高等数学课后习题与解答
高等数学课后习题及解答
1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v.
解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c）
=5a-11b+7c.
2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平
行四边形.
证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM
故
MB .
AB AM MB MC DM DC .
即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形.
3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各
分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量
证如图8-2 ，根据题意知
1 D
1
A,
1
D
2
A, D
3
A, D A.
4
1
D3 D4
BD1
1
a,
5
a, D1D2 a,
5 5
1
D
2
D
3
a,
5
故D1 A=- （AB BD1）=- a- c
5
D 2 A =- （ AB
D A =- （ AB BD 2
BD ）=-
）=-
2
a- c
5 3
a- c
3
=- （ AB 3
BD 4
）=- 5 4a- c. 5
4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示
向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 .
解
M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） .
-2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）.
5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 .
a
解 向量 a 的单位向量 为
，故平行向量 a 的单位向量为
a
a 1
=
（ 6，7， -6）=
6 ,
7 , 6
，
a
11
11 11 11
其 中 a 6
2
72
( 6)2
11.
6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？
A （1，-2，3），
B （ 2， 3，-4），
C （2，-3，-4），
D （-2，
-3， 1）.
解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 .
7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置：
A （ 3， 4， 0），
B （ 0， 4，3），
C （ 3，0，0），
D （ 0，
D A
4
-1，0）.
解在坐标面上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中
至少有一个为零，比如xOy 面上的点的坐标为（x0，y0，0），xOz 面上的点的坐标为（x0，0，z0），y Oz 面上的点的坐标为（0，y0，z0）.
在坐标轴上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少
有两个为零，比如x 轴上的点的坐标为（x0，0，0），y 轴上的点的坐标为（0，y0，0），z 轴上的点的坐标为（0，0，z0）.
A 点在xOy 面上，
B 点在yOz 面上，
C 点在x 轴上，
D 点在y 轴上.
8.求点（a，b，c）关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标
原点的对称点的坐标.
解（1）点（a，b，c）关于xOy 面的对称点（a，b，-c），为关于yOz面的对称点为（-a，b，c），关于zOx面的对称点为（a，-b，c）.
（2）点（a，b，c）关于x 轴的对称点为（a，-b，-c），关于y 轴的对称点为（-a，b，-c），关于z 轴的对称点为（-a，-b，c）.
（3）点（a，b，c）关于坐标原点的对称点是（-a，-b，-c）. 9.自点P（0 x0，y0，z0）分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各
垂足的坐标.
解设空间直角坐标系如图8-3，根据题意，P0F 为点P0 关于xOz 面的垂线，垂足 F 坐标为(x0，0，z0）；P0D 为点P0关于xOy 面的垂线，垂足 D 坐标为( x0，y0，0）；P0E 为点P0 关于yOz 面的垂线，垂
足E坐标为(0，y0，z o ) .
P0A 为点P0 关于x 轴的垂线，垂足 A 坐标为( x o，0,0）；P0B 为点P0关于y 轴的垂线，垂足B 坐标为(0, y0 ,0) ；P0C为点P0关于z 轴的垂线，垂足 C 坐标为(0,0, z0 ) .
10.过点P（0 x0，y0，z0）分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？
解如图8-4，过P0 且平行于z 轴的直线l 上的点的坐标，其特点是，它们的横坐标均相同，纵坐标也均相同.
而过点P0 且平行于xOy 面的平面上的点的坐标，其特点是，它们的竖坐标均相同.
11. 一边长为a 的正方体放置在xOy 面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x 轴和y 轴上，求它各顶点的坐标.
2
解如图8-5，已知AB=a，故OA=OB= a ，于是各顶点的坐
2
标分别为A(
2
a，0，0) ，B（(0,
2
2 2
a，0）），C（- a，0，0），D
2 2
（0，-
2
a ，0），E（
2
2
a ，0，a ），F（0，
2
2
a ，a ），G（-
2
2 a
，
2
0，a ），H（0，-
2
a ，a ）. 2
12. 求点M（4，-3，5）到各坐标轴的距离.
解点M 到x 轴的距离为d1=( 3) 25234 ，点M 到y 轴的距离为d2= 42 5241 ，点M 到z 轴的距离为d3= 42( 3) 225 5.
13.在yOz 面上，求与三点A（3，1，2），B（4，-2，-2），C（0，5，1）等距离的点.
解所求点在yOz 面上，不妨设为P（0，y，z），点P 与三点A，B，C等距离，PA32 ( y1)2(z 2)2 ,
PB 42( y 2)2(z 2)2 ,
PC ( y 5)2( z 1)2 .
由 PA
PB
PC 知，
3
2
( y 1)
2
( z 2)2
4
2
( y 2) 2
( z 2)2
( y 5) 2 ( z 1) 2 ，
即
解上述方程组，得 y=1， z =-2.故所求点坐标为（ 0，1， -2）.
14.试证明以三点 A （4， 1， 9）， B （10，-1，6），C （ 2， 4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形 .
证 由
AB
(10
4)2
( 1 1)
2
(6 9)
2
7,
AC
(2
BC
(2 4)
2 10)
2
(4 1) 2 (4 1)
2
(3 9)
2
7,
(3 6)
2
98 7 2
知 AB
2
AC 及 BC
2
AB AC 2
.故△ ABC 为等腰直角三角
形.
15. 设已知两点为 M 1（4， 2 ，1），M 2（3，0，2），计算向量的模、方向余弦和方向角 .
M 1M 2
解 向量
M 1M 2
=（3-4， 0-
2 ， 2-1） =（-1，- 2 ， -1）
，
其模
M 1M 2
（ -1）2
（ - 2）2
1
2
4 2 .其方向余弦分
9 ( y 1) 2 ( z 2) 2 16 ( y 2) 2 ( z 2)2
, 9 ( y 1) 2
( z 2) 2
( y 5) 2
( z 1)2
.
别为 cos =- 1 ， c os =-
2
2 1
，cos = .
2
2
方向角分别为
2 ,
3 , .
3 4
3
16. 设向量的方向余弦分别满足（ 1）cos =0；（2）cos =1；（ 3）
cos =cos
=0，问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？
解 （1）由 cos =0 得知 ，故向量与 x 轴垂直，平行于
2
yOz 面.
（2） 由 cos =1 得知
=0，故向量与 y 轴同向，垂直于 xOz 面.
（3） 由 cos =cos =0 知
，故向量垂直于 x 轴和 y 轴，
2
即与 z 轴平行，垂直于 xOy 面.
17. 设向量 r 的模是 4，它与 u 轴的夹角为
，求 r 在 u 轴上的投影 .
3
1
解 已知|r |=4 ，则 Prj u r=| r |cos
=4?cos 3
=4× 2
=2.
18. 一向量的终点在点 B （2，-1，7），它在 x 轴、y 轴和 z 轴上的投影依次为 4， -4 和 7，求这向量的起点 A 的坐标.
解 设 A 点坐标为（ x ，y ， z ），则
AB =（ 2-x ，-1-y ，7-z ）
，
由题意知
2-x=4，-1-y=-4，7-z=7，
故 x=-2，y=3，z=0，因此 A 点坐标为（ -2， -3， 0）.
19. 设 m =3i +4j +8k ，n =2i -4j -7k 和 p =5i +j -4k . 求向量 a =4m +3n -p 在 x 轴
上的投影及在y 轴上的分向量.
解a=4m+3n-p=4（3i+5j+8k）+3（2i-4j-7k）-（5i+j-4k）=13i+7j+15k，
a 在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分向量为7j.
2
1. 设a
3i j 2k,b i 2 j k ，求
（1） a 余弦.
b 及a b ；（2）
（ - 2a ）3b 及a 2b ；（3） a ,b 的夹角的
解 （ 1） a
b （3，- 1，- 2）（1,2，- 1）
3
i
j k
1 （ - 1）
2 （ - 2）（ - 1） 3，
a b 3
1 1
2
2 =（5,1,7） . 1
（2） (
2a) 3b 6(a b) 6 3 18
a 2
b 2(a b) 2(5,1,7) a b (10,2,14)
3
（3 cos(a,b)
a b
3 3
2
( 3
1)
2
( 2)
2
1
2
2
2
( 1)
2
14 6
2 21
2. 设 a, b ,c 为单位向量，满足
a b c 0,求a b b c c a.
解 已知 a
b c 1, a b c 0,
故（ a
b c ）（ a b c ） 0 .
2 2
即 a
b
c
2a b 2b c 2c a
0.因此
a b b c c a
1 2
2 （ a b 2
2 3 c ） - 2
3.已知 M 1（ 1，-1，2），M 2（ 3,3,1）M 3（ 3,1,3）.求与同时垂直的单位向量 .
M 1M 2 , M 2 M 3
解
M 1M 2 =（ 3-1,3-（-1）,1-2） =（2，4， -1）
M 2 M 3=（3-3,1-3,3-1）=（0，-2，2）
由于M 1M 2取为M
2
M
3
与M 1M 2, M 2M 3 同时垂直，故所求向量可
a （M 1M 2M 2M 3）
，M 1M 2M 2M 3
由M 1M 2
i
M 2M 3= 2
j k
4 1 =（6，-4，-4），
2 2
M1M 2知a M 2 M 3 6
1
(6, 4, 4)
( 4)2 (
(
3
,
4)2
2
,
68
2
).
2 17
2 17 17 17 17
4.设质量为100kg 的物体从点M1（3,1,8）沿直线移动到点M2（1,4,2），计算重力所作的功（坐标系长度单位为m，重力方向为z 轴负方向）.
解M 1M 2 =（1-3,4-1,2-8）=（-2，3，-6）
F=（0,0，-100×9.8）=（0,0，-980）
W=F?M 1M 2 =（0,0，-980）?（-2,3 ，-6 ）=588（0 J）.
5.在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为x1 的点P1 处，有一与OP1成角
1
的力F1 作用着；在O的另一侧与点O的距离为x2 的点P2 处，有一与OP2成角 2 的力F2 作用着（图8-6 ），问 1 ，2 ，x1，x2，F1 , F2
符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？
解如图8-6 ，已知有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数
和为零，又由对力矩正负符号的规定可得杠杆保持平衡的条件为
2
F1即F1x1sin 1
x1sin 1
F2 x2
F2 x2
sin
sin
2
0 ，
2
.
6.求向量a（4，- 3,4）在向量b （2,2,1）上的投影.
a b ( 4, 3,4) (2,2,1) 6 解Pr j b a
b 2 .
22 22 12 3
7.设a(3,5, 2),b (2,1,4) ，问与有怎样的关系，能使
a b与z 轴垂直？
解 a b = （3,5 ，-2 ）+ （2,1,4 ）
=（3 2 ,5 , 2 4 ）.
要 a b与z 轴垂直，即要（ a b ）（0,0,1 ），即
（ a b）?（0，0,1 ）=0，
亦即（3 2 ,5 , 2 4 ）?（0,0,1 ）=0，
故（ 2 4 ）=0，因此 2 时能使 a b与z 轴垂直. 8.试用向量证明直径所对的圆周角是直角.
证如图8-7 ，设AB是圆O的直径，C点在圆周上，要证∠ACB= ，
2 只要证明AC BC 0 即可. 由
AC BC =( AO OC) ( BO OC)
= AO
BO AO OC 2
OC BO OC
2
=
AO AO OC AO OC 2
OC
0 .
故 AC
BC , ∠ACB 为直角.
9.
已知向量 a 2i 3 j k, b i
j 3k 和c i 2 j ，计算：
（1） (a
b)c (a c)b （2）(a b) (b c)
（3）(a
b) c
解 （1）
(a b)c (a c)b 8(1, 2,0) 8(1, 1,3) (0, 8, 24)
8i 24k .
（2） a
b =（2，-3,1 ）+（1，-1,3 ）=（3，-4,4 ），
b c =（ 1， -1,3 ） +（ 1， -2,0 ） =（ 2， -3,3 ）
，
i
j k
(a b) (b c) 3
4 4 (0, 1, 1) j k .
2
3 3
a
b (2, 3,1) (1, 1,3) 8，
a c (2, 3,1) (1, 2,0) 8，
（3）(a b) c 2
1
1
3
1
2
1
3
2.
10. 已知OA i 3k,OB j 3k ，求△OAB的面积.解由向量积的几何意义知
S△OAB=1
2
OA OB ，
OA OB ( 3) 2( 3)2 1 19 S △OAB 19 2
11. 已知a( a x , a y , a z ), b(b x ,b y , b z ), c(c x , c y ,c z ) ，试利用行列式的性质证明：
(a b) c (b c) a (c a) b
证因为(a b) c a x
b x
c x
a y
b y
c y
a z
b z , (b
c z
c) a
b x
c x
a x
b y
c y
a y
b z
c z
a z
(c a) b c x
a x
b x
c y
a y
b y
c z
a z ，
b z
i j k
OA OB 1 0 3 ( 3, 3,1) ，
0 1 3
而由行列式的性质知
a
a
b
b
2 2 a x a y a z b x b y b z c x c y
c z
b x b y
c x
c y
a x a y
b z
c x c z = a x a z b x
c y
c z a y a z ， 故
b y
b z
(a b) c (b c) a (c a) b .
12. 试用向量证明不等式：
2 2 2 2 1
2
3
1
2
3
a 1
b 1 a 2b
2
a 3
b 3 ，
其中 a 1, a 2 ,a 3 , b 1, b 2 ,b 3 为任意实数 . 并指出等号成立的条件.
证 设向量 a （ a 1 , a 2 , a 3 ）， b （ b 1, b 2 ,b 3 ）. 由a
b a b cos(a,b) a b ，从而
a 1
b 1 a 2b 2 a 3b 3 2
2
a 1
a 2
a 1 2
2
2 a 3
b 1
b 2
a 2 a 3
2
b 3 ，
当 a 1, a 2 , a 3与 b 1, b 2 ,b 3 成比例，即
b 1
b 2
时，上述等式成立.
b 3
a
b
1. 求过点（ 3,0，-1）且与平面 3x 7 y 程.
解
所求平面与已知平面
3x 7 y 5z 12
5z 12 0 平行的平面方
0 平行.因此所
求平面的法向量可取为 n=（3，-7，5），设所求平面为
3x 7 y 5z D 0.
将点（ 3，0， -1）代入上式得 D=-4.故所求平面方程为
3x 7 y 5z 4 0 .
2. 求过点 M 0（ 2，9， -6）且与连接坐标原点及点 M 0 的线段 OM 0 垂直的平面方程 .
解
OM 0
(2,9, 6）.所求平面与 OM 0 垂直，可取 n= OM 0 ，
设所求平面方程为
2x 9 y
6z D 0.
将点 M 0（ 2，9， -6）代入上式得 D=-121.故所求平面方程为
2x 9 y 6z 121 0.
3. 求过（ 1，1， -1），（-2， -2， 2）和（ 1，-1，2）三点的平面方程 .
x 1
y 1 z 1
0 ，得 x 3 y 2z 0 ，
即为所求平面方程 .
注 设 M （ x ,y,z ）为平面上任意一点， M i
( x i , y i , z i )(i
1,2,3) 为
平面上已知点 .由M 1M
(M 1M 2 M 1M 3) 0, 即
解 由
2 1 2 1 2 1
1 1
1 1
2 1
x x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 y y 1 y 2 y 1 y 3 y 1 z z 1
z 2 z 1 0, z 3 z 1
它就表示过已知三点 M i （ i =1,2,3）的平面方程 . 4. 指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面： （1）x=0; （2） 3y-1=0; （3）2x-3y-6=0; （4） x -
3y=0;
（5）y+z=1; （ 6）x-2z=0;
（7）6x+5y-z=0.
解 （ 1）—（ 7）的平面分别如图 8— 8（a ）—（ g ） . （1）x=0 表示 yOz 坐标面.
（2）3y-1=0 表示过点（ 0, 1
,0）且与 y 轴垂直的平面 .
3
（3）2x-3y-6=0 表示与 z 轴平行的平面 . （4）x-
3y=0 表示过 z 轴的平面 .
（5）y+z=1表示平行于 x 轴的平面 . （6）x-2z=0 表示过 y 轴的平面 . （7）6x+5y-z=0表示过原点的平面 .
5. 求平面2x 2y z 5 0与各坐标面的夹角的余弦.
解平面的法向量为n=（2，-2，1），设平面与三个坐标面xOy，yOz，zOx的夹角分别为1, 2 , 3 .则根据平面的方向余弦知
cos cos n k (2, 2,1) (0,0,1) 1 ,
n k 22( 2)212 1 3
cos 2cos n i ( 2,
n i
2,1)
3
(1,0,0) 2
,
1 3
cos 3cos n j ( 2,
n j
2,1)
3
( 0,1,0) 2
.
1 3
6. 一平面过点（1，0，-1）且平行于向量a
试求这个平面方程.
(2,1,1) 和b (1, 1,0) ，
解所求平面平行于向量 a 和b，可取平面的法向量
i j k
n a b 2 1 1 (1,1, 3) .
1 1 0
1
故所求平面为1 ( x 1) 1 ( y 0) 3( z 1) 0，即
x y 3z 4 0 .
7. 求三平面x 3y
交点.
z 1,2x y z 0, x 2 y 2z 3的解联立三平面方程
x 3y 2x y x 2y z 1,
z 0,
2z 3.
解此方程组得x 1, y 1, z 3.故所求交点为（1，-1，3）. 8. 分别按下列条件求平面方程：
（1）平行于xOz面且经过点（2，-5，3）；
（2）通过z 轴和点（-3，1，-2）；
（3）平行于x 轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）.
解（1 ）所求平面平行于xOz 面，故设所求平面方程为
By D 0.将点（2，-5，3）代入，得
5B D 0，即D 5B.
因此所求平面方程为
By 5B 0，即y 5 0.
（2）所求平面过z 轴，故设所求平面为Ax By 0 .将点（-3，1，-2）代入，得
3A B 0，即B 3A.
因此所求平面方程为
Ax 3Ay 0 ，即x 3y 0.
（3）所求平面平行于x 轴，故设所求平面方程为By Cz D 0. 将点（4，0，-2）及（5，1，7）分别代入方程得
2C D 0 及
C D
, B
2
B 7
C
D 0.
9
D .
2
因此，所求平面方程为
9 Dy 2 D
z D 0 ，2
即9 y z 2 0.
9. 求点（1,2,1）到平面x 2 y 2z 10 0 的距离.
解利用点
的距离公式
M 0 ( x0 , y o , z o ) 到平面Ax By Cz D 0
d
Ax0By0Cz0 D
A2 B 2 C 2
1 2 2 2 1 10 3 1.
12 22 22 3
x 3 y
1. 求过点（4，-1，3）且平行于直线
2 1 z 1
的直线方程. 5
解所求直线与已知直线平行，故所求直线的方向向量s (2,1,5)，直线方程即为
x 4 y 1 z 3
.
2 1 5
2. 求过两点M 1(3, 2,1) 和M 2 ( 1,0,2) 的直线方程.
解取所求直线的方向向量
s M 1M 2( 1 3,0 ( 2),2 1) ( 4,2,1) ，
因此所求直线方程为
x 3 y 2 z 1
.
4 2 1
3. 用对称式方程及参数方程表示直线
x y 2 x y z 1, z 4.
解根据题意可知已知直线的方向向量
i j k
s 1 1 1 ( 2,1,3).
2 1 1
取x=0，代入直线方程得
y z 1,
y z 4.
3 5
解得y
3
, z
2
5
.这
2
样就得到直线经过的一点（0, ,
2 ）.因此直线的对称式方程为
2
微积分课后题答案第九章习题详解
第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质
知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其 和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++??
郑州大学高等数学下课后习题答案解析
习题7.7 3.指出下列方程所表示的曲线. （1）???==++;3, 25222x z y x （2）???==++;1,3694222y z y x （3）???-==+-;3, 254222x z y x （4）???==+-+.4,08422y x z y 【解】 （1）表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ； （2）表示平面1=y 上的椭圆19 32322 2=+z x ； （3）表示平面3-=x 上的双曲线14 162 2=-y z ； （4）表示平面4=y 上的抛物线642-=x z . 4.求() () ?????=++=++Γ2, 21, :2 22 2 222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】 （一）（1）、（2）联立消去z 得 2224 3R y x = + 所以，Γ在xoy 面上的投影曲线为 ?????==+.0, 4 322 2z R y x （二）（1）、（2）联立消去y 得 R z 2 1 = 所以，Γ在zox 面上的投影曲线为 .23.0,21R x y R z ≤ ?? ? ??==
（三）（1）、（2）联立消去x 得 R z 21 = 所以，Γ在yoz 面上的投影曲线为 .23.0, 21R y x R z ≤ ????? == 6.求由球面224y x z --= ①和锥面() 223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域. 【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为 ? ??==+.0, 122z y x 所以，球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D . 习题7.8 2.设空间曲线C 的向量函数为(){} t t t t t r 62,34,122--+=，R t ∈.求曲线C 在与 20=t 相应的点处的单位切向量. 【解】因(){}64,4,2-=t t t r ，故C 相应20=t 的点处的切向量为 (){}2,4,42='r . C 相应20=t 的点处的单位切向量为 (){}.31,32,322,4,4612? ?????±=± =' 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为
大学高等数学上习题(附答案)
《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?
高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析
高等数学第六版上册课后习题答案及解析 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ? B =[-10, -5), A \ B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明 因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明 因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、 I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中
同济大学高等数学习题答案共49页
习题一解答 1.在1,2,3,4,四个数中可重复地先后取两个数，写出这个随机事件的样本空间及事件A=“一个数是另一个数的2倍”，B=“两个数组成既约分数”中的样本点。 解Ω={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1)，（3，2），（3，3），（3，4），（4，1）（4，2），（4，3），（4，4）}； A={（1，2），（2，1），（2，4），（4，2）}； B={（1，2），（1，3}，（1，4），（2，1），（2，3），（3，1)，（3，2），（3，4），（4，1）（4，3）} 2. 在数学系学生中任选一名学生．设事件A＝{选出的学生是男生}，B＝{选出的学生是三年级学生}，C＝{选出的学生是科普队的}． (1)叙述事件ABC的含义． (2)在什么条件下，ABC＝C成立？ (3)在什么条件下，C?B成立？ 解 (1)事件ABC的含义是，选出的学生是三年级的男生，不是科普队员． (2)由于ABC?C，故ABC＝C当且仅当C?ABC．这又当且仅当C?AB，即科普队员都是三年级的男生． (3)当科普队员全是三年级学生时，C是B的子事件，即C?B成立． 3.将下列事件用A，B，C表示出来： （1）只有C发生；
（2）A 发生而B ，C 都不发生； （3）三个事件都不发生； （4）三个事件至少有一个不发生； （5）三个事件至少有一套（二个不发生）发生； （6）三个事件恰有二个不发生； （7）三个事件至多有二个发生； （8）三个事件中不少于一个发生。 解 （1）ABC ； （2）ABC ： （3）ABC （4）A B C U U ； （5）AB BC AC U U ； （6）ABC ABC ABC U U ； （7）ABC ； （8）A B C U U 。 4.设 A ， B ， C 是三个随机事件，且 =====)()(,4 1)()()(CB P AB P C P B P A p 0，81 )(=AC P ,求A ，B ，C 中至少有 一个发生的概率． 解 设D ＝{A ，B ，C 中至少有一个发生}，则D ＝A ＋B ＋C ，于是 P (D )＝P (A ＋B ＋C ) ＝P (A )＋P (B )＋P (C )－P (AB )－P (BC )－P (AC )＋P (ABC )． 又因为
中国人民大学出版社第四版高等数学一第6章课后习题详解
高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< ∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<< 高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5 D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4 数，故 /, =Jj( x2 + y1)3d(j =2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 )JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr +jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n" jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A 283 高等数学上（修订版）（复旦出版社） 习题六 无穷数级 答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ； 解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ； 解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++?? 284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ； 第十章重积分9 5 y 2 D2 -1 O i T -2 图 10 - 1 数，故 /, = Jj( x 2 + y 1 ) 3 d(j = 2jj ( x2 + y 1 )3 dcr. fh i)i 又由于 D 3关于 ; t 轴对称，被积函数 ( / + r2) 3关于 y 是偶函数，故jj( x2 + j2 ) 3dcr = 2j( x2+ y2) 3 da =2/ 2 . Dy 1)： 从而得 /, = 4/ 2 . ( 2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于 ^ 轴对称，而被积函数 / ( x, y) 关于 y 是奇函数，即 fix, -y) = -f(x,y) , PJ jf/ ( x, y)da = 0； D 如果积分区域 D 关于： K 轴对称，而被积函数 / ( x， y) 关于： c 是奇函数，即 / ( ~x, y) = - / ( 太， y) ，则 = 0. D ? 3. 利用二重积分定义证明： ( 1 ) jj da = ( 其 中 ( 7 为的面积 ) ； IJ (2) JJ/c/( X , y) drr = Aj | y’ ( A: ， y) do■ ( 其 中 A ：为常数 ) ； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /) 2，， A 为两个 I) b \ lh 尤公共内点的 WK 域 . 证 ( 丨 ) 由于被 枳函数. / U, y) = 1 , 故山 二 t 积分定义得n " 9 6 一、 《高等数学》 (第七版 )下册习题全解 jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A 微积分课后题答案习题 详解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明 上述结论反之不成立. 证： 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞ 2 22111(1) (2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222 222111 112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=， 2lim 0n n →∞=， 所以由夹逼定理，得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . （2）因为22222240!123 1n n n n n < =<-，而且4 lim 0n n →∞=， 2018年湖南省怀化市中考物理试卷 一、选择区 1. 下图中符合安全用电原则的是（） A. 雷雨时在大树下躲雨 B. 在高压线下钓鱼 C. 在同一插座上同时使用多个大功率用电器 D. 发现有人触电时立即切断电源 【答案】D 【解析】A、雷雨时，不可以在大树下避雨，要注意防雷电，故A错误； B、高压线下钓鱼，鱼线很容易接触到高压线，容易发生触电事故，故B错误； C、在同一个插座上同时使用了多个大功率的用电器，由可得，会使干路中的电流过大，容易发生电路火灾，故C错误； D、当发现有人触电时，应该立即采取的措施是：迅速切断电源或用绝缘体挑开电线，因为人体是导体，不能用手拉开电线和触电的人，故D正确。 故选：D。 点睛：本题考查日常安全用电常识，关键是了解安全用电的基本原则“不接触低压带电体，不靠近高压带电体。” 2. 在北京8分钟的节目中，憨态可掬的大熊猫令人忍俊不禁。这只大熊猫是用一种特制的铝合金材料制成的，它的高度为2.35m，质量却只有10kg，它利用了铝合金的哪一种性质（） A. 质量小 B. 密度小 C. 比热容小 D. 导热性能好 【答案】B 【解析】解：由题知，大熊猫是用一种特殊的铝合金材料制成的，它的高为2.35m，质量却只有10kg，也就是说它的体积很大，质量很小，根据ρ=可知，材料的体积相同时，质量越小，密度越小。所以它利用 了铝合金密度小的性质。故ACD错误，B正确。 故选：B。 点睛：密度是物质的一种特性，不同物质密度一般不同，常用密度来鉴别物质。解答本题时，要紧扣大熊猫高度大，质量小的特点进行分析。 3. 下列事例中不是利用大气压工作的是（） A. 用塑料吸管吸饮料 B. 用抽水机抽水 C. 用注射器将药液注入病人体内 D. 钢笔吸墨水 【答案】C 【解析】解：A、用吸管吸饮料时，吸管内的气压小于外界大气压，饮料在外界大气压的作用下，被压入口腔内。利用了大气压。故A不合题意； B、抽水机抽水，通过活塞上移或叶轮转动使抽水机内水面上方的气压减小，水在外界大气压的作用下，被压上来，利用了大气压，故B不合题意。 C、用注射器将药液注入病人体内是利用人的压力将药液注入人体肌肉的，不是利用大气压来工作的，故C 符合题意。 D、用力一按橡皮囊，排出了里面的空气，当其恢复原状时，橡皮囊内部气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下，墨水被压入钢笔内，利用了大气压。故D不合题意。 故选：C。 点睛：本题考查了大气压的应用，此类问题有一个共性：通过某种方法，使设备内部的气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下出现了这种现象。 4. 自然界中有些能源一旦消耗就很难再生，因此我们要节约能源。在下列能源中，属于不可再生的能源的是 A. 水能 B. 风能 C. 太阳能 D. 煤炭 【答案】D D、煤炭属于化石燃料，不能短时期内从自然界得到补充，属于不可再生能源，故D符合题意。 大学数学A （1）课后复习题 第一章 一、选择题 1.下列各组函数中相等的是. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（ ） A .2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == B .0 )(,1)(x x g x f == C .1)(,11)(2-=-?+= x x g x x x f D .2)(|,|)(x x g x x f == 2.下列函数中为奇函数的是. ……. …….. …………………………………………………………………………………….（ ）. A .)1ln()(2++=x x x f B .| |)(x e x f = C .x x f cos )(= D .1 sin )1()(2--= x x x x f 3.极限??? ? ?+++∞→22221lim n n n n n 的值为………………………………………………………………………..…….（ ） A ．0 B ．1 C ．2 1 D ．∞ 4.极限x x x x sin lim +∞→的值为.. …….. ……..……………………………………………………………………………...…….（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．∞ 5.当0→x 时，下列各项中与 2 3 x 为等价无穷小的是…………………………………………………….（ ） A ．)1(3-x e x B ．x cos 1- C ．x x sin tan - D ．)1ln(x + 6.设12)(-=x x f ，则当0→x 时，有…………………………………………………………………………..…….（ ）. A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B ．)(x f 与x 同阶但非等价无穷小 C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小 D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小 7.函数)(x f 在点x 0可导是)(x f 在点x 0连续的____________条件. ………...………………....…..（ ） A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要 D .既不充分也不必要 8.设函数?? ? ??<≤--<≤≤≤-=01,110, 21,2)(2x x x x x x x f ，则下述结论正确的是……………………………………….（ ） 习题十 1. 根据二重积分性质，比较 ln()d D x y σ+?? 与2[ln()]d D x y σ+??的大小，其中： （1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形； （2）D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤. 解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间，显然有 图10-1 12x y ≤+≤ < 从而 0ln()1x y ≤+< 故有 2 ln()[ln()]x y x y +≥+ 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ+≥+?? ?? （2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥. 图10-2 从而 ln(x +y )>1 故有 2 ln()[ln()]x y x y +<+ | 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ +<+?? ?? 2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： （1）4d ,{(,)|02,02}I xy D x y x y σ=+=≤≤≤≤??; （2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}D I x y D x y x y σ= =≤≤≤≤?? ; 解：（1）因为当(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤ 因而 04xy ≤≤. 从而 2≤≤》 故 2d D D σσσ≤≤?? ?? ?? 即2d d D D σσσ≤≤???? 而 d D σσ=?? （σ为区域D 的面积） ，由σ=4 得 8σ≤ ≤?? (2) 因为2 2 0sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而 220sin sin 1x y ≤≤ 故 220d sin sin d 1d D D D x y σσσ≤≤?? ???? 即220sin sin d d D D x y σσσ≤ ≤=???? ~ 而2 πσ= 所以2220sin sin d πD x y σ≤ ≤?? （3）因为当(,)x y D ∈时，2 2 04x y ≤+≤所以 22229494()925x y x y ≤++≤++≤ 故 229d (49)d 25d D D D x y σσσ≤++≤?? ???? 即 229(49)d 25D x y σσσ≤ ++≤?? 而 2 π24πσ=?= 所以 2236π(49)d 100πD x y σ≤ ++≤?? … 3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值： 2019年广西满分作文：毕业前的最后一堂课时光飞逝，白马过隙。2019高考如约而至，距离我的那年高考也已有二十岁的年份。烈日的阳光，斑驳的光影，仿佛又把我拉进了在宽窄巷子的学堂里最后冲刺的时光。 高中即将毕业，意味着每个人将为人生方向的开启选好时光的阀门，单纯的学历生涯即将告一段落。课堂上朗朗整齐的晨读和起立，行礼的流程将渐行远去。它是青春懵懂的里程，也是最为单纯的诗书礼仪，课桌黑板走廊都将记录这里每个人在经历人生的最后一课，无论是同学还是老师。 记得1999年炙热的炎夏，当年的二十八中还隐藏在老成都皇城宽窄巷子里面，距离高考还有一周，同学们已经不再像之前那样紧张忙碌的复习节奏，三三两两，甚至结伴到学校周围看看能不能捡到老皇城留下的一砖半瓦，为自己这里的高中学涯留点念想。 还记得是用过学校食堂的午餐，在最后一节考前动员课上完以后，大家就会各自回到家中，为最后到来的大考最最后的准备。课堂的气氛很是轻松，甚至我和我的同桌还在讨论中午学校食堂红椒肉丝的白糖是否搁多了，随着班主任走进教室，踏上讲台，一如既往地喊道：上课！接着就是值日生的“起立敬礼老师好”的三重奏，最后一节课的师生礼仪完毕后，班主任转身在黑板上用粉笔撰写了四个大字“勇往直前”，语重心长的寄语和感慨在此不表，大家彼此默契的拿出早已准备好的记事本开始彼此留言签名，数言珍语，寥寥几笔都赫然纸上。 人生最后一堂课，没有习题的讲解和紧张备考的威严氛围。三年同窗，彼此单纯的朝夕相处和课桌校园间的点滴生活早已让这个班级凝成了一片经脉。“聚是一团火，散是满天星，不求桃李满天下，只愿每人福满多。”班主任最后这句话至今印刻脑海。二十载已过，当时班主任的心境早已能够理解，也希望每年高考时，同学志愿看天下！ 总习题一 1、 在“充分”、“必要”与“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内: (1)数列{x n }有界就是数列{x n }收敛的________条件、 数列{x n }收敛就是数列{x n }有界的________的条件、 (2)f (x )在x 0的某一去心邻域内有界就是 )(lim 0 x f x x →存在的________条件、 )(lim 0 x f x x →存在就是f (x ) 在x 0的某一去心邻域内有界的________条件、 (3) f (x )在x 0的某一去心邻域内无界就是 ∞=→)(lim 0 x f x x 的________条件、 ∞=→)(lim 0 x f x x 就是f (x ) 在x 0的某一去心邻域内无界的________条件、 (4)f (x )当x →x 0时的右极限f (x 0+)及左极限f (x 0-)都存在且相等就是)(lim 0 x f x x →存在的________条件、 解 (1) 必要, 充分、 (2) 必要, 充分、 (3) 必要, 充分、 (4) 充分必要、 2、 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设f (x )=2x +3x -2, 则当x →0时, 有( ). (A )f (x )与x 就是等价无穷小; (B )f (x )与x 同阶但非等价无穷小; (C )f (x )就是比x 高阶的无穷小; (D )f (x )就是比x 低阶的无穷小. 解 因为x x x x x f x x x x x x x x 13lim 12lim 232lim ) (lim 0000-+-=-+=→→→→ 3ln 2ln ) 1ln(lim 3ln )1ln(lim 2ln 00+=+++=→→u u t t u t (令2x -1=t , 3x -1=u ) . 所以f (x )与x 同阶但非等价无穷小, 故应选B . 3. 设f (x )的定义域就是[0, 1], 求下列函数的定义域: (1) f (e x ); (2) f (ln x ); (3) f (arctan x ); (4) f (cos x )、 解 (1)由0≤e x ≤1得x ≤0, 即函数f (e x )的定义域为(-∞, 0]. (2) 由0≤ ln x ≤1得1≤x ≤e , 即函数f (ln x )的定义域为[1, e ]、 (3) 由0≤ arctan x ≤1得0≤x ≤tan 1, 即函数f (arctan x )的定义域为[0, tan 1]、 (4) 由0≤ cos x ≤1得2 222π πππ+≤≤- n x n (n =0, ±1, ±2, ? ? ?), 即函数f (cos x )的定义域为[2 ,2 2ππππ+-n n ], (n =0, ±1, ±2, ? ? ?)、 4、 设 高等数学习题及答案 一、填空题（每小题3分，共21分） 1．设b a by ax y x f ,,),(其中+=为常数，则=)),(,(y x f xy f .y b abx axy 2 ++ 2．函数2 2y x z +=在点)2,1(处，沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的 方向导数是 .321+ 3．设有向量场k xz j xy i y A ρρρρ++=2 ，则=A div ρ . x 2 4．二重积分??2 1 ),(x dy y x f dx 交换积分次序后为 .??1 1 ),(y dx y x f dy 5．幂级数∑∞ =-1 3)3(n n n n x 的收敛域为 . [0,6) 6．已知y x e z 2-=，而3 ,sin t y t x ==，则 =dt dz 3sin 22(cos 6)t t e t t -- 7．三重积分 =???Ω dv 3 ， 其中Ω是由3,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的立体. 二、计算题（一）（每小题7分，共21分） 1．设b a b a ρρρρ与,5,2==的夹角为π3 2 ，向量b a n b a m ρρρρρρ-=+=317与λ相互垂直，求λ. 解：由25173 2 cos 52)51(1217)51(3022?-???-+=-?-+=?=πλλλλb b a a n m ρρρρρρ 得.40=λ 2．求过点)1,2,1(-且与直线?? ?=--+=-+-0 4230 532z y x z y x 垂直的平面方程. 解：直线的方向向量为{}11,7,52 13132 =--=k j i s ρρρρ 取平面的法向量为s n ρ ρ=，则平面方程为0)1(11)2(7)1(5=++-+-z y x 即.081175=-++z y x 3．曲面32=xyz 上哪一点处的法线平行于向量}1,8,2{=S ρ ？并求出此法线方程. 解：设曲面在点),,(z y x M 处的法线平行于s ρ ，令32-=xyz F 则在点),,(z y x M 处曲面的法向量为.1 82,}.,,{},,{xy xz yz s n xy xz yz F F F n z y x ====故有 由于ρ ρρ由此解得 y z y x 8,4==，代入曲面方程，解得),,(z y x M 的坐标为)8,1,4(，用点向式即得所求法线 方程为1 8 8124-= -=-z y x 三、计算题（二）（每小题7分，共21分） 1．设)(x y xF xy z +=，其中)(u F 为可导函数，求.y z y x z x ??+?? 解： ),()(u F x y u F y x z '-+=?? )(u F x y z '+=?? xy z xF xy y z y x z x +=+=??+??2 2．将函数??? ? ??-=x e dx d x f x 1)(展成x 的幂级数，并求∑∞ =+1)!1(n n n 的和. 解：???++???++=--1! 1 !2111n x x n x x e高等数学课后习题及解答
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