平面几何-五大定理及其证明
平面几何定理及其证明
梅涅劳斯定理
1 .梅涅劳斯定理及其证明 定理：一条直线与 ABC 的三边AB BC CA 所在直线分别交于点 D E 、F ,且D E 、F 均
证明：如图，过点C 作AB 的平行线，交EF 于点G. 因为 CG // AB ，所以 CG CF --------------------- （ 1）
AD FA
因为 CG // AB ，所以 EC （ 2） DB BE
C F ，即得 A
D C F
EC FA DB EC FA
2.梅涅劳斯定理的逆定理及其证明
定理：在 ABC 的边AB BC 上各有一点 D E ,在边 AC 的延长线上有一点 F ,若
二、 塞瓦定理
3 .塞瓦定理及其证明
定理：在ABC 内一点P,该点与ABC 的三个顶点相连所在的 三条直线分别交 ABCE 边AB BC CA 于点D E 、F ,且D E 、F 三点均不是 ABC
不是ABC 的顶点，则有
AD BE
CF 1
DB EC
由（1）宁（2） DB
可得兀
AD BE CF DB EC FA
1
，那么，D E 、F 三点共线.
证明：设直线EF 交AB 于点D ，则据梅涅劳斯定理有
AD /
BE CF 丽
EC FA
因为AD Bl CF DB EC FA
1，所以有誥
段AB 上，所以点D 与D 重合.即得D
鴿.由于点D D 都在线 E 、F 三点共线.
证明：
运用面积比可得 AD
DB S ADP S BDP
S ADC S BDC
根据
等
比定理有
S ADP S ADC
S
ADC S ADP S APC
S
S
BDP
BDC
S
BDC
S
BDP
S
的顶点，则有
AD BE CF “
1 DB EC FA .
所以AD S A PC .同理可得BE S
DB S BPC
APB
, CF
EC S APC FA S
BPC
S APB
三式相乘得竺吏 DB EC CF i FA 4.塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在 ABC 三边AB BC CA 上各有一点 H 1，那么直线CD AE BF 三线共点. DE 、F ,且 D E 、 F 均不是 ABC 的顶
点,
AD BE
若 DB EC
证明：设直线AE 与直线BF 交于点P,直线CP 交AB 于点D ,则 据塞瓦定理有 AD Z DB
BE EC CA1 -
1,所以有 段AB 上，所以点D 与D 重合.即得 因为竺 DB EC CF FA AD DB D DDB ?由于点D D 都在线 E 、F 三点共线.
三、西姆松定理 5.西姆松定理及其证明 定理：从 ABC 外接圆上任意一点 F ,则D E 、F 三点共线. 证明：如图示，连接PC ,连接EF P 向BC CA AB 或其延长线引垂线, 垂足分别为D
E
、
交BC 于点D ，连接P D
? 因为PE 因为A 、 所以， 共圆. 所以， 即 PD BC 由于过点 F D E 、 四
、 6 AE,PF AF,所以A 、F 、P 、E 四点共圆，可得
B 、P 、
C 四点共圆，所以 FEP = BCP 即 D
EP = CDP + CEP = 180°。而 FAE= BAC= BCP 即 DCP 可得 C 、D 、P 、E FAE= CEP = 90°,所以 CDP = 90°, P 作BC 的垂线，垂足只有一个，所以点D 与D 重合，即得 点共线. 托勒密定理 .托勒密定理及其证明 定理： AB
证明： BAM
因为 凸四边形ABCD!某圆的内接四边形，则有 ? CD + BC- AD = AC - BD.
设点M 是对角线AC 与BD 的交点，在线段BD 上找一点，使得 A
FEP D
P
BCP 四点 A
M
DAE
ADB = ACB 即 ADE = ACB 所以 AD 0 ACB 即得
AD 匹，即 AD BC AC DE AC BC
DAE = BAM 所以 DAM = BAE 即 DAC = BAE 而 ABD = ACD 即 ABE (1) 由于 ACD 所以 AB0 ACD 即得
JAB B E ，即 AB CD AC BE ------------------- ( 2) AC CD
由(1) + (2)得
AD BC AB CD AC DE AC BE AC BD .
所以 AB- CD + BC - AD = AC - BD 7.托勒密定理的逆定理及其证明
定理：如果凸四边形 ABCD 满足ABX CD + BC X AD = AC X BD 证法1 （同一法）：
在凸四边形ABCD 内取一点E ,使得 EAB DAC , EBA 可得 AB X CD = BE X AC --------------- （ 1）
口 AE AB
且
AD AC
则由 DAE CAB 及（2）可得 DAE s CAB .于是有 AD X BC = DE X AC -------------------------- （ 3）
由（1） + （3）可得 ABX CD + BC X AD = AC X （ BE +
DE ）. 据条件可得BD = BE+ DE 则点E 在线段BD 上.则由EBA 得DBA DCA ，这说明A B C D 四点共圆.
8.托勒密定理的推广及其证明
定理：如果凸四边形ABCD 勺四个顶点不在同一个圆上，那么就有
ABX CD + BC X AD > AC X BD
CAB 及(2)可得 DAE s CAB .于是 X BC = DE X AC --------- ( 3) + (3)可得 ABX CD + BC X AD = AC X ( BE + DE ) B C 、D 四点不共圆，据托勒密定理的逆定理可知 ABX CD + BC X AD AC X BD
所以BE + DE BD 即得点E 不在线段BD 上，贝U 据三角形的性质有 所以 ABX CD + BC X AD > AC X BD
欧拉定理 9.欧拉定理及其证明
定理：设厶ABC 的重心、外心、垂心分别用字母 G O H 表示.则 有GO H 三点共线（欧拉线），且满足OH 3OG .
证明（几何法）：连接OH AE 两线段相交于点G ;连B0并延长 交圆0于点D;连接CD AD HC 设E 为边BC 的中点，连接0E 和0C 如图.
因为 CD 丄 BC ，AHI BC ，所以 AH // CD .同理 CH // DA . 所以，AHC 助平行四边形.
可得 AH = CD.而 CD = 2OE 所以 AH = 2OE
那么A B C D 四点共圆.
证明：如图，在凸四边形 ABC 呐取一点E ,使得 EAB
DAC
EBA DCA ，贝U EAB s DAC .
可得 ABX CD = BE X AC
(1) AE AB 且 AD AC
(2)
(2)
则由 DAE
AD
由（1）
因为A 、
BE + DE > BD .
五、
DCA
, DCA ，贝U EAB s DAC .
D
C
A
因为 AH // CD , CD // OE ，所以 AH // OE .可得 AH? EOG
由篦2，及重心性质可知点G
就是ABC 的重心，即G
与点G
重合.
所以，G O H 三点共线，且满足OH 3OG .
所以磊
GGE
HG / 2 GO 1
D
C
E