四边形的性质及证明

儒洋教育学科教师辅导讲义

教学目标综合运用平行四边形、特殊的平行四边形和三角形的有关知识进行四边形或多边形的有关证明

重点、难点

考点及考试要求

教学容

：

一、多边形

多边形的角和：

多边形角和等于0

180)2n (- 多边形的外角和：多边形外角和等于360

过n 边形的一个顶点共有(n －3）条对角线，n 边形共有2

)

3(-n n 条对角线．过n 边形的一个顶点将n 边形分成(n －2)个三角形．

二、平行四边形

1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的定义要抓住两点，即“四边形”和“两组对边分别平行”．

2.两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离．

两条平行线间的距离是一个定值，不随垂线段位置改变而改变，两条平行线间的距离处处相等．

3．平行四边形的性质：

文字表达：①平行四边形的两组对边分别平行； ②平行四边形的两组对边分别相等；

③平行四边形的两组对角分别相等； ④平行四边形的对角线互相平分．

符号语言表达：

四边形ABCD 是平行四边形

4．平行四边形的判定：

文字表达：

①两组对边分别平行的四边形是平行四边形．②两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．④两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．

符号语言表达：

AB∥CD，BC∥AD?四边形ABCD是平行四边形

AB=CD，BC=AD?四边形ABCD是平行四边形．

AB平行且相等CD或BC平行且相等AD?四边形ABCD是平行四边形．

OA=OC，OB=OD?四边形ABCD是平行四边形．

∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB?四边形ABCD是平行四边形．

三、矩形、菱形、正方形

1、菱形的性质：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．③

具有平行四边形所有性质．

2．菱形的判定：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形．

③四条边都相等的四边形是菱形．

3．矩形的性质：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质．

4．矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形．

5．正方形的性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．

6．正方形的判定：①有一个角是直角的柳是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形．③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形．

四、梯形

1．定义：一组对边平行，另一组对进不平行的四边形叫梯形．两腰相等的梯形叫等腰梯形．一腰和底垂直的梯形叫做直角梯形．

2、等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个角相等;等腰梯形的对角线相等．

3．等腰梯形的判定：①同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．②对角线相等的梯形是等腰梯形．4．等腰梯形常见的作辅助线的方法．

（1）作等腰梯形的两条高，将等腰梯形分成一个矩形和两个全等直角三角形。

（2）平移一腰，将等腰梯形化成一个平行四边形和一个等腰三角形．

（3）平移对角线，将等腰梯形转化为等腰三角形。

（4）如果题中有一腰的中点，则可连结上底的一个顶点和一腰的中点并延长交下底一点。

五、中位线

定义；

几何证明中经常用到中位线。

六、平面向量

定义：要素

加减法则。

七、常见辅助线用语：

1、连结XX

延长XX至X，使XX=XX

延长XX与XX，交于点X

2、过点X作XX∥XX

3、过点X作XX⊥XX于X

巩固练习：

一、填空题

1．六边形共有（）条对角线.

2．一个多边形角和为540°，则其边数为（）.

3．一个多边形每一个外角都是30°，则这个多边形是（）边形.

4．从凸n边形一个顶点出发，有（）条对角线.

5．一个多边形的边数正好等于这个多边形对角线的条数，则边数为（）.

6．任意多边形的外角和为（）度.

二、选择题（把正确答案的序号字母填入括号中）

1．一个凸n边形的n个角中，至多有几个角是锐角.结论应该是至多有（）个.

（A）4个（B）3个（C）2个（D）不能确定

2．一个凸多边形角和900°，则这个多边形边数为（）条.

（A）8 （B）5 （C）7 （D）10

3．如果从一个凸多边形的一个顶点出发，一共有17条对角线，则这个多边形角和为（）.

（A）1800°（B）2400°（C）3240°（D）4206°

4．平行四边形对角线将其分成全等三角形（）对.

（A）2 （B）3 （C）4 （D）5

三、求解题

1．一个多边形的角和是其外角和的2倍，求边数.

2．多边形每一个角都是150°，求对角线的条数.

3．两个角的两边分别垂直，且一个角是另一个角的4倍还少30°，求这两个角的度数.

4．一个多边形的各角都相等，且外角之差的绝对值为60°，求边数.

5．一个多边形的角和与其一个外角的总和为1350°，求边数.

6．多边形的一个外角与其余各角和为600°，求边数.

提高练习：

一、选择题

1．能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）．

（A）AB∥CD，AD=BC; （B）∠A=∠B，∠C=∠D;

（C）AB=CD，AD=BC; （D）AB=AD，CB=CD

2．在□ABCD中，∠A、∠B的度数之比为5∶4，则∠C等于（）

A.60°

B.80°

C.100°

D.120°

3．平行四边行的两条对角线把它分成全等三角形的对数是（）

A.2

B.4

C.6

D.8

4．平行四边形具有，而一般四边形不具有的性质是（）

A．外角和等于360° B．对角线互相平分

C．角和等于360° D．有两条对角线

5．用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形②矩形③菱形④正方形⑤等腰三角形⑥等边三角形，一定能拼成的图形是（）

A、①④⑤

B、②⑤⑥

C、①②③

D、①②⑤

6．小明和小亮在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD是菱形。小明补充的条件是AB=BC；小亮补充的条件是AC=BD，你认为下列说确的是（）

A、小明、小亮都正确

B、小明正确，小亮错误

C、小明错误，小亮正确

D、小明、小亮都错误

7．下面性质中菱形有而矩形没有的是（）

（A）邻角互补（B）角和为360°（C）对角线相等（D）对角线互相垂直

图10D

B A

8．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）

（A）四条边相等（B ）对角线互相垂直平分

（C）对角线平分一组对角（D）对角线相等

9．下列命题中，真命题是（）

A、有两边相等的平行四边形是菱形

B、有一个角是直角的四边形是直角梯形

C、四个角相等的菱形是正方形

D、两条对角线相等的四边形是矩形

10．如图10，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，那么它的四个角按一定顺序的度数比可能为（）

A、3:4:5:6

B、4:5:4:5

C、2:3:3:2

D、2:4:3:3

二.填空题

1．在中，，则度．

2．在中，两邻边的差为4cm，周长为32cm，则两邻边长分别为________．

3．在中，，则的周长为

________cm．

4．已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是______cm．

5．等腰梯形的上底是10cm，下底是14cm，高是2cm，则等腰梯形的周长为______cm．

6．对角线长为10 cm的正方形的边长是______cm，面积是______ cm2。

7．若菱形的周长为24 cm，一个角为60°，则菱形的面积为______ cm2。

8．如图，已知AD∥BC，要使四边形ABCD为平行，

四边形需要增加一个条件是：_______。

三.解答题

1．在一个平行四边形中若一个角的平分线把一条边分成长是2cm和3cm?的两条线段，求该平行四边形的周长是多少？