2020版高考数学大二轮复习4.2递推数列及数列求和的综合问题学案(理)
第2讲 递推数列及数列求和的综合问题
考点1 由递推关系式求通项公式
(1)累加法：形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，利用a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)，求其通项公式．
(2)累积法：形如
a n ＋1a n ＝f (n )≠0，利用a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n
a n －1
，求其通项公式． (3)待定系数法：形如a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先用待定系数法把原递推公式转化为a n ＋1－t ＝p (a n －t )，其中t ＝q
1－p
，再转化为等比数列求解．
(4)构造法：形如a n ＋1＝pa n ＋q n
(其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先在原递推公式两边同除以q
n ＋1
，得
a n ＋1q n ＋1＝p q ·a n q n ＋1q ，构造新数列{
b n }?
?
???其中b n ＝a n q n ，得b n ＋1＝p q ·b n ＋1q ，接下来用待定系数法求解．
[例1] 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式： (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1； (2)a 1＝1，a n ＝
n －1
n
a n －1(n ≥2)； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2.
【解析】 (1)由题意得，当n ≥2时，
a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)
＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋(n －1)(2＋n )2＝n (n ＋1)
2＋1.
又a 1＝2＝1×(1＋1)
2＋1，符合上式，
因此a n ＝
n (n ＋1)
2
＋1.
(2)∵a n ＝n －1
n
a n －1(n ≥2)， ∴a n －1＝
n －2n －1a n －2，…，a 2＝1
2
a 1. 以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1
n .
当n ＝1时，a 1＝1，上式也成立．
∴a n ＝1n
.
(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2， ∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴
a n ＋1＋1
a n ＋1
＝3， ∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，
又a 1＋1＝2， ∴a n ＋1＝2·3n －1
，
∴a n ＝2·3n －1
－1.
由数列递推式求通项公式的常用方法
『对接训练』
1．根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式： (1)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n
； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2n
a n ； (3)a 1＝1，a n ＋1＝
2a n
a n ＋2
. 解析：(1)a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1
＋2
n －2
＋…＋2＋1＝
1－2
n
1－2
＝2n
－1.
(2)∵
a n ＋1a n
＝2n
，
∴a 2a 1
＝21
，a 3a 2
＝22
，…，
a n a n －1
＝2n －1
， 将这n －1个等式叠乘，
得a n a 1
＝2
1＋2＋…＋(n －1)
＝2
+12
n n ()，
∴a n ＝2
-12
n n ().
(3)∵a n ＋1＝2a n
a n ＋2， 取倒数得：1a n ＋1
＝
a n ＋22a n ＝1a n ＋1
2
， ∴
1
a n ＋1－1a n ＝12
， ∵a 1＝1，∴1
a 1
＝1，
∴????
??1a n 是以1为首项，1
2为公差的等差数列，
∴1a n ＝1＋(n －1)·12＝n ＋1
2， ∴a n ＝2
n ＋1
.
考点2 错位相减法求和
错位相减法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列．
[例2] [2019·天津卷]设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，公比大于0.已知a 1＝b 1＝3，
b 2＝a 3，b 3＝4a 2＋3.
(1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)设数列{c n }满足c n ＝????
?
1，n 为奇数，b n
2
，n 为偶数.求a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n (n ∈N *
)．
【解析】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .
依题意，得?
????
3q ＝3＋2d ，
3q 2
＝15＋4d ，解得?
??
??
d ＝3，
q ＝3，或?
??
??
d ＝－3，
q ＝－1，(舍)
故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3×3
n －1
＝3n
.
所以{a n }的通项公式为a n ＝3n ，{b n }的通项公式为b n ＝3n
. (2)a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n
＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＋(a 2b 1＋a 4b 2＋a 6b 3＋…＋a 2n b n ) ＝?
???
??n ×3＋
n (n －1)
2
×6＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n ×3n )
＝3n 2
＋6(1×31
＋2×32＋…＋n ×3n
)． 记T n ＝1×31
＋2×32
＋…＋n ×3n
，① 则3T n ＝1×32
＋2×33
＋…＋n ×3
n ＋1
，②
②－①得，2T n ＝－3－32
－33
－ (3)
＋n ×3n ＋1
＝－3(1－3n
)1－3＋n ×3n ＋1
＝
(2n －1)3n ＋1
＋3
2
.
所以a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n ＝3n 2
＋6T n ＝3n 2
＋3×
(2n －1)3
n ＋1
＋3
2
＝
(2n －1)3
n ＋2
＋6n 2
＋9
2
(n ∈N *
).
所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后得到部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数．为保证结果正确，可对得到的和取n ＝1,2进行验证.
『对接训练』
2．[2019·山东青岛一模]已知公比为q 的等比数列{a n }满足2a 1＋a 3＝3a 2，且a 3＋2是a 2，
a 4的等差中项．
(1)求q 的值；
(2)若b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解析：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，
依题意，有???
??
2a 1＋a 3＝3a 2，a 2＋a 4＝2(a 3＋2)，
即?????
a 1(2＋q 2
)＝3a 1q ①，
a 1(q ＋q 3)＝2a 1q 2
＋4 ②，
由①得q 2－3q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝1. 代入②知q ＝1不成立，故舍去，所以q ＝2. (2)由(1)知a 1＝2，所以a n ＝2n
，
b n ＝a n log 2a n ＝2n log 22n ＝n ·2n ，
所以S n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n
，
所以2S n ＝22
＋2×23
＋3×24
＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1
，
两式相减得－S n ＝2＋22
＋…＋2n －n ·2n ＋1
＝(1－n )2
n ＋1
－2，
所以S n ＝(n －1)2n ＋1
＋2.
考点3 裂项相消法求和
裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于??
??
??1a n a n ＋1或????
??
1a n a n ＋2(其中{a n }为等差数列)等形式的数列求和．
[例3] [2019·湖南省湘东六校联考]已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝S n －1＋1(n ≥2，n ∈N *
)，且a 1＝1.
(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)记b n ＝
1a n ·a n ＋1，T n 为{b n }的前n 项和，求使T n ≥2
n
成立的n 的最小值．
【解析】 (1)由已知有S n －S n －1＝1(n ≥2，n ∈N *
)，∴数列{S n }为等差数列，又S 1＝
a 1＝1，∴S n ＝n ，即S n ＝n 2.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2
－(n －1)2
＝2n －1. 又a 1＝1也满足上式，∴a n ＝2n －1.
(2)由(1)知，b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12? ??
??1
2n －1－12n ＋1，
∴T n ＝12? ????1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12? ????1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 由T n ≥2n
得n 2≥4n ＋2，即(n －2)2
≥6，∴n ≥5，
∴n 的最小值为5.
利用裂项相消法求和的注意事项
(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项； (2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{a n }是等差数列，则
1
a n a n ＋1＝1d ? ????1a n －1a n ＋1，1a n a n ＋2＝12d ? ????1
a n －1a n ＋2.
『对接训练』
3．[2019·安徽池州期末]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ＝23S n ＋13(n ∈N *
)．
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝
1
log 3a n ＋1＋log 3a n ＋2
，求数列{b n }的前n 项和T n .
解析：(1)由a n ＝23S n ＋13，可得S n ＝32a n －1
2，
当n ≥2时，S n －1＝32a n －1－1
2
，则
a n ＝S n －S n －1＝? ????3
2a n －12－? ????32a n －1－12＝32a n －32a n －1，整理得a n ＝3a n －1(n ≥2)，而a 1＝S 1＝32a 1
－1
2
，即a 1＝1， 所以数列{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，则a n ＝1×3n －1
＝3
n －1
.故数列{a n }的通项
公式为a n ＝3
n －1
.
(2)由(1)得b n ＝1
log 3a n ＋1＋log 3a n ＋2
＝
1
log 33n －1＋1＋log 33n －1
＋2＝1
n ＋n ＋1
＝n ＋1－n ，
所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(n ＋1－n )＝
n ＋1－1.
考点4 分组转化求和
分组求和法
一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分即能分别求和，然后再合并．
[例4] [2019·天津南开附中期中]已知数列{a n }是等比数列，满足a 1＝3，a 4＝24，数列{b n }是等差数列，满足b 2＝4，b 4＝a 3.
(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式． (2)设c n ＝a n －b n ，求数列{c n }的前n 项和． 【解析】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，
由题意，得q 3
＝a 4a 1＝243
＝8，解得q ＝2，
∴{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1
＝3×2
n －1
，
∴a 3＝12.
设等差数列{b n }的公差为d ， ∵b 2＝4，b 4＝a 3＝12，b 4＝b 2＋2d ， ∴12＝4＋2d ，解得d ＝4.
∴b n ＝b 2＋(n －2)d ＝4＋(n －2)×4＝4n －4. 故{b n }的通项公式为b n ＝4n －4. (2)由(1)知a n ＝3×2n －1
，b n ＝4n －4，
∴c n ＝a n －b n ＝3×2
n －1
－(4n －4)．
从而数列{c n }的前n 项和S n ＝3×20
＋3×21
＋…＋3×2
n －1
－[0＋4＋8＋…＋(4n －4)]＝
3×1－2n
1－2－n (4n －4)2
＝3×2n －3－n (2n －2)＝3×2n －2n 2＋2n －3.
1．若一个数列由若干个等差数列或等比数列组成，则求和时可用分组转化法分别求和再相加减．
形如a n ＝(－1)n
f (n )类型，可采用相邻两项并项(分组)后，再分组求和． 2．分组求和中的分组策略 (1)根据等差、等比数列分组； (2)根据正号、负号分组.
『对接训练』
4．[2016·高考全国卷Ⅱ]S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.
(1)求b 1，b 11，b 101；
(2)求数列{b n }的前1 000项和． 解析：(1)设{a n }的公差为d ， 据已知有7＋21d ＝28，解得d ＝1. 所以{a n }的通项公式为a n ＝n .
b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2.
(2)因为b n
＝?????
0，1≤n <10，
1，10≤n <100，
2，100≤n <1 000，
3，n ＝1 000，
所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.
课时作业10 递推数列及数列求和的综合问题
1．[2019·湖北华中师大一附中期中]已知数列{a n }满足a 1＝2，n (a n ＋1－n －1)＝(n ＋1)(a n
＋n )(n ∈N *
)．
(1)求证：数列??????
a n n 是等差数列，并求其通项公式；
(2)设b n ＝2a n －15，求数列{b n }的前n 项和S n .
解析：(1)证明：∵n (a n ＋1－n －1)＝(n ＋1)(a n ＋n )(n ∈N *
)， ∴na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n (n ＋1)，∴
a n ＋1n ＋1－a n
n
＝2， ∴数列????
??a n n 是等差数列，其公差为2，首项为2， ∴a n n
＝2＋2(n －1)＝2n .
(2)由(1)知a n ＝2n 2
，∴b n ＝2a n －15＝2n －15， 则数列{b n }的前n 项和S n ＝
n (－13＋2n －15)
2
＝n 2
－14n .
2．[2019·重庆市七校联合考试]已知等差数列{a n }的公差为d ，且关于x 的不等式a 1x 2
－dx －3<0的解集为(－1,3)．
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝2
a n ＋1
2
＋a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .
解析：(1)由题意知，方程a 1x 2
－dx －3＝0的两个根分别为－1和3.
则?????
d a 1
＝2－3
a 1
＝－3
，解得???
??
d ＝2
a 1＝1
.
故数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (2)由(1)知a n ＝2n －1，所以b n ＝2
a n ＋1
2
＋a n ＝2n
＋(2n －1)，
所以S n ＝(2＋22
＋23
＋ (2)
)＋(1＋3＋5＋…＋2n －1)＝2n ＋1
＋n 2
－2.
3．[2019·江西七校第一次联考]设数列{a n }满足：a 1＝1,3a 2－a 1＝1，且2a n ＝
a n －1＋a n ＋1
a n －1a n ＋1
(n ≥2)．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，且b 1＝1
2，4b n ＝a n －1a n (n ≥2)，求T n .
解析：(1)∵2a n ＝a n －1＋a n ＋1a n －1a n ＋1(n ≥2)，∴2a n ＝1a n －1＋1
a n ＋1
(n ≥2)．
又a 1＝1,3a 2－a 1＝1， ∴1a 1＝1，1a 2＝32， ∴1a 2－1a 1＝12
， ∴????
??1a n 是首项为1，公差为1
2的等差数列．
∴1a n ＝1＋12(n －1)＝1
2(n ＋1)， 即a n ＝
2
n ＋1
. (2)∵4b n ＝a n －1a n (n ≥2)， ∴b n ＝
1n (n ＋1)＝1n －1
n ＋1
(n ≥2)，
∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12＋? ????12－13＋…＋? ??
??1
n －1n ＋1＝1－1n ＋1 4．[2019·昆明市诊断测试]已知数列{a n }是等比数列，公比q <1，前n 项和为S n ，若a 2
＝2，S 3＝7.
(1)求{a n }的通项公式；