反证法证明题(简单)(可编辑修改word版)
反证法证明题
例1. 已知∠A ，∠B ，∠C 为?ABC 内角.
求证：∠A ，∠B ，∠C 中至少有一个不小于60o.
证明：假设?ABC 的三个内角∠A ，∠B ，∠C 都小于60o，即∠A <60o，∠B <60o，∠C <60o，
所以∠A +∠B +∠C < 180O，
与三角形内角和等于180o矛盾，
所以假设不成立，所求证结论成立.
例2. 已知a ≠ 0 ，证明x 的方程ax =b 有且只有一个根.
证明：由于a ≠ 0 ，因此方程ax =b 至少有一个根x =b .
a 假设方程ax =
b 至少存在两个根，
不妨设两根分别为x1 , x2 且x1 ≠x2 ，
则ax1=b, ax2=b ，
所以ax1=ax2，
所以a(x1-x2 ) = 0 .
因为x1 ≠x2 ，所以x1 -x2 ≠ 0 ，
所以a = 0 ，与已知a ≠ 0 矛盾，
所以假设不成立，所求证结论成立.
例3. 已知a3+b3= 2, 求证a +b ≤ 2 .
证明：假设a +b > 2 ，则有a > 2 -b ，
所以a3> (2 -b)3即a3> 8 -12b + 6b2-b3，
所以a3> 8 -12b + 6b2-b3= 6(b -1)2+ 2 .
因为6(b -1)2+ 2 ≥ 2
所以a3+b3> 2 ，与已知a3+b3= 2 矛盾.
所以假设不成立，所求证结论成立.
例4. 设{a n}是公比为的等比数列，S n为它的前n 项和.
求证：{S n}不是等比数列.
证明：假设是{S }等比数列，则S 2=S ?S ，
n 2 1 3
2 2 2 2 1 1 1 即 a 2 (1+ q )2 = a ? a (1+ q + q 2 ) .
因为等比数列 a 1 ≠ 0 ，
所以(1+ q )2 = 1+ q + q 2 即 q = 0 ，与等比数列 q ≠ 0 矛盾， 所以假设不成立，所求证结论成立.
例 5. 证明 是无理数.
m 证明：假设 是有理数，则存在互为质数的整数 m ，n 使得 =
.
n
所以 m = 2n 即 m 2 = 2n 2 ，
所以 m 2 为偶数，所以m 为偶数.
所以设 m = 2k (k ∈ N *) ，
从而有4k 2 = 2n 2 即 n 2 = 2k 2 .
所以n 2 也为偶数，所以 n 为偶数. 与 m ，n 互为质数矛盾.
所以假设不成立，所求证 是无理数成立.
例 6. 已知直线 a , b 和平面，如果 a ?
, b ?，且 a / /b ，求证a / /。
证明：因为 a / /b , 所以经过直线 a , b 确定一个平面。
因为 a ?
，而 a ?
，
所以 与是两个不同的平面．
因为b ?，且b ? ，
所以
= b .
下面用反证法证明直线 a 与平面没有公共点．假设
直线 a 与平面
有公共点 P ，则 P ∈ = b ，
即点 P 是直线 a 与 b 的公共点， 这与 a / /b 矛盾．所以 a / /.
例 7．已知 0 < a , b , c < 2，求证：(2 - a )c ， (2 - b )a ，(2 - c )b 不可能同时大于 1
证明：假设(2 - a )c ， (2 - b )a ，(2 - c )b 都大于 1，
即 (2 - a )c>1, (2 - b )a>1, (2 - c )b>1，
则(2 - a )c (2 - b )a (2 - c )b >1 …①
(2 - a ) + a
又因为设 0 < a , b , c < 2，(2 - a ) a ≤ 2
= 1,
同理 (2 - b ) b≤1, (2 - c ) c≤1,
所以(2 - a )c (2 - b )a (2 - c )b ≤1 此与①矛盾. 所以假设不成立，所求证结论成立.
1 + y 1 + x 例 8．若 x , y > 0，且 x + y >2，则
和
中至少有一个小于 2
x
y
1 + y 1 + x 证明：假设
≥2，
≥2，
x
y
因为 x , y > 0，所以1+ y ≥ 2x ,1+ x ≥ 2 y ，
可得 x + y ≤2 与 x + y >2 矛盾. 所以假设不成立，所求证结论成立.
例 9．设 0 < a , b , c < 1，求证：(1 - a )b , (1 - b )c , (1 - c )a ,不可能同时大于 1
4
1 1 1
证明：假设设(1 - a )b > , (1 - b )c > , (1 - c )a > ,
4 4
4 1
则三式相乘：ab < (1 - a )b ?(1 - b )c ?(1 - c )a <
①
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?(1 - a ) + a ? 2
1
又∵0 < a , b , c < 1 ∴ 0 < (1 - a )a ≤ ??
2 ?? = 4 同理： (1 - b )b ≤ 1
, 4 (1 - c )c ≤ 1
4
1
以上三式相乘： (1 - a )a ?(1 - b )b ?(1 - c )c ≤
与①矛盾
64
所以原式成立
例 10. 设二次函数 f (x ) = x 2 + px + q ，求证： f (1) ,
f (2) ,
f (3) 中至少有一个不小于 1
. 2
证明：假设 f (1) , f (2) ,
f (3) 都小于 1
， 2
则 f (1) + 2 f (2) + f (3) < 2.
（1）
另一方面，由绝对值不等式的性质，有
f (1) + 2 f (2) + f (3) ≥ f (1) - 2 f (2) + f (3) （2）
= (1 + p + q ) - 2(4 + 2 p + q ) + (9 + 3 p + q ) = 2
（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确.