角平分线与垂直平分线知识点

角平分线与垂直平分线知识点

一、角平分线

1.角平分线可以得到两个相等的角。（角平分线的定义）

∵AD是∠CAB的角平分线

1∠CAB

∴∠CAD=∠B AD=

2

2.角平分线上的点到角两边的距离相等。（角平分线的性质）

∵AD是∠CAB的角平分线，DC⊥AC ，DB⊥AB

∴DC=DB

3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。

4.到角两边的距离相等的点在角平分线上。（角平分线的判定）

∵DC⊥AC ，DB⊥AB，DC=DB

∴点D在∠CAB的角平分线上。

二、角平分线图模（对称性）

1、角平分线作垂线

角平分线+垂直一边：“图中有角平分线，可向两边作垂线，作完垂线全等必出现”

若PA⊥OM于点A，可以过P点作PB⊥ON于点B，则PB=PA。利用角平分线的性质定理，可以得到?OAP≌?OBP（AAS）。

2、角平分线+垂线：“角分垂必延长”垂直角分线，等腰全等现。

若AP⊥OP于点P，可延长AP交ON于点B，构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，三线合一，?OAP≌?OBP（ASA）。

3、角平分线+斜线：“截等长构造全等”

若点A是射线OM上任意一点，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造△OPB≌△OPA（SAS）。

4、角平分线+平行线：“角平分线+平行线，等腰三角形必出现”

若过P点作PQ∥ON交OM于点Q，利用平行的内错角相等及等角对等边

可以得到△POQ是等腰三角形。

5、角平分线+对角互补：“截长补短构造全等”

6、夹角模型

①双内角角平分线模型：BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的角平分线，则：

∠P=90°+1

2∠A．

②内角和外交角平分线模型：BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的角平分线，则：

∠P=1

2∠A．

③双外角角平分线模型：BP、CP分别是∠CBD、∠BCD的角平分线，则：

∠D=90°-1

2∠B．

在∠AOB中，画角平分线：

1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交∠AOB两边于点M，N。

2.分别以点M，N为圆心，以大于1

2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。

3.作射线OP。射线OP就是所求作的∠AOB的角平分线。

三、垂直平分线（中垂线）

1、经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线。（垂直平分线的定义）

∵PC是AB的垂直平分线

∴AC=BC ，∠ACP=∠BCP=90°

2、线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。（垂直平分线的性质）

∵PC是AB的垂直平分线

∴AP=BP

3、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。（垂直平分线的判定）

∵AC=BC ，∠ACP=∠BCP=90°

∴PC是AB的垂直平分线

或∵AP=BP

∴点P在AB的垂直平分线上。

4、三角形三条垂直平分线的交点叫外心,外心到三个顶点的距离是相等的。

5、垂直平分线的画法：

1.先用圆规取大于1

2AB的长度

2.分别以A、B为圆心在线段两边,向上下界面画弧

3.连接两个交点所得到的直线就是线段AB的垂直平分线。