直角坐标系中的基本公式
2.1.2平面直角坐标系中的基本公式
知识点1. 两点间的距离公式
①. 两点 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)间的距离公式表示为d (A ,B
②. 当AB 平行于x 轴时,d (A ,B )=|x 2-x 1|; 当AB 平行于y 轴时,d (A ,B )=|y 2-y 1|; 当B 为原点时,d (A ,B
求两点距离的步骤
已知两点的坐标,为了运用两点距离公式正确地计算两点之间的距离,我们可分步骤计算:
(1)给两点的坐标赋值:(x 1,y 1),(x 2,y 2).
(2)计算两个坐标的差,并赋值给另外两个变量,即△x =x 2-x 1,△y =y 2-y 1. (3)计算 d
. (4)给出两点的距离 d .
通过以上步骤,对任意的两点,只要给出两点的坐标,就可一步步地求值,最后算出两点的距离
知识点2. 坐标法
坐标法:就是通过建立坐标系(直线坐标系或者是直角坐标系),将几何问题转化为代数问题,再通过一步步地计算来解决问题的方法.
用坐标法证题的步骤
(1)根据题设条件,在适当位置建立坐标系(直线坐标系或者是直角坐标系); (2)设出未知坐标;
(3)根据题设条件推导出所需未知点的坐标,进而推导结论. 知识点3. 中点坐标公式
已知A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,M (x ,y )是线段AB 的中点,则有 12122
2
x x x y y y +?=???+?=??
(1)两点间线段的中点坐标是常遇到的问题,中点法也是数形结合中常考察的知识点,这一思想常借助于图象的线段中点特征加以研究,确定解题策略。
(2)若已知点P(x,y),则点P关于点M(x0,y0)对称的点坐标为P’(2x0-x,2y0-y).
(3)利用中点坐标可以求得△ABC(A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3))的重心坐标为123
123
3
3
x x x
x
y y y
y
++
?
=
??
?
++
?=
??
题型1. 公式的基本应用
例1.求下列两点的距离及线段中点的坐标,
(1)A(-1,-2),B(-3,-4);(2)C(-2,1),D(5,2).
(2)设CD的中点为N(x,y),得线段CD的中点坐标为N(
2
3
,
2
3
),
例2.已知点A(-1,3),B(3,1),点C在坐标轴上,∠ACB=90°,则满足条件的点C 的个数是()
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
题型2. 公式的逆用
例3. 已知点A(3,6),在x轴上的点P与点A的距离等于10,求点P的坐标.
例4.△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形,用坐标法证明:|AE|=|CE|.
例5.已知△ABC的顶点为A(-1,3),B(3,-2),C(2,4),求BC边上的中线AM的长.
【练习】
1.如果一条线段的长是5个单位,它的一个端点是A(2,1),另一个端点B的横坐标是-1,则端点B的纵坐标是()
(A)-3 (B)5 (C)-3或5 (D)-1或3
2.设A(1,2),在x轴上求一点B,使得|AB|=5,则B点的坐标是()
(A)(2,0)或(0,0) (B)(10)
(C)(10) (D)(10)或(10)
3.若x轴上的点M到原点及点(5,-3)的距离相等,则M点的坐标是()(A)(-2,0) (B)(1,0) (C)(1.5,0) (D)(3.4,0)
4.若点M在y轴上,且和点(-4,-1), (2,3)等距离,则M点的坐标是 . 5.若点P(x,y)到两点M(2,3)和N(4,5)的距离相等,求x+y的值.
6.设D为△ABC的边BC上的一点,而BD=2DC,求证:|AB|2+2|AC|2=3|AD|2+6|CD|2.
例6.求函数y.
例7.已知正方形ABCD的三个顶点坐标是A(2,3),B(6,6),C(3,10),求顶点D的坐标。
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