初等数学研究(程晓亮、刘影)版课后习题答案教程文件
初等数学研究(程晓亮、刘影)版课后习题答案 第一章 数
1添加元素法和构造法,自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0到扩大的自然数集,再添加负数到整数集;实数扩充到复数可以看成是在实数的基础上构造虚数单位i 满足12-=i ,和有序实数对),(b a 一起组成一个复数
bi a +. 2(略)
3从数的起源至今,总共经历了五次扩充:
为了保证在自然数集中除法的封闭性,像b ax =的方程有解,这样,正分数就应运而生了,这是数的概念的第一次扩展,数就扩展为正有理数集.
公元六世纪,印度数学家开始用符号“0”表示零.这是数的概念的第二次扩充,自然数、零和正分数合在一起组成算术数集.
为了表示具有相反意义的量,引入了负数.并且直到17世纪才对负数有一个完整的认识,这是数的概念的第三次扩充,此时,数的概念就扩展为有理数集.
直到19世纪下半叶,才由皮亚诺、戴德金、维尔斯特拉斯等数学家的努力下构建了严格的实数理论.这是数的概念的第四次扩充,形成了实数集.
虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进,并在进一步的发展中加以运用.这是数学概念的第五次扩充,引进虚数,形成复数集.
4证明:设集合D C B A ,,,两两没有公共元素d c b a ,,,分别是非空有限集D C B A ,,,的基数,根据定义,若b a >,则存在非空有限集'A ,使得B A A ~'?;若d c ≥从而必存在非空有限集'C ,使得D C C ~'?,所以)(C A ?)(D B ??所以集合
C A ?的基数c a +大于集合
D B ?的基数d b +,所以d b c a +>+.
5(1)解:按照自然数序数理论加法定义, 15
55555155155)25(2535''=++=++?=+?=+?=?=? (2)解:按照自然数序数理论乘法定义
8
7)6(])15[()15()25(2535'''''''''===+=+=+=+=+ 6证明:?1当2=n 时,命题成立.(反证法)
()()()()()()()0
1121,
1111
1
11,1
11101111111,,2,1,0111,,2,1,0)2(2121221212
12
12
1
2
1212
2
22
12
12
122
111
112
111212
222121≥++-+?
≥++-++≥
+-+-≥
++++∴≥???? ??-++???? ??-+???? ??->-=-++-+-=+++++=>+=≥+++=+++=>≥=?+++++++++++++++++k k k k k k k k k k k k k k k i k k k k k k i k k i a k a k k a k k a k k a k
a a k
a a a a a k a a a a a a a a a a a a a a a a a a k i a k n k
a a a a a a k i a k k n ,即要证由归纳假设,得,且得,,且时,由当。
。,且成立,即时假设ΛΛΛΛΛΛΛΛ7证明:?1当8=n 时,命题成立.(538+=)
?2设),7(N k k k n ∈>=时命题成立.
k 角邮资可能是:
(1)完全用3角的邮票来支付;(2)至少用一张5角的邮票来支付.
在(1)下,3角的邮票至少有3张.把它们换成两张5角的邮票便可支付1+k 角的邮票.
在(2)下,把一张5角的邮票换成两张3角的邮票便可以支付1+k 角的邮票.
综合?1、?2,命题对于不小于8的所有自然数成立. 8证明:(1)()()()32164,2133,12++==+===f f f
(2)()()()12
1
121-=
-+++=n n n n f Λ ?1当4,3,2=n 时,命题成立.
?2假设),7(N k k k n ∈>=时命题成立,即()()12
1
-=
k k k f .那么1+=k n 时,原k 条直线有)1(2
1
-k k 个交点.由条件知,第1+k 条直线与原k 条直线各有一个交点,
且互不相同.故新增k 个交点,所以()()()()[]1112
1
1-++=+=+k k k k f k f .
综合?1、?2,命题对于不小于2的所有自然数成立. 9举例:正整数集N 上定义的整除关系“|”满足半序关系.
证明:(1)(自反性)任意的正整数x ,总有x x |; (2)(反对称性)如果x y y x |,|,那么y x =;
(3)(传递性)如果z y y x |,|,那么z x |. 通常意义的小于等于也构成半序关系,同理可证.
10证明:设N M ?,且 ①M ∈1
②若M a ∈,则M a ∈'.
若N M ≠.
令A 是所有不属于M 的自然数组成的集合,则A 是N 的非空子集,按照最小数原理,A 中有最小数,设为b .由①知1≠b ,于是存在自然数c ,使b c =',这样就有b c <,所以M c ∈,但根据②有M c ∈',这与M b ?矛盾.所以N M =. 11证明:(1)根据自然数减法定义有,c d c d b a b a =-+-+=)(),(,两式相加得:c b a b d c d a +-+=-++)()(,于是)()()()(b a c b d c d a -++=-++, 若d c b a -=-,则c b d a +=+ 若c b d a +=+,则d c b a -=-
(2))()()(d b d c b a ++-+-c a d c d b a b +=-++-+=)()( (3)先证bc ac c b a -=-)(
事实上,由ac c b a b c b a bc =-+=-+)]([)( 可知要证明的自然数乘法对减法的分配律成立.
由此,为了证明(3),只要证明)()()()(bc ad bd ac d c b d c a +-+=---, 根据(1)上式就是)()()()(bd ac d c b bc ad d c a ++-=++- 于是只要证明ac bc bc ac +=+
显然,这个等式是成立的,所以(3)成立.
12证明:(1)根据自然数除法定义有c d
c
d b a b a =??=,,两式相乘,得
b
a bc d c ad ?=?,所以有:若bc ad =,则d c
b a =;若d c
b a =,则b
c a
d =
(2)bc ad d c
d b b a b d d c b a bd +=?+?=+)()()(,根据除法定义,(2)成立.
(3)ac d c
d b a b d c b a bd =??=?))(()(,根据除法定义,(3)成立.
13证明:'''''''')()(n m m n m n n m +=+=+=+.
14证明:设N b a ∈?,,下,下面证明b a b a b a <>=,,三种关系有且仅有一个成立.
(1)先证明三个关系中至多有一个成立.
假若它们中至少有两个成立,若令b a b a >=,同时成立,则存在*N k ∈,使得:k a k b a +=+=
于是a a >,与a a =矛盾.
同理可证,任意两种关系均不能同时成立. (2)再证明三中关系中至少有一个成立.
取定a ,设M 是使三个关系中至少有一个成立的所有b 的集合,当1=b 时,若1=a ,则b a =成立;若1≠a ,则存在*N k ∈,使得k b k k a +=+==1',这时b a >成立.因此M ∈1.
假若M b ∈,即三个关系中至少有一个成立.
当b a <时,存在*N m ∈,使得m a b +=,则''')(m a m a b +=+=,即'
b a <成立.
当b a >时,存在*N k ∈,使得k b a +=,若1=k ,就有'1b b a =+=; 若1≠k ,就有*N l ∈,且'l k =,使得l b l b l b a +=++=+=''1,即'b a >成立.
综上,M b ∈',从而*N M =. 15证明:nby nax by ax n n +=+=)(,
bny ab bn ab n a |,|,|∴∴Θ,anx ab an ab n b |,|,|∴∴Θ
n nby nax ab =+∴|
16证明:因为))(()(c a d b bc ad cd ab --=+-+,
且cd ab c a +-|,))((|c a d b c a ---,所以))((|c a d b cd ab c a ---+-,即
bc ad c a +-|
17证明:因为)1)(1(121++++-=---p p p p p p p p Λ,而有限个奇数的乘积仍是奇数,奇数个奇数的和也是奇数,因而121++++--p p p p p Λ是奇数, 于是Z s s p p p ∈+-=-),12)(1(1,同理有Z t t q q q ∈++=+),12)(1(1,
两式相加:)1)(()1)(1(2+++=++-=+t s q p t s p q p q p ,所以)(|q p q p q p ++.
18解:因为3153=+q p ,所以p 3和q 5必为一奇一偶. 若p 3为偶数,可验证质数5,2==q p ,则13log 2
+q p 1532log 2
+?=81
log 2=3-= 若q 5为偶数,可验证质数2,7==q p ,则13log 2
+q p 1
237
log 2+?=0= 所以031
3log 2
或-=+q p
. 19证明:根据减法是加法的逆运算知,设b a ,是有理数,b a -是这样一个数,它与b 的和等于a .即a b b a =+-)(.但是,我们有 ])[()]([b b a b b a +-+=+-+(加法结合律)
a a =+=0
因此,)(b a -+这个确定的有理数,它与b 的和等于a , )(b a b a -+=-∴
又如果差为x ,则有a b x =+,于是,两边同加)(b -有: )()(b a b b x -+=-++ )()]([b a b b x -+=-++ )(b a x -+=
即差只能是)(b a -+,定理得证. 20证明:做差,0332>-=-+a b a b a ,03
)
(232<-=-+b a b b a . 所以有b b
a a <+<
3
2 21证明:首先证明y x ≤当且仅当y x y ≤≤-.
事实上,若y x ≤,当0≥x 时,y x x ≤=且y x -≥,即y x y ≤≤-;当0 0≥x 时,y x x ≤=;当0 下面来证明:b a b a b a +≤+≤-. 事实上,对于b a ,显然有: a a a ≤≤- b b b ≤≤- 故有b a b a b a +≤+≤+-)(. 由上面的讨论知,b a b a +≤+. 另一方面,b b a b b a b b a a ++=-++≤-+=. 故b a b a b a +≤+≤-. 22证明:(反证法)设,q p e = 其中q p ,是正整数,不妨假定q p ,互素, 取自然数q n >,用!n 乘下列级数表达式两边: ΛΛ++++=! 31 !21!111e ,得: ΛΛΛ++++++ ++-++=) 2)(1(11113)1(!!!n n n n n n n e n 令13)1(!!++-++=ΛΛn n n n a n , Λ+++++= ) 2)(1(111n n n b n 于是n n b a e n +=!,则e n !应为正整数, n a e n -!应为整数. 但是 )) 3)(2(1211(110Λ++++++= 2)1(2))2(1211(1122+<++=+++++≤ n n n n n n Λ 因为1>n ,故10< 23证明:假设1,1),(,≠== q q p q p a n 两边n 次方得n n q p a =, 但是,1),(=q p 所以1,1),(≠=n n n q q p ,所以a 不是整数,这与已知条件矛盾, 所以n a 是无理数. 24证明:假设N q Z p q p b a ∈∈= ,,log , 所以q p b a =,因为1),(=b a ,所以1),(=q p b a 但是当0≤p 时,上式明显不成立;当0>p 时,上式与1),(=q p b a 矛盾.所以, b a log 不是有理数,又可以证明b a log 是实数,所以b a log 是无理数. 25证明:假设方程有有理数根1,1),(,>== q q p q p x ,将q p x =其代入方程,可得: )(12211---+++-=n n n n n q a q p a p a q p Λ,由此可知q 的任何素数因子r 必可整除 n p ,因此r 必可整除p ,从而知r 为p 与q 的公因子,但是1),(=q p ,所以1=r , 所以1=q ,这与1>q 矛盾.所以整系数代数方程011=+++-n n n a x a x Λ的任何非整实根均为无理数. 26按照字典排序法,先比较实部,再比较虚部. 27证明:将三次本原单位根ω=x 或2ω分别代入)(x f : 1)(2313++=++n m f ωωω012=++=ωω 1)()()(2321322++=++n m f ωωω012=++=ωω 因此,)(x f 含有因式)(),(2ωω--x x ,而)()(2ωω-?-x x 012=++=x x 所以)(|)1(2x f x x ++ 28证明(反证法):若π与3.8的和是有理数a ,即a =+8.3π,则π=-8.3a . 因为全体有理数称为一个域,对减法运算封闭,所以差8.3-a 仍是有理数,与π是无理数矛盾,所以π与3.8的和是无理数. 29两个无理数的商可能是有理数.例如:2是无理数,易证22也是无理数, Z ∈=22 22 30不能,因为无理数对四则运算不封闭.例如022=-. 31解:由于xyi y x y x y x xyi y x yi x z )(44)()2()(222222222244-+--=+-=+= 所以4z 是纯虚数的条件是04)(22222=--y x y x ,0)(422≠-xy y x 即0,)21(≠±±=y y x 32证明:设1C 是C 的任一子域,R C ?1,且在1C 中方程12-=z 有解j z =. 按照题意,要证明C C =1.因为C C ?1,所以只需要证明C C ?1. 由1C j ∈,C C ?1,知C j ∈,依C 的四则运算律,有 0))((22=--+=+-j ij ji i j i j i 于是,j i =或j i -=.任取C ∈ω,由),(,R y x yi x ∈+=ω, 知yj x +=ω或yj x -=ω 又由于1,,C j y x ∈,而1C 是域,于是1C ∈ω,因此C C ?1. 第二章习题及答案 1.设0,x > 证明 ln(1).1x x x x <+<+ 证明 取()ln(1).f x x =+ 在(0,)x 上有导数1 ().1f x x '= +利用微分中值定理()(0)ln(1)ln(10)1 (),0.001f x f x f x x x ξξξ -+-+'= ==<<--+ 即ln(1).1x x ξ+= + 又因11ln(1)1,11x x ξ+=<<++ 因此有ln(1).1x x x x <+<+ 2.若,,x y z 均为实数, 且2 2 2 2 1(0),.2 x y z a a x y z a ++=>++= 求证: 2220,0,0.333 x a y a z a ≤≤ ≤≤≤≤ 证明 由22221()2x y a x y a ++--=有22 21()()0.4x y a x y ay a +-+-+= 其判别 式22 21()4()04 y a y ay a ?=---+≥(因x R ∈). 从而, 2320y ay -≤即20.3y a ≤≤ 同理可证22 0,0.33x a z a ≤≤≤≤ 3.设,,a b c 表示一个三角形三边的长, 求证: 222()()()3.a b c a b c a b c a b c abc +-++-++-≤ 证明不失一般性, 设,a b c ≥≥ 令,,a c m b c n =+=+ 则0.m n ≥≥ 有 2223()()() abc a b c a b c a b c a b c -+--+--+-()()()()()() a a b a c b b c b a c c a c b =--+--+--()()()()c m m n m c n n n m cmn =+-++-+22()[()()]0.m n c m n m n cmn =--+-+≥ ∴222()()()3.a b c a b c a b c a b c abc +-++-++-≤ 4.设,,x y R ∈ 且2 2 1.x y +≤求证 : 222x xy y +-≤ 证明 设2 2 2,x y λ+= 则由题设可知, 1,λ≤ 并可设cos ,sin .x x λθλθ==于是 222x xy y +-222(cos 2cos sin sin ) λθθθθ=+ -2(cos 2sin 2)).4 π λθθλθ=+=+ ∴222x xy y +-≤ 5.已知1,1,a b << 求证 1.1a b ab +<+ 证明 欲证 11a b ab +<+成立, 只需2 ()11a b ab +<+, 即证22()(1)a b ab +<+. 则只需2 2 (1)()0,ab a b +-+> 也就是22 2 2 10,a b a b +--> 即证 22(1)(1)0.a b --> 而1,1,a b << 所以22(1)(1)0a b -->成立. 命题得证. 6.若 1 1(0),n i i i a a ==>∑ 求1 11 ()().n n i i i a n a n =+ ≥+∏ 证明 2112221111 1111...n a a a n a n a n a + =++++144424443 项 22(1)n n ≥+ 2222222222221111...(1)n n a a n a n a n a n a + =++++≥+14444244443 项 …… …… 2222221111...(1)n n n n n n n n a a n a n a n a n a + =++++≥+14444244443 项 以上诸式, 当且仅当1 (1,2,...,)i a i n n = =是等号成立. 诸式两端相乘得21212111()()...()(1)n n n n n a a a n a a a + ++≥+ 由已知11n i i a ==∑ 2311211,( )....n n n n n n a a a --≤≥ 21212111()()...()(1)n n n n n a a a n a a a +++≥+ 即111()().n n i i i a n a n =+≥+∏ 等号当且仅当121 ...n a a a n ==== 时成立. 7.证明: 函数8 5 2 ()10.f x x x x x =-+-+> 证明 (1) 当(,0)x ∈-∞时, 显然()0;f x > (2) 当(0,1)x ∈时, 823 ()(1)(1)0;f x x x x x =+-+-> (3) [1,)x ∈+∞时, 53 ()(1)(1)10.f x x x x x =-+-+> 综合(1), (2), (3)可知, 可知()f x 恒正. 8.证明 若1(1,2,...,),i a i n ≥=则1 12122(...1)(1)(1)...(1).n n n a a a a a a -+≥+++ 证明 用数学归纳法证明如下: 当1n =时, 命题显然成立; 假设命题对n 成立, 我们来证明它对1n +也成立, 注意到1(1,2,...,).i a i n ≥= 1 11 1 1 11 1 1 1 (1)(1)2 (1)2 (1) n n n n n n i n i i i n i i i i a a a a a a ++--++====+≤+?+=+++∏∏∏∏ 11 11 1 2[1()]n n n i i n i i a a a +-+===+++∏∏1111 11 1 1 1 2[(1)(11)] n n n n n i i i i n i i i i a a a a a +++-+=====+++--++∏∏∏∏111 1 11 11 2(1)2(1) n n n n n i i i n i i i a a a a +++-+====+-+--∏∏∏11 111 1 2(1)2[(1)(1)]n n n n i i n n i i a a a a +-++===+----∏∏11 1 1 2(1)2(1)[1) n n n n i n i i i a a a +-===+---∏∏1 1 2(1).n n i i a +=≤+∏ 故命题对1n +成立. 9.设1(1,2,...,),i a i n ≥= 求证121 2(1)(1...).1n n i n i a a a a n =+≥+++++∏ 证明 11 1(1)2(1)2n n n i i i i a a ==-+=+∏∏112(1)2n n i i a =-≥+∑112(1)1n n i i a n =-≥++∑1 1 2[(1(1)]1n n i i n a n ==?++-+∑12(1).1n n i i a n =++∑ 10.设0,x y z ++=求证: 3332223 6()().x y z x y z ++≤++ 证明 显然0x y z ===是平凡情形. 假定,,x y z 不全为零, 不妨设0,0.x y ><由 (),z x y =-+ 得3333.x y z xyz ++= 记 3 3 32 2 22 2 6()5421622 xy xy I x y z x y z z =++==???3 22322216(22)3xy xy z z xy ??++ ?≤=+ ? ? ??? . 再注意到2 2 2 2 ()22,x y x y xy z xy +=+-=+ 因而2 2 2 2 22,z xy x y z +=++ 这就是所要证的不等式. 11.已知,a b 为小于1的正数, 求证 : 证明 设1234,(1),(1),(1)(1),z a bi z a bi z a b i z a b i =+=-+=+-=-+- 则 1z = , 2z = 3z = 4z =12341234z z z z z z z z +++≥++ +22i =+= ∴ 12.设,,,a b c R + ∈求证: ,n n n p q r q r p r p q a b c a b c a b c a b c ++≥++其中,,,n N p q r ∈, 且.p q r n ++= 证明 ,n n n p q r pa qb rc a b c n ++= 同理,n n n q r p qa rb pc a b c n ++≤ .n n n r p q ra pb qc a b c n ++≤ 三式相加, 即得.n n n p q r q r p r p q a b c a b c a b c a b c ++≥++ 13.设,,,a b c R + ∈求证: 333222 .a b c a b b c c a ++≥++ 证明 该不等式关于,,a b c 对称, 不妨设,a b c ≥≥则由左式-右式 222()()()a a b b b c c c a =-+-+-222()()()a a b b b c c c b b a =-+-+-+-2222()()()()0.a c a b b c b c =--+--≥ 故333222 .a b c a b b c c a ++≥++ 14.已知0,a b >> < 证 < 由于0,a b >> 0> , 0,> 只要证 ,a b a b -<- 0,> < 由于0,a b >> 此不等式显然成立. 15.若2,p R p ∈<且不等式()2 222log log 12log x p x x p ++>+恒成立, 求实数x 的取值范围. 解 令2log ,x a =将不等式转化为: 2 (1)210,a p a a -+-+>令 2()(1)21,f p a p a a =-+-+ 则()0f p >恒成立, 等价于: ()0, (2)0. f p f >??->? 2 2 2(1)210, 2(1)210. a a a a a a ?-+-+>???--+-+>?? 解不等式组得: 1 3180.2 a a x x ><-?><<或或 16.设e 是自然对数的底, π是圆周率, 求证.e e ππ> 证明 因为 2ln ln ln ln 1ln ,e e e e x x x d dx e x x x ππππ π -?? - === ??? ?? 又当(,)x e π∈时, 21ln 0,x x -< 所以21ln 0.e x dx x π- 因此, ln ln ,e e π π > 从而有.e e ππ> 17.当x 为何值时, 229x <+成立? 解 先将不等式分母有理化, 有 2 2 ??= 2 (122x =+=++ 因此原不等式同解于不等式组112021004522298x x x x x x ? +≥?>-??? -≠?≠???++<+?< ?? 解得 145 0.28 x x -≤<≠且 即原不等式的解集为1450028x x x x ???? - ≤<≤?????? ?U . 19.已知01,a a >≠且解关于x 的不等式1 log (1) 1.a x -> 解 原不等式1log (1)log .a a a x ?-> (1)当1a >时,原不等式 1110,111100.111. x x a a x x x a a x ?->-??-??->? <-?->?? (2)当01a <<时,原不等式110,11.111. x x a a x ?->????<-?-? 20.某厂拟生产甲、乙两种适销产品,每件销售收入分别为3千元、2千元. 甲、乙产 品都需要在A ,B 两种设备上加工,在每台A ,B 上加工一件甲所需工时分别为1时、2时,加工一件乙所需工时分别为2时、1时,A ,B 两种设备每月有效使用台时数分别为400和500. 如何安排生产可使收入最大? 解 这个问题的数学模型是二元线性规划. 设甲、乙两种产品的产量分别为,x y 件,约束条件是2400,2500,0,0. x y x y x y +≤??+≤? ?≥??≥?,目标函数是 32f x y =+. 要求出适当的,x y ,使32f x y =+取得最大值. (该图来至高中数学课程标准,需重做) 先要画出可行域,如图。考虑32,x y a a +=是参数,将它变形为3,22 a y x =-+这是斜率为32 - ,随a 变化的一族直线。2a 是直线在y 轴上截距,当2a 最大时a 最大,当然直 线要与可行域相交,即在满足约束条件时目标函数取得最大值.在这个问题中,使32x y +取得最大值的(,)x y 是两直线2500x y +=与2400x y +=的交点(200,100). 因此,甲、乙两种产品的每月产时不时分别为200、100件时,可得最大收入800千元. 21.n 个机器人在一条流水线上工作, 加工后需送检验台, 检验合格后再送下一道工序. 问检验台设置在流水线上什么位置时, 才能使机器人送验时, 才能使机器人所走距离之和最短? 也即耗时最少? 解 不妨设n 个机器人位于同一条数轴上, 每个机器人所在的位置(点)的坐标为 (1,2,...,),i x i n =检验台所在之点的坐标为的坐标为x , 那么机器人送验所走的距离之和为 1234()...s x x x x x x x x x =-+-+-++-(x 为实数), ()s x 何时最小? 为了探索问题的内在规律, 不妨从简单的情形开始考虑. 当2n =时, 检验台放在这二个机器人之间的任何位置都一样. 3n =时, 检验台放在第二个机器人所在点时最小. 通过上述试验, 当n 为奇数时, 检验台应放在正中间的机器人所在的地点; 当n 为偶数时, 检验台应放在最中间两个机器人之间任何位置. 22.已知函数3 ()31f x ax x =-+对于[1,1]x ∈-总有()0f x ≥成立, 求实数a 的值. 解 显然当0a ≤时不成立, 故0.a > 2 ()33,f x ax '=- 令()0,f x '= 解得x =± 当x =时, ()f x 取得极小值. [1,1]x ∈-总有()0f x ≥ 成立等价于(1)0, 0.f f -≥?? ?≥?? 即4, 4.a a ≤??≥? 从而 4.a = 23.已知()lg(1),f x x =+()2lg(2)g x x t =+(t R ∈是实数). (1)当1t =-时, 解不等式()();f x g x ≤ (2)如果[0,1]x ∈, ()()f x g x ≤恒成立, 求参数t 的取值范围. 解 (1) 原不等式等价于210,20,1(21).x x t x x ?+>?+>??+≤-?即21,2 450.x x x ?>???-≥?则1,250. 4 x x x ?>????≤≥??或 5.4x ∴≥ 所以原不等式的解集为5.4x x ?? ≥??? ? (2) [0,1]x ∈时, ()()f x g x ≤恒成立, 即[0,1]x ∈时, 有210, 210,1(2).x x x x t ?+>? ->??+≤+? 即 10,2, 2x t x t x ?+>? >-?? ≥-+?恒成立, 故[0,1]x ∈时 , 2t x ≥-恒成立. 于是问题转化成求函数2[0,1]y x x =-∈的最大值.