第三章 谐振子
第三章 谐振子
一 内容提要
1 一维线性谐振子的能级与波函数
2221)(x x V μω= 2222
12??x p H
μω+= ,3,2,1)2
1(=ω+=n n E n
)()(222
1
x H e
N x n x n n α-=ψ [其中 !
2n N n n πα=
μω
=
α ] 2 谐振子的升降算符 [1] 升降算符
)??(2?p i x a
μω-μω=+ )??(21p i
x μω-α= )??(2?p i x a
μω+μω= )??(21p
i
x μω+α= 则 )??(2?++μω
=a a
x
)??(2?+-μω-=a a i p [2] 升降算符的性质
11?++ψ+=ψn n n a
1?-ψ=ψn n n a
1]?,?[=+a a
二 例题讲解
1 一维谐振子如果考虑非谐振微扰项4
'
?x H
λ=，求体系能级的一级修正。 解：>+<μω
λ>=<λ>==<+n a a
n n x n n H
n E n 42
4
'
)
1()??()2(? 可以导出 )122(3)??(24++>=+<+n n n a a
n 那么 =
)
1(n E )122()(4322++μω
λn n
2 已知单摆在重力作用下能在竖直平面内摆动。求：
[1] 小角度近似下，体系的能量本征值及归一化本征函数。 [2] 由于小角度近似而引起的体系基态能级的一级近似。 解：摆球平衡位置作为势能零点 摆球重力势能为
)cos 1(θ-==mgl mgh V （1）
[1] 由公式 -θ+θ-=θ4
2!
41!211c o s
（2）
得在小角度近似下的二级修正势能为：
222
1
))211(1(θ=θ--≈mgl mgl V （3）
体系Hanmilton 为
V L I
V mr mv r V mv H z +=+?=+=?21)(2121?22
2 即：2
22
21)(21?θ+θ
=mgl d d i ml H
（4） 当 θ≈θ=→θl l x sin 0
设 l
g =ω （4）可以变为
222
22
2
12?x m dx d m H ω+= （5） （5）与一维谐振子类似，则（5）的解为：
,3,2,1)2
1(=ω+=n n E n
)()(222
1
x H e
N x n x n n α-=ψ [其中 !
2n N n n πα=
μω
=
α ] （6） [2] )cos 1()(21?2
2
θ-+θ=mgl d d i ml H
（7） 则微扰项20
'21)cos 1(???θ-θ-=-=mgl mgl H H H （8） 以（2）式取前三项代入（8）得
43
4'241!41?mgx l mgl H
-=θ-= （9） 利用上题可以得到
=
)
1(n E )122())(241(432
23
++ω-n n m mg l )122()(321223++ω=n n m mg l
3 质量为m 的粒子处于一维谐振子势场)0(2
1)(2
1>=
k kx x V 的基态
[1] 如果弹性系数k 突然变为k 2，即势场变为)0()(2
2>=k kx
x V ，随即测量粒子的能量，
求发现粒子处于新势场)(2x V 的基态的概率；
[2] 势场突然由)(1x V 变成)(2x V 后，不进行测量，经过一段时间τ后，势场又恢复成)(1x V ，问
τ取什么值时粒子仍恢复到原来)(1x V 场的基态（概率100%）？
解：[1] 粒子的波函数),(t x ψ随时间变化应满足dinger o Schr
eq ψ+?ψ?-=ψ??V x
m t i 2
2
22 当V 突然改变（由)(1x V →)(2x V ），但变化量有限时ψ仍然是t 的连续函数，即V 突
变时ψ不变。设)(0x ψ和)(0x φ分别表示)(1x V 和)(2x V 的基态波函数，当势场突然由
)(1x V →)(2x V 后，粒子的波函数仍为)(0x ψ，测得粒子处于)(0x φ的概率是：2
00>φψ<
将)(1x V 和)(2x V 写成标准形式：
221212
121)(x m kx x V ω== 2222221)(x m kx x V ω== 显然 122ω=ω
)(0x ψ和)(0x φ分别为：
2/02
2)()(x e x α-π
α=ψ 12ω=αm
2
/022)(
)(x e
x α-π
β=φ 2
2ω=
βm 其中 21
222=ωω=αβ 因此 9852.0212)/(1/22)(4
/52
222)(21
2
00222=+=αβ+αβ=β+ααβ=παβ=>φψ
-β+α-dx e x [2] 取势场第一次发生突变)(1x V →)(2x V 的时刻0=t ，这时波函数为
)()0,(0x x ψ=ψ
以)(x n φ表示2V 势场的能量本征态，相应的能级为： 2)2
1
(ω+= n E n 将)()0,(0x x ψ=ψ展开成)(x n φ的线性迭加：
)()(0x C x n
n
n φ
=
ψ∑ （因为)(0x ψ为偶函数，那么n 只能是偶数）
当τ< ∑∑ω-ω--φ=φ=ψt in n n t i t iE n n e x C e e x C t x n 22)()(),(2// 现令 )(),(0x A t x ψ=ψ 则必须有 4,2,012==τ ω-n e in 即有： 12±=τ ω-i e 所以 3,2,12==τωl l 或 3,2,12 =ωπ= τl l 当 τ=t 势场又)(1x V →)(2x V 后，粒子就永远处于)(0x ψ态，能量为 12 1 ω= E 4 耦合谐振子的Hamilton 为21222122221)(2 1)???(21?x x x x m p p m H λ++ω++= 其中 1 1?x i p ??-= ，2 2?x i p ??-= ，2,1,2,1p p x x 分别属于不同自由度。设2ω<λm 试求偶合谐振子的能级。 解： 如果没有偶合项21x x λ，就成为二维各向同性谐振子，Hamilton 为： )2 1?21()21??21(???222221 221210x m p m x m p m H H H ω++ω+=+= 用分离变量法即可化为两个独立的一维谐振子问题，那么得到上式的解为： ω++= )1(2121n n E n n ,2,1,0,) ()(212121=ψψ=ψn n x x n n n n 其中)(x n ψ为一维谐振子的能量本征函数。对于耦合谐振子可以用坐标变换的方法将问题化为两个独立的一维谐振子问题。方法如下： 令 )(2 12 11y y x += )(2 1212y y x -= 即 )(212 11x x y += )(21212x x y -= 不难证明有： 2 22 12 22 1y y x x +=+ )(2 12 22121y y x x -= 2 2 2 212x x ??+??222212y y ??+??= 因此Hamilton 可以表为： )(2 )(21)(2?2221222122222122y y y y m y y m H -λ++ω+??+??-= 222221212 22 21222 121)(2y m y m y y m ω+ω+??+??-= 其中 m λ+ ω=ω221 m λ- ω=ω22 2 已经表示为两个独立的一维谐振子问题，能量本征值和本征函数分别是： 2211)2 1 ()21(21ω++ω+= N N E N N ),2,1,0() ()(2,1212121 =ψψ=ψN N y y N N N N 5 粒子处于势阱??? ??>ω≤∞ =) 0(2 1)0()(2 2x x m x x V 中。试求粒子的可能能量。 解：既然粒子不能穿入0 函数和本征值与一般谐振子的形式应该相同。但考虑到0)(0 =ψ=x n x 由谐振子的波函数公式)()(222 1 x H e N x n x n n α-=ψ可知0)(0==x n x H 再由Hemit 多项式的性质知 2,1,012=+=k k n 即波函数)(x n ψ为奇函数。总之体系的能量可能值是 )2,1,0()2 1 12( =ω ++=k k E k 6 考虑一谐振子，令0ψ和1ψ分别为它的基态与第一激发态的波函数（均为实数且归一化 的），令10ψ+ψB A 是某一瞬时谐振子的波函数，A 和B 是实数。 [1] 证明x 的平均值一般不为零。 [2] A 和B 取什么值> ???ψψ=ψψ+ψψ=ψ+ψψ+ψ>= x AB dx x AB x B A dx B A x B A x 100*1*1* 0*10*102)()(()(dx x B A 1 02])(1[?ψψ--= 一般不为零。 考虑到2/1,122===+B A B A 时，> 7 考虑位于电场x E E 0=内且在三维各向同性势2 22 1)(r m r V ω=下运动的带电荷e +的粒子，求粒子 的本征态和本征值。 解：体系的Hanmilton 为 z y x H H H x eE r m m p H ++=-ω+=02 222 2 这里 ???? ?????ω+=ω+=-ω+=22 22 2202 22 222222z m m p H y m m p H x eE x m m p H z z y y x x y H 和z H 完全和一维谐振子的Hanmilton 相同， 令)()()(),,(321z y x z y x ψψψ=ψ 其中 ??? ????πλ=ψπλ=ψλ -λ-2233 2 222 2/332/2 2)(!21)()(!21)(z n n y n n e z H n z e y H n y 式中ω = λm )(1x ψ的方程是： 111012 2212212 2)(ψ=ψ-ψω+?ψ?-=ψE x eE x m x m x H x 做变量替换 ω -λ=ξm eE x 0 则有方程：0)) (2(213 2 01212=ξ-ψω+ω+ξψ m eE E d d 其解为： 2 2 11 2/11)(! 21)(λ-πλ= ψy n n e x H n x 在这种情况下，量子条件是： 12)(213 2 01+=ω+ωn m eE E 于是能级本征值是 220112)()21()(1 ω -ω+=m eE n E n 总之： 波函数是 )()()(),,(321z y x z y x ψψψ=ψ 能级是 2 203212)()23(3 21ω -ω+++=m eE n n n E n n n 8 已知线性谐振子的初始时刻（t=0）处于)](sin 2 21)([cos )0,(202 1 22x H x H Ae x x αβ+ αβ=ψα- 之中。其中β是实常数， ω = αm 2 A 为待定归一化系数。 求 [1] 在以后任意时刻)0(>t 的状态波函数),(t x ψ； [2] 在该态中粒子能量的可能取值及相应的几率分别是多少？ [3] 0=t 与0>t 时刻的坐标期望值x ，x 是怎样随时间变化的？ 解： 先将波函数归一化。利用线性谐振子能量本征值与相应的定态波函数 ,2,1,0)2/1(=ω+=n n E n )(! 2)(222 1 x H e n x n x n n απα = φα- 则有)](2 2sin )([cos )0,(202 1 22x H x H Ae x x αβ+ αβ=ψα- )](2sin )([cos 202 1 22x H x H Ae x απ αα πβ+απ αα πβ =α- )](sin )([cos 20x x A φα π β+φα π β= 所以 由 dx x x x x A dx x )](sin )([cos )](sin )([cos )0,(120*202 2 φα π β+φα π βφα π β+φα π β = ψ= ?? ∞ ∞ -∞ ∞ - )2 ()]2(sin )2( [cos 2222 π=πβ+πβ=A A 得：π α=A [1] 线性谐振子 Hanmilton 不显含时间，为定态问题。任意时刻的波函数t E i n n n n e x a t x -φ=ψ∑)(),( 当0=t 时有 )()0,(x a x n n n φ=ψ∑ 则得展开系数为 dx x x x A dx x x a n )()](sin )([cos )()0,(*20* φφα π β+φαπ β = φψ= ??∞ ∞ -∞ ∞ - 20sin cos n n βδ+βδ= 于是得 ???β =β=sin cos 20 a a 其余是零 那么 t E i t E i e x e x t x 20)(sin )(cos ),(20 --βφ+βφ=ψ [2] 能量的可能值为 ?? ???ω=ω= 252120E E 相应的几率为???β=β=2220sin cos w w [3] 线性谐振子的定态波函数)(x n φ有确定的宇称，2,0=n 为偶宇称，则),(t x ψ也是偶宇称的。 则? ∞ ∞-=ψ=0)0,()0(2dx x x x 又势函数)()(x V x V -=使得体系的宇称是守恒量，因初始时间是偶宇称，那么以后也是偶宇称， 那么 ?∞ ∞ -=ψ= 0),()(2 dx t x x t x 这表明坐标的期望值不随时间变化。 9 束缚在晶格中的原子核发生无反冲γ辐射是产生ssbauer o M 效应的必要条件。原子核所受作用势可以近似为谐振子势222 1 )(x M x V ω= ，M 为原子核的质量，x 为原子核质心坐标，ω为振动频率。设开始时原子核的质心运动（谐振动）处于基态，t=0时由于核内能级跃迁，沿x 方向发射出一个光子，能量为γE ，动量为c E /γ。由于γ辐射是突然发生的，可以认为原子核的质心运动受到的唯一影响是动量本征值由p 变成)/(c E p γ- [1] 求发射光子后，原子核质心运动仍然留在基态的概率。 [2 ]如 对于e F 57核 γE =18Kev, Hz 12 10=ω，求上述“无反冲辐射”（即没有能量传给原子）概率之值。 解：[1] 由于受到谐振子势场的作用，核的质心运动为谐振动0 (0x ψ按动量本征函数展开：dp e p x ipx ?? ∞ -?π=ψ /0)(21)( 由于发射γ光子，动量发生改变，（总动量守恒）有p 变成0p p - （c E p /0γ=）也即p 表象中的波函数)(p ?发生变化。因此发生γ 辐射后，核的质心运动波函数为 dp e p p x ipx ?? ∞ -+?π=ψ /0)(21)(='/)('0')(21dp e p x p p i ?? ∞--?π = /00)(x ip e x -ψ 其中指数因子表示核的质心动量减少0p 。发射光子后，核的质心振动仍留在基态的概率是 2 /0 200 )(?∞∞ --ψ=>ψψ<=dx e x P x ip 利用基态波函数)(0x ψ的具体形式 ω= απ α= ψα-M e x x 2 /02 2)( 则 ?∞ ∞ --α-= πα >=ψψ x ip x /00222 22220224/4/0)cos( Mc E p x e e dx e x p ω-α-∞ ∞ -α-γ ==πα ? 那么 概率是 2 222 0Mc E e P ω- γ =>ψψ<= [2] 如 对于e F 57核 γE =18Kev, Hz 12 10=ω ，则 ev Mev Mc 1021035.5272.93857?=?= ev Kev E 4108.118?==γ ev h 31013.42-?=ωπ = ω 将数据代入上式 得 48.0]10 35.51013.42)108.1(exp[733.010 32 4==????-=--e P 三 练习 1 设谐振子初态为)()2 1( )0,(0 x A x n n n ψ=ψ∑∞ = [1] 求归一化系数A ；[2] 求),(t x ψ （答案： ,2 1= A /)2/1(0 )()2 1( 2 1),(t n i n n n e x t x ω+-∞ =ψ= ψ∑） 2 在线性谐振子)(x ψ态下 计算 2)(x x x -=? ，2)(x x x p p p -=? ， p x ??? 并且与测不准关系进行比较。 3 设 )(3 235?22++++=a a a a H 且1]?,?[=+a a 求H ?的本征值。 （提示：做幺正变换 a a b μ+λ=+ + μλ 为待定系数 要求满足1]?,?[=+b b 且使 c k c b kb H ,?+=+ 为待定系数） 4 一维谐振子的能量算符为 2 222 20 2 12?x dx d H μω+μ-= 设受到作用势1,2?22'<<λμωλ=x H 的微扰作用，试求各能级的微扰修正，并和精确值比较。 竭诚为您提供优质文档/双击可除rlc串联电路频率特性实验报告 篇一：RLc串联电路的幅频特性与谐振现象实验报告 _-_4(1) 《电路原理》 实验报告 实验时间：20XX/5/17 一、实验名称RLc串联电路的幅频特性与谐振现象二、实验目的 1．测定R、L、c串联谐振电路的频率特性曲线。 2．观察串联谐振现象，了解电路参数对谐振特性的影响。1．R、L、c串联电路(图4-1)的阻抗是电源频率的函数，即： Z?R?j(?L? 1 )?Zej??c 三、实验原理 当?L? 1 时，电路呈现电阻性，us一定时，电流达最大，这种现象称为串?c 联谐振，谐振时的频率称为谐振频率，也称电路的固有频率。 即 ?0? 1Lc 或f0? 12?Lc R无关。 图4-1 2．电路处于谐振状态时的特征： ①复阻抗Z达最小，电路呈现电阻性，电流与输入电压同相。 ②电感电压与电容电压数值相等，相位相反。此时电感电压(或电容电压)为电源电压的Q倍，Q称为品质因数，即Q? uLuc?0L11 ????ususR?0cRR L c 在L和c为定值时，Q值仅由回路电阻R的大小来决定。 ③在激励电压有效值不变时，回路中的电流达最大值，即： I?I0? us R 3．串联谐振电路的频率特性： ①回路的电流与电源角频率的关系称为电流的幅频特性，表明其关系的图 形称为串联谐振曲线。电流与角频率的关系为： I(?)? us 1?? R2??L?? ?c?? 2 ? us ???0? ?R?Q2?????? ?0? 2 ? I0 ???0? ?1?Q2?????? ?0? 2 当L、c一定时，改变回路的电阻R值，即可得到不同Q 值下的电流的幅频 特性曲线(图4-2) 图4-2 有时为了方便，常以 ?I 为横坐标，为纵坐标画电流的幅频特性曲线(这称?0I0 I 下降越厉害，电路的选择性就越好。I0 为通用幅频特性)，图4-3画出了不同Q值下的通用幅频特性曲线。回路的品质因数Q越大，在一定的频率偏移下，为了衡量谐振电路对不同频率的选择能力引进通频带概念，把通用幅频特性的幅值从峰值1下降到0.707时所对应的上、下频率之间的宽度称为通频带(以bw表示)即：bw? ?2?1 ??0?0 RLC串联谐振频率及其计算公式串联谐振是指所研究的串联电路部分的电压和电流达到同相位,即电路中电感的感抗和电容的容抗在数值上时相等的,从而使所研究电路呈现纯电阻特性,在给定端电压的情况下,所研究的电路中将出现最大电流,电路中消耗的有功功率也最大. 1. 谐振定义：电路中L、C 两组件之能量相等，当能量由电路中某一电抗组件释 出时，且另一电抗组件必吸收相同之能量，即此两电抗组件间会产生一能量脉动。 2. 电路欲产生谐振，必须具备有电感器L及电容器C 两组件。 3. 谐振时其所对应之频率为谐振频率(resonance)，或称共振频率，以f r表示之。 4. 串联谐振电路之条件如图1所示：当Q=Q ?I2X L = I2 X C也就是X L =X C时，为R-L-C串联电路产生谐振之条件。 图1 串联谐振电路图 5. 串联谐振电路之特性： (1) 电路阻抗最小且为纯电阻。即 Z =R+jX L?jX C=R (2) 电路电流为最大。即 (3) 电路功率因子为1。即 (4) 电路平均功率最大。即P=I2R (5) 电路总虚功率为零。即Q L=Q C?Q T=Q L?Q C=0 6. 串联谐振电路之频率： (1) 公式： (2) R - L -C串联电路欲产生谐振时，可调整电源频率f 、电感器L 或电容器C 使其达到谐振频率f r，而与电阻R完全无关。 7. 串联谐振电路之质量因子： (1) 定义：电感器或电容器在谐振时产生的电抗功率与电阻器消耗的平均功率 之比，称为谐振时之品质因子。 (2) 公式： (3) 品质因子Q值愈大表示电路对谐振时之响应愈佳。一般Q值在10～100 之 间。 8. 串联谐振电路阻抗与频率之关系如图(2)所示： (1) 电阻R 与频率无关，系一常数，故为一横线。 (2) 电感抗X L=2 πfL ，与频率成正比，故为一斜线。 (3) 电容抗与频率成反比，故为一曲线。 (4) 阻抗Z = R+ j(X L?X C) 当 f = f r时， Z = R 为最小值，电路为电阻性。 平山县职业教育中心教案首页 编号：＿10＿号授课教师：＿＿＿宋翠平＿＿＿＿＿授课时间：＿5＿月＿＿＿＿ 步骤教学容教学 方法 教学 手段 学生 活动 时间 分配 明确目标一、明确目标： 教师解读学习目标 二、引入 任务1： 在无线电技术中常应用串联谐振的选频特性来选择信 号。收音机通过接收天线，接收到各种频率的电磁波，每一 种频率的电磁波都要在天线回路中产生相应的微弱的感应电 流。为了达到选择信号的目的，通常在收音机里采用如图1 所示的谐振电路。 讲授 (口 述) 演示 启发 提问 讨论 展示 实物 展示 课件 板书 个别 回答 小组 讨论 代表 发言 7分 钟 操作示一、教师讲解RLC串联电路谐振条件和谐振频率 1、谐振条件——电阻、电感、电容串联电路发生谐振的条件 是电路的电抗为零，即： = - = C L X X X。则电路的阻抗 角为：。φ=0说明电压与电流同相。我 们把RLC串联电路中出现的阻抗角φ=0，电流和电压同相的 情况，称作串联谐振。 2、谐振频率——RLC串联电路发生谐振时，必须满足条件： 教师 示 课件 演示 教师 提问 课件 板书 演示 学生 抢答 小组 抢答 10 分钟 任务3 学生分析讨论串联谐振电路的通频带 实际应用中，既要考虑到回路选择性的 优劣，又要考虑到一定围回路允许信号 通过的能力，规定在谐振曲线上， 所包含的频率围叫做电路的通频带，用字 BW表示，如图2所示。 理论和实践证明，通频带BW与f0、Q的关系为： 式中f0——电路的谐振频率，单位是赫[兹]，符号为Hz； Q——品质因数； BW——通频带，单位是赫[兹]，符号为Hz； 上式表明，回路的Q值越高，谐振曲线越尖锐，电路的通频带就越窄，选择性越好；反之，回路的Q值越小，谐振曲线越平坦，电路的通频带就越宽，选择性越差。即选择性与频带宽度是相互矛盾的两个物理量。 姓名班级学号 实验日期 5.28 节次7.8 教师签字成绩 电阻对理想RLC串联谐振电路频率特性的影响 1.实验目的 1．测量分析由于信号源内阻、电容及电感电阻存在所导致的实验常用简单无源滤波器滤波性能变化。 2．分析电阻值大小会对无源滤波器的滤波影响变化趋势并尝试提出实际缩小误差的方案。 2.总体设计方案或技术路线 1. 在实际中由于电源内阻、电感电阻、电容阻值的影响，谐振电路的频率特性会受到 各种各样的的影响，本实验期望通过对于带通滤波器仿真及实际实验测量分析电阻在各个元件中以及电源中的存在对于频率特性的影响。 2.在仿真实验中，由于各元件都是理想状态，因而可以直接将相应原件与一适宜大小的 电阻进行串联 3.实验电路图 4.仪器设备名称、型号 交直流实验箱 示波器 数字万用表 函数信号发生器 直流稳压电源、各型号电感电容以及导线等 5. 电感内阻 电容内阻 Frequency V(R2:1)+ V(C1:1) Frequency V(R2:1)+ V(L1:1) 3.0V 2.0V 1.0V 0V 1.0Hz 3.0Hz10Hz30Hz100Hz300Hz 1.0KHz 3.0KHz10KHz30KHz100KHz V(R1:1)+ V(R2:1) Frequency 电阻增加 V(R1:1) Frequency 电源内阻 其中所有电阻变化在图线下标中均为从左向右依次增加，第一个为1nΩ，模拟0内阻的时候，其余四个为10Ω，100Ω，1kΩ，10kΩ 6.详细实验步骤及实验结果数据记录（包括各仪器、仪表量程及内阻的记录） 测量电源内阻影响 1.按照电路图连接电路，并检查个部分工作是否正常。 2.对电源进行串连一个电阻箱，并调节相应电阻值。 3.调节信号源频率，使获得最大信号强度，记录此时频率f0。 4.在此频率基础上测量获得两个截止频率，并在其中选取相应频率值记数。 5.改变电阻值，再次测量。 信号源频率 /Hz 10 80 149 180 210 f0 223 输出电压/mv 30.9 266 582 726 810 821 信号源频率 /Hz 260 310 340 400 1k 电阻值Ω 输出电压/mv 777 652 581 469 160 0 信号源频率 /Hz 10 40 144 170 210 f0 223 输出电压/v 30.9 126 536 645 750 758 信号源频率 /Hz 270 290 352 500 2k 电阻值Ω 输出电压/v 705 663 535 349 77.1 100 信号源频率 /Hz 20 80 110 150 190 f0 223 输出电压/v 61.8 239 316 394 437 446 信号源频率 /Hz 280 340 464 600 1k 电阻值Ω 输出电压/v 430 392 315 251 155 1k 相应修正:信号源电压Vrms=1v，C=5uF，L=1H，Rl=146Ω 测量电感内阻影响 1.按照电路图连接电路，并检查个部分工作是否正常。 摘要：一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schr?dinger波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。最后从Dirac算子代数中求解出a?的本征态即谐振子的相干态，并由降算符a?与升算符+a?、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。 关键词：量子力学、一维谐振子、Heisenberg矩阵力学、算子代数解法、Schr?dinger波动力学、一维半壁谐振子势阱（垒）、相干态、压缩态。 在量子力学中谐振子不仅是说明量子力学基本原理和方法的一个很好的例子，而且任何体系在平衡位置附近的小振动，例如:分子的振动，原子核辐射场及其他玻色场的振动等，在选择恰当的坐标后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐振子振动]1[.1925年Heisenberg发现矩阵力学，1926年Schr?dinger创立波动力学，同时，Dirac创立在数学上更为一般的理论.可包括矩阵及波动两种形式]2[.一维谐振子的能力本征值问题，在历史上首先为Heisenberg的矩阵力学解决，后来用算子代数的方法给出了极漂亮的解，一般的教材只给定了波动力学的解法]3[.自1963年，Glauber]4[等人提出谐振子相干态以后，相干态和压缩态以其特有的最小不确定性和超完备性备受人们的关注，被广泛应用于量子光5[-。 学等领域]13 一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schr?dinger波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。最后从Dirac算子代数中求解出a?的本征态即谐振子的相干态，并由降算符a?与升算符+a?、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。 1.矩阵力学解法 取自然平衡位置为坐标原点，并选原点为势能零点，则一维谐振子势V可表成 RLC串联谐振频率及其计算公式 2009-04-21 09:51 串联谐振是指所研究的串联电路部分的电压和电流达到同相位,即电路中电感的感抗和电容的容抗在数值上时相等的,从而使所研究电路呈现纯电阻特性,在给定端电压的情况下,所研究的电路中将出现最大电流,电路中消耗的有功功率也最大. 1. 谐振定义：电路中L、C 两组件之能量相等，当能量由电路中某一电抗组件释 出时，且另一电抗组件必吸收相同之能量，即此两电抗组件间会产生一能量脉动。 2. 电路欲产生谐振，必须具备有电感器L及电容器C 两组件。 3. 谐振时其所对应之频率为谐振频率(resonance)，或称共振频率，以f r表示之。 4. 串联谐振电路之条件如图1所示：当Q=Q ? I2X L = I2 X C也就是 X L =X C 时，为R-L-C 串联电路产生谐振之条件。 图1 串联谐振电路图 5. 串联谐振电路之特性： (1) 电路阻抗最小且为纯电阻。即Z =R+jX L?jX C=R (2) 电路电流为最大。即 (3) 电路功率因子为1。即 (4) 电路平均功率最大。即P=I2R (5) 电路总虚功率为零。即Q L=Q C?Q T=Q L?Q C=0 6. 串联谐振电路之频率： (1) 公式： (2) R - L -C 串联电路欲产生谐振时，可调整电源频率f 、电感器L 或电容器C 使其达到谐振频率f r ，而与电阻R完全无关。 7. 串联谐振电路之质量因子： (1) 定义：电感器或电容器在谐振时产生的电抗功率与电阻器消耗的平均功率之比，称为谐振时之品质因子。 (2) 公式： (3) 品质因子Q值愈大表示电路对谐振时之响应愈佳。一般Q值在10～100 之间。 8. 串联谐振电路阻抗与频率之关系如图(2)所示： (1) 电阻R 与频率无关，系一常数，故为一横线。 (2) 电感抗X L=2 π fL ，与频率成正比，故为一斜线。 (3) 电容抗与频率成反比，故为一曲线。 (4) 阻抗Z = R+ j(X L ?X C) 当f = f r时，Z = R 为最小值，电路为电阻性。 当f ＞f r时，X L＞X C，电路为电感性。 当f ＜fr 时，X L＜X C，电路为电容性。 当f = 0 或f = ∞ 时, Z = ∞ ，电路为开路。 (5) 若将电源频率f 由小增大，则电路阻抗Z 的变化为先减后增。 9. 串联谐振电路之选择性如图(3)所示： 一维谐振子的本征值问题 姜罗罗 赣南师范学院物理与电子信息科学系物理学专业2000级（2）班 摘要：一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schr?dinger波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。最后从Dirac算子代数中求解出a?的本征态即谐振子的相干态，并由降算符a?与升算符+a?、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。 关键词：量子力学、一维谐振子、Heisenberg矩阵力学、算子代数解法、Schr?dinger波动力学、一维半壁谐振子势阱（垒）、相干态、压缩态。 在量子力学中谐振子不仅是说明量子力学基本原理和方法的一个很好的例子，而且任何体系在平衡位置附近的小振动，例如:分子的振动，原子核辐射场及其他玻色场的振动等，在选择恰当的坐标后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐振子振动]1[.1925年Heisenberg发现矩阵力学，1926年Schr?dinger创立波动力学，同时，Dirac创立在数学上更为一般的理论.可包括矩阵及波动两种形式]2[.一维谐振子的能力本征值问题，在历史上首先为Heisenberg的矩阵力学解决，后来用算子代数的方法给出了极漂亮的解，一 般的教材只给定了波动力学的解法]3[.自1963年，Glauber ]4[等人提出谐振子相干态以后，相干态和压缩态以其特有的最小不确定性和超完备性备受人们的关注，被广泛应用于量子光学等领域]135[-。 一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac 算子代数解法和Schr ?dinger 波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研 究前沿课题之一。最后从Dirac 算子代数中求解出a ?的本征态即谐振子的相干态，并由降算符a ?与升算符+a ?、光子数n 与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。 1.矩阵力学解法 V 可 表成 2 2 1kx V x = （１） k 为刻画简谐作用力强度的参数.设谐振子质量为μ，令 μ ωk = （２） 它是经典谐振子的自然频率，则一维谐振子的Hamilton 量可表为 图１．一维谐振子势 222?2 12??x p H μωμ+= (3) 在能量H ?表象中，由于 R L C串联谐振频率及其计算公式 2009-04-21 09:51 串联谐振是指所研究的串联电路部分的电压和电流达到同相位,即电路中电感的感抗和电容的容抗在数值上时相等的,从而使所研究电路呈现纯电阻特性,在给定端电压的情况下,所研究的电路中将出现最大电流,电路中消耗的有功功率也最大. 1. 谐振定义：电路中L、C 两组件之能量相等，当能量由电路中某一电抗组件释 出时，且另一电抗组件必吸收相同之能量，即此两电抗组件间会产生一能量脉动。 2. 电路欲产生谐振，必须具备有电感器L及电容器C 两组件。 3. 谐振时其所对应之频率为谐振频率(resonance)，或称共振频率，以f r表示之。 4. 串联谐振电路之条件如图1所示：当Q=Q I2X L = I2 X C也就是 X L =X C 时，为R-L-C 串联电路产生谐振之条件。 图1 串联谐振电路图 5. 串联谐振电路之特性： (1) 电路阻抗最小且为纯电阻。即Z =R+jX L jX C=R (2) 电路电流为最大。即 (3) 电路功率因子为1。即 (4) 电路平均功率最大。即P=I2R (5) 电路总虚功率为零。即Q L=Q C Q T=Q L Q C=0 6. 串联谐振电路之频率： (1) 公式： (2) R - L -C 串联电路欲产生谐振时，可调整电源频率f 、电感器L 或电容器C 使其达到谐振频率f r ，而与电阻R完全无关。 7. 串联谐振电路之质量因子： (1) 定义：电感器或电容器在谐振时产生的电抗功率与电阻器消耗的平均功率 之比，称为谐振时之品质因子。 (2) 公式： (3) 品质因子Q值愈大表示电路对谐振时之响应愈佳。一般Q值在10～100 之间。 8. 串联谐振电路阻抗与频率之关系如图(2)所示： (1) 电阻R 与频率无关，系一常数，故为一横线。 (2) 电感抗X L=2 π fL ，与频率成正比，故为一斜线。 (3) 电容抗与频率成反比，故为一曲线。 (4) 阻抗Z = R+ j(X L X C) 当 f = f r时，Z = R 为最小值，电路为电阻性。 当f ＞f r时，X L＞X C，电路为电感性。 在含有电容和电感的电路中，如果电容和电感并联，可能出现在某个很小的时间段内：电容的电压逐渐升高，而电流却逐渐减少；与此同时电感的电流却逐渐增加，电感的电压却逐渐降低。而在另一个很小的时间段内：电容的电压逐渐降低，而电流却逐渐增加；与此同时电感的电流却逐渐减少，电感的电压却逐渐升高。电压的增加可以达到一个正的最大值，电压的降低也可达到一个负的最大值，同样电流的方向在这个过程中也会发生正负方向的变化，此时我们称为电路发生电的振荡。 串联谐振是指所研究的串联电路部分的电压和电流达到同相位,即电路中电感的感抗和电容的容抗在数值上是相等的,从而使所研究电路呈现纯电阻特性,在给定端电压的情况下,所研究的电路中将出现最大电流,电路中消耗的有功功率也最大. 1.谐振定义：电路中L、C两组件之能量相等，当能量由电路中某一电抗组件释出时，且另一电抗组件必吸收相同之能量，即此两电抗组件间会产生一能量脉动。 2 .电路欲产生谐振，必须具备有电感器L及电容器C两组件。 3.谐振时其所对应之频率为谐振频率(resonance)，或称共振频率，以fr表示之。 4.串联谐振电路之条件如图1所示：当Q=Q ? IXL= IXC也 就是XL=XC时，为R-L-C串联电路产生谐振之条件。 谐振时间:电容或电感两端电压变化一个周期的时间称为谐振周期，谐振周期的倒数称为谐振频率。所谓谐振频率就是这样定义的。它与电容C和电感L的参数有关， 即：f=1/（2*π*√LC），相应的角频率w=2*π*f=1/√LC。此时感抗等于容抗，即XL=Xc，电路呈纯阻性，电路阻抗的模为最小。在输入电压Ui为定值时，电路中的电流达到最大值，且与输入电压Ui同相位。从理论上讲，此时Ui=Ur=Uo，UL=Uc=QUi，式中的Q称为电路的品质因数。 LCR串联谐振电路基础知识 1. 谐振定义：电路中L、C 两组件之能量相等，当能量由电路中某一电抗组件释出时，且另一电抗组件必吸收相同之能量，即此两电抗组件间会产生一能量脉动。 2. 电路欲产生谐振，必须具备有电感器L及电容器C 两组件。 3. 谐振时其所对应之频率为谐振频率(resonance)，或称共振频率，以f r表示之。 4. 串联谐振电路之条件如图1所示：当Q=Q ?I2X L = I2 X C也就是X L =X C时，为R-L-C串联电路产生谐振之条件。 图1 串联谐振电路图 5. 串联谐振电路的特性： (1) 电路阻抗最小且为纯电阻。即Z =R+jX L?jX C=R (2) 电路电流为最大。即 (3) 电路功率因子为1。即 (4) 电路平均功率最大。即P=I2R (5) 电路总虚功率为零。即Q L=Q C?Q T=Q L?Q C=0 6. 串联谐振电路频率计算公式： (1) 公式： (2) R - L -C串联电路欲产生谐振时，可调整电源频率f 、电感器L 或电容器C 使其达到谐振频率f r，而与电阻R完全无关。 7. 串联谐振电路品质因子(Q值)： (1) 定义：电感器或电容器在谐振时产生的电抗功率与电阻器消耗的平均功率 之比，称为谐振时之品质因子。 (2) Q值计算公式： (3) 品质因子Q值愈大表示电路对谐振时之响应愈佳。一般Q值在10～100 之间。 8. 串联谐振电路阻抗与频率之关系如图(2)所示： (1) 电阻R 与频率无关，系一常数，故为一横线。 (2) 电感抗X L=2 πfL ，与频率成正比，故为一斜线。 (3) 电容抗与频率成反比，故为一曲线。 (4) 阻抗Z = R+ j(X L?X C) 当f = f r时，Z = R 为最小值，电路为电阻性。 当f ＞ f r时，X L＞X C，电路为电感性。 当f ＜fr时，X L＜X C，电路为电容性。 当f = 0或f = ∞时, Z = ∞ ，电路为开路。 (5) 若将电源频率f由小增大，则电路阻抗Z 的变化为先减后增。 9. 串联谐振电路之选择性如图(3)所示： (1) 当f = f r时, ，此频率称为谐振频率。 (2) 当f = f1或f 2时, ，此频率称为旁带频率、截止频率或半功率频率。 公式(1)谐振： 1.三要素（表达式）：e=E m sin（ωt+φ） U=U m sin（ωt+φ） i=I m sin（ωt） 2.频率与周期：f=1/T 3.角频率与频率，周期：ω=2πf=2π/T 4.瞬时值，最大值和有效值： 瞬时值:e,u,i 最大值：E m，U m，I m 有效值：E,U,I 5.最大值和有效值：有效值=最大值/根号二 6.相位差：φ=φi-φu 7.欧姆定律：R=U/I 8.单一元件的电流和电压 电阻： 电压：u=U m sin（ωt） 电流：i=I m sin（ωt） 电压与电流：U m=I m R或U=IR 电感：电压超前电流π/2 电压：u=U m sin（ωt+π/2） 电流：i=I m sin（ωt） 电压与电流：U m=I m X L或U=IX L 电容：电流超前电压π/2 电压：u=U m sin（ωt） 电流：i=I m sin（ωt+π/2） 电压与电流：U m=I m X C或U=IX C RLC: 串联：（三个三角形） 10.电压三角形 U(总电压)=根号下（UR2+(U L-U C)2）=IZ 11.阻抗和电抗(阻抗三角形) 阻抗：Z=根号下（R2+(X L-X C)2） 电抗：X=X L-X C 12.总电压和电流之间的相位差 Φ=acrtan（U L-U C/U R）=acrtan（X L-X C/R）13.功率(功率三角形)： 有功功率：P=U（电阻）I=UI COSφ(功率因数) 无功功率：Q=Q L-Q C=I2X=UIsinφ 视在功率：S=UI 三者之间的关系：S2=P2+Q2 并联：I=I C+I L 14.谐振： 串联：电压谐振 条件：X L=X C或ωL=1/ωC (ω=2πf0=1/根号下LC) 频率：f0=1/2π根号LC 谐振时：Z=R(总阻抗最大) 总电压与电流同相I=I0=U/R总电流最大U L=IX L=(X L/R)*U U C=IX C=(X C/R)*U U L=U C 品质系数（Q）：电感电压或电容电压与电源电压的比值 Q=U L/U=U C/U=X L/R=X C/R 并联：电流谐振 条件：I L=I C即X L=X C 频率：同上 谐振时：Z=L/RC≈(ω0L)2/R （总阻抗最小）总电流与电压同相 I=I0=U/Z0=U*(R/(ω0L)2)(总电流最小) 品质系数（Q）：电感电流或电容电流（支路电流）与电源电流的比值Q=I C/I=I L/I QI=I C=I L Q=wL\R=2πfL\R(因为w=2πf)=1/wCR=1/2πfCR 1. LC并联谐振电路最常见的应用是构成选频电路或选频放大器； 2. LC串联谐振电路最主要用来构成吸收电路，用来构成在众多频率信号中将某一频率信号进行吸收，也就是进行衰减，将某一频率信号从众多频率中去掉； 3. LC并联谐振电路还可用来构成阻波电路，即从众多频率中阻止某一频率信号通过放大器或其他电路； 4. LC并联谐振电路还可以构成移相电路，用来对信号相位进行超前或滞逅移动。 a. 无论是LC并联谐振还是LC串联谐振电路，其频率的计算公式相同，谐振频率又称固有频率，或自然频率。f0=1/(2*pi*sqrt(L1*C1)); b. 品质因数Q值——衡量LC谐振电路振荡质量的重要参数。Q=(2*pi*f0*L1)/R1,R1为线圈L1的直流电阻，L1为谐振电路中电感； ①频点分析：输入信号频率等于该电路谐振电路谐振频率时，LC并联谐振电路发生谐振，此时谐振电路的阻抗达到最大，并且为纯阻性，Z0=Q*Q*R1,Q为品质因数，R1为线圈L1的直流电阻； ②高频段分析：输入信号频率高于谐振频率f0时，LC谐振电路处于失谐状态，电路阻抗下降； ③低频段分析：输入信号频率低于谐振电路f0时，LC并联谐振电路也处于失谐状态，谐振电路的阻抗也要减小。 信号频率低于谐振频率时，LC并联谐振电路的阻抗呈感性电路等效成一个电感（但不等于L1）。 1. 谐振定义：电路中L、C两组件之能量相等，当能量由电路中某一电抗组件释出时，且另一电抗组件必吸收相同之能量，即此两电抗组件间会产生一能量脉动。 2. 电路欲产生谐振，必须具备有电感器L及电容器C两组件。 3. 谐振时其所对应之频率为谐振频率(resonance)，或称共振频率，以f r表示之。 4. 串联谐振电路之条件如图1所示：当Q=Q ?I2X L = I2 X C也就是 X L =X C时，为R-L-C串联电路产生谐振之条件。 图1 串联谐振电路图 5. 串联谐振电路之特性： (1) 电路阻抗最小且为纯电阻。即Z =R+jX L?jX C=R (2) 电路电流为最大。即 (3) 电路功率因子为1。即 (4) 电路平均功率最大。即P=I2R (5) 电路总虚功率为零。即Q L=Q C?Q T=Q L?Q C=0 6. 串联谐振电路之频率： (1) 公式： (2) R - L -C串联电路欲产生谐振时，可调整电源频率f 、电感器L 或电容器C 使其达到谐振频率f r，而与电阻R完全无关。 7. 串联谐振电路之质量因子： (1) 定义：电感器或电容器在谐振时产生的电抗功率与电阻器消耗的平均功率 电源滤波电容的选择与计算 电感的阻抗与频率成正比,电容的阻抗与频率成反比.所以,电感可以阻扼高频通过,电容可 以阻扼低频通过.二者适当组合,就可过滤各种频率信号.如在整流电路中,将电容并在负载 上或将电感串联在负载上,可滤去交流纹波.。电容滤波属电压滤波，是直接储存脉动电压来平滑输出电压，输出电压高，接近交流电压峰值；适用于小电流，电流越小滤波效果越好。电感滤波属电流滤波，是靠通过电流产生电磁感应来平滑输出电流，输出电压低，低于交流电压有效值；适用于大电流，电流越大滤波效果越好。电容和电感的很多特性是恰恰相反的。 一般情况下，电解电容的作用是过滤掉电流中的低频信号，但即使是低频信号，其频率也分为了好几个数量级。因此为了适合在不同频率下使用，电解电容也分为高频电容和低频电容（这里的高频是相对而言）。 低频滤波电容主要用于市电滤波或变压器整流后的滤波，其工作频率与市电一致为50Hz；而高频滤波电容主要工作在开关电源整流后的滤波，其工作频率为几千Hz到几万Hz。当我们将低频滤波电容用于高频电路时，由于低频滤波电容高频特性不好，它在高频充放电时内阻较大，等效电感较高。因此在使用中会因电解液的频繁极化而产生较大的热量。而较高的温度将使电容内部的电解液气化，电容内压力升高，最终导致电容的鼓包和爆裂。 电源滤波电容的大小，平时做设计，前级用4.7u,用于滤低频，二级用0.1u，用于滤高频，4.7uF的电容作用是减小输出脉动和低频干扰，0.1uF的电容应该是减小由于负载电流瞬时变化引起的高频干扰。一般前面那个越大越好，两个电容值相差大概100倍左右。电源滤波，开关电源，要看你的ESR(电容的等效串联电阻)有多大，而高频电容的选择最好在其自谐振频率上。大电容是防止浪涌，机理就好比大水库防洪能力更强一样；小电容滤高频干扰，任何器件都可以等效成一个电阻、电感、电容的串并联电路，也就有了自谐振，只有在这个自谐振频率上，等效电阻最小，所以滤波最好！ 电容的等效模型为一电感Ｌ，一电阻Ｒ和电容Ｃ的串联， 电感Ｌ为电容引线所至，电阻Ｒ代表电容的有功功率损耗，电容Ｃ． 因而可等效为串联ＬＣ回路求其谐振频率，串联谐振的条件为WL=1/WC,W=2*PI*f,从而得到此式子f=1/(2pi*LC)．，串联ＬＣ回路中心频率处电抗最小表现为纯电阻，所以中心频率处起到滤波效果．引线电感的大小因其粗细长短而不同，接地电容的电感一般是１ＭＭ为10nＨ左右，取决于需要接地的频率. 一维量子谐振子的概率分布 摘要：线性谐振子问题作为一种普遍的模型，所以在经典力学中和量子力学中都受到很大关注。并且谐振子包括很多类型，我们就先研究量子谐振子的问题。量子谐振子是很多复杂物理模型的基础，量子谐振子在前几个量子态时，概率密度与经典情况相差较多，随着量子数的增加，随之相似性也会增加。可以通过使用数学软件将量子谐振子的概率分布绘制成图像，从而得出一维量子谐振子的概率分布。 关键词：经典谐振子 一维量子谐振子 波函数 量子谐振子概率分布 1.引言： 谐振子的振动是一种很常见的物理模型，它在很多方面得到应用。谐振子大体可分为经典力学和量子力学两部分，谐振在运动学就是简谐振动，这样的振动是物体在某一位置附近往复偏离该振动中心位置，在这样的振动方式下，物体所受到的力的大小总是与它偏离平衡位置的大小成正比关系，并且物体总是受到指向平衡位置的力。谐振子具有周期运动的物理特征，一些复杂的物理基础可以运用谐振子运动来解决。 通过对经典谐振子的研究，得到经典谐振子的函数关系式。再利用量子力学中的不确定关系得到量子谐振子的能量最低点，即平衡位置，最后得到谐振子的波函数，从而得到了谐振子的概率。随着量子数的增加，利用软件Mathematica 绘制一维量子谐振子的概率分布。再和经典的线性谐振子来作比较，得到经典谐振子的关系。 2.经典一维谐振子： 首先让我们谐振子在物理中是非常常见的模型，我们很早就已经接触过 ，并且有了一定的了解。下面来讨论一维弹性力的一维简谐振子。例如：质量为m 的物体放在光滑的桌面上，在其水平的方向上受到一个弹簧作用，在某一位置处质点所受力的大小为零，则把这一点叫做平衡位置。弹簧的劲度系数为k ，物体m 在弹簧弹性力的作用下沿弹簧方向运动，作用于质点的力和质点距离平衡位置的位移成正比，这样受力的质点就是一个典型的一维简谐振子。大家都知道，质量为m 的质点在做简谐振动的过程中用x 来表示质点便偏移平衡位置的距离，也就是质点的位置，也是弹簧的伸长或压缩的量。当x 很小时，质点受力为F ，则力F 和x 之间的线性关系为kx F -=，并且可知弹簧的弹性力是线性回复力，弹簧振子 ?在rlc电路中。当电路的阻抗z（jw）的虚部为0时，此时z（jw）=r在频率w下最小。此时电流i=u/|z|最大，此时可将频率为w的电流选出。反之y=g往掉该频率，这是它们的关键点选频电路：利用lc串联电路。和lc并联电路的谐振办到的，当w=1/√（lc）。即f=1/2π√（lc）时，lc串联电路z=r发生谐振。lc相当于短路。谐振是什么意思可将频率为w的电流选出当w=1/√（lc），即f=1/2π√（lc）时。lc并联电路z=g+j（wc-1/wl）的虚部为0，即j（wc-1/wl）=0。此时导纳g 最小，即阻抗z最大。lc并联电路相当于开路，可将频率为w的电流往掉，选频电路就就是lc的串并联用上面的关系达到选频的。谐振电路振荡电路：就是有rlc 或电源的电路。其中只有lc的串联电路w=1/√（lc），谐振电路：应该就是串联谐振和并联谐振吧。滤波电路：应该跟选频电路差未几吧，串联谐振和并联谐振的区别：上面有讲到。lc串联电路中z（jw）=r+j（wl-1/wc），lc并联电路中导纳y=g+j（wc-1/wl）。所以w=1/√（lc），即f=1/2π√（lc）时前者电流最大。被选出，后者电流最小。被过滤，我只是大学生的啦知识有限。不知对你有不有用，对了 w是指频率。j是虚部符号，其他符号都有注明。呵呵怕你的版本跟我的不一样 ?谐振即物理的简谐振动，物体在跟偏离平衡位置的位移成正比。且总是指向平衡位置的回复力的作用下的振动，其动力学方程式是f=-kx。谐振是什么 ?谐振的现象是电流增大和电压减小，越接近谐振中心。电流表电压表功率表转动变化快，但是和短路得区别是不会出现零序量， ?在物理学里。有一个概念叫共振：当策动力的频率和系统的固有频率相等时，系统受迫振动的振幅最大。这种现象叫共振。谐振器电路里的谐振实在也是这个意思：当电路的激励的频率即是电路的固有频率时，电路的电磁振荡的振幅也将达到峰值，实际上。共振和谐振表达的是同样一种现象。铁磁谐振这种具有相同实质的现象在不同的领域里有不同的叫法而已， ?收音机利用的就是谐振现象。谐振频率是什么转动收音机的旋钮时，就是在变动里边的电路的固有频率，忽然。在某一点，电路的频率和空气中原来不可见的电磁波的频率相等起来。于是，它们发生了谐振。串联谐振远方的声音从收音机中传出来，这声音是谐振的产物。谐振频率 ?谐振电路 关于电抗滤波器的问题，为什么在7%时189Hz时形成谐振？如何计算的？ 今天一个厂家来做产品推荐，当谈到电抗滤波器抑制流经电容器的谐波电流时，突然想从理论计算出为何电抗为电容的7%时，形成谐振，而此时的频率F0=189Hz。但是我发现凭我的能力算不出来。麻烦会的朋友告诉我这个计算过程，现在很纠结这个问题。一个所有样本上写出的东西是如何计算得出的。 我现在就知道f=/(2x3.14x(LC)^2)。再往后如何计算啊？ 问厂家的技术人员，他们也不能推导出整个过程，后来老总说你自己回去推倒吧。算了半天还是算不出来，睡不着觉了。 没人回答吗？我查了一晚上文献，终于明白自己错在哪了。 所谓的7%是指电抗与电容器的有名值比，即感抗/容抗，单位都应该是欧姆。而我一直是按照电感与电容来推导的，单位都不一样（H和F），根本不是一个概念。 正确的推导应该是：XL为基波下（即50Hz）电抗器的感抗，Xc为基波下电容器的容抗，假设n次谐波发生谐振，则nXL=Xc/n（XLn=2π n f0 L，Xcn=1/(2π n f0 C），导出n=√(Xc/XL)=√(1/0.07)=3.78，即3.78x50=189Hz时发生谐振。 或者说，7%是指基波电流下感抗与容抗的比值，f0=50Hz。从这个角度出发，也可以通过f=/(2x3.14x(LC)^2)推导，只要把（XLn=2π n f0 L，Xcn=1/(2π n f0 C）搞懂就行。另外推荐大家看看《串联电抗器抑制谐波的作用及电抗率的选择》，对谐波治理以及无功补偿能有一个数学模型上的认识。 看来我还是对基础概念有混淆，相信有部分和我一样年轻的工程师也有这个问题，希望大家以我为戒。弄清这个问题实际上对做工程没有太大意义，因为样本上已经把想处理几次谐波选择多大的电抗器给出来，只要查数据就行了。只是我这个人有些偏执狂，如果弄不懂一个非常想知道的问题就睡不着觉。 另外，这个论坛要是能贴mathtype的公式就好了，否则写的麻烦，看的也麻烦。 lc振荡电路频率怎么计算_lc振荡电路频率计算（计算公式）lc振荡电路LC振荡电路，是指用电感L、电容C组成选频网络的振荡电路，用于产生高频正弦波信号，常见的LC正弦波振荡电路有变压器反馈式LC振荡电路、电感三点式LC振荡电路和电容三点式LC振荡电路。LC振荡电路的辐射功率是和振荡频率的四次方成正比的，要让LC振荡电路向外辐射足够强的电磁波，必须提高振荡频率，并且使电路具有开放的形式。 LC振荡电路运用了电容跟电感的储能特性，让电磁两种能量交替转化，也就是说电能跟磁能都会有一个最大最小值，也就有了振荡。不过这只是理想情况，实际上所有电子元件都会有损耗，能量在电容跟电感之间互相转化的过程中要么被损耗，要么泄漏出外部，能量会不断减小，所以实际上的LC振荡电路都需要一个放大元件，要么是三极管，要么是集成运放等数电LC，利用这个放大元件，通过各种信号反馈方法使得这个不断被消耗的振荡信号被反馈放大，从而最终输出一个幅值跟频率比较稳定的信号。频率计算公式为f=1/［2（LC）］， 其中f为频率，单位为赫兹（Hz）；L为电感，单位为亨利（H）；C为电容，单位为法拉（F）。 工作原理开机瞬间产生的电扰动经三极管V组成的放大器放大，然后由LC选频回路从众多的频率中选出谐振频率f0。并通过线圈L1和L2之间的互感耦合把信号反馈至三极管基极。设基极的瞬间电压极性为正。经倒相集电压瞬时极性为负，按变压器同名端的符号可以看出，L2的上端电压极性为负，反馈回基极的电压极性为正，满足相位平衡条件，偏离f0的其它频率的信号因为附加相移而不满足相位平衡条件，只要三极管电流放大系数B和L1与L2的匝数比合适，满足振幅条件，就能产生频率f0的振荡信号。 LC振荡电路物理模型的满足条件①整个电路的电阻R=0（包括线圈、导线），从能量角度看没有其它形式的能向内能转化，即热损耗为零。 ②电感线圈L集中了全部电路的电感，电容器C集中了全部电路的电容，无潜布电容存 RLC串联谐振频率及其计算公式 串联谐振是指所研究的串联电路部分的电压和电流达到同相位,即电路中电感的感抗和电容的容抗在数值上时相等的,从而使所研究电路呈现纯电阻特性,在给定端电压的情况下,所研究的电路中将出现最大电流,电路中消耗的有功功率也最大. 1. 谐振定义：电路中L、C 两组件之能量相等，当能量由电路中某一电抗组件释 出时，且另一电抗组件必吸收相同之能量，即此两电抗组件间会产生一能量脉动。 2. 电路欲产生谐振，必须具备有电感器L及电容器C 两组件。 3. 谐振时其所对应之频率为谐振频率(resonance)，或称共振频率，以f r表示之。 4. 串联谐振电路之条件如图1所示：当Q=Q ? I2X L = I2 X C也就是 X L =X C 时，为R-L-C 串联电路产生谐振之条件。 图1 串联谐振电路图 5. 串联谐振电路之特性： (1) 电路阻抗最小且为纯电阻。即Z =R+jX L?jX C=R (2) 电路电流为最大。即 (3) 电路功率因子为1。即 (4) 电路平均功率最大。即P=I2R (5) 电路总虚功率为零。即Q L=Q C?Q T=Q L?Q C=0 6. 串联谐振电路之频率： (1) 公式： (2) R - L -C 串联电路欲产生谐振时，可调整电源频率f 、电感器L 或电容器C 使其达到谐振频率f r ，而与电阻R完全无关。 7. 串联谐振电路之质量因子： (1) 定义：电感器或电容器在谐振时产生的电抗功率与电阻器消耗的平均功率 之比，称为谐振时之品质因子。 (2) 公式： (3) 品质因子Q值愈大表示电路对谐振时之响应愈佳。一般Q值在10～100 之间。 8. 串联谐振电路阻抗与频率之关系如图(2)所示： (1) 电阻R 与频率无关，系一常数，故为一横线。 (2) 电感抗X L=2 π fL ，与频率成正比，故为一斜线。 (3) 电容抗与频率成反比，故为一曲线。 (4) 阻抗Z = R+ j(X L ?X C) 当f = f r时，Z = R 为最小值，电路为电阻性。 当f ＞f r时，X L＞X C，电路为电感性。 当f ＜fr 时，X L＜X C，电路为电容性。 当f = 0 或f = ∞ 时, Z = ∞ ，电路为开路。 (5) 若将电源频率f 由小增大，则电路阻抗Z 的变化为先减后增。 RLC串联谐振频率及其计算公式串联谐振就是指所研究得串联电路部分得电压与电流达到同相位,即电路中电感得感抗与电容得容抗在数值上时相等得,从而使所研究电路呈现纯电阻特性,在给定端电压得情况下,所研究得电路中将出现最大电流,电路中消耗得有功功率也最大、 1、谐振定义:电路中L、C 两组件之能量相等,当能量由电路中某一电抗组件释 出时,且另一电抗组件必吸收相同之能量,即此两电抗组件间会产生一能量脉动。 2、电路欲产生谐振,必须具备有电感器L及电容器C 两组件。 3、谐振时其所对应之频率为谐振频率(resonance),或称共振频率,以f r表示之。 4、串联谐振电路之条件如图1所示:当Q=Q ?I2X L = I2 X C也就就是 X L =X C时,为R-L-C串联电路产生谐振之条件。 图1 串联谐振电路图 5、串联谐振电路之特性: (1) 电路阻抗最小且为纯电阻。即 Z =R+jX L?jX C=R (2) 电路电流为最大。即 (3) 电路功率因子为1。即 (4) 电路平均功率最大。即P=I2R (5) 电路总虚功率为零。即Q L=Q C?Q T=Q L?Q C=0 6、串联谐振电路之频率: (1) 公式: (2) R - L -C串联电路欲产生谐振时,可调整电源频率f 、电感器L 或电容器C 使其达到谐振频率f r ,而与电阻R完全无关。 7、串联谐振电路之质量因子: (1) 定义:电感器或电容器在谐振时产生得电抗功率与电阻器消耗得平均功率 之比,称为谐振时之品质因子。 (2) 公式: (3) 品质因子Q值愈大表示电路对谐振时之响应愈佳。一般Q值在10～100 之 间。 8、串联谐振电路阻抗与频率之关系如图(2)所示: (1) 电阻R 与频率无关,系一常数,故为一横线。 (2) 电感抗X L=2 πfL ,与频率成正比,故为一斜线。 (3) 电容抗与频率成反比,故为一曲线。 (4) 阻抗Z = R+ j(X L?X C) 当 f = f r时, Z = R 为最小值,电路为电阻性。rlc串联电路频率特性实验报告
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