初中数学分式方程典型例题讲解

a c=ac,b

a c=

a p

a0=1形如

A

【例1】下列代数式中：x1

x-y

，是分式的有：.π2

x-y,a+b

,

x+y

,

（1）x-4

x+4

（2）

x2+2

（3）

x2-1

（4）|x|-3

（5）

a=“

±

.

a±ac=bc±da(a≠0,c≠0);

第十六章分式知识点和典型例习题

3.分式的乘法与除法:b

?

d bd

a÷

c

d=

b d bd

?

ac

【知识网络】 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项

5.同底数幂的乘法与除法;a m●a n=a m+n;a m÷a n=a m－n

6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m=a m b n,(a m)

n=

7.负指数幂:a-p=1

a

mn

【思想方法】

1．转化思想

转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等．

2．建模思想

本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义．

3．类比法

本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．

第一讲分式的运算

【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;

2.与分式运算有关的运算法则

3.分式的化简求值(通分与约分)

4.幂的运算法则

【主要公式】1.同分母加减法则:b c b±c(a≠0)

a a

8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式

(a+b)(a-b)=a2-b2;(a±b)2=a2±2ab+b2

（一）、分式定义及有关题型

题型一：考查分式的定义（一）分式的概念：

B(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式.其中A叫做分式的分子,B

叫做分式的分母.

1

a-b x2-y2x+y

,

题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零如果分母的值是零，则分式没

有意义.

【例2】当x有何值时，下列分式有意义

3x26-x1

x-1

x

2.异分母加减法则:b d bc

c=ac±

da

ac题型三：考查分式的值为0的条件：

1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义

（1）x-1

x+3

（2）

x+1≤

0（2）

8-x

为正；

3+(x-1)2

为负；

x+3

为非负数.

1．分式的基本性质：A

B=B?M

2．分式的变号法则：-a

-b

=-

+b-b

=

（1）

1

6|x|-3

（2）

(x+1)2+1

（3）

（2）

x2-4xyz中，x,y,z分别扩大到x+4

（2）

x-2

x+1y0.04a+b

2、当分子为零且分母不为零时，分式值为零。

【例3】当x取何值时，下列分式的值为0.

|x|-2

x2-43．解下列不等式

（1）

|x|-2x+5

x2+2x+3

>0

题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x为何值时，分式

4

（2）当x为何值时，分式

5-x

（3）当x为何值时，分式x-2

（二）分式的基本性质及有关题型

A?M A÷M

=

B÷M

-a a a

=-

b

题型一：分式化简（约分）

练习：

1．当x取何值时，下列分式有意义：

3-x1

1+1

x （1）

-16x2y3

20xy4；x2-4x+4;

x-y+z

（3）在分式

原来的两倍，则分式大小怎么变化？

2．当x为何值时，下列分式的值为零：题型二：化分数系数、小数系数为整数系数

（1）5-|x-1|25-x2

x2-6x+5

【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.

1

（1）23

y

（2）

0.2a-0.03b

1

34

x = 3 ，求

x 4 + x 2 + 1 的值.

.

- x - y

（2） -

a - b

（3） - a - b = 3

，求

b - ab - a 的值. 3a + 5b 的值.

5．如果1 < x < 2 ，试化简 | x - 2| x .

2 - x - | x - 1 | x + y = 5

，求

x + 2xy + y 的值. a c = （

x = 2

，求 x 2 + x 2 的值. (1) a 2 - 4 x ? - x 2 4x - 2 y 的值.

（1）

0.03x - 0.2 y

0.08x + 0.5 y

（2）

.

题型三：分数的系数变号

【例 2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号 学习必备 欢迎下载

2．已知： x + 1

x 2

（1） -x + y

-a -a

- b 3．已知： 1 1 2a + 3ab - 2b

题型四：化简求值题

【例 3】已知：

1

1 2x - 3xy +

2 y

4．若 a 2 + 2a + b 2 - 6b + 10 = 0 ，求 2a - b

x - 1 | x | +

（三）分式的乘除法

题型一：分式的乘法：

① 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分式，

应该通过约分进行化简 b ? d

）

【例 4】已知： x - 1

1 c

② 整式和分式相乘，直接把整式和分式的分子相乘作结果的分子，分母不变。即 a ? =（ ）

b

【例1】 计算下列各分式：

a 2 - 1 ? a 2 - 2a + 1 a 2 + 4a + 4 ；（2） a 2 - 4

b 2 ab 3ab 2 ? a - 2b ；（3） 42(x 2 - y 2 ) 35( y - x)3

【例 5】若 | x - y + 1 | +(2 x - 3) 2 = 0 ，求 1

练习：

题型二：分数除法：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.

1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数

3 0.4a + b

5

1 1 4 a - 10 b

b a ÷ d

c = （

）

(

)

xy

) ÷ [( x + y) ? ( x - y 3

x ) ] ÷

y 2 的值.

?

- c ) ? ( - ab ) 2 ÷ ( x + y ) ? ( x 2 - y 2 ) ÷ ( y - x 2

y + x ) ； 题型一：同分母分数相加减：分母不变，把分子相加减。 c xy ；（2） xy - ( x - y)2

xy + xy .；（3） 2 a 2 - 1 ，其中 a 满足 a 2 - a = 0 .

a + 2 a 2 - 2a + 1 ÷ a 2 -

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【例2】 计算下列各式：

（1） 5b 2 ÷ ?? - 10bc ? ；

3ac ? 21a ?

（2） 12xy 5a

÷ - 8x 2y ；

（2）已知 x : y = 2 : 3 ，求 ( x 2 - y 2

x

.

题型三：分式的混合运算：熟记分式乘除法法则

（四）、分式的加减法

【例 3】计算：

（1） ( a 2b 3 c 2

bc ) 4 ； （2） ( 3a 3 3 a

【例1】 计算：

d a + b + a + b

=

（ x + y ） ( x - y )2 ( x + y)2 （1） x x 2 - y 2 － y y 2 - x 2

题型四：化简求值题

【例 4】先化简后求值

（1） a - 1 ? a 2 - 4

1

题型二：异分母分数相加减：

正确地找出各分式的最简公分母。

求最简公分母概括为：（通分）

① 最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；

② 最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积；

③ 分母是多项式时一般需先因式分解。（

2

3

ab ）

【例2】通分：(1)3a+2b a+b b-a

5a2b

,

5a2b5a2b（2）n-m m-n n-m1-1

x-156-

做一做在方程①

x-7

=

x+8

2

=x，③

8

3=8+2x2-1x-1，④x-2

【例3】（1）计算：

3

（3）

1

x-3－x+3a2-4－a-2

【例4】计算：（1）、(x

x-2-x+2

)÷

2-x，2x-4?x-2-

x-2?

(1)

1

x(2)

1-x

x-1=x

；（2）

x

=0；（3）

x+3=

x+5

x-1-x2-1=

1；（4）,,,

m+2n n2m

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分式方程概念：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.

1

x

，②

x

=0中，是分

6

式方程的有（）

A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④

问题2：怎么解问题1中的分式方程：

x-4-

24a2

x2-16.（2）计算a-b-

a-b

题型三：加减乘除混合运算111

;（4）;

【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;

2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.

3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.

（一）分式方程题型分析

x4x3+3?5?

（2）÷

?

题型一：

用常规方

法解分式

方程

1

1

【

例1】解

下列分式

方程

x-3=x-2=2-x-

2

新授知识分式方程（1）132

x-3-

1x+145+x

4-x

问题1：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？

x-1

+=0；（2）x

-2=；

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【主要方法】 1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;

2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.

3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.

提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.

题型二：求待定字母的值

【例5】若分式方程2x+a

x-2

=-1的解是正数，求a的取值范围.

练习：

1．解下列方程：

2x x+11-2x

4 x-3x-3

（1）