高中数学必修综合测试题答案

高中数学必修5综合练习题

一、选择题

1.数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（）

（A ）a n =n 2-(n-1) （B ）a n =n 2-1 （C ）a n =

2)1(+n n （D ）a n =2

)

1(-n n 2.已知数列3,3,15,…,)12(3-n ,那么9是数列的( )

（A ）第12项

（B ）第13项 （C ）第14项

（D ）第15项

3．已知等差数列{a n }的公差d ≠0,若a 5、a 9、a 15成等比数列,那么公比为 ( ) A ．

B ．

C ．

D ．

4.等差数列{a n }共有2n+1项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则n 的值是( )

A.3

B.5

C.7

D.9 5．△ABC 中，

cos cos A a

B b

=，则△ABC 一定是( ) A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等边三角形

6．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( ) A ．30°

B ．30°或150°

C ．60°

D ．60°或120°

7.在△ABC 中，∠A =60°,a =6,b =4,满足条件的△ABC ( )

(A )无解 (B )有解 (C )有两解 (D )不能确定 8．若

11

0a b

<<，则下列不等式中，正确的不等式有 ( ) ①a b ab +< ②a b > ③a b < ④2b a

a b

+>

A .1个

B .2个

C .3个

D .4个 9．下列不等式中，对任意x ∈R 都成立的是 ( )

A ．

2111x <+ B ．x 2+1>2x C ．lg(x 2+1)≥lg2x D ．244

x x +≤1 10.下列不等式的解集是空集的是( )

A.x 2-x+1>0

B.-2x 2+x+1>0

C.2x -x 2>5

D.x 2+x>2

11．不等式组 (5)()0,

03

x y x y x -++≥??

≤≤?表示的平面区域是

( )

(A ) 矩形 ( B ) 三角形

(C ) 直角梯形

(D ) 等腰梯形

12．给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得

到的数列}{n a 满足)(*

1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（）

A B C D

二、填空题：

13.若不等式ax 2+bx +2>0的解集为{x |-11<

ｏ 1

1 ｘ ｙ

ｏ 1 1 ｘ

ｙ

ｏ 1

1 ｘ

ｙ

14．14

0,0,1x y x y

>>+=若且

，则x y +的最小值是 ． 15．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：

则第n 个图案中有白色地面砖 块.

16. 已知钝角△ABC 的三边a =k ，b=k+2，c=k+4，求k 的取值范围 --------------. 。

17、不等式

1

3x x

+≤的解为 。 18、若0>x ，则4

2x x

--的最大值是 。

19、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于 。

20、对于满足0≤a ≤4的实数a ，使x 2＋ax>4x ＋a －3恒成立的x 取值范围是________． 21、不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 。 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 1．（本小题满分12分）已知A 、B 、C 为ABC ?的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若2

1

sin sin cos cos =

-C B C B ． （Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若4,32=+=c b a ，求ABC ?的面积．

2．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-。

（Ⅰ）求{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）求{}n a 前n 项和n S 的最大值．

3．已知10<

>-x mx

.

4．（本小题满分14分）设函数x x f a log )(=（1,0≠>a a a 为常数且），已知数列

),(1x f ),(2x f ΛΛ),(n x f 是公差为2的等差数列，且21a x =.

（Ⅰ）求数列}{n x 的通项公式； （Ⅱ）当21=a 时，求证：3

121<+++n x x x Λ.

5．（本小题满分14分）某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元． （Ⅰ）若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？

（Ⅱ）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以46万元出售该楼; ②纯利润总和最大时，以10万元出售该楼，问哪种方案盈利更多？

6、已知全集U ＝{x | x 2

-7x+10≥0}，A={x | |x -4| >2} ，B={x | 5x 2

x --≥0}，

求：C U A ，A I B

7、已知函数f(x)＝3x 2

＋bx ＋c ，不等式f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)． (1) 求函数f(x)的解析式；

(2) 已知函数g(x)＝f(x)＋mx －2在(2，＋∞)上单调增，求实数m 的取值范围； (3) 若对于任意的x ∈[－2,2]，f(x)＋n ≤3都成立，求实数n 的最大值．

8、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,,

（1）若

,

cos 2)6

sin(A A =+

π

求A 的值；

（2）若c

b A 3,31

cos ==，求C sin 的值.

9、建造一间地面面积为122

m 的背面靠墙的猪圈, 底面为长方形的猪圈正面的造价为120元

/2m , 侧面的造价为80元/2

m , 屋顶造价为1120元. 如果墙高3m , 且不计猪圈背面的费用, 问怎样设计能使猪圈的总造价最低, 最低总造价是多少元?

10、在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件

242

,1,2,1

n n S n n S n +==+L ， （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）记(0)n a

n n b a p p =>，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

答案：1---12 CCCAA, DABDC, DA

13.-14, 14.9 15. 4n+2 16. (2,6) 17、0x <或12

x ≥

18、-2 19、6 20、x ＜－1或x ＞3. 21、(,1][4,)-∞-+∞U

1. 解：（Ⅰ）2

1

sin sin cos cos =

-C B C B Θ 2

1

)cos(=

+∴C B 又π<+

π

=+∴C B

π=++C B A Θ，3

2π

=

∴A ． （Ⅱ）由余弦定理A bc c b a cos 22

2

2

?-+= 得 3

2cos

22)()32(2

2

π

?--+=bc bc c b 即：)2

1(221612-?--=bc bc ，4=∴bc

32

3421sin 21=??=?=

∴?A bc S ABC ．

2．解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，由已知条件，111

45

a d a d +=??+=-?，

解出13a =，2d =-．

所以1(1)25n a a n d n =+-=-+．

（Ⅱ）21(1)

42

n n n S na d n n -=+

=-+24(2)n =--． 所以2n =时，n S 取到最大值4．

3. 解：原不等式可化为：[x （m -1）+3](x -3)>0

Θ 0

13>-=--

m m ; ∴ 不等式的解集是?

?????

-<

4．解：（Ⅰ）2

1()log 22

a f x a d ===Q n n x f n 22)1(2)(=?-+=∴

n n n a a x n

x 22log :==即

（Ⅱ）当21=a 时，n

n x ??

? ??=41

31

411314

1141

414121

n

n x x x Λ

5．解：（Ⅰ）设第n 年获取利润为y 万元

n 年共收入租金30n 万元，付出装修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列， 共222

)

1(n n n n =?-+

因此利润)81(302

n n y +-=，令0>y 解得：273<

所以从第4年开始获取纯利润．

（Ⅱ）年平均利润n n

n n n W --=+-=

81

30)81(302 1281230=-≤（当且仅当n n

=81

，即n=9时取等号） 所以9年后共获利润：12469+?=154（万元） 利润144)15()81(302

2

+--=+-=n n n y

所以15年后共获利润：144+ 10=154 （万元）

两种方案获利一样多，而方案①时间比较短，所以选择方案①．

6、解：}2x 5x |x {U ≤≥=或 …………………………………………2分 }2x 6x |x {A <>=或 ………………………………………………2分

}2x 5x |x {B ≤>=或 ……………………………………………2分 }2x 6x 5|x {A C U =≤≤=或 …………………………………………2分 }6x 2x |x {B A ><=或I …………………………………………2分

7、解：(1) ?

??

??

f (0)＝0，

f (－2)＝0?

??

??

b ＝6，

c ＝0，∴ f(x)＝3x 2

＋6x ；

(2) g(x)＝3??????x ＋? ????1＋m 62－2－3×? ????1＋m 62，－? ??

??1＋m 6≤2，m ≥－18；

(3) f(x)＋n ≤3即n ≤－3x 2

－6x ＋3，而x ∈[－2,2]时，函数y ＝－3x 2

－6x ＋3的最小值

为－21，∴ n ≤－21，实数n 的最大值为－21. 8、解：（1）由题设知

cos ,cos 3sin ,cos 26

sin

cos 6

cos

sin ≠==+A A A A A A 所以从而π

π

，

.

3,0,3tan π

π=

<<=A a A 所以因为

（2）由.

,cos 23,31

cos 222222c b a A bc c b a c b A -=-+===得及

故△ABC 是直角三角形，且

31

cos sin ,2

=

==

A C

B 所以π

.

9、设猪圈底面正面的边长为xm , 则其侧面边长为12x m --- 2分

那么猪圈的总造价576012312038021123601120x x y x x =?+???+=++, --- 3分

因为5760576036023602880

x x x x +≥?=, --- 2分 当且仅当5760

360x

x =

, 即4x =时取“=”, --- 1分

所以当猪圈正面底边为4米侧面底边为3米时, 总造价最低为4000元. --- 2分 10、解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ,由

2421n n S n S n +=+得：12

1

3a a a +=，所以22a =，即211d a a =-=，又1

211122()42212

n n n n n n a nd a n S a nd a n a a n S a a n ++?+++===

+++?＝2(1)

1n n a n a +++，所以n a n =。

（Ⅱ）由n a

n n b a p =，得n n b np =。所以23123(1)n n

n T p p p n p np -=++++-+L ，

当1p =时，1

2

n n T +=； 当1p ≠时，

234123(1)n n n pT p p p n p np +=++++-+L ，

231

1

1(1)(1)1n n n n n n p p P T p p p p

p np

np p

-++--=+++++-=--L

即11

,12(1),11n n

n n p T p p np p p

++?=??

=?-?-≠?-?。