(完整版)圆锥曲线焦点三角形推导
椭圆焦点三角形
1．椭圆焦点三角形定义及面积公式推导
（1）定义：如图1，椭圆上一点与椭圆的两个焦点12,F F 构成的三角形12
PF F 称之为椭圆焦点三角形． （2）面积公式推导
解：在12PF F ?中，设12F PF α∠=，11PF r =，22PF r =，由余弦定理得
2
2
2
1212
12
cos 2PF PF F F PF PF α+-=
?222
1212
(2)2r r c r r +-=
? 22121212()242r r r r c r r +--=22
1212(2)242a r r c r r --=
2212124()22a c r r r r --=212
122b rr r r -=
∴21212cos 2r r b r r α=-
即2
1221cos b r r α
=+，
∴12
212112sin sin 221cos PF F b S r r ααα?==??+2sin 1cos b αα=+=2tan 2
b α． 例1．焦点为12,F F 的椭圆22
14924x y +=上有一点M ，若120MF MF ?=u u u u r u u u u r ，求12
MF F ?的面积．
解：∵120MF MF ?=u u u u r u u u u r
， ∴12MF MF ⊥， ∴ 12MF F S ?=290tan
24tan
242
2
b α
?
==． 例2．在椭圆的22
221(0)x y a b a b
+=>>中，12,F F 是它的两个焦点，B 是短轴的
一个端点，M 是椭圆上异于顶点的点，求证：1212F BF F MF ∠>∠．
证明：如图2，设M 的纵坐标为0y ，
图1
F 1 x
y
O
P
F 2
∵21210212121
21MF F F BF S y F F b F F S ??=?>?=
， ∴221212tan tan 22F BF F MF b b ∠∠>， 即1212tan tan 22F BF F MF ∠∠>， 又121211
,22
F BF F MF ∠∠都是锐角， 故121211
22F BF F MF ∠>∠ 从而有1212F BF F MF ∠>∠．
2．双曲线焦点三角形定义及面积公式推导．
（1）定义：如图3，双曲线上一点P 与双曲线的两个焦点12,F F 构成的三角形12PF F 称之为双曲线焦点三角形．
（2）面积公式推导：
解：在12PF F ?中，设12F PF α∠=，11PF r =，22PF r =，由余弦定理得
2
2
2
1212
12
cos 2PF PF F F PF PF α+-=
?222
1212
(2)2r r c r r +-=
? 22121212()242r r r r c r r -+-=22
1212(2)242a r r c r r +-=
2212122()r r c a r r --=
2
12
12
2rr b
r r -= ∴2
1212cos 2r r r r b α=-
即2
1221cos b r r α
=-，
∴12
212112sin sin 221cos PF F b S r r ααα?==??-2sin 1cos b αα=-=2cot 2
b α． 例3、已知双曲线22169144x y -=，设12,F F 是双曲线得两个焦点．点P 在双曲线上，1232PF PF ?=，求12F PF ∠的大小．
解：双曲线的标准方程为22
1916
x y -
=， 图2
F 1 x
y O M F 2
B 图3
F 1 x
y
O
P
F 2
∴121212121211
sin 32sin 16sin 22
PF F S PF PF F PF F PF F PF ?=
?∠=?∠=∠， 从而有1216sin F PF ∠1216cot 2
F PF ∠==12
1216sin 1cos F PF F PF ∠-∠， ∴12cos 0F PF ∠=， ∴1290F PF ∠=?．
例4：椭圆22
162
x y +
=与双曲线 2213x y -=的公共焦点为12,F F ，P 是两曲线的一个交点，求21cos PF F ∠的值．
解：在椭圆和双曲线中异算12PF F ?面积 ∵122tan 1cot
2
2
PF F S α
α
?==?，
∴2
1
tan 2
2
α
=
， ∴2
21
1tan 1122cos 13
1tan 122
α
αα--
=
==++
． 开拓：从上例我们不难发现，若椭圆22
112211
1(0)x y a b a b +=>>和双曲线
22
222
2221(0,0)x y a b a b -=>>有公共的焦点12,F F 和公共点P ，那么12PF F ?的面积2121tan
2F PF S b ∠=，又2122cot 2
F PF
S b ∠=，从而22212S b b =?，即12S b b =?．
2015高考数学一轮题组训练：9-9圆锥曲线的热点问题
第9讲 圆锥曲线的热点问题 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．(2014·南京模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)，F (2，0)为其右焦点，过F 垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C 的方程为________． 解析 由题意，得????? c ＝2， b 2 a ＝1， a 2＝ b 2＋ c 2， 解得??? a ＝2， b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2 2＝1. 答案 x 24＋y 2 2＝1 2．直线y ＝k x ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为________． 解析 由??? y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k －8)x ＋4＝0，若k ＝0，则y ＝2，若k ≠0， 若Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1，因此直线y ＝k x ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝0或1. 答案 1或0 3．(2014·济南模拟)若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝3x 无交点，则离心率e 的取值范围是________． 解析 因为双曲线的渐近线为y ＝± b a x ，要使直线y ＝3x 与双曲线无交点，则直线y ＝3x 应在两渐近线之间，所以有b a ≤3，即 b ≤3a ，所以b 2≤3a 2， c 2－a 2≤3a 2，即c 2≤4a 2，e 2≤4，所以1 4．已知双曲线方程是x 2 －y 2 2＝1，过定点P (2,1)作直线交双曲线于P 1，P 2两点， 并使P (2,1)为P 1P 2的中点，则此直线方程是________． 解析 设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由 x 21－y 212＝1，x 22－y 22 2 ＝1，得 k ＝ y 2－y 1x 2－x 1 ＝2(x 2＋x 1)y 2＋y 1＝2×42＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线 方程联立得14x 2－56x ＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件． 答案 4x －y －7＝0 5．(2014·烟台期末考试)已知与向量v ＝(1,0)平行的直线l 与双曲线x 24－y 2 ＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________． 解析 由题意可设直线l 的方程为y ＝m ，代入x 24－y 2 ＝1得x 2＝4(1＋m 2)，所以x 1＝4(1＋m 2)＝21＋m 2，x 2＝－21＋m 2，所以|AB |＝|x 1－x 2|＝41＋m 2，所以|AB |＝41＋m 2≥4，即当m ＝0时，|AB |有最小值4. 答案 4 6．(2014·西安模拟)已知双曲线x 2 －y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双 曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2 →的最小值为________． 解析 设点P (x ，y )，其中x ≥1.依题意得A 1(－1,0)，F 2(2,0)，则有y 23＝x 2 －1，y 2＝3(x 2－1)，P A 1→·PF 2→＝(－1－x ， －y )·(2－x ，－y )＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2＋3(x 2－1)－x －2＝4x 2 －x －5＝4? ?? ??x －182－8116，其中x ≥1.因此，当x ＝1时，P A 1→·PF 2 →取得最小值－2. 答案 －2 7．(2014·宁波十校联考)设双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，过F 2的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2＝________. 双曲线中焦点三角形的探索 基本条件：1：该三角形一边长为焦距2c ，另两边的差的约对值为定值2a 。 2：该三角形中由余弦定理得| |||2||||||cos 212 21222121PF PF F F PF PF PF F ?-+=∠结合定义，有 ()||||24||||2||||||||212 212 212221PF PF a PF PF PF PF PF PF ?+=?+-=+ 性质一、设若双曲线方程为22 2 2x y 1a b -=（a ＞0，b ＞0）， F1,F2分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则有： 若 12FPF ,∠=θ则 122F PF S b cot 2θ = ；特别地，当 12FPF 90∠= 时，有122F PF S b = 。 证明：记2211||,||r PF r PF ==，由双曲线的定义得 . 4)(,2222121a r r a r r =-∴=- 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22 212221c r r r r =-+θ 配方得： .4cos 22)(2 2121221c r r r r r r =-+-θ 即.4)cos 1(242 212c r r a =-+θ . cos 12cos 1)(22 2221θθ-=--=∴b a c r r 由任意三角形的面积公式得： 2cot 2sin 22cos 2 sin 2cos 1sin sin 2122 222121θ θθ θ θ θθ?=?=-?== ?b b b r r S PF F . . 2cot 221θ b S PF F =∴? 特别地，当θ＝? 90时， 2cot θ ＝1，所以12 2 F PF S b = 同理可证，在双曲线122 2 2=-b x a y （a ＞0，b ＞0）中，公式仍然成立 . 椭圆焦点三角形 1．椭圆焦点三角形定义及面积公式推导 （1）定义：如图1，椭圆上一点与椭圆的两个焦点12,F F 构成的三角形12 PF F 称之为椭圆焦点三角形． （2）面积公式推导 解：在12PF F ?中，设12F PF α∠=，11PF r =，22PF r =，由余弦定理得 2 2 2 1212 12 cos 2PF PF F F PF PF α+-= ?222 1212 (2)2r r c r r +-= ? 22121212()242r r r r c r r +--=22 1212(2)242a r r c r r --= 2212124()22a c r r r r --=212 122b rr r r -= ∴21212cos 2r r b r r α=- 即2 1221cos b r r α =+， ∴12 212112sin sin 221cos PF F b S r r ααα?==??+2sin 1cos b αα=+=2tan 2 b α． 例1．焦点为12,F F 的椭圆22 14924x y +=上有一点M ，若120MF MF ?=u u u u r u u u u r ，求12 MF F ?的面积． 解：∵120MF MF ?=u u u u r u u u u r ， ∴12MF MF ⊥， ∴ 12MF F S ?=290tan 24tan 242 2 b α ? ==． 例2．在椭圆的22 221(0)x y a b a b +=>>中，12,F F 是它的两个焦点，B 是短轴的 一个端点，M 是椭圆上异于顶点的点，求证：1212F BF F MF ∠>∠． 证明：如图2，设M 的纵坐标为0y ， 图1 F 1 x y O P F 2 圆锥曲线中的热点问题 A 级 基础 一、选择题 1．(2017·全国卷Ⅰ改编)椭圆C ：x 23＋y 2 m ＝1的焦点在x 轴上，点 A ， B 是长轴的两端点，若曲线 C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则实数m 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B ．[1，3) C ．(0，3) D ．(0，1] 2．(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( ) A ．1－3 2 B ．2－ 3 C.3－12 D.3－1 3．若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( ) A ．2 B.1 2 C.14 D.18 4．(2019·天津卷)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ， 且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D. 5 5．(2019·安徽六安一中模拟)点P 在椭圆C 1：x 24＋y 2 3＝1上，C 1 的右焦点为F 2，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋6x －8y ＋21＝0上，则|PQ |－|PF 2|的最小值为( ) A ．42－4 B ．4－4 2 C ．6－2 5 D ．25－6 二、填空题 6．(2019·广东六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、 右焦点为F 1、F 2，在双曲线上存在点P 满足2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→ |，则此双曲线的离心率e 的取值范围是________． 7．已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作x 轴，y 轴垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________． 8．(2019·浙江卷)已知椭圆x 29＋y 2 5＝1的左焦点为F ，点P 在椭圆 上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________． 三、解答题 9．已知曲线C ：y 2＝4x ，曲线M ：(x －1)2＋y 2＝4(x ≥1)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点． (1)若OA →·OB →＝－4，求证：直线l 恒过定点； (2)若直线l 与曲线M 相切，求PA →·PB →(点P 坐标为(1，0))的最大值． 10．(2019·惠州调研)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率 双曲线焦点三角形的几 何性质 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】 双曲线焦点三角形的几个性质 在椭圆中，焦点三角形中蕴含着很多性质，这些性质都可以类比到双曲线焦点三角形中：设若双曲线方程为122 22=-b y a x ,21,F F 分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则有： 性质1、若θ=∠21PF F 则2cot 221θb S PF F =?特别地，当 9021=∠PF F 时，有221b S PF F =? 性质2、焦点三角形21F PF 在P ∠处的内角平分线，过2F 作平分线的垂线，设垂足为Q ，则Q 点的轨迹是？ 性质3、以21,r r 为直径做一个圆与大圆（以21A A 为直径的圆）相切。 性质4、双曲线焦点三角形的内切圆与21,F F 相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。 证明：设双曲线122 22=-b y a x 的焦点三角形的内切圆且三边21F F ，1PF ，2PF 于点A,B,C ，双曲线的两个顶点为21,A A 所以A 点在双曲线上，又因为A 在21F F 上，A 是双曲线与x 轴的交点即点21,A A 性质5、在双曲线中A ，B 在双曲线上且关于原点对称，P 为椭圆上任意一点，则22b a k k PB PA = 性质6、P 点在x=c 上移动的过程当中，张角APB ∠的取值范围（A ，B 为两顶点）。]arctan ,0[b a 性质7、双曲线离心率为e ，其焦点三角形21F PF 的旁心为A ，线段PA 的延长线交21F F 的延长线于点B ，则e AP BA =| ||| 证明：由角平分线性质得e a c P F P F B F B F P F B F P F B F AP BA ==--===22||||||||||||||||||||21212211 性质8、双曲线的焦点三角形21F PF 中，βα=∠=∠1221,F PF F PF 圆锥曲线离心率和焦点三角形 上课时间：2013.1. 授课教师： 上课内容： 1）学习重难点：圆锥综合复习.重点圆锥和双曲线 2）学习规划：常见题型的解题技巧和方法 1、设12F F ，分别是双曲线2222x y a b -的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠= 且123AF AF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．52 B ．102 C ．152 D ．5 2、设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0 ，则FA FB FC ++= （ ） A ．9 B ．6 C ．4 D ．3 3、双曲线221102 x y -=的焦距为（ ） A. 32 B. 42 C. 33 D. 43 4、椭圆14 22=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （ ） A ．23 B ．3 C ．2 7 D ．4 5、直线ｙ＝ｘ－3与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为( ) （A ）48. （B ）56 （C ）64 （D ）72. 6、已知椭圆的中心在原点，离心率2 1=e ，且它的一个焦点与抛物线x y 42-=的焦点重合，则此椭圆方程为（ ） 13422=+y x B ．16822=+y x C ．1222=+y x D ．1422 =+y x 7、若双曲线2221613x y p -=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为 ( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)42 8、已知椭圆1532222=+n y m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ） A ．y x 215±= B ．x y 215±= C ．y x 43±= D ．x y 4 3±= 9、双曲线)0(122≠=-mn n y m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ） A ．163 B ．83 C ．3 16 D ．38 10、设椭圆2212516 x y +=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足1()2 OM OP DF =+ ，则||OM = ． 11、已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A B 、两点，F 为C 的 焦点，若||2||FA FB =，则k = ( ) A. 1 3 B.23 C. 23 D. 223 12、若圆422=+y x 与圆)0(06222>=-++a ay y x 的公共弦长为32，则a=________. 第3讲圆锥曲线中的热点问题 【高考考情解读】1.本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大.2.求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中． 1．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与椭圆的位置关系的判定方法： 将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离． (2)直线与双曲线的位置关系的判定方法： 将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时， 直线与双曲线相离． ②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点． (3)直线与抛物线的位置关系的判定方法： 将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①当a≠0时，用Δ判定，方法同上． ②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点． 2．有关弦长问题 有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算． (1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2 |x2－x1|或|P1P2|＝1＋1 k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形： |x2－x1|＝(x1＋x2)2－4x1x2， |y2－y1|＝(y1＋y2)2－4y1y2. 精品文档 文[1]给出了椭圆焦点三角形的一些性质，受此启发，经过研究，本文总结出双曲线焦点三角形如下的一些性质： 设若双曲线方程为22 22x y 1a b -=，F 1,F 2分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则有： 性质1、若12F PF ,∠=θ则122F PF S b cot 2 θ=V ；特别地，当12F PF 90∠=o 时，有122F PF S b =V 。 精品文档 222121212221212121222 1212221222 1222PF PF cos |PF ||PF ||FF | 2PF PF cos (|PF ||PF |)2|PF ||PF ||FF | 2PF PF cos (2a)2|PF ||PF |(2c)2PF PF (cos 1)4(a c ) b b PF PF 21cos sin 2 θ=+-θ=-+-θ=+-θ-=-==θ -θ, 12F PF 121S |PF ||PF |sin 2∴=θV 22 b 2sin cos 222sin 2 θθ=?θ2b cot 2θ= 易得90θ=o 时，有122F PF S b =V 性质2、双曲线焦点三角形的内切圆与F 1F 2相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。 证明：设双曲线22 22x y 1a b -=的焦点三角形的内切圆且三边F 1F 2，PF 1，PF 2于点A,B,C ，双曲线的两个顶点为A 1,A 2 121212|PF ||PF ||CF ||BF ||AF ||AF |-=-=- 12|PF ||PF |2a -=Q ，12|AF ||AF |2a ∴-=, 1212A A FF A x A ,A ∴Q 在双曲线上，又在上， 是双曲线与轴的交点即点 双曲线焦点三角形面积公式的应用 广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007） 定理 在双曲线122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲线上任意一点，θ=∠21PF F ，则2cot 221θ?=?b S PF F . 证明：记2211||,||r PF r PF ==，由双曲线的第一定义得 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ 配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =-+-θ 即.4)cos 1(242212c r r a =-+θ 由任意三角形的面积公式得： 2cot 2sin 22cos 2sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θθθθ?=?=-?==?b b b r r S PF F . 同理可证，在双曲线122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）中，公式仍然成立. 典题妙解 例1 设1F 和2F 为双曲线14 22 =-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，且满足?=∠9021PF F ，则△21PF F 的面积是（ ） A. 1 B. 25 C. 2 D. 5 解：,145cot 2cot 221=?=?=?θb S PF F ∴选A. 例2 (03天津)已知1F 、2F 为双曲线14 22 =-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，若△21PF F 的面积是1，则21PF PF ?的值是___________. 解: ,12cot 2cot 221==?=?θ θb S PF F ?=∴452θ ,即.90?=θ ∴21PF PF ⊥，从而.021=?PF 例3 已知1F 、2F 为双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上，且?=∠6021PF F ，△21PF F 的面积是312， 离心率为2，求双曲线的标准方程. 圆锥曲线焦点、焦点三角形问题 22 xy 13.( 2009 江西卷文) 设 F 1 和 F 2 为双曲线 2 2 1(a 0,b ab P （0,2 b ） 是正三角形的三个顶点 ,则双曲线的离心率为 答案】 B 答案 】 y=x |PF 1 | |PF 2 | 2a |PF 1 |?|PF 2 | 18 2 2 2 |PF 1 |2 |PF 2 |2 4c 2 故有 b ＝ 3。 答案】 3 40.（2009 年广东卷文 ） （本小题满分 14 分） 3 A ． 2 B ． 5 C ． 2 D ．3 解析】由 tan 6 2b 3 有 3c 4b 2 4(c 2 a 2 ),则 e 2,故选 B. 39.（2009 年上海卷理）已知 F 1、 F 2是椭圆 2 C:a x 2 2 a 2 y b 2 1（ a >b > 0）的两个焦点， P 为椭圆 C 上一点，且 PF 1 PF 2 . 若 PF 1F 2 的面积为 9， 则b = 0 ）的两个焦点 , 若 F 1，F 2 ， 20.（2009 湖南卷文） 抛物线 y 2 8x 的焦点坐标是（ ） A ．（2，0） B ．（- 2，0） C ．（4，0） D ．（- 4，0） 解析 】由 y 2 8x ,易知焦点坐标是 ( 2p ,0) ( 2,0) ，故选 B. 【答案】B 29.（2009 宁夏海南卷理）设已知抛物线 AB 的中点为（ 2， 物线 C 相交于 A ，B 两点。若 C 的顶点在坐标原点， 2），则直线 焦点为 F （1，0），直线 l 与 抛 l 的方程为 ________ . 解析】抛物线的方程为 y 2 4x ， A x 1, y 1 , B x 2,y 2 ,则有 x 1 x 2， 2 y 1 2 y 2 4x 1 4x 2 两式相减得， y 12 y 22 4 x 1 x 2 y 1 y 2 x 1 x 2 y 1 y 2 直线 l 的方程为 y-2=x-2, 即 y=x 解析】依题意， ，可得 4c 2＋ 36＝4a 2，即 a 2－c 2＝9， 双曲线焦点三角形的几个性质 文[1]给出了椭圆焦点三角形的一些性质，受此启发，经过研究，本文总结出双曲线焦点三角形如下的一些性质： 设若双曲线方程为22 22x y 1a b -=，F 1,F 2分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则有： 性质1、若12FPF ,∠=θ则122F PF S b cot 2θ=；特别地，当12FPF 90∠=时，有122F PF S b =。 222121212221212121222 1212221222 1222PF PF cos |PF ||PF ||FF | 2PF PF cos (|PF ||PF |)2|PF ||PF ||FF | 2PF PF cos (2a)2|PF ||PF |(2c)2PF PF (cos 1)4(a c ) b b PF PF 21cos sin 2 θ=+-θ=-+-θ=+-θ-=-==θ -θ, 12F PF 121S |PF ||PF |sin 2∴=θ 22 b 2sin cos 222sin 2 θθ=?θ2b cot 2θ= 易得90θ=时，有122F PF S b = 性质2、双曲线焦点三角形的内切圆与F 1F 2相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。 证明：设双曲线22 22x y 1a b -=的焦点三角形的内切圆且三边F 1F 2，PF 1，PF 2于点A,B,C ，双曲 线的两个顶点为A 1,A 2 121212|PF ||PF ||CF ||BF ||AF ||AF |-=-=- 12|PF ||PF |2a -=，12|AF ||AF |2a ∴-=, 1212A A FF A x A ,A ∴在双曲线上，又在上， 是双曲线与轴的交点即点 性质3、双曲线离心率为e ，其焦点三角形PF 1F 2的旁心为A ，线段PA 的延长线交F 1F 2的延长线于点B ，则|BA |e |AP |= 证明：由角平分线性质得 12121212|FB ||F B ||FB ||F B ||BA |2c e |AP ||FP ||F P ||FP ||F P | 2a -=====- 性质4、双曲线的焦点三角形PF 1F 2中，1221PFF ,PF F ,∠=α∠=β 高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点（限考）概要： 1、椭圆： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为： ； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为： ； （2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 （3）参数方程：（θ为参数）； 3、双曲线： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为： （2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 4、抛物线： （1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 ： （2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反； ②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一 致； ③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像； 二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。 双曲线焦点三角形面积 公式在高考中的妙用 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 双曲线焦点三角形面积公式的应用 广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007） 定理 在双曲线122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲 线上任意一点，θ=∠21PF F ，则2 cot 221θ ?=?b S PF F . 证明：记2211||,||r PF r PF ==在△21PF F 中，由余弦定理得：2(cos 2212 22 1r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =-+-θ 即.4)cos 1(242212c r r a =-+θ 由任意三角形的面积公式得： 2cot 2 sin 22cos 2 sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θ θ θθ?=?=-?== ?b b b r r S PF F . 同理可证，在双曲线122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）中，公式仍然成立. 典题妙解 例1 设1F 和2F 为双曲线14 22 =-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，且满足?=∠9021PF F ，则△21PF F 的面积是（ ） A. 1 B. 2 5 C. 2 D. 5 解：,145cot 2 cot 221=?=?=?θ b S PF F ∴选A. 例2 (03天津)已知1F 、2F 为双曲线14 22 =-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，若△21PF F 的面积是1，则21PF ?的值是___________. 圆锥曲线中的热点问题【提高篇】〖考点整合〗 命题角度1圆锥曲线中的最值、范围 【例1】已知椭圆C：x2 a2＋ y2 b2＝1(a>b>0)的离心率e＝ 3 2，直线x＋3y－1＝0被以椭圆C的 短轴为直径的圆截得的弦长为 3. (1)求椭圆C的方程； (2)过点M(4，0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ＝|MA|·|MB|，求λ的取值范围. 【训练1－1】(2018·浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点， 抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上. (1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴； (2)若P是半椭圆x2＋y2 4＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围. 【训练1－2】已知点A(0，－2)，椭圆E：x2 a2＋ y2 b2＝1(a>b>0)的离心率为 3 2，F是椭圆E的 右焦点，直线AF的斜率为23 3，O为坐标原点. (1)求E的方程； (2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程. 命题角度2圆锥曲线中的定值 【例2】已知椭圆C：x2 a2＋ y2 b2＝1(a>b>0)的焦距为23，斜率为 1 2的直线与椭圆交于A，B两 点，若线段AB的中点为D，且直线OD的斜率为－1 2. (1)求椭圆C的方程； (2)若过左焦点F斜率为k的直线l与椭圆交于M，N两点，P为椭圆上一点，且满足 OP⊥MN，问： 1 |MN|＋ 1 |OP|2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由. 【训练2－1】已知椭圆C ：x a 2＋y b 2＝1过点A (2，0)，B (0，1)两点. (1)求椭圆C 的方程及离心率； (2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值. 【训练2－2】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)标原点. (1)求椭圆C 的方程； (2)已知点P ，M ，N 为椭圆C 的面积S 为定值，并求该定值. 命题角度3 圆锥曲线中的定点问题 P 在y 轴上的投影是Q ，且2PA →·PB →＝|PQ →|2. C 于点G ，H ，M ，N ，且E 1，E 2分别是GH ， (x －1)2＋y 2＝4(x ≥1)，直线l 与曲线C 交于A ，B 坐标为(1，0))的最大值. 【训练3－2】已知焦距为22的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，直线y ＝43与椭圆 C 交于P ，Q 两点(P 在Q 的左边)，Q 在x 轴上的射影为B ，且四边形ABPQ 是平行四边形. 双曲线焦点三角形面积公式的应用 广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007） 定理 在双曲线122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲线上任意 一点，θ=∠21PF F ，则2 cot 2 21θ ?=?b S PF F . 证明：记2211||,||r PF r PF ==，由双曲线的第一定义得 .4)(,2||222121a r r a r r =-∴=- 在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22 212 22 1c r r r r =-+θ、 配方得：.4cos 22)(2 21212 21c r r r r r r =-+-θ 即.4)cos 1(242 212 c r r a =-+θ .cos 12cos 1)(22 2221θ θ-=--=∴b a c r r 由任意三角形的面积公式得： 2cot 2 sin 22cos 2 sin 2cos 1sin sin 2122 222121θθθ θ θ θθ?=?=-?== ?b b b r r S PF F . .2 cot 221θ ?=∴?b S PF F 同理可证，在双曲线122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）中，公式仍然成立. 典题妙解 例1 设1F 和2F 为双曲线14 22 =-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，且满足?=∠9021PF F ，则△21PF F 的面积是（ ） A. 1 B. 2 5 C. 2 D. 5 / 解：,145cot 2 cot 221=?=?=?θ b S PF F ∴选A. 例2 (03天津)已知1F 、2F 为双曲线14 22 =-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，若△21PF F 的面积是1，则21PF PF ?的值是___________. 解: ,12 cot 2 cot 221==?=?θ θ b S PF F ?=∴ 452 θ ,即.90?=θ ∴21PF PF ⊥，从而.021=?PF 例3 已知1F 、2F 为双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上，且?=∠6021PF F ，△21PF F 的面积是312，离心率为2，求双曲线的标准方程. 解：由31230cot 2 cot 2221=?=?=?b b S PF F θ 得：.122=b 又,2122 =+=a b e .41212 =+ ∴a 从而.42 =a ∴所求的双曲线的标准方程为 112422=-y x ，或112 42 2=-x y . 金指点睛 ` 1. 已知双曲线14 22 =-y x 的两个焦点为1F 、2F ，点P 在双曲线上，且△21PF F 的面积为3，则 21PF PF ?的值为( ) A. 2 B. 3 C. 2- D. 3- 2.（05北京6）已知双曲线的两个焦点为)0,5(),0,5(21F F -，P 是此双曲线上的一点，且 2||||,2121=?⊥PF PF PF PF ，则该双曲线的方程是（ ） A. 13222=-y x B. 12322=-y x C. 1422=-y x D. 1422 =-y x 3.（05全国Ⅲ）已知双曲线12 2 2 =-y x 的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上，且021=?MF ， 圆锥曲线焦点三角形问题常见类型解析 圆锥曲线中的三角形问题（特别是与焦半径相关的三角形问题）是解析几何中的一个综合性较强的重点内容。下举例谈谈圆锥曲线焦点三角形问题常见类型。 一、定值问题 例 1. 椭圆 x a y b a b 22 22 10+ =>>()上一点P ，两个焦点 )0,()0,(21c F c F ，-， 12F P F ?的内切圆记为M ，求证：点P 到M 的切 线长为定值。 证明：设⊙M 与△PF 1F 2的切点为A 、B 、C ，如图1，因⊙M 是△PF 1F 2的内切圆，所以|F 1A|=|F 1C|、|F 2C|=|F 2B|，|PA|=|PB|； ∵ |F 1C|＋|F 2C|=2c ，∴ |F 1A|＋|F 2B|=2c ，由椭圆第一定义知 |PF 1|＋|PF 2|=2a ，∴ |PA|＋|F 1A|＋|PB|＋|F 2B|=2a ， ∴ 2|PA|=2a－2c 即 |PA|=a －c 为定值．证毕． 点评：圆锥曲线定义不仅是推导圆锥曲线方程及性质的基础, 而且也是解 题的重要工具.对于有些解析几何问题,若从圆锥曲线的定义上去思考，往往会收到避繁就简,捷足先登的解题效果。 二、动点轨迹问题 例2、已知椭圆 x a y b a b 2 2 2 210+=>>()上一动点P ，两个焦点)0,()0,(21c F c F ，-， 12F P F ?的内切圆记为M ，试求圆心M 的轨迹方程 。 解析： 如图1，设∠PF 1F 2=α、∠PF 2F 1=β，M(x ，y)则在△PF 1F 2中由正弦定理及椭圆的定 义有||s i n ||s i n || s i n [()]PF PF F F 1212180βααβ== -+°，由等比定理有即1212||||||22sin sin sin() sin sin sin() PF PF F F a c αβ αβαβ αβ+= ? = ++++，又由合分比定理知 tan tan 2 2 a c a c α β -?= +。由斜率公式知：1 2,(0),M F M F y y k k y x c x c == ≠+-由前述不难看出，不 论P 位于 椭圆上 （ 异 于长 轴两端点）何处，总有 12tan tan ,(0).2 2 M F M F y y a c k k y x c x c a c α β -?=-?∴ ?=- ≠+-+ 整理得(a －c)x 2 ＋(a ＋c)y 2 =(a －c)c 2 (y≠0)证毕． 点评：由上获得的方程不难看出，△PF 1F 2的内切圆圆心M 始终在包含于原椭圆内的一小椭圆上移动．如果△PF F 12中出现两个角，可以考虑应用正弦定理。同时从解题过程，不难得到一个重要的结论： 已知椭圆 x a y b a b 22 22 10+ =>>()上一点P 及两焦点F F 12、，若 ∠PF F 12=α，∠PF F 21=β，则椭圆的离心率为 sin()sin sin αβαβ ++。 三、方程问题 例3. 如图2，已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F F 12、分别为左、右焦点，双曲线的右支上有一点P ，∠F P F 123 = π ，且△PF F 12的 面积为23，双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程。 解析：设双曲线的方程为 x a y b a b 22 22 100- =>>()，，F c F c 1200()()-，，，， 第3讲 圆锥曲线中的热点问题 高考定位 1.圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一；2.以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题.对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查. 真 题 感 悟 1.(2018·浙江卷)已知点P (0，1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →，则当m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大. 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP →＝2PB →，得???－x 1＝2x 2，1－y 1＝2（y 2－1），即x 1＝－2x 2， y 1＝3－2y 2.因为点A ，B 在椭圆上，所以?????4x 224＋（3－2y 2）2＝m ，x 224＋y 22＝m ，得y 2＝14m ＋3 4， 所以x 2 2＝m －(3－2y 2)2＝－14m 2＋52m －94＝－14(m －5)2＋4≤4，所以当m ＝5时，点B 的横坐标的绝对值最大，最大值为2. 答案 5 2.(2017·全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3? ????－1，32，P 4? ???? 1，32中恰有三点在椭圆C 上. (1)求C 的方程； (2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点. (1)解 由于点P 3，P 4关于y 轴对称，由题设知C 必过P 3，P 4.又由1a 2＋1b 2>1a 2＋3 4b 2知，椭圆C 不经过点P 1， 所以点P 2在椭圆C 上. 双曲线中的焦点三角形 江苏省盱眙中学 赵福余 1.设双曲线19 42 2=-y x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上，若?=∠6021PF F ，则21PF F ?的面积为 . 设双曲线为()0,0122 22>>=-b a b y a x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上， 性质1 ：若θ=∠21PF F ，则21PF F ?的面积为 . 性质2：通过以上求解过程，若θ=∠21PF F ，则=21PF PF ；21PF PF 的最小值是 . （1）设双曲线14 42 2=-y x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上，?=∠9021PF F ，则21PF F ?的周长为 . （2）若1F 、2F 分别是双曲线19 162 2=-y x 的左、右焦点，AB 是双曲线左支上过点1F 的弦，且6=AB ，则2ABF ?的周长是 . 2.双曲线焦点三角形21PF F ?的内切圆与21F F 相切于点A ，则=21.AF AF . 性质3：切点A 的位置为 . 3.设双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上，O 是中心，则OP PF PF t 2 1+=的范围是 . 性质4：21.PF PF 与OP 的等式关系为 . 4.设双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线右支上一点若离心率2=e ，则=2tan 2tan β α . 性质5：=2tan 2tan β α .（用离心率e 表示） 5.双曲线离心率为e ，其焦点三角形21F PF ?的旁心为A ，线段PA 的延长线交21F F 的延长线于点B ，若4=BA ，2=AP ，则离心率=e . 性质6：=e .（用BA ，AP 表示） 专题30 圆锥曲线中的最值问题 【考情分析】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。 江苏高考试题结构平稳，题量均匀．每份试卷解析几何基本上是1道小题和1道大题，平均分值19分，实际情况与理论权重基本吻合；涉及知识点广．虽然解析几何的题量不多，分值仅占总分的13%，但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他内容的交汇。圆锥曲线中的最值问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体．俗话说：他山之石可以攻玉．在研究这几年外省新课程卷解析几何试题时，就很有启发性．比如2010年安徽卷理科19题，该题入题口宽，既可用传统的联立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的方法求解．再比如2011年上海卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展 【备考策略】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；【激活思维】 1．已知双曲线122 22=-b y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲 线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是[2,)+∞ 2． P 是双曲线 22 1916 x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为7 3．抛物线y=-x 2 上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是 43 4．已知抛物线y 2 =4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12 +y 2 2 的最小值是 32 . 5．已知点M (-2，0)，N (2,0)，动点P 满足条件||||22PM PN -=.记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程； （Ⅱ）若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ?的最小值. 解：（Ⅰ）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支， 所求方程为：22 x y 122 －＝ （x >0） （Ⅱ）当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝x 0， 此时A （x 0，20x 2－），B （x 0，－2 0x 2－），O AO B ?＝2双曲线中焦点三角形的探索
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