北京林业大学复变函数与积分变换结课论文

复变函数与积分变换

结课论文

题目：拉普拉斯变换及其在解微分方程（组）中的应用指导老师：

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拉普拉斯变换及其在解微分方程（组）中的应用

摘要

拉普拉斯变换是一种用来解线性微分方程的较简单的工具。它在电学、力学、控制论等很多工程技术与科学领域有着广泛的应用，由于它对像原函数f(t)要求的条件比傅氏变换要弱，故研究拉氏变换有极重要的意义。本文将简单介绍拉普拉斯变换的定义以及其性质，并对其在解微分方程（组）中的应用做了简单的归纳总结。

关键词：拉普拉斯变换，性质，微分方程

一、拉普拉斯变换的概念及其性质

1.1问题的提出

我们知道，一个函数当它除了满足狄氏条件外，还在（—∞，+∞）内满足绝对可积的条件时，就一定存在古典意义下的傅里叶变换。但绝对可积的条件是比较强的，许多函数（如单位阶跃函数、正弦、余弦函数等）都不满足这个条件；其次，可以进行傅里叶变换的函数必须在整个是数轴上有定义，但在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t 作为自变量的函数往往在t<0时是无意义的或者不用考虑的，想这些函数都不能取傅里叶变换。

虽然在引入δ函数后，傅里叶变换的适用范围被拓宽了许多，使得“缓增”函数也能进行傅氏变换，但仍然无法解决以指数级增长的函数。[1]

对于任意一个函数φ（t ），若用单位阶跃函数u （t ）乘φ（t ），则可以使积分区间由（—∞，+∞）换成[0，+∞），用指数衰减函数t

β-e

（β>0）乘φ（t ）就有可能使其变得绝对可积，因

此只要β选的恰当，一般来说，任意函数φ（t ）的傅氏变换是存在的，这样就产生了拉普拉斯变换。

1.2拉普拉斯变换的定义

当函数)(t f 满足条件：（1）当t<0时，)(t f =0；（2）当0≥t 时，函数)(t f 连续；（3）当∞→t 时，)(

t f 的增长速度不超过某个指数函数，即存在常数M 及α，使得t

Me t f α≤|)(|，则含参数s 的无穷积分 收敛。（s=β+jω）[2] 我们称F(s)为f(t)的拉普拉斯变换（或称为像函数），记为F(s)= )](

[t f L 。 相反的，从F(s)到f(t)的对应关系称为拉普拉斯逆变换（或称为像原函数）。即

)]([)(1s F L t f -=.

1.3拉普拉斯变换的性质

1、线性性质[3]

设α、β为常数，且)()]([),()](

[s G t g L s F t f L ==，则有 0

()()st

F s f t

e dt +∞

-=?

()12(1)[()]()(0)(0)(0).

n n n n n L f t s F s s f s f f ---'=---- ).

()()]()([),()()]()([1

-t g t f s G s F L s G s F t g t f L βαβαβαβα±=±±=±

2、相似性质[4]

设),()](

[s F t f L =则对任一常数a>0有 ),(1

)]([a

s

F a at f L =

3、微分性质

①导数的像函数

设),()]([s F t f L =则有 ),0()()]([‘

f s sF t f L -=

一般地，有 其中，)0()

(k f

应理解为)()(0lim t f k t +

→.

特殊地，有 ).0(')0()()](''[2f sf s F s t f L --=

②像函数的导数

设),()](

[s F t f L =则有 )],([-)('t tf L s F = 一般地，有

)].([-1)()((n))（t f t L s F n n =

4、积分性质[5]

①积分的像函数

设),()](

[s F t f L =则有 ),(1

])([0

s F s

t f L t

=?

一般地，有 ).(1

])([次

s F s

dt t f dt dt L n

n t

t t =

???

1212()()()().

f t f t f f t d τττ+∞

-∞

*=-?

②像函数的积分

设),()]([s F t f L =则有 ],)

([

)(t

t f L ds s F s

=?

∞

一般地，有 ].)

([

)(次

n n s s s t

t f L ds s F ds ds =?

??

∞

∞

∞

5、延迟性质

设),()](

[s F t f L =当t<0时,0)(=t f 则对任一非负实数τ有 ).()]-([s F e t f L s ττ-=

6、位移性质

设),()](

[s F t f L =则有 )()]([a s F t f e L at

-= (a 为一复常数).

7、周期函数的像函数[6]

设)(t f 是),

0[+∞内以T 为周期的函数，且)(t f 在一个周期内逐段光滑，则 .)(11)]([0

?---=

T

st

sT

dt e t f e t f L 8、卷积与卷积定理[7]

①卷积

我们已知两个函数的卷积是指

如果，则有0)()(时，0满足当)(与)(2121==

.

)()()()()()(2

1

20

12-1τττττττττd t

f f d t f f d t f f t

-=

-=

-??

?

+∞

+∞

∞

即，

.）0（,)()()(*)(0

2

1

21≥-=

?t d t

f f t f t f t

τττ

②卷积定理 设则有),()]([),()]([2211s F t f L s F t f L ==

).(*)()](*

)([2121s F s F t f t f L =

二、利用拉普拉斯变换求解微分方程（组）

利用拉普拉斯变换求解微分方程大致分为三个步骤：

（1）对关于y 的微分方程（连同初始条件在一起）进行拉氏变换，得到一个关于像函数

Y(s)上午代数方程，称为代数方程； （2）解像函数方程，得像函数Y(s)；

（3）对像函数Y(s)作拉普拉斯逆变换，得微分方程的解。

2.1解常系数线性微分方程[8]

（1）初值问题

例：求解初值问题.1)0()0(,34'

'

'

'===++-y y e y y y t

。 解：设)],([)(t y L s Y =对方程两边同时取拉普拉斯变换，有

,1

1

)(3)]0()([4)]0()0()(['2+=

+-+--s s Y y s sY y sy s Y s 结合初始条件，有

,1

1)(3]1)([4]1)([2+=

+-+--s s Y s sY s s Y s 整理展开成部分分式，有

,31

43)

1(1211147)3()1(66)(2

22+?-+?++?=++++=s s s s s s s s Y 由拉普拉斯变换函数表,]1[

1

t e s L λλ=--可知,]11[1t e s L -=+-.]31

[31t e s L -=+- 由拉普拉斯变换函数表,]![11n n t s

n L =+-并结合位移定理),()]([λλ+=-s F t f e L t

可知,])

1(1

[

2

1

t te s L -=+- 对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为

].3)27[(4

1

432147)]([)(331t t t t t e e t e te e s Y L t y -------+=-+=

= （2）边值问题

例：求解边值问题.1)2(,0)0(,0'

''===-πy y y y 解：设)],([)(t y L s Y =对方程两边同时取拉普拉斯变换，有

,0)()]0()0()(['2=---s Y y sy s Y s

结合初始条件，有

,0)()]0()(['2=--s Y y s Y s

整理展开成部分分式，有

),11

11(21)0(1

)0()('2'+--=-=s s y s y s Y

由拉普拉斯变换函数表,]1[

1

t e s L λλ=--可知,]11[1t e s L =--.]1

1

[1t e s L -=+- 对方程两边同时求反演，整理可得方程的解为

.sinh )0())(0(2

1)]([)(''

1t y e e y s Y L t y t t =-=

=-- 为了确定)0('

y ，将条件1)2(=πy 代入上式可得,2sinh 1

)0('π

=y

所以，方程的解为

.2sinh sinh )(π

t

t y =

2.2解常系数线性微分方程组

例：求解常微分方程组

.1)0()0(,

223,

'

'==???=-+=-+y x e y x y e y x x t

t 解：设)],([)(t y L s Y =对方程组的两个方程两边分别取拉普拉斯变换，有

???

???

?

-=-+--=-+-.12)(2)(3)0()(,1

1)()()0()(s s Y s X y s sY s s Y s X x s sX 结合初始条件，整理可得

???

???

?

-+=-+-=-+.

11)()2()(3,1

)()()1(s s s Y s s X s s s Y s X s 解该方程组，可得

,1

1

)(-=

s s X 取其逆变换，可得原方程组的解

?????==.

)(,

)(t

t

e t y e t x 2.3解某些变系数微分方程[9]

例：求解变系数微分方程

.(,)0(,1)0(,0200''''为常数）c c y y ty y ty ===++

解：设)],([)(t y L s Y =对方程两边同时取拉普拉斯变换，有

,0][][2]['''=++ty L y L ty L

即,0][4][][''

'=++ty L y L ty L

亦即,0)()]0()([2)]0()0()(['2=--+---

s Y ds

d

y s sY y sy s Y s ds d 两边积分可得

,0)()]0()([2)]0()()(2[2

=--++--s Y ds

d

y s sY y s Y ds d s s sY 结合初始条件，有

,0)(]1)([2]1)()(2[2

=--++--s Y ds d

s sY s Y ds d s s sY 整理可得,11

)s (2+-=s Y ds d

两边积分可得,arctan )(c s s Y +-=

欲求待定系数c,可利用0)(lim =∞

→s Y s ，所以从2

π

=

c ，即

s

s s Y 1arctan arctan 2)(=-=

π

， 由拉普拉斯变换函数表,sin 1][arctan 1at t s a L =-可知.sin 1][arctan 1

t t s L =-

对方程两边同时求反演，可得方程的解为

.sin 1

)]([)(1t t

s Y L t y ==-

2.4解某些微分积分方程[10]

例：解方程.)cos()(2-sin )(

?-=t

d t y t t y τττ

解：将方程两边取拉氏变换，并根据卷积定理得像函数方程为

1

)(211)(2

2+-+=

s s

s Y s s Y 1

1)()121（2

2+=++

s s Y s s 解像函数，可得

2

)

1(1

)(+=

s s Y 取拉氏逆变换，可知

t te t y -=)(.

三、总结：

由于阅读文献和研究能力有限，这里只简单总结出了常微分方程（组）的一般解题规律。但实际问题中往往会遇到更加复杂的问题，如偏微分方程、二阶微分方程、非线性微分方程等，而此时我们需要结合上述总结的方法充分利用拉氏变换的优越性来解题。

通过对拉普拉斯变换概念的理解和性质的掌握，使我们能更好的的运用拉普拉斯变换来解决实际问题。通过列举拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用，可以看出拉普拉斯变换是一种特别成功的数学方法，较之于一般的解微分方程的方法，它更加的方便，有适应面广、计算量小、准确度高、简单易行的特点。而且它的步骤比较明确、规律性比较强、思路清晰且容易掌握。合理使用拉普拉斯变换，可以巧妙地推出一些复杂问题的答案。

参考文献

[1]:张元林.工程数学.积分变换[M].北京：高等教育出版社，2003.12.

[2]:李红，谢松法.复变函数与积分变换[M].北京：高等教育出版社，2008.6.

[3]: 王国英.工程数学（二）.北京：清华大学出版社，2009.9.

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[5]: 王振芳.拉普拉斯变换及其应用[J.]雁北师范学院学报,2001(06):48-49.

[6]:勾丽杰.Laplace变换在求解微分方程中的应用[J] .辽宁师专学.报,2010(01):7-8.

[7]: 李红，谢松法.复变函数与积分变换[M].北京：高等教育出版社，2008.6.

[8]:刘林平.常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法[J].内蒙古工业大学学报,2006(04):157-159.

[9]:张元林.工程数学积分变换[M].北京:高等教育出版社,2003.

[10]:尹水仿，李寿贵.工程数学·复变函数与积分变换.北京：科技出版社.2009.