《数形结合思想》专题(整理)doc初中数学
《数形结合思想》专题（整理）doc 初中数学
知识综述
〔1〕函数几何综合咨询题是近年来各地中考试题中引人注目的新题型，这类试题将几何咨询题与函数知识有机地结合起来，重在考查学生的创新思维及灵活运用函数、几何有关知识，通过分析、综合、概括和逻辑推理来解决数学综合咨询题的能力，此类试题倍受命题者青睐，究其缘故，它是几何与代数的综合题，构题者巧妙地将几何图形置于坐标系中，通过函数图象为纽带，将数与形有机结合，并往往以开放题的形式显现。 〔2〕解答此类咨询题必须充分注意以下咨询题： a. 认识平面坐标系中的两条坐标轴具有垂直关系 b. 灵活将点的坐标与线段长度互相转化
c. 明白得二次函数与二次方程间的关系——抛物线与x 轴的交点，横坐标是对应方程的根。
d. 熟练把握几个距离公式： 点P 〔x ，y 〕到原点的距离PO x y =+22
AB x x a =-=
||||
12?
e. 具备扎实的几何推理论证能力。
一、填空题〔每空5分，共50分〕
1. 假如a ，b 两数在数轴上的对应点如下图：
那么化简：||||a b a b ++-=__________。
2. A ，B 是数轴上的两点，AB=2，点B 表示数－1，那么点A 表示的数为__________。
3. △ABC 的三边之比是752：：，那么那个三角形是__________三角形。
4. 点A 在第二象限，它的横坐标与纵坐标之和是1，那么点A 的坐标是__________。〔写出符合条件的一个点即可〕
5. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 为CD 的中点，△BCE 的面积为1，那么△ACD 的面积为__________。
6. 二次函数y ax bx c =++2
的图象如下图，那么由抛物线的特点写出如下含有系数a ，
b ，
c 的关系式：①abc >0 ②a b c -+=0 ③
441
2
2ac b a -= ④a b +=0，其中正确结论的序号是__________〔把你认为正确的都填上〕
7. 如图，AB 是半圆的直径，AB=10，弦CD ∥AB ，∠CBD=45°，那么阴影部分面积为__________。
8. 某公司市场营销部的营销人员的个人收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如下图，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售时的收入是__________元。
9. 如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分不为4和2，那么阴影部分的面积为__________。
10. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=6，D 是AC 上一点，假设
tan ∠ABD =
1
5
，那么AD 的长为__________。
二、解答题〔第11~14题每题10分，第15~19题，每题12分，共100分〕 11. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，斜边c=10，同时a ，b 〔a b >〕为关于x 的方程
x mx m 2360-++=的两根。
〔1〕求m 的值； 〔2〕求sinA ，tanB 的值。
12. 如图，在直角坐标系中，直线AB ⊥BC ，垂足为B ()03，，E 为线段AB 的中点，且OE=1，
①求E 点的坐标；
②设直线y kx b =+通过B ，C 两点，求k ，b 的值。 13. 如图点C ，D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形。
〔1〕当AC ，CD ，DB 满足什么关系时，△ACP ∽△PDB ？ 〔2〕当△ACP ∽△PDB 时，求∠APB 的度数。
14. 如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 为过圆心O 的割线，PA=10，PB=5，
〔1〕求∠APC 的余弦值；
〔2〕求作以sin ∠APC ，cos ∠APC 为两根的一元二次方程。
15. 如图，两点A 〔－8，0〕，B 〔2，0〕，以AB 为直径的半圆与y 轴正半轴交于点C 。
〔1〕求过A ，C 两点的直线的解析式和通过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式； 〔2〕假设点D 是〔1〕中抛物线的顶点，求△ACD 的面积。
16. 如图，在半径为4的⊙O 中，AB ，CD 是两条直径，M 为OB 的中点，CM 的延长线交⊙O 于点E ，且EM>MC 。连结DE ，DE=15。
〔1〕求EM 的长； 〔2〕求sin ∠EOB 的值。
17. 如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm 。点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2 厘米/秒的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1厘米/秒的速度移动。假如P ，Q 同时动身，用t 〔秒〕表示移动的时刻〔06≤≤t 〕，那么：
〔1〕当t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形？
〔2〕求四边形QAPC 的面积；提出一个与运算结果有关的结论； 〔3〕当t 为何值时，以点Q ，A ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似？ 18. 阅读函数图象，并依照你所获得的信息回答以下咨询题：
〔1〕折线OAB表示某个实际咨询题的函数图象，请你编写一道符合该图象意义的应用题；
〔2〕依照你给出的应用题分不指出x轴，y轴所表示的意义，并写出A，B两点的坐标；
〔3〕求出线段AB的函数解析式，并注明自变量x的取值范畴。
19. ：如图，AB是半圆O的直径，C为AB上一点，AC为半圆O'的直径，BD切半圆
O'于点D，CE⊥AB交半圆O于点E。
〔1〕求证：BD=BE；
〔2〕假设两圆半径的比为3：2，试判定∠EBD是直角、锐角依旧钝角？并给出证明。
试题答案
一、填空题： 1. 26 2. 1或－3 3. 直角 4. 〔－1，2〕 5. 2 6. ①②④ 7.
254
π 8. 300 9.
222-
10. 2 二、解答题：
11. 解：〔1〕由韦达定理得
a b m ab m +==+??
?①
②
36 又∵a
b 2
22
10+=③
由③得()a
b ab +-=22100 ④
把①、②式代入④
m m m m m m 2212236100
61120148
-+=--===-()，
其中m=－8不合题意，舍去 ∴m=14 〔2〕又∵a>b ∴a=8，b=6 ∴sin A a c =
=45
tan B b a ===683
4
12. 解：①过E 作EH ⊥x 轴于
H
∵∠AOB=Rt ∠，E 为AB 的中点， OE=1 ∴AB=2， 又∵B ()03，
，∴OA=1
∴OH EH OB =
==121232
， ∴E 点坐标为〔
123
2
，〕 ②又∵AB ⊥BC ∴由射影定理OB OC OA 2
=·得：
()312=·OC
∴OC=3 ∴C 〔－3，0〕
又∵直线BC 过B 、C 两点 ∴b k b
==-+??
?303
∴b k ==
????
?3
33
13. 解：〔1〕假设△ACP ∽△PDB 那么有：
AC PC PD
DB
=
又∵PC=PD=CD ∴CD
AC BD 2
=·
∴当CD AC BD 2
=·时
△ACP ∽△PDB
〔2〕当△ACP ∽△PDB 时
∠∠，∠∠αβ==B A
又∵∠∠∠°PCD A =+=α60
∴∠∠∠∠APB
CPD =++αβ
=+=6060120°°°
14. 解：连结OA
〔1〕∵PA 为⊙O 的切线，PBC 为过圆心O 的割线。 ∴PA PB PC 2
=· ∴10
52=·PC
∴PC=20 ∴BC
BO ==
15152
， ∴在Rt △APO 中
cos .P PA PO =
==101254
5
〔2〕∵sin ..∠APC ==751253
5
∴sin cos ∠∠APC APC +=7
5
sin cos ∠·∠APC APC =12
25
∴新方程为：
x x 2751225
0-
+= 即25351202
x x -+=
15. 解：〔1〕连AC 、BC
∵直径AB ，∴∠ACB=90° ∴由射影定理得OC=4 ∴C 点坐标〔0，4〕 ∴直线AC 的函数解析式 为y
x =
+1
2
4 设过A 、B 、C 的解析式为
y a x x =+-()()82
把C 〔0，4〕代入得a =-
14
∴y
x x =--+143
2
42
〔2〕∵D ()-361
4
，
∴S S S ACD AOCD AOC △四边形△=-
=15
16. 解：〔1〕∵EC DC DE =
-==22497
∴
EM EM ·×()726-=
EM=4
〔2〕过E 作EF ⊥AB 于F
sin ∠EOB EF OE =
=15
4
17. 解：〔1〕当AQ=AP 时
即622-==t
t t ，〔秒〕
〔2〕S cm
APCO
四边形
=362，发觉在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变。〔3〕假设△QAP∽△CBA
那么QA
AP
BC
AB
==
1
2
∴
6
2
1
2
-
=
t
t
1222412
3
-==
=
t t t
t
，
秒
假设△∽△
QAP ABC
那么
6
2
2
1
-
=
t
t
6456
6
5
-==
=
t t t
t秒
当t=3秒或1.2秒时，相似。
18. 〔1〕小明从家里动身，步行去上学，每分钟走50米，12分钟到学校，到校后他发觉忘带了数学作业本，赶忙跑步回家：跑了3分钟到达家里。
〔2〕x轴表示时刻，单位：分，y轴表示路程，单位：米
A〔12，600〕，B〔15，0〕
〔3〕y x x
=-+≤≤
20030001215
()
19. 解：〔1〕证：连AE，
直径
∠°
⊥
·
切⊙于·
AB
AEB
EC AB
EB BC AB
AB O D BD BC BA
?
=?
?
?
?=
?=
?
?
?
?
?
90
2
2
'
?=?=
BD BE BD BE
22
〔2〕∵AB：AC=3：2
∴设AB=3k，那么AC=2k，BC=k
O B k O D
''
=2，连
那么∠°，∠°
O DB O BD
''
==
9030
又∵CE CA CB
2=·
∴CE k
=2
∴tan∠EBC
CE
BC
==<
23
∴∠EBC＜60°
∴∠EBD=∠EBC+∠O'BD＜60°+30°=90°故∠EBD是锐角。