第14章 (DEMO)

第十四章 波动

14－1 如本题图所示，一平面简谐波沿ox 轴正向传播，波速大小为u ，若P 处质点振动方程为)cos(?+ω=t A y P ，求：（1）O 处质点的振动方程；（2）该波的波动方程；（3）与P 处质点振动状态相同质点的位置。

解：（1）O 处质点振动方程：

y 0 = A cos [ ω（t + L / u ）+φ] （2）波动方程

y 0 = A cos { ω[t - （x - L ）/ u +φ} （3）质点位置

x = L ± k 2πu / ω （k = 0 , 1, 2, 3……）

14－2 一简谐波，振动周期T =1/2s ，波长λ＝10m ，振幅A =0.1m ，当t =0时刻，波源振动的位移恰好为正方向的最大值，若坐标原点和波源重合，且波沿ox 轴正方向传播，求：（1）此波的表达式；（2）t 1＝T/4时刻，x 1=λ/4处质点的位移；（3）t 2 ＝T/2时刻，x 1=λ/4处质点的振动速度。

解：（1） y = 0.1 cos ( 4πt - 2πx / 10 )

= 0.1 cos 4π（t - x / 20 ） (SI) （2） 当 t 1 = T / 4 = 1 / 8 ( s ) , x 1 = λ/ 4 = 10 / 4 m 处

质点的位移y 1 = 0.1cos 4π（T / 4 - λ/ 80 ）

= 0.1 cos 4π(1 / 8 - 1 / 8 ) = 0.1 m （3） 振速 )20/(4sin 4.0x t t

y

v --=??=

ππ t 2 = T / 2 = 1 / 4 (S) ,在x 1 = λ/ 4 = 10 / 4( m ) 处质点的振速

v 2 = -0.4πsin (π-π/ 2 ) = - 1.26 m / s

14－3 一简谐波沿x 轴负方向传播，圆频率为ω，波

速为u 。设4

T

t =时刻的波形如本题图所示，求该波的表

达式。

解：由图可看出，在t=0时，原点处质点位移

y 0＝－A ，

说明原点处质点的振动初相π?=0，因而波动方程为

])(cos[πω++=u

x

t A y

14－4 本题图表示一平面余弦波在t ＝0时刻与t ＝2s 时刻的波形图，求： (1) 坐标原点处介质质点的振动方程；(2) 该波的波方程。 解：由图可知：

原点处质点的振动初相2

0π

?-

=；

x

习题14－1图

习题14－3图

波长 m 160=λ，波速 s m u /102

20

==； 因而圆频率 8

2π

λ

π

ω=

=u

，

(1)

原点处质点的振动方程

)2

8

cos(

0π

π

-

=t A y

(2) 波方程

??????-+=2)10(8

cos ππ

x t A y

14－5已知一平面简谐波的方程为(SI))24(cos x t A y +=π

(1) 求该波的波长λ，频率ν 和波速度u 的值；

(2) 写出t ＝2.2s 时刻各波峰位置的坐标表达式，并求出此时离坐标原点最近的那个波

峰的位置。

14－6 波源作简谐振动，周期为s 100.12-?，以它经平衡位置向正方向运动时为时间起点，若此振动以u ＝400m/s 的速度沿直线传播。求：（1）距离波源8.0m 处质点P 的运动方程和初相；（2）距离波源9.0m 和10.0m 处两点的相位差。

解：在确知角频率1s 200/2-==ππωT 、波速1s m 400-?=u 和初相）

或2/(2/30ππ?-=的条件下，波动方程

]

2/3)s m 400/)(s 200cos[(11ππ+?-=--x t A y

位于 x P = 8.0 m 处，质点P 的运动方程为

]

2/5)s 200cos[(1P ππ-=-t A y

该质点振动的初相2/50π?-=P 。而距波源9.0 m 和 10.0 m 两点的相位差为

2

//)(2/)(21212ππλπ?=-=-=?uT x x x x

如果波源初相取2/0π?-=，则波动方程为

]

2/9)(s 200cos[(1ππ-=-t A y

14－7 为了保持波源的振动不变，需要消耗4.0W 的功率。若波源发出的是球面波（设

介质不吸收波的能量）。求距离波源5.0m 和10.0m 处的能流密度。

分析：波的传播伴随着能量的传播。由于波源在单位时间内提供的能量恒定，且介质不吸收能量，故对于球面波而言，单位时间内通过任意半径的球面的能量（即平均能流）相同，都等于波源消耗的功率P 。而在同一个球面上各处的能流密度相同，因此，可求出不同位

A )

习题14－4图

置的能流密度 S P I =。

解：由分析可知，半径r 处的能疏密度为

2

4r P I π=

当 r 1 = 5.0 m 、r 2 = 10.0 m 时，分别有

222

11m W 1027.14--??==r P I π

232

22m W 1018.34--??==r P I π

14－8 一弹性波在媒质中传播的速度u=103m/s ，振幅A=1.0?10-4m ，频率ν =103Hz ，媒质的密度为ρ=800kg/m 3。求：（1）波的平均能流密度；（2）一分钟内垂直通过一面积

S=4.0?10-4m 2

的总能量。

解：（1）由能流密度I 的表达式得

2m W 1058.1221

522222-??===

v uA uA I ρπωρ

(2)在时间间隔s 60=?t 内垂直通过面积 S 的能量为

J

1079.33?=??=??=t IS t P W

14－9 如本题图所示，三个同频率，振动方向相同（垂直纸面）

的简谐波，在传播过程中在O 点相遇；若三个简谐波各自单独在S 1、S 2和S 3振动方程分别为y 1＝A cos(ωt +π/2)，y 2＝A cos ωt 和y 3＝2A cos(ωt -π/2)，且S 2O ＝4λ，S 1O ＝S 3O ＝5λ（λ为波长），求O 点的合振动方程。（设传播过程中各波振幅不变）

解：每一波传播的距离都是波长的整数倍，所以三个波在O 点的振动方程可写成

y 1 = A 1 c o s (ωt +π/ 2 ) y 2 = A 2c o s ωt

y 3 = A 3 c o s (ωt -π/ 2 )

其中A 1 = A 2 =A ， A 3 = 2A , 在O 点，三个振动叠加，利用振幅矢量图及多边形加法（如图） 可得合振动方程 y =

24A t cos(/)ωπ-

14－10 本题图中1S 和2S 是波长均为λ的两个相干波的波源，相距3λ/4，1S 的位相比

2S 超前2π。若两波单独传播时，在过1S 和2S 的直线上各点的强度相同，不随距离变化，且两波的强度都是0I ，则在1S 、2S 连线上1S 外侧和外侧2S 各点，合成波的强度分别为多

少？

解：在1S 的外侧，两波源引起的分振动的相位差

S 3

S 1

S 2

习题14－9图

Q

习题14－10图

A 2 A 1 π/4 A 3

A =ΣA i

y

ππ

π

λ

π

φφφ22

32

21

212-=-

-

=---=?r r ， 合振动振幅02A A =，波的强度04I I =； 在2S 外侧，ππ

π

λ

π

φφφ=+

-

=---=?2

32

21

212r r ，所以I =0 。 14－11在弦线上有一简谐波，其表达式为??

????π-??? ??+

π?=-3420100cos 100.221x t y （SI ）。为了在此弦线上形成驻波，并且在x ＝0处为一波腹，此弦线上还应有一简谐波，求其表达式。

解：设另一波的波动方程为

?????

?+??? ??

-?=-φπ20100cos 100.222x t y

则驻波方程为

?????

? ?

?-+??????

??+-?=+=-234100cos 23

45cos 100.4221πφπφππt x y y y x ＝0处为波腹，

() 2,1,023

4=±=+k k πφπ

取k ＝0处，则 πφ3

4

-=

?????

?-??? ??

-?=-3420100cos 100.222ππx t y

14－12 如本题图所示，1S 和2S 为同位相的两相干波源，相距为L ，P 点距1S 为r ；波源1S 在P 点引起的振动振幅为1A ，波源2S 在P 点引起的振动振幅为2A ，两波波长都是

λ，求P 点的振幅。

解：两列波传到P 点时的相位差

()λ

π

λ

π

λ

π

φr

L r

r L r r 22221

2-=--=-=?，

因而P 点振幅

(

)

2

12122211212

22122cos 2cos 2???? ?

???? ??-++=?++=λπφ

r L A A A A A A A A A

14－13 如本题图所示，S 为点波源，振动方向垂直于纸面，1

S 1

2

习题14－12图

习题14－13图

和2S 是屏AB 上的两个狭缝，1S 2S ＝a 。1SS ⊥AB ，并且1SS ＝b 。x 轴以2S 为坐标原点，并且垂直于AB 。在AB 左侧，波长为1λ；在AB 右侧，波长为2λ。求x 轴上干涉加强点的坐标。

解：在坐标为x 的P 点，两列波引起的分振动的位相差为

???

? ?

?+-+

-+=?22

21222λλπφa x x b b a 代入干涉加强的条件

() 2,1,022222122==???

?

?

?+-+-+k k a x x b b a πλλπ

解出干涉加强点的坐标为

()[]()[]()02,1,022

1

2

2

22

2

1

2

2

2

≥=--+--+-

=

x k k b b a k b b a a x

λ

λλλ

14－14 设入射波的方程式为???

?

?+=T t x A y λπ2cos 1，在x ＝0处发生反射，反射点为一固定端。设反射时无能量损失，求：（1）反射波的方程式；（2）合成的驻波的方程式；（3）

波腹和波节的位置。

解：（1）反射点是固定端，反射时有半波损失，且振幅不变，所以反射波的方程式为

??

?

???+??? ??-=πλπT t x A y 2cos 2

（2）合成的驻波的方程式为

??

? ??-??? ??

+=+=22cos 22cos 221πππλπT t x A y y y

（3）波腹位置满足 3,2,12

2==+

n n x

ππ

λ

π ， λ??

? ??-=

2121n x 波节位置满 () 2,1,0,21222=+=+

n n x

ππ

λ

π

， λn x 2

1

=。 14－15 如本题图所示，一平面简谐波沿x 轴正方向传播，BC 为波密介质的反射面。

波由P 点反射，OP =3λ/4，DP =λ/6。在t ＝0时，O 处质点的合振动是经过平衡位置向负方向运动。求D 点处入射波与反射波的合振动方程。（设入射波和反射波的振幅皆为A ，频率为ν。）

解：以O 点为坐标原点，设入射波方程式为

??????+???

?

?-=?λνπx t A y 2cos 1

在P 点引起的振动方程为

习题14－15图

???

??+-=??????+??? ?

?-=?ππν?λλνπ232cos 432cos 1t A t A y P

反射时有半波损失，??

?

?

?+-

=?π

πν22cos 2t A y P ，反射波方程式为 ??????+???

??+=??

????+-??? ??--=?λνπ?πλλπνπx t A x t A y 2cos 24322cos 2

合成驻波方程式为

()?πνλπ+??

? ??

=+=t x A y y y 2cos 2cos 221

由题设条件t ＝0时x ＝0处y ＝0，

0

π?=， ??? ?

?+??? ??

=22cos 2cos 2ππνλπt x A y

又(),12

71229643λ

λλλ=-=-=

D x ，代入上式，得D 点的振动方程 ()

t A t A t A y D πνππνππνπ2sin 322cos 322cos 1272cos 2=??? ?

?

+-=?

?? ??+??? ?

?

?=

14－16 一平面简谐波的频率为500Hz ，在空气中（ρ＝1.3kg/m 3）以u ＝340m/s 的速度

传播，到达人耳时，振幅约为A ＝1.0×10-5m 。试求波在耳中的平均能量密度和声强。 解：波在耳中的平均能量密度

2622222m J 1042.6221

--??===

v A A ρπωρω

声强就是声波的能流密度，即

2

3m W 1018.2--??==w u I

这个声强略大于繁忙街道上的噪声，使人耳已感到不适应。一般正常谈话的声强约为

26m W 100.1--??左右。

14－17 面积为1.0m 2的窗户开向街道，街中噪声在窗户的声强级为80dB 。问有多少“声功率”传入窗内？

分析：首先要理解声强、声强级、声功率的物理意义，并了解它们之间的相互关系。声强是声波的能流密度I ，而声强级L 是描述介质中不同声波强弱的物理量。它们之间的关系

为)lg(0I I L =，其中 2

120m W 100.1--??=I 为规定声强。L 的单位是贝尔（B ），但常用

的单位是分贝（dB ），且1B = 10 dB 。声功率是单位时间内声波通过某面积传递的能量，由

于窗户上各处的I 相同，故有IS P =。

解：根据分析，由)lg(0I I L =可得声强为

10I I L =

则传入窗户的声功率为

W

100.11040-?===S I IS P L

14－18 若在同一介质中传播的、频率分别为1200Hz 和400Hz 的两声波有相同的振幅。求：（1）它们的强度之比；（2）两声波的声强级差。

解：（1）因声强22

2

ω

ρuA I =，则两声波声强之比

92

22121==ωωI I

（2）因声强级()0lg I I L =，则两声波声强级差为

()()()dB

54.9B 954.0lg lg lg 210201===-=?I I I I I I L

14－19 一警车以25m/s 的速度在静止的空气中行驶，假设车上警笛的频率为800Hz 。求：（1）静止站在路边的人听到警车驶近和离去时的警笛声波频率；（2）如果警车追赶一辆速度为15m/s 的客车，则客车上的人听到的警笛声波的频率是多少？（设空气中的声速u =330m/s ）

分析：由于声源与观察者之间的相对运动而产生声多普勒效应，由多普勒频率公式可解得结果。在处理这类问题时，不仅要分清观察者相对介质（空气）是静止还是运动，同时也要分清声源的运动状态。

解：（1）根据多普勒频率公式，当声源（警车）以速度1

S s m 25-?=v 运动时，静止于

路边的观察者所接收到的频率为

S

v u u v

v ='

警车驶近观察者时，式中s v 前取“-”号，故有

Hz 6.865S

1

=-='v u u

v v

警车驶离观察者时，式中s v 前取“+”号，故有

Hz 7.743S

2=+='v u u

v

v

（2）声源（警车）与客车上的观察者作同向运动时，观察者收到的频率为

Hz

2.826S

03=--='v u v u v v

14－20 一声源的频率为1080Hz ，相对地面以30m/s 的速率向右运动。在其右方有一反射面相对于地面以65m/s 的速率向左运动。设空气中声速为331m/s 。求：（1）声源在空气中发出的声音的波长；（2）反射回的声音的频率和波长。

解： （1）在声源运动的前方

m 279.01080/)30331(/)(=-=-=s s b v u νλ

在声源运动的后方

m 334.01080/)30331(/)(=+=+=s s a v u νλ

（2）反射面接收到的频率为

s s

R

R v u v u v ν-+=

反射后声音的频率为

Hz

1077.1108065)

-30)(331-(33165)

(331331 )(()(3?=?+?=

--+=-='s

R

s R s R s v u v u v u u v u u

v νν

波长为 m 187.0)1077.1/(331/3

=?='

='

R a u νλ