第5章 力的简化
第5章 力系的简化——思考题——解答
5-1 将图(a)所示平面结构中作用于B 处的力F
平移到D 处，并按力的平移
定理加上相应的附加力偶M = F·a ，如图(b)所示，试问它们对结构的作用效应是否相同？为什么？ 5-1 解答
它们对结构的作用效应是不同的。因为杆OA 与杆AB 不是同一刚体，而是组成
了刚体系统，在简化前力F 作用于杆AB 上，而简化后力F
作用于杆OA 上，虽然按力的平移定理施加了相应的附加力偶，但也是不等效简化。
5-2 如图所示，半径为r 的两个均质圆盘均处于平衡状态，试问：(1) 图(a)
中能否说力偶M 与力F
作用效果相反？图(b)中能否说力1F 与力2F 作用效果相反？为什么？
5-2 解答：
(1) 对于图(a)，不能说“力偶M 与力F
作用效果相反”，因为力偶和一个力都是
力系的最简形式，因而力偶和一个力不能相互平衡，因此不能说力偶和一个力的
思考题5-1图 (a)
思考题5-1图
(b)
思考题5-2图 (a)
思考题5-2图 (b)
2
作用效果相同或相反。
(2) 对于图(b)，不能说“力1F 和力2F
作用效果相反”，均质圆盘处于平衡状态，所以21F F
，即两个力的大小相等、方向相同，但两个力的作用点不同，因此不
能说“力1F 和力2F 作用效果相反”。应该说“力1F 对点O 的矩和力2F 对点O 的
矩的大小相等、转向相反”。
5-3 试问力系的主矢和对某点的主矩与力系的合力和合力偶的概念有什么区别？有什么联系？
5-3 解答：待解答
5-4 某空间力系对不共线的三点的主矩均为零，能否说该力系一定是平衡力系？为什么？
5-4 解答：
某空间力系对不共线的三点的主矩均为零，不能判断该力系一定平衡。因为空间平衡力系有六个独立的平衡方程，对不共线的三点的主矩为零只满足了三个独立的平衡方程，因此不能就此判断该空间力系是平衡力系。
5-5 图示力系，已知F 1 = F 2 = F 3 = F ，沿边长为a 的正方体的棱边作用，方向如图所示，试问该力系向点O 简化的结果是什么？
5-5 解答：
力系的主矢为
321R F F F F k F j F i F )(k j i F
力系对点O 的主矩为
i a F k a F j a F M O
321)(k j i Fa 力系的第二不变量为 )()(R k j i Fa k j i F M F O
a F 23 0 则力系向点O 简化的结果为右手力螺旋。
力螺旋参数（力系的第三不变量）为 2R R F M F p O 2R R F M F O
2
2)
3(3F a
F a 右手力螺旋中力的大小和方向与)(R k j i F F
相同，力的作用线过坐标原点
O ；右手力螺旋中心轴方程为
O z O y O x z z F
y y F x x F R R R z F y F x F z y x 111 z y x
5-6 设Oxyz 为一个直角坐标系，若某空间力系满足条件0 y F ，
0 z
F
，0 x M ，0 y M ，则该力系简化的最简形式可能是什么？
5-6 解答：
力系的主矢为 k F j F i F F z y x
R i F x 0
力系对点O 的主矩为 k M j M i M M z y x O
k M z 0 力系的第二不变量为 )()(R k M i F M F z x O
0 可见该力系简化的最简形式是合力。
思考题5-5图
5-7 设Oxyz 为一个直角坐标系，某空间平行力系各力平行于z 轴，已知
0 z
F
，0 x M ，则该力系简化的最简形式可能是什么？
5-7 解答：
力系的主矢为 k F j F i F F z y x
R 0
力系对点O 的主矩为 k M j M i M M z y x O
j M y 0 可见该力系简化的最简形式是合力偶，其合力偶矩矢量与y 轴平行。
5-8 图示作用于正方体上各空间力系均由两个大小相等的力组成，试问图(a)~图(j)所示力系简化的最终结果是什么？你发现什么规律？
思考题5-8图 (a)
思考题5-8图
(b) 思考题5-8图
(c)
思考题5-8
图 (d)
思考题5-8图
(e)
思考题5-8图 (f)
思考题5-8图 (g)
思考题5-8图 (h)
思考题5-8图 (i)
思考题5-8图 (j)
5-8 解答：
令：F F F 21，正立方体的边长为a 。 (a)
力系的主矢为 0R F
，
力系对任意点的主矩为 0 M
，
可见，该力系为平衡力系（二力平衡）。 (b)
建立图示直角坐标系Oxyz ， 力系的主矢为 j F F F F 221R ，
力系对点O 的主矩为
k a F i a F M O
21 )(k i Fa ， 力系的第二不变量为 )]([2R k i Fa j F M F O
0 ， 可见，该力系简化的最简形式为合力。 下面求该力系的合力作用线方程：
假设该力系的合力作用线经过点B ，则
2R R F M F O 2
)2()]([)2(F k i Fa j F
)(21k i a
，点B 的坐标为)21,0,21(a a B ， 合力作用线方程为
B
z B y B x z z F
y y F x x F R R R
a z y F a x 2
1002210 思考题5-8图 (a)
a z a x 2
121
(c)
建立图示直角坐标系Oxyz ，
力系的主矢为
)(21R k i F i F k F F F F
， 力系对点O 的主矩为
k a F j a F i a F M O
211 )(k j i Fa ， 力系的第二不变量为 )]([)]([R k j i Fa k i F M F O
0 ， 可见，该力系简化的最简形式为合力。 下面求该力系的合力作用线方程：
假设该力系的合力作用线经过点B ，则
2R
R F M F O 2
2)()()]([)]([F F k j i Fa k i F
)2(21k j i a
， 点B 的坐标为)2
1
,,21(a a a B ，
合力作用线方程为 B
z B y B x z z F
y y F x x F R R R
a z F a y a x F 21021
a y a
z x
另一种简便的方法： 建立图示直角坐标系Oxyz ， 力系的主矢为
)(21R k i F i F k F F F F
，
思考题5-8图 (c)
思考题5-8图 (c)
力系对点O 的主矩为 0 O M
， 可见，该力系简化的最简形式为合力。 合力作用线方程为 z F y F x F z y x R R R z F
y x F 0
0y z x (d)
建立图示直角坐标系Oxyz ，
力系的主矢为 21R F F F
)2222()2222(k F i F j F i F
)2(2
2k j i F 力系对点O 的主矩为 0 O M
， 可见，该力系简化的最简形式为合力。
合力作用线方程为 z F y F x F z y x R R R z
F
y F x F 2 y x z y 2
(e)
建立图示直角坐标系Oxyz ，
力系的主矢为 21R F F F
)2222()(k F j F i F
)2(2
2
k j i F ， 力系对点O 的主矩为 0 O M
， 可见，该力系简化的最简形式为合力。
思考题5-8图 (d)
R
思考题5-8图 (e)
合力作用线方程为
z F y F x F z y x R R R z
F y F x
F
22
22
z
y y
x 2 (f)
因为21F F ，且21//F F
，反向，所以 力系的主矢为 021R F F F
，
建立图示直角坐标系Axyz ， 力系对任意点的主矩为
2F M )(2
2)(k j F k j i a
)(2
2
k j Fa 可见，该力系简化的最简形式为合力偶，该合力偶作用于对角面ABCD 上，其
合力偶矢量为)(2
2
k j Fa M
，如图所示。 (g)
因为21F F ，且21//F F ，反向，所以 力系的主矢为 021R F F F
，
建立图示直角坐标系Axyz ， 力系对任意点的主矩为
2F M )()(k F k j i a
)(j i Fa
可见，该力系简化的最简形式为合力偶，该合力偶作用于对角面ABCD 上，其
合力偶矢量为)(j i Fa M
，如图所示。
思考题5-8图 (f)
思考题5-8图 (g)
(h)
建立图示直角坐标Oxyz ，
力系的主矢为 21R F F F
)(2
2
)(22k i F k i F k F 2 ， 力系对点O 的主矩为
2
F OA M O )(2
2
)(k i F j i a )(2
2
k j i Fa ， 力系的第二不变量为 )(2
22R k j i Fa k F M F O
a F 2 0 ， 可见，该力系简化的最简形式为右手力螺旋。 下面求该力系的力螺旋的中心轴方程：
力系的力螺旋参数（第三不变量）为 a F a F F M F p O 21
)2(2
22R R ， 假设该力系的合力作用线经过点B ，则
2R
R F M F O
2
)2()
(222F k j i Fa k F
)(21j i a ， 点B 的坐标为)0,21
,21(a a B ，
该力系的力螺旋的中心轴方程为
B
z B y B x z z F
y y F x x F R R R z F a y a x 22
10
210
a
y a x 212
1 (i)
思考题5-8图 (h)
建立图示直角坐标系Oxyz ，
力系的主矢为 21R F F F
k F k j F )(22])21([2
2k j F
， 力系对点O 的主矩为 2F M O
)()(k F k i a
j Fa ，
力系的第二不变量为 j Fa k j F M F O
])21([22R a F 2
2
2 0 ， 可见，该力系简化的最简形式为右手力螺旋。 下面求该力系的力螺旋的中心轴方程： 力系的力螺旋参数（第三不变量）为
a F F a
F F M F p O 221)]21(2
2
[)22(222222R
R
， 假设该力系的合力作用线经过点B ，则
2R R F M
F OB O 2
)22(])21([22F
j
Fa k j F i a 21 ， 点B 的坐标为)0,0,21
(a B ，
该力系的力螺旋的中心轴方程为
B
z B y B x z z F
y y F x x F R R R z F
y F a x )21(2222210
y z a x )21(21 (j)
建立图示直角坐标Oxyz ，
力系的主矢为 21R F F F
思考题5-8图 (i)
思考题5-8图 (j)
)(2
2)(22k j F j i F )(22
k i F ，
力系对点O 的主矩为 1F OA M O
)(22)(j i F k j i a )()(22j i k j i Fa
)(22j i k Fa )(2
2
j i Fa ，
力系的第二不变量为 )(22)(22R j i Fa k i F M F O
a F 22
1
0 ， 可见，该力系简化的最简形式为左手力螺旋。 下面求该力系的力螺旋的中心轴方程： 力系的力螺旋参数（第三不变量）为
a F F a F F M F p O 2
1
)2
2()22(
212222
R
R
，
假设该力系的合力作用线经过点B ，则
2
R
R F M F O 2)
(22)(22F j i Fa k i F )(21k j i a ， 点B 的坐标为)21
,21,21(a a a B ，
该力系的力螺旋的中心轴方程为
B
z B y B x z z F
y y F x x F R R R a z F
a y a x F 2
122
2102122
a
z x a
y 21
5-9 图示边长为a 的各正方体上作用有四个大小相等的力，试分别判断其简化的最简形式是什么？
思考题5-9图 (a)
思考题5-9图 (b)
思考题5-9图 (c)
5-9 解答： (a)
建立图示直角坐标系Oxyz ，
力系的主矢为
4321R F F F F F i F k F j F k F
)(j i F
力系对点O 的主矩为 0 i Fa i Fa M O
可见，力系简化的最简形式为合力。
(b)
力1F 和力3F
形成力偶 k Fa F F M ),(311，
力2F 和力4F 形成力偶 i Fa F F M ),(422，
则力系的合力偶为 )(21k i Fa M M M
可见，力系简化的最简形式为合力偶。 (c)
思考题5-9图
(d) 2
思考题5-9图
(e)
思考题5-9图
(f)
思考题5-9图 (a)
建立图示直角坐标系Oxyz ，
力系的主矢为
4
321R F F F F F i F j F k F j F
)(k i F
力系对点O 的主矩为
)(k i Fa k Fa i Fa M O
力系的第二不变量为 0)11()()(2R a F k i Fa k i F M F O
可见，力系简化的最简形式为合力。 (d)
建立图示直角坐标系Oxyz ， 力系的主矢为 4321R F F F F F
j F k j F i F k i F )(22
)(22
)()2
2
1(j i F
力系对点O 的主矩为 i Fa M O
力系的第二不变量为 0)2
21()()()221(2
R a F i Fa j i F M F O 可见，力系简化的最简形式为右手力螺旋。 (e)
建立图示直角坐标Oxyz ，
力系的主矢为
4321R F F F F F j F k F i F j F
)(k i F
思考题5-9图 (c)
思考题5-9图
(d)
2
思考题5-9图 (e)
力系对点O 的主矩为
)(k j i Fa j Fa k Fa i Fa M O
力系的第二不变量为 0)11()()(2R a F k j i Fa k i F M F O
可见，力系简化的最简形式为合力。 (f)
建立图示直角坐标系Oxyz ，
力系的主矢为 4321R F F F F F
)(2
2
)(22)(22)(22k i F j i F k i F j i F 0 力系对点O 的主矩为
)2
2()222222()2222(k Fa j Fa i Fa k Fa i Fa j Fa M O 0
可见，该力系为平衡力系。
5-10 图示铰盘有三个等长的柄，长度都为l ，其间夹角均为120°，每个柄
端各作用一垂直于柄的力1F 、2F 、3F
，它们的大小均为F ，试问：(1) 向中心点O 简化的结果是什么？(2) 向BC 连线的中点D 简化的结果是什么？这两个结果说明什么问题？
5-10 解答：
力系的主矢为0321R F F F F
， 力系无论向哪一点简化， 其最简形式为合力偶， 合力偶的大小为 Fl M 3 ， 其转向为逆时针。
思考题5-10图
5-11 图示边长为a 的菱形木板的四个边上分别作用大小都为F 的四个力，若分别选A 、B 为简化中心，试求该力系简化的最简结果分别是什么？这两个结果说明什么问题？
5-11 解答：
(1) 力系向点A 简化：
建立直角坐标系Axy ，如图(a)所示。
力系的主矢为 )3()60sin 60cos (224R j i F j F i F F F
， 力系对点A 的主矩为 Fa a F a F M A 32
32342
（顺时针）， 则力系简化的最简结果：过简化中心点A 的合力，其矢量为主矢)3(R j i F F
；
合力偶Fa M A 3 （顺时针），如图(a)所示。 (2) 力系向点B 简化：
建立直角坐标系Bxy ，如图(b)所示。
力系的主矢为 )3()60sin 60cos (222R j i F j F i F F F
， 力系对点B 的主矩为 0 B M ，
则力系简化的最简结果：过简化中心点B 的合力，其矢量为主矢)3(R j i F F
,
如图(b)所示。
思考题5-11图
思考题5-11图 (a)
R
思考题5-11图
(b)
(3) 结论：
对于不同的简化中心力系简化结果是不同的。对于第一种简化情况的力系第二不变量为零，所以力系还可以进一步简化为第二种情况（相当于“力的平移定理”的逆定理），才是力系简化的最简形式。
5-12 图示平面力系中1F 、2F 、…、1 n F 的作用线相互平行，但不与n F
的作
用线平行，试判断该力系简化的最简形式是什么？
5-12 解答：
该力系简化的最简形式是合力。
因为 (1) 1F 、2F 、…、1 n F 、n F
为平面力系；
(2) 1F 、2F 、…、1 n F
是平行平面力系， 必存在一个合力1
R n F ；
(3) 1R n F 和n F
构成平面汇交力系，也存在一个合力R F 。
5-13 图示圆板上受到四个力的作用，作用点分别为A 、B 、C 、D ，且乘积F 1·AB = F 2·BC = F 3·CD = F 4·DA ，试问该力系的合力作用线位置在何处？
思考题5-12图
t 2
5-13 解答：
5-14 图示三个大小相同的三角板上各作用一个力系，试问有没有力系相互等效？
5-14 解答：
思考题5-14图
(a)
思考题5-14图
(b)
思考题5-14图 (c)
情况(a)：
主矢 )N (55R j i F
对点O 的主矩
k M O
m)60N m 3N 5m 6N 5(
)m N (60)1530( k )m N (45 k
第二不变量为 0R O M F
力系简化的最简形式为合力。
假设该力系的合力作用线经过点B ，则
2
R R F M F OB O 225545)55( k j i
)(5.4j i ， 点B 的坐标为)5.45.4( ，B ， 该力系的力螺旋的中心轴方程为
B y B x y y F x x F R R 4.5
5
4.55 y x 09 y x
情况(b)：
主矢 )N (55R j i F
对点O 的主矩
k M O
m)30N m 3N 5(
)m N (30)15( k
)m N (45 k
第二不变量为 0R O M F
力系简化的最简形式为合力。
假设该力系的合力作用线经过点B ，则
2R
R F M
F O 2
25545)55( k j i
)(5.4j i ， 思考题5-14图 (b)
点B 的坐标为)5.45.4(， B ， 该力系的力螺旋的中心轴方程为
B y B x y y F x x F R R 4.5
5
4.55 y x 9 x y
情况(c)：
主矢 )N (1055R j j i F
55i 对点O 的主矩
k M O
m)5N m 310N m 2N 5(
)m N (5)3010( k
)m N (45 k
第二不变量为 0R O M F
力系简化的最简形式为合力。
结论：由此可见，情况(b)与情况(c)相互等效。
5-15 图示力和力偶可用一等效力来代替，为使此等效力的作用线通过点G ，试问角度 应如何选取？
5-15 解答： 根据题意可知道
0 G M
0sin N 4002N 100 r r 21sin 6
思考题5-15图
思考题5-14图 (c)
5-16 图示阴影平板是由半径为r 的等厚均质圆盘去掉一个三角形而得到，为使重心仍在圆心处，可在圆盘上再去掉一个小圆，试问小圆的圆心在何处？小圆的半径应为多少？
5-16 解答：
由对称性知道，为使重心仍在圆心处，圆盘上再去掉一个小圆，小圆的圆心一定在x 轴上，令小圆的圆心距原点的距离为x ，小圆的半径为 ，如图所示。
0 C y
02
34321)4(23432102
222
r r r x r
r r r x C
0)4
(2343212 x r
r r 2
3
649 r x
讨论：两种极端情况 (1) 小圆最靠近坐标原点：
当 x 时，2
3
649
r x 394 r x (2) 小圆最靠近大圆的右边缘：满足 r x
r r 2
3
649
思考题5-16图
3r 3r 思考题5-16图
3r 3r