应用相似三角形测量

初三数学中考备考

专题复习-----应用相似三角形测量导学案

户县第四职校马卫红

学习目标：

使学生识记相似三角形的判定条件和性质，综合运用其有关知识解决问题。并了解应用相似三角形解决测量问题的基本模型和方法步骤。

一、知识点梳理：

1、三角形相似的识别方法有三个：（1）________的两个三角形相似；（2）____的

两个三角形相似；（3）________的两个三角形相似；

2、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段________；平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段________。故平行---相似。

3、相似三角形的对应角____，对应____、____、____、____、____的比都等于相似比；面积比等于相似比的____．

4、相似三角形的基本图形（请同学们自己画一画）

二、小试牛刀：

1、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，2

=DB AD ，则下列结论中正确的是（）

。 A.

21=AC AE B. 2

=BC DE C.

31=??的周长的周长ABC ADE D. 31=??的面积的面积ABC ADE

2、如图，点P 是ABCD 边上的一点，射线CP 交DA 的延长线于点E ，则图中相似的三角形有（）。

A. 0对

B. 1对

C. 2对

D. 3对

3、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝3，点P 为AC 的中点，过点P 沿直线剪去△ABC 的一个角，使剪去的三角形与△ABC 相似，则共有剪法（）

A. 2种

B. 3种 C ．4种 D. 5种

三、学以致用:

应用类型1：方法1：如图，为了估算河的宽度，使AB ⊥BC ，EC ⊥BC ，用视线确定BC 和AE 的交点D ．此时如果测得BD ＝120米，DC ＝60米，EC ＝50米，求两岸间的大致距离．

方法2：我们在河对岸选定一目标点A ，在河的一边选点D 和E ，使DE ⊥AD ，然后选点B ，作BC ∥DE ，与视线EA 相交于点C 。此时，测得DE 、BC 、BD ，就可以求两岸间的大致距离AB 了。此时如果测得DE ＝120m ，BC ＝60m ，BD ＝50m ，求两岸间的大致距离AB 。

应用类型2：方法1：

例1：古代数学家测量金字塔高度的方法是：为了测量金字塔的高度OB ，先竖一根已知长度的木棒EF ，比较棒子的影长FD 与金字塔的影长OA ，即可近似算出金字塔的高度OB ，如果EF ＝2m ，FD ＝3m ，OA ＝201m

，求金字塔的高度OB 。

方法2：点C 处放置平面镜，测得ED=1.5m CD=2m CB=132m 求AB 的长。

E D

四、能力提升：

拓展训练1:某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．

如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．

拓展训练2：1、某同学想测旗杆的高度，他在某一时刻测得1m长的竹竿竖直时的影长为1.5m，同一时刻测量旗杆影长时，因旗杆靠近一幢楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长为9m，留在墙上的影长为2m，求旗杆的高度。(多种方法）五、课堂小结：

1、在实际生活中，我们面对不能直接测量物体长度、高度和宽度时。可以建立相似三角形模型，把它们转化为数学问题，把不易测的边转化为测它的对应边的问题，再利用对应边成比例来达到求解的目的。

2、相似三角形的应用主要有两个方面：

（1）测高:通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；

（2）测距:常构造相似三角形求解。

3、运用相似三角形解决实际问题的方法步骤为：

（1）审题；

（2）构建图形；

（3）利用相似三角形解决问题。

挑战自我：

小明为测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF,然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m时，他的眼睛、标杆的顶端和树顶端在同一直线上，已知小明身高1.6m,求树的高度。

A N

B D

《相似三角形的应用举例》中考真题

相似三角形的应用举例 1. （2011浙江金华，9，3分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（） A.600m B.500m C.400m D.300m 【答案】B 2. （2011浙江丽水，9，3分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直. 如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（） A.600m B.500m C.400m D.300m 【答案】B 3. （2011湖南怀化，21，10分）如图8，△ABC,是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高， B C=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在B C 上，顶点G 、H 分别在AC ，AB 上，A D 与HG 的交点为M. (1) 求证：;AM HG AD BC (2) 求这个矩形EFGH 的周长.

【答案】 (1) 解：∵四边形EFGH 为矩形 ∴EF∥GH ∴∠AHG=∠ABC 又∵∠HAG=∠BAC ∴ △AHG∽△ABC ∴ ;AM HG AD BC = （2）由（1）得 ;AM HG AD BC =设HE=x ，则HG=2x ，AM=AD-DM=AD-HE=30-x 可得40 23030x x =-，解得，x=12 ， 2x=24 所以矩形EFGH 的周长为2×（12+24）=72cm. 4. （2011上海，25，14分）在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =30，AB =50．点P 是AB 边上任意一点，直线PE ⊥AB ，与边AC 或BC 相交于E ．点M 在线段AP 上，点N 在线段BP 上，EM =EN ，sin ∠EMP = 1213 ．（1）如图1，当点E 与点C 重合时，求CM 的长；（2）如图2，当点E 在边AC 上时，点E 不与点A 、C 重合，设AP =x ，BN =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若△AME ∽△ENB （△AME 的顶点A 、M 、E 分别与△ENB 的顶点E 、N 、B 对应），求AP 的长．图1 图2 备用图【答案】（1）∵∠ACB =90°，∴AC ． ∵S =12 AB CP ??=1 2 AC BC ??, ∴CP =AC BC AB ?=403050 ?=24．在Rt△CPM 中，∵sin∠EMP =1213 ， ∴1213CP CM =．

利用相似三角形测高

第四章图形的相似一、利用相似三角形测高知识点1：利用阳光下的影子来测量旗杆的高度操作方法：一名学生在直立于旗杆影子的顶端处测出该同学的_________和此时旗杆的_______．(点拨：把太阳的光线看成是平行的．) ∵太阳的光线是_________的，∴________∥_________，∴∠AEB ＝∠CBD ， ∵人与旗杆是________于地面的，∴∠ABE ＝∠CDB=_____°， ∴△_______∽△_______ ∴BD BE CD AB = 即CD=BE BD AB ? 因此，只要测量出人的影长BE ，旗杆的影长DB ，再知道人的身高AB ，就可以求出旗杆CD 的高度了．知识点2：利用标杆测量旗杆的高度操作方法：选一名学生为观测者，在他和旗杆之间的地面上直立一根高度已知的标杆，观测者前后调整自己的位置，使旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在____________时，分别测出他的脚与旗杆底部，以及标杆底部的距离即可求出旗杆的高度．如图，过点A 作AN ⊥DC 于N ，交EF 于M ．点拨：∵人、标杆和旗杆都_______于地面，∴∠ABF ＝∠EFD ＝∠CDH ＝_______° ∴人、标杆和旗杆是互相_______的． ∵EF ∥CN ，∴∠_____＝∠_____，∵∠3＝∠3， ∴△______∽△______，∴CN EM AN AM =

∵人与标杆的距离、人与旗杆的距离，标杆与人的身高的差EM 都已测量出， ∴能求出CN ，∵∠ABF ＝∠CDF ＝∠AND ＝90°，∴四边形ABND 为 ________． ∴DN ＝_______，∴能求出旗杆CD 的长度．知识点3：利用镜子的反射操作方法：选一名学生作为观测者．在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子，固定镜子的位置，观测者看着镜子来回调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆_______．测出此时他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度．点拨：入射角＝反射角 ∵入射角＝反射角 ∴∠________＝∠________ ∵人、旗杆都_________于地面 ∴∠B ＝∠D ＝_______° ∴△________∽△________，∴DE BE CD AB 因此，测量出人与镜子的距离BE ，旗杆与镜子的距离DE ，再知道人的身高AB ，就可以求出旗杆CD 的高度．二、例题精讲例1：如图，有一路灯杆AB （底部B 不能直接到达），在灯光下，小华在点D 处测得自己的影长DF=3m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己的影长FG=4m ，如果小华的身高为，求路灯杆AB 的高度。例2：如图，小华在晚上由路灯A 走向路灯B ，当他走到点P 时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A 的底部，当他向前再步行12m 到达点Q 时，发现他

《相似三角形的应用》教案

27.2.3 相似三角形的应用（王军）一、教学目标 1．核心素养通过学习相似三角形的应用举例，初步形成基本的推理能力和应用意识．2．学习目标进一步巩固相似三角形的知识，学会用相似三角形知识解决不能直接测量的物体的长度或高度等一些实际问题． 3．学习重点运用相似的判定和性质定理解决实际问题． 4．学习难点灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务任务1 阅读教材P39-40,思考：如何测量不能到达顶部的物体的高度？任务2 阅读教材P39-40,思考：如何测量不能直接到达的两点间的距离？任务3 阅读教材P40-41,思考：什么是视点、视线、仰角、俯角？什么是盲区？2．预习自测 1.测量不能到达顶部的物体的高度，通常借助太阳光照射物体形成影子，根据同一时刻物高与影长______或利用相似三角形来解决. 2.求不能直接到达的两点间的距离，关键是构造___________,然后根据相似三角形的性质求出两点间的距离. 3.如图，小明测量某广场旗杆的高度，他从A走1.8m到C 处时，他头顶的影子正好与点A重合.已知小明身高1.58m，并测得BC＝7.2m，则旗杆的高度是( ) A．8m B．7.9m C．7.5m D．7.2m （二）课堂设计 1．知识回顾 1.三角形相似的判定方法：

（1）定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似； (3)判定定理1(边边边)：三边对应成比例，两三角形相似； (4)判定定理2(边角边)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（5）判定定理3(角角)：两角对应相等，两三角形相似；（6）直角三角形相似的判定定理（HL）：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似. 2.相似三角形的性质：（1）相似三角形对应角相等、对应边成比例. （2）相似三角形对应边上的高线之比、对应边上中线之比、对应角平分线之比等于相似比. 相似三角形对应线段之比等于相似比. （3）相似三角形的周长之比等于相似比. （4）相似三角形的面积之比等于相似比的平方. 2．问题探究问题探究一如何测量不能到达顶部的物体的高度？重点、难点知识★▲ ●活动1 探究利用三角形相似测量物高据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度. 小组合作：自学课本第39页，例题4----测量金字塔高度问题。例：如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3m，测得OA为 201m，求金字塔的高度BO. 怎样测出OA的长？

相似三角形的应用举例

27.2.2相似三角形应用举例教学目标: 1．进一步巩固相似三角形的知识． 2．能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题）等的一些实际问题． 3．通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．重点、难点 1．重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度． 2．难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．一、知识链接 1、判断两三角形相似有哪些方法? 2、相似三角形有什么性质？二、.探索新知 1、问题1：学校操场上的国旗旗杆的高度是多少？你有什么办法测量？ 2、在平行光线的照射下，不同物体的物高与影长成比例练习：（1.）一根1.5米长的标杆直立在水平地面上,它在阳光下的影长为2.1米；此时一棵水杉树的影长为10.5米,这棵水杉树高为( ) A.7.5米 B.8米 C.14.7米 D.15.75米

（2.）在某一刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的高为60 米,那么高楼的影长是多少米? 3. 世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家，叫什么金字塔？胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”．塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？ 3、例题讲解例3：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度．如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO．（思考如何测出OA的长？）分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度．解： 4、课堂练习在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为90米，那么高楼的高度是多少米? （在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．）

利用相似三角形测高

兰州十一中教案

教学过程第一环节设置情境，引入新课活动内容：学生课前预习、教师课堂引导、学生课上讨论，归纳总结出测量一些不能直接测量的物体的高度的方法：1．利用阳光下的影子来测量旗杆的高度，如图1：图1 操作方法：一名学生在直立于旗杆影子的顶端处测出该同学的影长和此时旗杆的影长．点拨：把太阳的光线看成是平行的．图2 ∵太阳的光线是平行的，∴AE∥CB，∴∠AEB＝∠CBD， ∵人与旗杆是垂直于地面的，∴∠ABE＝∠CDB，∴△ABE∽△CBD ∴ BD BE CD AB =即CD= BE BD AB? 因此，只要测量出人的影长BE，旗杆的影长DB，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度了． 2．利用标杆测量旗杆的高度操作方法：选一名学生为观测者，在他和旗杆之间的地面上直立一根高度已知的标杆，观测者前后调整自己的位置，使旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在同一直线上时，分别测出他的脚与旗杆底部，以及标杆底部的距离即可求出旗杆的高度．如图，过点A作AN⊥DC于N，交EF于M．

图3 点拨：∵人、标杆和旗杆都垂直于地面，∴∠ABF ＝∠EFD ＝∠CDH ＝90° ∴人、标杆和旗杆是互相平行的． ∵EF ∥CN ，∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠3，△AME ∽△ANC ，∴CN EM AN AM = ∵人与标杆的距离、人与旗杆的距离，标杆与人的身高的差EM 都已测量出， ∴能求出CN ，∵∠ABF ＝∠CDF ＝∠AND ＝90°，∴四边形ABND 为矩形． ∴DN ＝AB ，∴能求出旗杆CD 的长度． 3．利用镜子的反射操作方法：选一名学生作为观测者．在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子，固定镜子的位置，观测者看着镜子来回调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆项端．测出此时他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度．点拨：入射角＝反射角图4 ∵入射角＝反射角 ∴∠AEB ＝∠CED ∵人、旗杆都垂直于地面 ∴∠B ＝∠D ＝90°∴DE BE CD AB = 因此，测量出人与镜子的距离BE ，旗杆与镜子的距离DE ，再

九年级数学相似三角形的应用举例

19.7相似三角形的应用目的：利用相似三角形的性质解决实际问题．中考基础知识通过证明三角形相似线段成比例()() ????方程含有未知数的等式函数求最值等问题备考例题指导例1．如图，P 是△ABC 的BC 边上的一个动点，且四边形ADPE 是平行四边形．（1）求证：△DBP ∽△EPC ；（2）当P 点在什么位置时，S ADPE = 1 2 S △ABC ，说明理由．分析：（1）证明两个三角形相似，常用方法是证明两个角对应相等，题目中有 ADPE ? 平行线?角相等，命题得证．（2）设 BP BC =x ，则CP BC =1-x ， ADPE ?DP ∥AC ， EP ∥AB ， △BDP ∽△BAC △CPE ∽△CBA ∴ FPC ABC S S ??=（CP CB ）2=（1-x ）2，BDP BAC S S ??=（BP BC ）2=x 2 ∴ BDP CPE ABC S S S ???+=x 2+（1-x ）2 ． ∵S ADPE = 12 S △ABC ，即ADPE ABC S S ?=1 2．

∴x2+（1-x）2=1 2 （转化为含x的方程） x=1 2 ， ∴BP BC = 1 2 ．即P应为BC之中点．例2．已知△ABC中，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB于D，且AD=m，BD=n，AC2：BC2=2： 1，又关于x的方程1 4 x2-2（n-1）x+m2-12=0的两个实数根的差的平方小于192，求m，n 为整数时，?一次函数y=mx+n的解析式．分析：这是一个几何、代数综合题，由条件发现，建立关于m，n的方程或不等式，?求出m，n再写出一次函数．抓条件：AC2：BC2=2：1做文章（转化到m，n上）．双直角图形?有相似形?比例式（方程） ∠ACB=90°，CD⊥AB Rt△BCD∽Rt△BAC BC2=BD·BA，同理有AC2=AD·AB， ∴ 2 2 BC AC = BD BA AD AB ?=m=2n ① 抓条件：x1+x2=8（n-1），x1x2=4（m2-12）．由（x1-x2）2<192 配方（x1+x2）2-4x1x2<192． 64（n-1）2-16（m2-12）<192， 4n2-m2-8n+4<0．② ①代入②?n>1 2 ．又由△≥0得4（n-1）2-4×1 4 （m2-12）≥0， ①代入上式得n≤2．③

利用相似三角形测高专题训练

利用相似三角形测高基础题知识点1　利用阳光下的影子测量高度 1．要测量出一棵树的高度，除了测量出人高与人的影长外，还需要测出( ) A．仰角B．树的影长 C．标杆的影长D．都不需要 2．小玲和爸爸正在散步，爸爸身高1.8 m，他在地面上的影长为2.1 m，若小玲比爸爸矮0.3 m，则她的影长为( ) A．1.3 m B．1.65 m C．1.75 m D．1.8 m 3．如图，夏季的一天，身高为1.6 m的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3.2 m，CA＝0.8 m，于是得出树的高度为( ) A．8 m B．6.4 m C．4.8 m D．10 m 4．(北京中考)在某一时刻，测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时测得一根旗杆的影长为25 m，那么这根旗杆的高度为________m. 5．已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB＝5 m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3 m.

(1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影； (2)在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6 m，请你计算DE的长．知识点2　利用标杆测量高度 6．(娄底中考)如图，小明用长为3 m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB＝12 m，则旗杆AB的高为________m. 7．如图，一天早上，小张正向着教学楼AB走去，他发现教学楼后面有一水塔DC，可过了一会抬头一看：“怎么看不到水塔了”心里很是纳闷．经过了解，教学楼、水塔的高分别为20 m和30 m，它们之间的距离为30 m，小张身高为1.6 m．小张要想看到水塔，他与教学楼的距离至少应有多少米？

相似三角形与实际应用

1 / 2 初中数学优秀生特长生培训方案相似三角形与实际应用一，思想、方法解读利用相似三角形解决实际问题的方法与步骤 1、分析题意 2、画出图形 3、找出两个能解决问题的两个相似三角形 4、证明这两个三角形相似 5、写出比例式（要包含已知条件和题中要求的未知量或相关量） 6、由比例式解决问题或由比例式列方程解决问题二，思想方法分类例析（一）利用相似三角形进行测量例1．在一次数学活动课上，李老师带领学生去测教学楼的高度，在阳光下，测得身高为1.65m 的黄丽同学BC 的影长BA 为1.1m ，与此同时，测得教学楼DE 的影长DF 为12.1m ，如图所示，请你根据已测得的数据，测出教学楼DE 的高度．(精确到0.1m) 例2.我侦察员在距敌方200米的地方发现敌人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住。若此时眼睛到食指的距离约为40cm ，食指的长约为8cm,你能根据上述条件计算出敌方建筑物的高度吗？请说出你的思路。例3．小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m 的竹竿影长0.9m ，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m ，又测得地面部分的影长2.7m ，他求得的树高是多少？例4.如图:学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆AB 的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长BC =20 米，斜坡坡面上的影长CD =8米，太阳光线AD 与水平地面成30° 角，斜坡CD 与水平地面BC 成30°的角，求旗杆AB 的高度（精确到1米）．（二）利用相似三角形进行方案设计例5、如图， ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高 AH=80毫米,要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上．这个正方形零件的边长是多少? 例6、一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面积为1.22m ，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案，甲的方案如图（1），乙的 A B C D

中考试题相似三角形的应用

学科：数学专题：相似三角形的应用主讲教师：黄炜北京四中数学教师重难点易错点解析在构造相似模型时，务必找准对应边．题一题面：如图所示，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距离墙角1.6m，梯上点D距离墙1.4m，BD长0.55m，则梯子长为( ) A．3.85m B．4.00m C．4.40m D．4.50m 金题精讲题一题面：在已知半圆内，求作内接正方形．

位似变换满分冲刺题一题面：如图，小明准备测量学校旗杆AB的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长BC=20m，斜坡坡面上的影长CD=8m，太阳光线AD与水平地面成30°角，斜坡CD与水平地面所成的锐角为30°，求旗杆AB的高度．相似三角形的应用题二题面：如图，正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和点F的坐标分别为（3，2），（-1，-1），则两个正方形的位似中心的坐标是_________．位似中心、平面直角坐标系

题三题面：在已知三角形内，求作内接正方形．相似三角形的应用讲义参考答案重难点易错点解析题一答案：C ．金题精讲题一答案：正方形EFGH 即为所求．满分冲刺题一答案：20324 3 m ．

题二答案：位似中心的坐标是(1，0)或(-5，-2)．题三答案：方法1：利用位似形的性质作图法(图16) 图16 作法：(1)在AB上任取一点G＇，作G＇D＇⊥BC； (2)以G＇D＇为边，在△ABC内作一正方形D＇E＇F＇G＇； (3)连结BF＇，延长交AC于F； (4)作FG∥CB，交AB于G，从F，G各作BC的垂线FE，GD，那么DEFG就是所求作的内接正方形．方法2：利用代数解析法作图(图17) 图17 (1)作AH(h)⊥BC(a)； (2)求h＋a，a，h的比例第四项x； (3)在AH上取KH=x； (4)过K作GF∥BC，交两边于G，F，从G，F各作BC的垂线GD，FE，那么DEFG就是所求的内接正方形．初中数学试卷灿若寒星制作

相似三角形应用举例教学设计

《27.2.3相似三角形应用举例》的教学设计绥阳县思源实验学校王玉乾教学内容：27.2.3相似三角形应用举例教学目标： 1．让学生学会运用两个三角形相似解决实际问题。 2．培养学生的观察﹑归纳﹑建模﹑应用能力。 3．让学生经历从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力。教学重点与难点重点：运用两个三角形相似解决实际问题难点：在实际问题中建立数学模型教学准备：课件教学过程：一、复习旧知温故知新问题1：判定两三角形相似的方法有哪些？（学生举手回答）问题2：相似三角形的性质有哪些？设计意图：以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系。二、新课教学（一）创设情境提出问题（课件出示图片）

问题：你能否运用相似三角形的判定与性质，测量、计算金字塔的高和河宽？（学生思考、讨论、展示交流）（二）发现问题，探求新知活动1：探究利用三角形相似测量物高 1. 测高方法一：据史料记载,古希腊数学家,天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆.借助太阳光线构成两个相似三角形,来测量金字塔的高度. 提炼方法：同一时刻，物1高：物2高 = 影1长：影2长例1：如图,如果木杆EF长2m,它的影长FD为3m,测OA得为201m, 求金字塔的高度BO. （让学生体会由于太阳光的照射，从图片中可以抽象出相似三角形；领会此方法测量物高的可行性和操作步骤；并根据相似三角形的性质进行求解） 2. 测高方法二：测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决. 例2：如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP = 12 米，那么该古城墙的高度是 ( ) A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米

相似三角形的应用举例教案(3)

27.2.2 相似三角形的应用举例一、教学目标 1．进一步巩固相似三角形的知识． 2．能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题． 3．通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．二、重点、难点 1．重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度． 2．难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）． 3．难点的突破方法（1）本节主要探索的是应用相似三角形的判定、性质等知识去解决某些简单的实际问题（计算不能直接测量物体的长度和高度及盲区问题），学生已经学过了相似三角形的概念、判定方法及性质，在此基础上通过本课的学习将对前面所学知识进行全面应用．初三学生在思维上已具备了初步的应用数学的意识，在心理特点上则更依赖于直观形象的认识．（2）在实际生活中，面对不能直接测量出长度和宽度的物体及盲区问题，我们可以应用相似三角形的知识来测量，只要将实际问题转化为数学问题，建立相似三角形模型，再利用线段成比例来求解．在教学中，要通过这些知识的教学，帮助学生从实际生活中发现数学问题、运用所学知识解决实际问题。另外，还可以根据学生实情，选择一些实际问题，引导学生加以解决，提高他们应用知识解决问题的能力．（3）课上可以通过著名的科学家名句和如何测量神秘的金字塔的高度来激发学生学数学的兴趣，使学生积极参与探索，体验成功的喜悦．（4）运用三角形相似的知识解决实际问题对于学生来说难度较大，可以适当增加课时．三、例题的意图相似三角形的应用主要有如下两个方面：（1）测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)；（2）测距(不能直接测量的两点间的距离) ．本节课通过教材P49的例3——P50的例5（教材P49例3——是测量金字塔高度问题；P50例4——是测量河宽问题；P50例5——是盲区问题）的讲解，使学生掌握测高和测距的方法．知道在实际测量物体的高度、宽度时，关键是要构造和实物所在三角形

九年级数学上册《相似三角形的应用》学案分析

九年级数学上册《相似三角形的应用》学案分析【教材分析】（一）教材的地位和作用《相似三角形的应用》选自人民教育出版社义务教育课程标准实验教科书中数学九年级上册第二十七章。相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形之间的一种变换，生活中存在大量相似的图形，让学生充分感受到数学与现实世界的联系。相似三角形的知识是在全等三角形知识的基础上的拓展和延伸，相似三角形承接全等三角形，从特殊的相等到一般的成比例予以深化。在这之前学生已经学习了相似三角形的定义、判定，这为本节课问题的探究提供了理论的依据。本节内容是相似三角形的有关知识在生产实践中的广泛应用，通过本节课的学习，一方面培养学生解决实际问题的能力，另一方面增强学生对数学知识的不断追求。（二）教学目标、。知识与能力：）进一步巩固相似三角形的知识． 2）能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题）

等的一些实际问题． 2．过程与方法：经历从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力。 3．情感、态度与价值观：）通过利用相似形知识解决生活实际问题，使学生体验数学于生活，服务于生活。 2）通过对问题的探究，培养学生认真踏实的学习态度和科学严谨的学习方法，通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心。（三）教学重点、难点和关键重点：利用相似三角形的知识解决实际问题。难点：运用相似三角形的判定定理构造相似三角形解决实际问题。关键：将实际问题转化为数学模型，利用所学的知识来进行解答。【教法与学法】（一）教法分析为了突出教学重点，突破教学难点，按照学生的认知规律和心理特征，在教学过程中，我采用了以下的教学方法：．采用情境教学法。整节课围绕测量物体高度这个问题展开，按照从易到难层层推进。在数学教学中，注重创设相

初中数学利用相似三角形测高专题(供参考)

2016年初中数学利用相似三角形测高专题一．选择题（共5小题） 1．（2016?深圳模拟）如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为（） A．1.5米B．2.3米C．3.2米D．7.8米 2．（2016?崇明县一模）如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长18cm，底边上的高长18cm，现沿底边依次向下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（） A．第4张B．第5张C．第6张D．第7张 3．（2015?聊城模拟）如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（） A．3.25m B．4.25m C．4.45m D．4.75m 4．（2015?张家口二模）如图，铁路道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）（） A．4m B．6m C．8m D．12m 5．（2015?保亭县模拟）如图，利用标杆BE测量建筑物DC的高度，如果标杆BE长为1.5米，测得AB=2米，BC=8米，且点A、E、D在一条直线上，则楼高CD是（）A．9.5米B．9米C．8米D．7.5米二．填空题（共4小题） 6．（2014?北京）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为m． 7．（2016?浦东新区一模）如图是小明在建筑物AB上用激光仪测量另一建筑物CD高度的示意图，在地面点P处水平放置一平面镜，一束激光从点A射出经平面镜上的点P反射后刚好射到建筑物CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=15米，BP=20米，PD=32米，B、P、D在一条直线上，那么建筑物CD的高度是米．8．（2014?青海）如图，为了测量一水塔的高度，小强用2米的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、水塔的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8米，与水塔相距32米，则水塔的高度为米． 9．（2015?天水）如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知 AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是米．三．解答题（共1小题） 10．（2015?陕西）晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ．请你根据以上信息，求出小军身高BE的长．（结果精确到0.01米） 2016年初中数学利用相似三角形测高专题

相似三角形应用举例

27.2.3 相似三角形应用举例（1课时）实验中学刘柏槐一、内容和内容解析（一）内容运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度或高度．（二）内容解析解决不能直接测量某物其长度或高度的问题，通常是利用可测物的高度或宽度来表示不可测物的高度与长度．我们曾利用全等三角形的知识解决过有关问题，但要测一些大型建筑物的高度或宽度，用全等三角形的知识就不大方便．相似三角形的对应边成比例，反映的是线段间的一种等量关系，利用相似三角形的性质可以有效地解决不便直接测某物其长度或高度的问题．要利用相似三角形的知识解决这类问题，就要设法构建一对相似三角形，且使构建的相似三角形模型中有表示测物长度或高度的线段及部分可测大小的线段．基于上述分析，可以确定本节课的教学重点是：把实际问题转化成相似三角形模型的构建与应用．二、目标和目标解析（一）教学目标 1．体会数学建模思想． 2．构建相似三角形模型解决简单实际问题．（二）目标解析 1．“寻模——建模——用模”是应用数学知识解决实际问题的常用思路，在解决数学问题时，首先在题设中寻求适合解决问题的模型，如果没有现成的模型可用，则要根据实际情况构建相应模型，然后使用该模型的相关性质解决问题． 2．会根据实际情况用建模思想构建相应的相似三角形模型，能运用相似三角形的知识解决有关线段度量的简单问题．三、教学问题诊断分析学生有过用所学知识解决不能直接测量某物其长度或高度的问题的体验，但用全等三角形的知识测一些大型建筑物的高度或宽度（如测金字塔的高度），有些不切实际．解决这类问题需构建两个相似三角形，并要测量出其中相应某些边的长度值，最后利用相似三角形的性质求出对应的待测物的边长，其间就是借助成比例的线段中的已知线段求出未知线段；相似三角形的构建及获取相应的某些线段的长度值，学生往往难以做到．本节课的教学难点是：相似三角形模型的构建与相关线段长度值的获取．四、教学支持条件分析 flash软件，几何画板．五、教学过程设计（一）复旧引新师生活动：教师利用多媒体课件出示：（1）怎样判断两个三角形相似？（2）相似三角形的性质有哪些？（3）怎样作一个三角形与已知三角形相似？

人教版九年级数学下册33.2.3相似三角形的应用专题练习【含答案】

人教版九年级数学下册33.2.3 相似三角形的应用专题练习一、基础练习 1．如图1，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距离1.6m，梯上点D距墙1.4m，?BD?长0.55m，则梯子的长为_______m．（1）（2）（3） 2．?要做甲、?乙两个形状相似的三角形框架，?已知三角形框架甲的三边分别为50cm，60cm，80cm，三角形框架乙的一边长为20cm．那么，?符合条件的三角形框架乙共有_____种，这种框架乙的其余两边分别为________． 3．在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，?现将它折叠，?使点B?与点C?重合，?则折痕长是______． 4．如图2，矩形ABCD，AD=a，AB=b，要使BC边上至少存在一点P，使△ABP，?△DPA，?△PCD两两相似，则a，b间的关系一定满足（） A．a≥1 2 b B．a≥b C．a≥ 3 2 b D．a≥2b 5．如图3，已知三角形铁皮ABC的边BC=acm，BC边上的高AM=hcm?要剪出一个正方形铁片DEFG，使D、E在BC上，G、F分别在AB、AC上，则正方形DEFG的边长=_______． 6．如图4，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，?长臂端点升高______m（杆的宽度忽略不计）．（4）（5）（6） 7．如图5，设在小孔口前24cm处有一枝长21cm的蜡烛AB，AB经小孔O形成的像A?′B′恰好浇在距小孔后面16cm处的屏幕上，则像A′B′的长是______cm． 8．如图6所示，一张矩形纸片ABCD，AD=9，AB=12，将纸片折叠，使A、C两点重合，?折线MN=________． 9．如图7所示，ABCD为正方形，A、E、F、G在同一条直线上，并且AE=5cm，EF=3cm，?那么FG=_______cm．

相似三角形的应用--测量旗杆的高度

测量旗杆的高度方法一：利用下的影子测量旗杆高度方法二：利用标杆测量旗杆高度方法三：利用镜子的反射测量旗杆高度相似多边形的性质：对应边（高、中线、角平分线、周长）之比等于相似比对应面积之比等于相似比的平方位似图形：相似比等于位似比一．选择题 1.将左下图中的箭头缩小到原来的1 2 ，得到的图形是（）

2．如图,AB 是斜靠在墙上的一个梯子，梯子下端B 距离墙脚C1.4米，D 是梯子上一点，若BD=0.5米，点D 距离墙面1.2米，则梯子的长度是（）米。 A.3.5 B. 3.85 C. 4 D.4.2 3.如图，在□ABCD 中，E 是BC 的中点，且∠AEC=∠DCE ，下列结论不正确．．．的是( ) A.BF=2 1 DF ， B. S △FAD =2S △FBE C.四边形AECD 是等腰梯形 D. ∠AEB=∠ADC ， 4.下列四边形ABCD 和四边形EFGD 是位似图形，它们的位似中心是（） A.点E B.点F C.点G D.点D 5.已知上图中，AE ∶ED=3∶2，则四边形ABCD 与四边形EFGD 的位似比为（） A. 3∶2 B. 2∶3 C. 5∶2 D. 5∶3 6.七边形ABCDEFG 与七边形A ′B ′C ′D ′E ′F ′G ′是位似图形，它们的面积比为4:9,已知位似中心O 到A 的距离为6，则O 到A ′的距离为（） A. 13.5 B. 12 C. 18 D. 9 7.一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm 、30cm 、36cm ，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm 、45cm 的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（） A.0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种 8.如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”上一个“顶点”的坐标为()a b ，，那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为（） A ．(2)a b --， B ．(2)a b --， C ．(22)a b --， D ．(22)b a --，

数学人教版九年级下册相似三角形的应用举例专题复习——影长问题

相似三角形的应用举例专题复习---影长问题武威第九中学：张天娥教学目标 1.进一步巩固相似三角形的知识。 2.能够运用三角形相似的知识，利用影长来解决不能直接测量物体的长度和高度的一些实际问题． 3.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．重点、难点重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．难点的突破方法（1）本节主要探索的是应用相似三角形的判定、性质等知识去解决影长的实际问题（计算不能直接测量物体的长度和高度问题），学生已经学过了相似三角形的概念、判定方法及性质，在此基础上通过本课的学习将对前面所学知识进行全面应用。九年级学生在思维上已具备了初步的应用数学的意识，在心理特点上则更依赖于直观形象的认识．（2）在实际生活中，面对不能直接测量出长度和宽度的物体问题，我们可以应用相似三角形的知识来测量，只要将实际问题转化为数学问题，建立相似三角形模型，再利用线段成比例来求解．在教学中，要通过这些知识的教学，帮助学生从实际生活中发现数学问题、运用所学知识解决实际问题。另外，还可以根据学生实情，选择一些实际问题，引导学

生加以解决，提高他们应用知识解决问题的能力．（3）课上可以通过小问题自己的影长，旗杆的影长解决问题来激发学生学数学的兴趣，使学生积极参与探索，体验成功的喜悦．（4）运用三角形相似的知识解决实际问题对于学生来说难度较大，可以适当增加课时．例题的意图相似三角形的应用主要有如下两个方面：（1）测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)；（2）测距(不能直接测量的两点间的距离) ．本节课使学生掌握测高和测距的方法．知道在实际测量物体的高度、宽度时，关键是要构造和实物所在三角形相似的三角形，而且要能测量已知三角形的各条线段的长，运用相似三角形的性质列出比例式求解．讲课时，可以让学生思考用不同的方法解这几个实际问题，以提高从实际生活中发现数学问题、运用所学知识解决实际问题的能力．应让学生多见些不同类型的有关相似三角形的应用问题，便于学生理解：世上许多实际问题都可以用数学问题来解决，而本节的应用实质是：运用相似三角形相似比的相关知识解决影长问题，并让学生掌握运用这方面的知识解决在自己生活中的一些实际问题的计算方法．教学过程：一、课堂引入回顾：1、判断两三角形相似有哪些方法? （1）.定义: （2）.定理(平行法): （3）.判定定理一(边边边): （4）.判定定理二(边角边):

初中相似三角形的应用2

h S A B ' O C ' A '八年级数学导学（相似三角形的应用2）班级姓名一、课前预习 1、已知，如图，AB 和DE 是直立在地面上的两根立柱.AB =5m ，某一时刻AB 在阳光下的投影BC =3m. （1）请你在图中画出此时DE 在阳光下的投影；（2）在测量AB 的投影时，同时测量出DE 在阳光下的投影长为6m ，请你计算DE 的长. 2、如图，在同一直线上的三根标杆直立在地面上，第一、第二根标杆在同一灯光下的影子如图，请在图中画出光源的S 的位置，并画出第三根标杆在该灯光下的影子。（不写画法） 3、如图，某同学身高AB ＝1.60m 的点D 直行4m 到点B ，此时其影长PB ＝2m, 求路灯杆CD 的高度。 4. 如图所示，为了测量操场上的树高，小明拿来一面小镜子，平放在离树根部10m 的地面上，然后他沿着树根和镜子所在直线后退，当他退了4m 时，正好在镜中看见树的顶端．若小明的目高为1.6m ，则树的高度是〔） A 4m B.8m C 16m D. 25m 二、随堂训练 1. 如图所示，铁道口栏杆的短臂OA 长1.5m ，长臂OB 长16.5m ，当短臂端点下降0.8m 时，长臂端点升高了 m 。 . 2、为了测量路灯（OS ）的高度,把一根长1.5米的竹竿（AB ）竖直立在水平地面上,测得竹竿的影子（BC ）长为1米,然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB ‘ ）, 再把竹竿竖立在地面上, 测得竹竿的影长（B ‘C ‘ ）为1.8米,求路灯离地面的高度.

C D 3、如图AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B 距墙80cm ，梯上点D 距墙70cm ，BD 长55cm 求梯子的长． 4、如图所示,小华在晚上由路灯A 走向路灯B,当他走到点P 时, 发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A 的底部,当他向前再步行12m 到达点Q 时, 发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B 的底部,已知小华的身高是1.6m,两个路灯的高度都是9.6m,且AP=QB. (1)求两个路灯之间的距离; (2)当小华走到路灯B 时,他在路灯A 下的影长是多少? 5．已知CD 为一幢3m 高的温室外墙，其南面窗户的底框G 距地面1m ，且CD?在地面上留下的影长CF 为2m ，现欲在距C 点7m 的正南方A 点处建一幢12m 高的楼房AB （设A 、C 、?F 在同一水平线上）．（1）按比例较精确地画出高楼AB 及它的影长AE ；（2）楼房AB 建成后是否影响温室CD 的采光？试说明理由． 6、已知某斜拉桥的一组互相平行的钢索a 、b 、c 、d 桥面的固定点分别为A (1)问至少需要知道几根钢索的长,(2) 若e=20m,d=30m,则其余钢索分别是多长?