小学奥数-几何五大模型(鸟头模型).
模型二
鸟头模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共
角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△
图⑴ 图⑵
【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方
厘米，求ABC △的面积． 【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===??△△，
::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===??△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =??△△，设8ADE S =△份，
则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相
等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．
【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那
么三角形ABC 的面积是多少？ 【解析】 连接BE ．
∵3EC AE = ∴3ABC
ABE
S
S
=
又∵5AB AD =
∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==．
【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面
积是甲部分面积的几倍？ 【解析】 连接AD ．
∵3BE =，6AE = ∴3AB BE =，3ABD
BDE
S S
=
又∵4BD DC ==，
∴2ABC
ABD
S
S
=，∴6ABC
BDE
S
S
=，5S S =乙甲．
【例 2】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，
:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．
【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===??△△
[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=?+?△△，
所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =??+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到
一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面
积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？ 【解析】 连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2
倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326?=（）倍．因此，平行四边形的面积为
三角形等高模型与鸟头模型
8648?=(平方厘米)．
【例 4】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积． 【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =??=??=△△，
:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =??=??=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =??=??=△△
设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7
平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米 【例 5】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积
是多少？ 【解析】 由于180ABC DBE ?∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，
325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =??=??=△△，设
6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5?=平方厘米，三角
形BDE 的面积是12.5平方厘米
【例 6】 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =
，1
3
CF BC =．
三角形DEF 的面积为_______平方厘米．
【解析】 由题意知13AE AC =、13CF BC =，可得2
3
CE AC =．根据”共角定理”可得，
():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =??=??=△△；而66218ABC S =?÷=△；所以4CEF S =△；
同理得，:2:3CDE ACD S S =△△;，183212CDE S =÷?=△，6CDF S =△
故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米)．
【例 7】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长
CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积． 【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．
连接AE 、CD ．
∵1
1ABC DBC S S =，1ABC S =， ∴S
1DBC
=．
同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．
(法2)用共角定理∵在ABC 和CFE 中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ??===??． 又1ABC
S
=，所以8FCE
S
=．
同理可得6ADF
S =，3BDE
S
=．
所以186318DEF ABC FCE ADF BDE S S S S S =+++=+++=．
【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的
面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比． 【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理
∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，
∴111133
ABC FBE S AB BC S BE BF ??===??△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．
同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．
所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．