2018全国高考新课标2卷理科数学试题(卷)(解析版)
2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷
理科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.作答时,将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.
1+2i
1-2i
=( ) A .- 45 - 35
i
B .- 45 + 35
i
C .- 35 - 4
5
i
D .- 35 + 45
i
解析:选D
2.已知集合A={(x,y)|x 2+y 2
≤3,x ∈Z,y ∈Z },则A 中元素的个数为 ( ) A .9 B .8 C .5 D .4 解析:选A 问题为确定圆面内整点个数 3.函数f(x)= e x
-e
-x
x
2的图像大致为 ( )
解析:选B f(x)为奇函数,排除A,x>0,f(x)>0,排除D,取x=2,f(2)= e 2
-e
-2
4>1,故选B
4.已知向量a ,b 满足|a|=1,a ·b=-1,则a ·(2a-b)= ( ) A .4 B .3 C .2
D .0
解析:选B a ·(2a-b)=2a 2
-a ·b=2+1=3
5.双曲线x 2
a 2-y
2
b 2=1(a >0,b >0)的离心率为3,则其渐近线方程为( )
A .y=±2x
B .y=±3x
C .y=±
22
x D .y=±
32
x 解析:选A e= 3 c 2
=3a 2
b=2a
6.在ΔABC 中,cos C 2=5
5,BC=1,AC=5,则AB= ( )
A .4 2
B .30
C .29
D .2 5
解析:选A cosC=2cos 2C 2 -1= - 35
AB 2=AC 2+BC 2
-2AB ·BC ·cosC=32 AB=4 2
7.为计算S=1- 12 + 13 - 14 +……+ 199 - 1
100
,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入( )
A .i=i+1
B .i=i+2
C .i=i+3
D .i=i+4 解析:选B 8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( ) A .
112
B .
1
14
C .
1
15
D .
118
解析:选C 不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个,从中选2个其和为30的为7+23,11+19,13+17,共3种情形,所求概率为P=3C 102=1
15
9.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=1,AA 1=3,则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A .15 B .56 C .55 D .22
解析:选C 建立空间坐标系,利用向量夹角公式可得。
10.若f(x)=cosx-sinx 在[-a,a]是减函数,则a 的最大值是( ) A .
π4
B .π2
C .3π
4
D .π
解析:选A f(x)= 2cos(x+
π4),依据f(x)=cosx 与f(x)= 2cos(x+π4)的图象关系知a 的最大值为π4
。 11.已知f(x)是定义域为(-∞,+ ∞)的奇函数,满足f(1-x)= f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+
…+f(50)= ( )
A .-50
B .0
C .2
D .50
解析:选C 由f(1-x)= f(1+x)得f(x+2)=-f(x),所以f(x)是以4为周期的奇函数,且f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0; f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)+f(2)=2
12.已知F 1,F 2是椭圆C: x 2
a 2+y 2
b 2=1(a>b>0)的左,右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 且斜率为3
6
的直
线上,ΔP F 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P=1200
,则C 的离心率为( ) A .23
B .12
C .13
D .14
解析:选D AP 的方程为y=
3
6
(x+a),∵ΔP F 1F 2为等腰三角形 ∴|F 2P|=| F 1F 2|=2c, 过P 作PH ⊥x 轴,则∠PF 2H=600
, ∴|F 2H|=c,|PH|=3c, ∴P(2c, 3c),代入AP 方程得4c=a 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为__________. 解析:y=2x
14.若x,y 满足约束条件?
????x+2y-5≥0
x-2y+3≥0 x-5≤0 ,则z=x+y 的最大值为__________.
解析:9
15.已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=__________. 解析:- 1
2
两式平方相加可得
16.已知圆锥的顶点为S ,母线SA ,SB 所成角的余弦值为7
8,SA 与圆锥底面所成角为45°,若ΔSAB 的面积
为515,则该圆锥的侧面积为__________.
解析:设圆锥底面圆半径为r,依题SA=2r, 又SA ,SB 所成角的正弦值为
158,则12×2r 2
×158
=515 ∴r 2
=40, S=π×r ×2r=40 2
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共60分。 17.(12分)
记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,已知a 1=-7,S 3=-15. (1)求{a n }的通项公式;
(2)求S n ,并求S n 的最小值. 解:(1)设{a n }的公差为d ,由题意得3 a 1+3d=-15,由a 1=-7得d=2. 所以{a n }的通项公式为a n =2n-9.
(2)由(1)得S n =n 2-8n=(n-4)2
-16. 所以当n=4时, S n 取得最小值,最小值为?16. 18.(12分)
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y (单位:亿元)的折线图.
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,…,17)建立模型①:y ^
=-30.4+13.5t ;根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,…,7)建立模型②:y ^
=99+17.5t . (1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
解:(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
y ^
=-30.4+13.5×19=226.1 (亿元).
利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
y ^
=99+17.5×9=256.5 (亿元).
(2)利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下:
(ⅰ)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y ^
=-30.4+13.5t 上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y ^
=99+17.5t 可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.
(ⅱ)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠. 以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
19.(12分)
设抛物线C:y 2
=4x 的焦点为F ,过F 且斜率为k(k>0)的直线l 与C 交于A ,B 两点,|AB|=8. (1)求l 的方程;
(2)求过点A ,B 且与C 的准线相切的圆的方程. 解:(1)由题意得F(1,0),l 的方程为y=k(x-1)(k>0).
设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由?
????
y=k(x-1)y 2
=4x 得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2
=0.
Δ=16k 2
+16>0,故x 1+x 2=2k 2
+4
k
2.
所以|AB|= x 1+x 2+2=2k 2
+4
k
2+2=8 ,解得k=-1(舍去),k=1.
因此l 的方程为y=x-1.
(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2),所以AB 的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x 0,y 0),则?
????
y 0=-x 0+5(x 0+1)2=(y 0-x 0+1)
2
2+16解得???
??
x 0=3
y 0=2
或?????
x 0=11
y 0=-6
因此所求圆的方程为(x-3)2
+(y-2)2
=16或(x-11)2
+(y+6)2
=144.
20.(12分)
如图,在三棱锥P-ABC 中,AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,O 为AC 的中点.
(1)证明:PO ⊥平面ABC ;
(2)若点M 在棱BC 上,且二面角M-PA-C 为300
,求PC 与平面PAM 所成角的正弦值.
C
解:(1)因为AP=CP=AC=4,O 为AC 的中点,所以OP ⊥AC ,且OP=2 3. 连结OB.因为AB=BC=
2
2
AC ,所以ΔABC 为等腰直角三角形, 且OB ⊥AC ,OB=1
2
AC=2.
由OP 2
+OB 2
=PB 2
知OP ⊥OB.
由OP ⊥OB,OP ⊥AC 知OP ⊥平面ABC.
(2)如图,以O 为坐标原点,建立如图空间直角坐标系.
由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0,),P(0,0,23),AP → =(0,0,23) 取平面PAC 的法向量OB →=(2,0,0).