kx ＋m →l ，c 相交Δ>0得m ，k 的不等式→AP →＝3PB →

→得m ，k 关系式→代入m ，k 的不等式消k →得m 范围

已知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)

到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥4

5c ，求双曲线的离心率e 的取值范围．

解 设直线l 的方程为x a ＋y

b

＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.

由点到直线的距离公式，且a >1，得到点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b (a －1)

a 2＋

b 2

， 同理可得点(－1,0)到直线l 的距离为d 2＝b (a ＋1)a 2＋b 2

，

于是s ＝d 1＋d 2＝

2ab a 2＋b 2

＝2ab

c .

由s ≥45c ，得2ab c ≥4

5c ，即5a c 2－a 2≥2c 2，

可得5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0， 解得5

4

≤e 2≤5.

由于e >1，故所求e 的取值范围是??

?

?52，5. 模板6 解析几何中的探索性问题

已知定点C (－1,0)及椭圆x 2＋3y 2＝5，过点C 的动直线与椭圆相交于A ，B 两点．

(1)若线段AB 中点的横坐标是－1

2

，求直线AB 的方程；

(2)在x 轴上是否存在点M ，使MA →·MB →

为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

审题路线图 设AB 的方程y ＝k (x ＋1)→待定系数法求k →写出方程；设M 存在即为(m,0)→求MA →·MB →→在MA →·MB →为常数的条件下求m .

(2014·福建)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分

别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x . (1)求双曲线E 的离心率．

(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l

有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由． 解 (1)因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，所以b

a ＝2，

所以c 2－a 2

a ＝2，故c ＝5a ，

从而双曲线E 的离心率e ＝c

a

＝ 5.

(2)方法一 由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2

4a 2＝1.

设直线l 与x 轴相交于点C .

当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点， 则|OC |＝a ，|AB |＝4a . 又因为△OAB 的面积为8， 所以1

2|OC |·|AB |＝8，

因此12a ·4a ＝8，解得a ＝2，

此时双曲线E 的方程为x 24－y 2

16＝1.

若存在满足条件的双曲线E ， 则E 的方程只能为x 24－y 2

16

＝1.

以下证明：当直线l 不与x 轴垂直时， 双曲线E ：x 24－y 2

16＝1也满足条件．

设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意， 得k >2或k <－2，则C (－m

k ，0)．

记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．

由?

????

y ＝kx ＋m ，y ＝2x ，得y 1＝2m 2－k ，同理，得y 2＝2m 2＋k .

由S △OAB ＝1

2|OC |·|y 1－y 2|，得

12|－m k |·|2m 2－k －2m 2＋k

|＝8， 即m 2＝4|4－k 2|＝4(k 2－4)． 由?????

y ＝kx ＋m ，x 24－y 216

＝1，

得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－16＝0. 因为4－k 2<0，

所以Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋16) ＝－16(4k 2－m 2－16)． 又因为m 2＝4(k 2－4)，

所以Δ＝0，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点．

因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 2

16＝1.

方法二 由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2

4a 2＝1.

设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 依题意得－12

2

.

由?

????

x ＝my ＋t ，y ＝2x ，得y 1＝2t

1－2m ，

同理，得y 2＝－2t

1＋2m

.

设直线l 与x 轴相交于点C ，则C (t,0)． 由S △OAB ＝1

2|OC |·|y 1－y 2|＝8，得

12|t |·????2t

1－2m ＋2t 1＋2m ＝8. 所以t 2＝4|1－4m 2|＝4(1－4m 2)． 由?

????

x ＝my ＋t ，x 2a 2－y 2

4a 2＝1， 得(4m 2－1)y 2＋8mty ＋4(t 2－a 2)＝0.

因为4m 2－1<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m 2t 2－16(4m 2－1)(t 2－a 2)＝0，

即4m 2a 2＋t 2－a 2＝0， 即4m 2a 2＋4(1－4m 2)－a 2＝0， 即(1－4m 2)(a 2－4)＝0， 所以a 2＝4，

因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ， 且E 的方程为x 24－y 2

16

＝1.

方法三 当直线l 不与x 轴垂直时，

设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 依题意，得k >2或k <－2.

由?

???

?

y ＝kx ＋m ，4x 2－y 2＝0， 得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2＝0.

因为4－k 2

<0，Δ>0，所以x 1x 2＝－m 2

4－k 2

.

又因为△OAB 的面积为8， 所以1

2|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝8，

又易知sin ∠AOB ＝4

5，

所以25x 21＋y 21·x 22＋y 22＝8，

化简，得x 1x 2＝4.

所以－m 24－k 2＝4，得m 2＝4(k 2

－4)． 由(1)得双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2

4a 2＝1，

由?????

y ＝kx ＋m ，x 2a 2－y 2

4a

2＝1， 得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－4a 2＝0.

因为4－k 2<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋4a 2)＝0，

即(k 2－4)(a 2－4)＝0，所以a 2＝4， 所以双曲线E 的方程为x 24－y 2

16

＝1.

当l ⊥x 轴时，由△OAB 的面积等于8可得l ：x ＝2，

又易知l ：x ＝2与双曲线E ：x 24－y 2

16

＝1有且只有一个公共点．

综上所述，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 2

16

＝1.

模板7 离散型随机变量的均值与方差

甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一

次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是2

3.

(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；

(2)设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列及均值． 审题路线图 (1)标记事件→对事件分解→计算概率 (2)确定ξ取值→计算概率→得分布列→求数学期望

(2014·江西)随机将1,2，…，2n (n ∈N *，n ≥2)这2n 个连续正整数分成A ，B 两组，

每组n 个数，A 组最小数为a 1，最大数为a 2，B 组最小数为b 1，最大数为b 2，记ξ＝a 2－a 1，η＝b 2－b 1.

(1)当n ＝3时，求ξ的分布列和数学期望；

(2)令C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C 发生的概率P (C )；

(3)对(2)中的事件C ，C 表示C 的对立事件，判断P (C )和P (C )的大小关系，并说明理由． 解 (1)当n ＝3时，ξ的所有可能取值为2,3,4,5.

将6个正整数平均分成A ，B 两组，不同的分组方法共有C 3

6＝20(种)，所以ξ的分布列为

E (ξ)＝2×15＋3×310＋4×310＋5×15＝7

2

.

(2)ξ和η恰好相等的所有可能取值为n －1，n ，n ＋1，…，2n －2. 又ξ和η恰好相等且等于n －1时，不同的分组方法有2种； ξ和η恰好相等且等于n 时，不同的分组方法有2种；

ξ和η恰好相等且等于n ＋k (k ＝1,2，…，n －2)(n ≥3)时，不同的分组方法有2C k 2k 种； 所以当n ＝2时，P (C )＝46＝23

；

当n ≥3时，P (C )＝

2(2＋∑k ＝1n －2

C k 2k )

C n 2n

.

(3)由(2)，当n ＝2时，P (C )＝1

3，因此P (C )>P (C )．

而当n ≥3时，P (C )

P (C )

C k 2k )

2n .①

用数学归纳法来证明：

1°当n ＝3时，①式左边＝4(2＋C 12)＝4(2＋2)＝16， ①式右边＝C 36＝20，所以①式成立． 2°假设n ＝m (m ≥3)时①式成立，

即4(2＋∑k ＝1m －2

C k 2k )

那么，当n ＝m ＋1时，左边＝4(2＋∑k ＝1m ＋1－2C k 2k )＝4(2＋∑

k ＝1

m －2C k 2k )＋4C m －12(m －1)

2(m －1)＝(2m )！m ！m ！＋4·(2m －2)！(m －1)！(m －1)！

＝

(m ＋1)2(2m )(2m －2)！(4m －1)

(m ＋1)！(m ＋1)！

<

(m ＋1)2(2m )(2m －2)！(4m )

(m ＋1)！(m ＋1)！

＝

C m ＋12(m ＋1)·2(m ＋1)m (2m ＋1)(2m －1)

2(m ＋1)＝右边， 即当n ＝m ＋1时①式也成立．综合1°，2°得：对于n ≥3的所有正整数，都有P (C )

模板8 函数的单调性、极值、最值问题

已知函数f (x )＝2ax －a 2＋1

x 2＋1

(x ∈R )．其中a ∈R .

(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)当a ≠0时，求函数f (x )的单调区间与极值． 审题路线图

(2014·重庆)已知函数f (x )＝a e 2x －b e

－2x

－cx (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数，

且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为4－c . (1)确定a ，b 的值；

(2)若c ＝3，判断f (x )的单调性； (3)若f (x )有极值，求c 的取值范围． 解 (1)对f (x )求导，得f ′(x )＝2a e 2x ＋2b e

－2x

－c ，

由f ′(x )为偶函数，知f ′(－x )＝f ′(x )恒成立，即2(a －b )·(e 2x －e －2x

)＝0恒成立，所以a ＝b .

又f ′(0)＝2a ＋2b －c ＝4－c ，故a ＝1，b ＝1. (2)当c ＝3时，f (x )＝e 2x －e －2x

－3x ，那么

f ′(x )＝2e 2x ＋2e

－2x

－3≥22e 2x ·2e

－2x

－3＝1>0，

故f (x )在R 上为增函数． (3)由(1)知f ′(x )＝2e 2x ＋2e

－2x

－c ，而2e 2x ＋2e

－2x

≥22e 2x ·2e

－2x

＝4，当x ＝0时等号成立．

下面分三种情况进行讨论．

当c <4时，对任意x ∈R ，f ′(x )＝2e 2x ＋2e

－2x

－c >0，此时f (x )无极值； 当c ＝4时，对任意x ≠0，f ′(x )＝2e 2x ＋2e

－2x

－4>0，此时f (x )无极值；

当c >4时，令e 2x

＝t ，注意到方程2t ＋2

t －c ＝0有两根t 1,2＝c ±c 2－164>0，即f ′(0)＝0有两个

根

x 1＝12ln t 1，x 2＝1

2

ln t 2.当x 1

又当x >x 2时，f ′(x )>0，从而f (x )在x ＝x 2处取得极小值．综上，若f (x )有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞)．