平面向量全部讲义

第一节平面向量的概念及其线性运算

1．向量的有关概念

(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量．

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．

例1．若向量a 与b 不相等，则a 与b 一定( )

A ．有不相等的模

B ．不共线

C ．不可能都是零向量

D ．不可能都是单位向量

例2．.给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB u u u r ＝DC u u u

r 等价于四边形

ABCD 为平行四边形；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 等价于|a |＝|b |且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是( )

A ．②③

B ．①②

C ．③④

D ．④⑤

CA

2．向量的线性运算

向量运算

定义

法则(或几何意义)

运算律

加法

求两个向量和的运

算

三角形法则

(1)交换律：

a ＋

b ＝b ＋a ； (2)结合律： (a ＋b )＋

c ＝

a ＋(

b ＋

c )

平行四边形法则

减法

求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差

三角形法则

a －

b ＝a ＋(－b )

数乘

求实数λ与向量a

的积的运算

(1)|λa |＝|λ||a |；

(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0

λ(μ a )＝(λμ)a ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb 例3：化简AC －BD ＋CD －AB 得( ) D ．0

例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF 中，BA u u u r ＋CD u u u r ＋EF u u u r

＝( )

A ．0

B ．BE u u u r

C ．A

D u u u r

D ．CF u u u r

(2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝2

3BC .若DE u u u r ＝λ1AB u u u r ＋λ2AC u u u r

(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．

巩固练习：

1．将4(3a ＋2b )－2(b －2a )化简成最简式为______________．

2．若|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，则非零向量OA →，OB →

的关系是( ) A ．平行 B ．重合 C ．垂直 D ．不确定

3．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB u u u r －CB u u u

r ＋CD u u u r |＝________

4．D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD u u u r

等于( ) A ．－BC u u u r ＋12BA u u u r B ．－BC u u u r －12BA u u u r C ．BC u u u r －12BA u u u r

D ．BC u u u r ＋12BA u u u r

5．若A ，B ，C ，D 是平面内任意四点，给出下列式子：①AB u u u r ＋CD u u u r ＝BC u u u r ＋DA u u u r ；②AC u u u r ＋BD u u u r ＝BC u u u r ＋AD u u u r

；③AC u u u r －BD u u u r ＝DC u u u r ＋AB u u u r

.其中正确的有( )

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

6．如图，在△ABC 中，D ，E 为边AB 的两个三等分点，CA →＝3a ，CB →＝2b ，求CD →，CE →

.

DD 12 巩固练习 1。16a ＋6b 2。C 3。2 4。A 5。C 6．解：AB →＝AC →＋CB →

＝－3a ＋2b ，∵D ，E 为AB →的两个三等分点，∴AD →＝13AB →＝－a ＋23b ＝DE →. ∴CD →＝CA →＋AD →＝3a －a ＋23b ＝2a ＋23b .∴CE →＝CD →＋DE →

＝2a ＋23b －a ＋23b ＝a ＋4

3b.

3．共线向量定理：向量a (a≠0)与b 共线等价于存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .

例5．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________

例6． 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB u u u r

＝a ＋b ，BC u u u r ＝2a ＋8b ，CD u u u r ＝3(a －b )，

求证：A ，B ，D 三点共线．(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． 巩固练习： 1．给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

2.如图，已知AB u u u r ＝a ，AC u u u r ＝b ，BD u u u r ＝3DC u u u r ，用a ，b 表示AD u u u r ，则AD u u u r

＝( )

A ．a ＋34b a ＋34b a ＋1

4b

a ＋14b

3．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝( )

A ．a

B ．b

C ．c

D ．0

4如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ，若AB ＝4，且AD u u u r ＝14AC u u u r ＋λAB u u u r

(λ∈R )，则AD 的

长为( )

A ．2 3

B ．3 3

C ．4 3

D ．53

5．在?ABCD 中，AB u u u r ＝a ，AD u u u r ＝b ，AN u u u r ＝3NC u u u r ，M 为BC 的中点，则MN u u u u r

＝________(用

a ，

b 表示)．

6．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC u u u r 2＝16，|AB u u u r ＋AC u u u r |＝|AB u u u r －AC u u u r |，则|AM u u u u r

|＝________.

例5．－1

3 例6． [解] (1)证明：∵AB u u u r ＝a ＋b ，BC u u u r ＝2a ＋8b ，CD u u u r ＝3(a －b )，

∴BD u u u r ＝BC u u u r ＋CD u u u r ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB u u u r .∴AB u u u r ，BD u u u r

共线，

又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．

(2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，

即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1. C B D B －14a ＋1

4b 2

4．向量的中线公式: 若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP u u u r ＝12(OA u u u r ＋OB u u u r

)．

5．三点共线等价关系

A ，P ，

B 三点共线?AP u u u r ＝λAB u u u r

(λ≠0)?OP u u u r ＝(1－t )·OA u u u r ＋t OB u u u r (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一

点，t ∈R)?OP u u u r ＝x OA u u u r ＋y OB u u u r

(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．

第二节 平面向量的基本定理及坐标表示

1．平面向量基本定理

如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.

其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

2．平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 2

1.

(2)向量坐标的求法：

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB u u u r ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB u u u r

|＝

x 2－x 1

2＋

y 2－y 12.

3．平面向量共线的坐标表示

设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠∥b ?x 1y 2－x 2y 1＝0.

例7．若A (0,1)，B (1,2)，C (3,4)，则AB →－2BC →

＝________

例8.已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN u u u u r

＝－3a ，则点N 的坐标为( )

A ．(2,0)

B ．(－3,6)

C ．(6,2)

D ．(－2,0)

例9．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB u u u r

＝a ，BC u u u r ＝b ，CA u u u r ＝c .(1)求3a ＋b －3c ；

(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n .

巩固练习：

1．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( ) A ．3a ＋b B ．3a －b C ．－a ＋3b D ．a ＋3b

2．已知向量a ＝(x ，y )，b ＝(－1,2)，且a ＋b ＝(1,3)，则|a |等于( )

3．已知向量a ＝(－3,2)，b ＝(x ，－4)，若a ∥b ，则x ＝( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7

4．设点A (2,0)，B (4,2)，若点P 在直线AB 上，且|AB →|＝2|AP →

|，则点P 的坐标为( ) A ．(3,1) B ．(1，－1) C ．(3,1)或(1，－1) D ．无数多个

5．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，k ＝( ) B ．－14 C ．－1

3

6．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值、最小值分别是( )D A ．4

2，0 B ．4

2，4 C ．16,0 D ．4,0

7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，c ＝(4,1)，若用a 和b 表示c ，则c ＝________.

8．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________.

.例7．(－3，－3) 例 例9．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．

(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴????? －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得?????

m ＝－1，

n ＝－1.

B C C C C D 2a －b 5

平面向量基本定理及其应用：如果，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1

＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．

特别注意：若e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量， a ＝λ1e 1＋λ2e 2，2211e e b μμ+=则??

?==?=2

21

1μλμλb a

例10：（1）如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →

|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →

(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．

（2）已知,AD BE u u u r u u u r 分别是ABC ?的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==u u u r r u u u r r ,则BC u u u r

可用向量,a b r r 表示为_____

（3）．如图，已知C 为OAB ?边AB 上一点，且),(,2R n m OB n OA m OC CB AC ∈+==,则mn =__________

变式训练：

1.在ABC △中,已知D 是AB 边上一点,若123

AD DB CD CA CB λ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

，,则λ=

（ ）A

A ．23

B ．13

C ．13-

D ．23

-

2..设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →

(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．

3.若M 为ABC ?内一点,且满足AC AB AM 4

1

43+=,则ABM ?与ABC ?的面积之比为_________.

4..若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →

，则△ABM 与△ABC 的面积比为 ( ) C

例10：6 2433a b +r r

2

9 A 12 1:4 C

平面向量共线的坐标表示

例11．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当实数k 取何值时，k a ＋2b 与2a －4b 平行

练习：1．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则m

n 等于( )C A ．－2 B ．2 C ．－1

2

2．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC u u u r ＝2AB u u u r

，求点C 的

坐标．

3．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；

例11．解法一：∵2a －4b ≠0，∴存在唯一实数λ，使k a ＋2b ＝λ(2a －4b )．将a ，b 的坐标代入上式， 得(k －6,2k ＋4)＝λ(14，－4)，得k －6＝14λ且2k ＋4＝－4λ，解得k ＝－1.

解法二：同法一有k a ＋2b ＝λ(2a －4b )，即(k －2λ)a ＋(2＋4λ)b ＝0.∵a 与b 不共线，∴?

????

k －2λ＝0，

2＋4λ＝0.

∴k ＝－1.

1．C 2．解：(1)由已知得AB u u u r ＝(2，－2)，AC u u u r ＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB u u u r ∥AC u u u

r .

∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.

(2)∵AC u u u r ＝2AB u u u r ，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)．∴???

?? a －1＝4，b －1＝－4，解得?

????

a ＝5，

b ＝－3.

∴点C 的坐标为(5，－3)．

3．[解] (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以?

????

－m ＋4n ＝3，

2m ＋n ＝2，得

???

m ＝59，

n ＝89.

(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0.∴k ＝－16

13

平面向量的数量积及应用

知识梳理

1．两个向量的夹角

(1)定义：已知两个__________向量a 和b ，作OA u u u r ＝a ，OB uuu r

＝b ，则__________称作向量a 与

向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉．

(2)范围：向量夹角〈a ，b 〉的范围是__________，且__________＝〈b ，a 〉．

(3)向量垂直：如果〈a ，b 〉＝__________，则a 与b 垂直，记作__________．

2．平面向量的数量积

(1)平面向量的数量积的定义：__________叫作向量a 和b 的数量积(或内积)，记作a ·b ＝__________.可见，a ·b 是实数，可以等于正数、负数、零．其中|a |cos θ(|b |cos θ)叫作向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影．

(2)向量数量积的运算律

①a ·b ＝__________(交换律) ②(a ＋b )·c ＝__________(分配律) ③(λa )·b ＝__________＝a ·(λb )(数乘结合律)．

3．平面向量数量积的性质：已知非零向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)

一、平面向量数量积的运算

例1(1)在等边三角形ABC 中，D 为AB 的中点，AB ＝5，求AB u u u r ·BC uuu

r ，CD u u u r ；

(2)若a ＝(3，－4)，b ＝(2,1)，求(a －2b )·(2a ＋3b )和|a ＋2b |.

变式训练

1．已知下列各式：

①|a |2＝a 2；②a ·b |a |2＝b

a ；③(a ·

b )2＝a 2b 2；④(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2，其中正确的有( )．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

2.下列命题中：①

→→→→→→→

?-?=-?c a b a c b a )(； ②

→

→→→→→

??=??c b a c b a )()(； ③

2

()a b →

→

-2

||a →

=22||||||a b b →

→

→

-?+；

④ 若0=?→

→b a ，则0=→

a 或0=→

b ； ⑤若,a b

c b ?=?r r r r

则a c =r r ； 其中正确的是______（答：①）

3.23120o

a b a b ==r r r r 已知，，与的夹角为，求2212323a b a b a b a b ?--?+r r r r r r r r （）；（）；（）（）（）

4..已知3a =r ，4b =r ，a r 与b r 的夹角为4

3π，求(3)(2)a b a b -?+r r r r 。

5．已知a ＝(1，－3)，b ＝(4,6)，c ＝(2,3)，则(b ·c )a 等于( )． A ．(26，－78) B ．(－28，－42) C ．－52 D ．－78

二、求平面向量的模

例2．（1）设向量,a b r r 满足1a b ==r r 及323a b -=r r ，求3a b +r r

的值 ．

（2）设平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|3a ＋b |等于( )．

A ． 5

B ． 6

C ．17

D ．26

变式训练

1．已知|a ρ|=2,|b ρ|=5,a ρ·b ρ=-3,则|a ρ+b ρ|= ,|a ρ-b ρ

|=

2. 若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2且a 与b 的夹角为π

3，则|a ＋b |＝__________.

3.△ABC 中，3||=?→

?AB ，4||=?→

?AC ，5||=?→

?BC ，则=?BC AB _________（答：－9）；

4.已知向量a ＝????cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝????cos x 2，－sin x 2，且x ∈????－π3，π4.

(1) 求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．

三、求夹角

例3已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.(1)求a 与b 的夹角θ；

变式训练：

1. 1a b a b a a b ==-r r r r r r r

已知，与垂直，求与的夹角。

2．若,a b r r 是非零向量且满足(2)a b a -⊥r r r ，(2)b a b -⊥r r r ，则a r 与b r

的夹角（ ）

A. 6π

B. 3π

C. 32π

D. 6

5π

3.已知,a b r r

是两个非零向量，且a b a b ==-r r r r ，则与a a b +r r r 的夹角为____（答：30o ）

4、已知(6,0)a =r ，(5,5)b =-r ，则a r 与b r

的夹角为（ ） A 、045 B 、060 C 、0135 D 、

120

5.已知11(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=-r r r r r u r r r ，c r 与d u r 的夹角为4

π

，则k 等于____（答：1）；

6.已知3||=→

a ，5||=→

b ，且12=?→→b a ，则向量→a 在向量→

b 上的投影为______（答：

5

12）

四。利用数量积解决垂直问题

例4 若非零向量αu r 、βu r 满足αβαβ+=-u r u r u r u r ，证明:αu r ⊥βu r

变式训练：

1.已知(1,2),(3,)OA OB m =-=u u u r u u u r ，若OA OB ⊥u u u r u u u r ，则m = （答：32

）；

2.以原点O 和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=?，则点B 的坐标是________ （答：(1,3)或（3，－1））；

3.已知(,),n a b =r 向量n m ⊥r u r ，且n m =r u r

，则m u r 的坐标是________ （答：(,)(,)b a b a --或）

4．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )答案：B

5.在△ABC 中，=(2, 3)，=(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角， 求k 值

五：求夹角范围

例5 （1）已知||2||0a b =≠r r ,且关于x 的方程2

||0x a x a b ++?=r r r 有实根,则a r 与b r 的夹角的取值范围是 ( )

A.[0,

6π] B.[,]3ππ C.2[,]33ππ D.[,]6

π

π （2）已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→

b ,如果→

a 与→

b 的夹角为锐角,则λ的取值范围是

变式训练．

1. 设平面向量a =(－2，1)，b =(λ，－1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）答案：A A 、

),2()2,21(+∞?- B 、),2(+∞ C 、),21(+∞- D 、)2

1

,(--∞ 2.已知OFQ ?的面积为S ，且1=??→

??→?FQ OF ，若2321<

六、向量与三角综合应用

例6．设(cos ,(1)sin ),(cos ,sin ),(0,0)2

a b π

αλαββλαβ=-=><<

a b -r r 互相垂直.(Ⅰ）求实数λ的值；(Ⅱ）若45a b ?=r r ，且4

tan 3

β=，求tan α的值.

变式训练．设)sin ,cos 1(αα+=a ?

，)sin ,cos 1(ββ-=b ?，)0,1(=c ?，其中),0(πα∈，)2,(ππβ∈，a ?与c ?的

夹角为1θ，b ?

与c ?的夹角为2θ，且6

21π

θθ=-，求4

sin

β

α-的值。

【答案】

)cos sin 2,2cos 2(2

ααα

=)2sin ,2(cos 2cos 2ααα=)2cos 2sin 2,2sin 2(2βββ=)2

cos ,2(sin 2sin 2β

ββ= 因为)2,(),,0(ππβπα∈∈，所以

)2,0(2πα

∈，),2(2ππβ∈

2

sin 22cos 2β

α==，

2cos 2cos 22cos 2cos 2

1ααα

θ==

=

=2cos

θ)22cos(2sin 2sin 22sin 22

πββββ

-===

因为2220ππβ<-<，所以222πβθ-=，又,621πθθ=-所以6222π

πβα=+-，

故32πβα-=-，所以21)6sin(4sin -=-=-πβα。