小学数学行程问题

第18讲应用题拓展

内容概述

掌握比的概念，从份数的角度理解量与量的比；学会计算简单的按比分配的问题；了解连比的含义．简单的不确定性问题，通常利用大小估计和整数性质进行分析，有时需要分类讨论．

典型问题

兴趣篇

1．水果店运来了西瓜和哈密瓜共234个，如果西瓜和哈密瓜的个数比为5：4，那么水果店运来西瓜和哈密瓜各多少个？

2．有429名小学生参加数学冬令营，其中男生和女生的人数比为7：6．后来又有

一些女生报名参赛，这时男生和女生的人数比变为11：10.请问：后来报名的女生有多少人？

3．松鼠一家三口出门采摘松果，松鼠爸爸采得最快，他每采摘7颗松果，松鼠妈妈只能采摘6颗；松鼠宝宝采得最慢，他每采摘2颗，松鼠妈妈已经采摘了3颗．一天下来，他们一共采摘了340颗松果．试问：其中有多少颗是松鼠宝宝采的？

4．育才小学五年级学生分成三批去参观博物馆，第一批与第二批的人数比是5:4，第二批与第三批的人数比是3：2．已知第一批的人数比第二、三批的总和少55人．请问：育才小学五年级一共有多少人？

5．小明将100枚棋子分成三堆，已知第一堆比第二堆的2倍还多，第二堆比第三堆的2倍也要多．请问：第三堆最多有多少枚棋子？

6．博雅小学五年级有200人，在一次数学竞赛中，参赛人数的≥获得优胜奖，去获得鼓励奖，其余的人没有得奖．试问：该校五年级学生中有多少人没有参加这次数学竞赛？

7．甲、乙、丙三堆棋子总共有100多枚．先从甲堆分一些棋子给另外两堆，使得乙、丙两堆的棋子数增加1倍；接着，从乙堆分一些棋子给另外两堆，使得甲、丙两堆各增加2倍；最后，从丙堆分一些棋子给另外两堆，使得甲、乙两堆各增加3倍，此时甲、乙、丙三堆棋子数的比是1：2：3．请问：原来三堆棋子各有多少枚？

8．今年，爷爷的年龄是小明年龄的6倍．若干年后，爷爷的年龄将是小明年龄的5倍．再过若干年，爷爷的年龄将是小明年龄的4倍．求爷爷今年的年龄．

9．甲、乙、丙三人各有一些书，甲、乙共有54本，乙、丙共有79本，已知三人中书最多的那个人书的数量是书最少的人的2倍．请问：乙有多少本书？

10．龙泉乡水电站按户收取电费，具体规定是：如果每月用电不超过24度，就按每度9分钱收费；如果超过24度，超出的部分按每度2角钱收费．这个月小宇家比小达家多交了9角6分钱的电费（用电按整度计算）．问：小宇家和小达家各交了多少电费？

拓展篇

1．红旗小学共有师生1081人，其中老师与学生的人数之比为2:45，男生与女生的人数之比为5:4．请问：红旗小学的老师、男生和女生各有多少人？

2．小悦去商店买了4斤水果糖、2斤奶糖和3斤巧克力糖，如果每块糖果的重量都相同，奶糖和巧克力糖一共有160块，那么水果糖有多少块？

3．万泉小学的师生在植树节栽种柳树、杨树和槐树共860棵，其中柳树和杨树棵数的比为3:4，杨树与槐树棵数的比为5：2．请问：这三种树各栽种了多少棵？

4．某厂一月份与二月份生产零件的个数比为4:5．后来改进生产技术，三月份生产的零件个数与前丽个月的总产量之比为4:3，且三月份比二月份多生产了1610个零件．请问：这家工厂第一季度共生产多少个零件？

5．有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全都分给第一组，一部分小朋友每人能拿到5本，其他小朋友每人能拿到4本；如果把书全都分给第二组，一部分小朋友每人能拿到4本，其他小朋友每人能拿到3本，问：两组一共有多少人？

6．若干名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同～些小学生参加数学竞赛，已知家长和老师共有22人，家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人，至少有1名男老师，问：在这些人中，爸爸有多少人？

7．志远中学有三个年级，共900多名学生，其中初一的学生数恰好占学生总数的

83，初三的学生恰好占学生总数的

154，请问：志远中学初二有多少名学生？

8．把100个人分成四队，第一队人数是第二队人数的131倍，是第三队人数的14

1倍，求第四队的人数．

9．甲、乙、丙三人各有一些棋子，其中棋子数最多的人比最少的人多出60多枚棋子，甲先拿出自己的一半平分给乙、丙，然后乙拿出自己的31平分给甲、丙，最后丙拿出自己的4

1平分给甲、乙．这时三人的棋子数正好相同．请问：三个人一共有多少枚棋子？

10．有两堆石头，如果从第一堆中取出20块石头放进第二堆，那么第二堆的石头是第一堆的2倍；如果从第二堆中取出一些石头放进第一堆，那么第一堆的石头是第二堆的6倍．问：第一堆中最少可能有多少块石头？

11．北京市出租车的起步价是3公里以内10元，3公里后按每公里2元计费，当里程超过15公里后，超出部分按每公里3元计费．小悦、冬冬两人都从游乐园分别坐出租车回家，小悦比冬冬多花了23元，请问：小悦家距离游乐园最远是多少公里？（不足1公里按1公里计，假定两人回家一路上没有红绿灯，也没有堵车）

12．团体游园购买公园门票的票价如图18-1所示．

今有甲、乙两个旅游团，如果分别购票，两团总计应付门票费1142元．如果合在一起作为一个团体购票，应付门票费864元，问：这两个旅游团各有多少人？

超越篇

1．植物园里菊花与月季花的盆数之比是3:4，兰花与郁金香的盆数之比是5:6，菊花与郁金香的盆数之比是4：5．如果月季比兰花多50多盆，那么菊花比郁金香少多少盆？

2．甲、乙、丙、丁包揽了班里期中考试的前四名．甲、乙的得分之和是108分，乙、丙的得分之和是149分，丙、丁的得分之和是121分，并且知道其中第一名的得分是第三名的2倍，那么第二名的得分是多少？

3．有四人的体重都是整千克数，他们两两合称体重，共称了五次，称得的千克数分别是99、113、125、130、144.其中有两人没有一起称过，那么这两个人中较重的那个人的体重是多少千克？

4．有若干盒卡片，每盒中卡片数一样多．把这些卡片分给一些小朋友，如果只分一盒，每人至少可以得到7张；如果每人分8张卡片，则还缺少5张．现在把所有卡片都分完，每人分到60张，而且还多出4张．问：共有多少个小朋友？

5．某次考试共有100道题，每题一分，做错不扣分，甲、乙、丙三位同学分别得90分、70分、50分，其中3个人都做出来的题叫作―容易题‖，只有1个人做出来的题目叫作―较难题‖，没人做出来的题目叫作―特难题‖，且―较难题‖是―特难题‖的3倍，又已知丙同学做出的题中超过80%的是―容易题‖，但又不全是―容易题‖，请问：―特难题‖共有多少道？

6．中关村一小、中关村二小两校春游的人数都是10的整数倍，出行时两校人员不合乘一辆车，且每辆车尽量坐满．现在知道，若两校都租用有14个座位的旅游车，则两校共需租用这种车72辆；若两校都租用19个座位的旅游车，则中关村二小要比中关村一小多租用这种车7辆，问两校参加这次春游的人数各是多少？

7．工地要用每根长7.4米的原材料做100套钢筋，每套3根，长度分别为2.9米、1．5米、2.1米．请问：至少要用多少根原材料？

8．四只猴子摘了一堆桃子，它们准备先回去睡一觉后再来分桃子．过了一会，其中一只猴子来了，它见别的猴子没来，便把桃子平分成4堆，发现余下3个，于是给其中三堆各多分了一个桃子，然

后拿走余下的一堆跑掉了；又过一会儿，另一只猴子来了，它见别的猴子没来，把桃子也分成4堆，发现还是多出3个，于是也给其中三堆各多分了一个桃子，自己带着余下的一堆跑掉了；轮到另外两只猴子时，分别发生了同样的事情．如果最后一只猴子至少拿走了一个桃子，那么这堆桃子至少有多少个？

第19讲工程问题

内容概述

掌握工作总量、工作效率、工作时间酌基本“单位1”的概念并灵活应用；熟悉多人、多工程、效率变化、总量变化等各种形式的问题；学会处理“水池注水”形式的问题．

典型问题

兴趣篇

1．甲、乙两辆车运一堆煤，如果只用甲车运，15小时可以运完；如果只用乙车运，10小时可以运完．请问：

(1)如果两车一起运，多少小时可以运完？

(2)如果甲车从早上8点开始运煤，乙车下午1点才开始运，那么几点的时候可以把煤运完？

2．一项工作，甲单独做20天可以完成，乙单独做30天可以完成，现在两人合做，用16天就完成了工作，已知在这16天中甲休息了2天，乙休息了若干天．请问：乙休息了多少天？

3．如果甲、乙两队合做一项工程，恰好24天完成；如果乙队先做5天，然后甲队来帮忙，又共同做了10天后，全部工程才完成了一半，请问：甲队单独完成这项工程需要多少天？

4．一项工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要10小时完成．如果按甲、乙、甲、乙……的顺序交替工作，每人工作1小时后交换，那么需要多少小时才能完成任务？

5．有一批工人做某项工程，原计划4天完成．如果增加6人，只需要3天就能完成．现在人数不仅没有增加，反而减少了9人，求完成这项工程需要的天数．

6．甲、乙两队分别在A、B两块地植树，B地需要植树的数量是A地的两倍，已知甲队单独在A

地植树需要12天完成，乙队单独在B 地植树需要30天完成．现在甲、乙两队分别在A 、B 两地同时开始，当甲队做完后便去B 地和乙队共同工作．请问：两队要用多少天才能种完树？

7．一水池装有一个进水管和一个排水管．如果单开进水管，5小时可将空池灌满；如果单开排水管，7小时可将整池水排完．现在先打开进水管，2小时后打开排水管，请问：再过多长时间池内将恰好存有半池水？

8．蓄水池有甲、乙、丙三个进水管．如果想灌满整池水，单开甲管需10小时，单开乙管需12小时，单开丙管需15小时．上午8点三个管同时打开，中间甲管因故关闭，结果到下午2点水池被灌满，问：甲管在何时被关闭？

9．师傅带着两名徒弟加工一批零件，按加工零件数量的比例分配3000元报酬．如果按照原定计划，师傅应该得到1800元，但开始工作前有一名徒弟生病住院，最后是师傅和另一名徒弟完成了所有工作．如果两个徒弟的工作效率相同，请问：师傅实际应得到多少元？

10．甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们的工资共1800元，三人完成这项工程的具体情况是：甲、乙两人合做6天完成了工程的31；因甲中途有事，由乙、丙合做2天，完成了余下工程的41；之后三人合做5天完成了这项工程．如果按完成工作量的多少来付酬，每人应得多少元？

拓展篇

1．一条公路，甲队单独修需20天完成，乙队单独修需30天完成，请问：

(1)如果甲、乙两队合做，共需要多少天完成？

(2)如果甲、乙两队合修若干天之后，乙队停工休息，而甲队继续修了5天才修完，那么乙队一共修了多少天？

2．有一批资料需要复印，甲复印机单独复印要11小时，乙复印机单独复印要13小时．现在甲、乙两台复印机同时工作，由于相互有些干扰，两台机器每小时共少印28张，结果用6小时15分钟印完，请问：这批资料共有多少张？

3．有一条公路，甲队单独修需20天，乙队单独修需30天，丙队单独修需40天，现在让三个队合修，但中间甲队撤出去到另外工地，结果用了12天才把这条公路修完．请问：当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了多少天才完成？

4．甲、乙两人共同完成一件工作．如果甲、乙两人合做2天后，剩下的由乙单独做，刚好在规定时间完成；如果甲单独做需要18天完成；如果乙单独做，则要超过规定时间3天才能完成．求完成这件工作规定的天数．

5．一项工程，乙单独做要14天完成；如果第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做…一两人这样轮流做，需要9天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做…一两人这样轮流做，会比上次轮流的做法多用多少天？

6．甲、乙、丙三队要完成A ，B 两项工程．B 工程的工作量比A 工程的工作量多4

1，已知甲队单独完成A 工程要40天，乙、丙两队单独完成B 工程分别需要60天、75天．开始时甲队做A 工程，乙、丙两队共同做B 工程；几天后，又调丙队与甲队共同完成A 工程，剩下乙队单独做B 工程，结果两个工程同时完成．请问：丙队与乙队合做了多少天？

7．俄国文学家列夫·托尔斯泰的庄园里有大、小两片草地，每年秋天，农民们都要将草收割贮存起来，冬季当作牲畜的饲料，大草地的面积恰好为小草地面积的2倍．这一年有一些割草人去草地割草，上午他们都在大草地里干活，午后这些人平均分成两半，一半人继续留在大草地割草，到傍晚收工时（上、下午工作时间相同）恰好刚收割完；另一半人到小草地干活，收工时仅剩下一小块没有割完，这一小块草地恰好够一个人收割一天．工头去托尔斯泰那儿结账时，讲了上述情况，话音刚落，托尔斯泰就算出了共有多少个割草人，同学们你们能算出来吗？

8．蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管需12小时注满水，单开乙管需18小时注满水．现要求10小时注满水池，那么甲、乙两管至少要合开多长时间？

9．某水库建有10个泄洪闸，现有水库的水位已经超过安全线，上游河水还在按不变的速度流人．为了防洪，需调节泄洪速度．假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开1个泄洪闸，30小时水位降至安全线；若打开2个泄洪闸，10小时水位降至安全线，现在抗洪指挥部队要求在2.5小时使水位降至安全线以下，至少要同时打开几个闸门？

10．某水池的容积是100立方米，它有甲、乙两个进水管和一个排水管．甲、乙两管单独灌满水池分别需要10小时和15小时，水池中原有一些水，如果甲、乙两管同时进水而排水管放水，需要6小时将水池中的水放完；如果甲管进水而排水管放水，需要2小时将水池中的水放完．问：水池中原有水多少立方米？

11．画展9时开门，但早有人来排队等候入场．从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多．如果开3个入场口，9时9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9时5分就没有人排队．请问：第一个观众到达的时间是8时多少分？

12．如图19-1，有一个敞口的立方体水箱，在其侧面一条高的三等分点处有两个排水孔A和B，它们排水时的速度相同且保持不变．现在以一定的速度从上面往水箱注水．如果打开A孔、关闭B孔，经过20分钟可将水箱注满；如果关闭A孔，打开B孔，经过22分钟可将水箱注满，如果两个孔都

打开，那么注满水箱的时间是多少分钟？

超越篇

1．甲工程队每工作5天必须休息l天，乙工程队每工作6天必须休息2天，一项工程，甲工程队单独做需62天（含休息），乙工程队单独做需51天（含休息）．请问：甲、乙两队合作完成这项工程需要多少天？

2．一水箱有甲、乙、丙三根进水管，如果只打开甲、丙两管，甲管注入30吨水时，水箱已满；如果只打开乙、丙两管，乙管注入40吨水时，水箱才满，已知乙管每分钟注水量是甲管的1.5倍．请问：该水箱注满时可容纳多少吨水？

3．甲、乙两人分别加工一批零件，甲用A机器需要6小时才能完成任务，用B机器效率降低60%，乙用B机器需要10小时才能完成任务，用A机器效率提高20%．如果甲用A机器、乙用B机器同时开始工作，中途某一时刻交换机器，最后恰好同时完成任务，求甲、乙完成任务所用的时间．

4．甲、乙、丙三个工程队要完成一项工程，原计划三个队同时做，并且按照三个队工作效率的比进

行分配，但是若干天之后，甲队因为种种原因退出，把甲队剩下工程的31交给乙队完成，3

2交给丙队完成．如果仍然要按时完成该工程，乙队就必须将工作效率提高20%，丙队则必须提高30%．问：甲、乙、丙原来的工作效率之比是多少？如果工程结束时，按照工作量付给报酬，甲队得到2700元，乙队得到6300元，那么丙队可以得到多少元？

5．有一个长方体的容器，侧面有一个小洞，如果水面超过了小洞，那么容器内的水将会以一定的速度向外流出，现在打开1个水龙头向容器内注水，注到一半的时候用了80分钟，又过了100分钟容器内恰好注满水．已知水龙头注水的速度是小洞漏水速度的1.5倍．试问：如果用2个龙头一起向容器内注水，需要多少分钟可以注满？

6．有甲、乙两个容积相同的空立方体水箱，在它们的侧面上分别有排水孔A 和B. A 孔和B 孔与底面的距离分别是水箱高度的65和2

1，且在排水时速度相同．现在以相同的速度一起向两水箱注水，并通过管道使A 孔排出的水直接流入乙箱，这样经过70分钟后，甲、乙两水箱恰好同时被注满．试问：如果以上述的速度向乙箱注水，乙箱从空到满需要多少分钟？

7．有一个正方体水箱，在某个侧面相同高度的地方开有3个大小相同的出水孔，用一个进水管给空水箱灌水．如果3个出水孔全关闭，需要30分钟将水箱注满；如果打开1个出水孑L ，需要多用2分钟将水箱注满；如果打开2个出水孔，则需要35分钟将水箱注满．请问：当3个出水孔全开的时候，多少分钟可以将水箱注满？

8．一项工程，甲先做若干天后由乙继续做，丙在工程完成一半时前来帮忙，待工程完成6

5时离去，结果恰好按计划完成任务，其中乙做了工程总量的一半；如果丙不来帮忙，仅由乙接替甲一直做下去，就会比计划推迟3

10天完成；如果全由甲单独做，就会比计划提前6天完成．已知乙的工作效率是丙的3倍．请问：原计划工期是多少天？

第20讲 直线形计算三

内容概述

学习直线形中的各类比例关系，重点是与三角形相关的、与平行线相关的比例关系；学习勾股定理并能简单运用．

典型问题

兴趣篇

1．如图20-1，在三角形ABC 中，AD 的长度是AB 的

43，AE 的长度是AC 的32．请问：三角形AED 的面积是三角形ABC 面积的几分之几？

2．如图20-2, AC 的长度是AD 的5

4，且三角形AED 的面积是三角形ABC 面积的一半．请问：AE 是AB 的几分之几？

3．如图20—3，深20厘米的长方形水箱装满水放在平台上．

(1)当水箱像图20-4这样倾斜，水箱中水流出5

1，这时AB 长多少厘米？ (2)如图20—5，当水箱这样倾斜到AB 的长度为8厘米后，再把水箱放平，如图20-6，这时水箱中水的深度是多少厘米？

4．如图20一7，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成4个部分．三角形AOB 的面积是2平方千米，三角BOC 形的面积是3平方千米，三角形COD 的面积是l 平方千米，如果公园由大小为6.9平方千米的陆地和一块人工湖组成，那么人工湖的面积是多少平方千米？

5．如图20.8，在梯形ABCD 中，三角形ABO 的面积是6平方厘米，且BC 的长是AD 的2倍，请问：梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？

6．如图20—9，已知平行四边形ABCD 的面积为72，E 点是BC 上靠近日点的三等分点，求图中阴

影部分的面积．

7．图20-10中的两个正方形的边长分别为6分米和8分米，求阴影部分的面积．

8．如图20-11，梯形ABCD 的对角线相互垂直．三角形AOB 的面积是12，OD 的长是4，求OC 的长．

9．在图20-12中，正方形ABCD 的边长为5厘米，且三角形CEF 的面积比三角形ADF 的面积大5

平方厘米，求CE 的长．

10．如图20-13，请根据所给的条件，计算出大梯形的面积（单位：厘米）．

拓展篇

1．如图20-14，已知的面积

三角形的面积三角形试求ABC DEF ,51,41,31AB BF BC CD AC AE ===的值？

2．如图20-15，已知长方形ADEF 的面积是16，三角形ADB 的面积是2，三角形ACF 的面积是4．请问：三角形ABC 的面积是多少？

3．如图20-16，3个相同的正方形拼在一起，每个正方形的边长为6，求三角形ABC的面积．

4．图20-17中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了四个小三角形，其中两个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷，求四个三角形中最大的一个的面积．

5．图20-18中四边形ABCD的对角线AC和BD交于点D，如果三角形ABD的面积是30平方厘米，三角形ABC的面积是48平方厘米，三角形BCD的面积是50平方厘米．请问：三角形BOC的面积

是多少？

6．如图20-19，梯形ABCD中，三角形ABE的面积是60平方米，AC的长是AE的4倍，梯形ABCD 的面积是多少平方米？

7．如图20 -20所示，梯形ABCD的面积是36，下底长是上底长的2倍，阴影三角形

的面积是多少？

8．如图20-21，边长为8厘米和12厘米的两个正方形并排放在一起，求图中阴影部分的面积．9．如图20 -22，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，已知正方形AB-CD的面积为

60平方厘米，求阴影部分的面积．

10．如图20-23所示，平行四边形ABCD 的边BC 长10厘米，直角三角形BCE 的直角边EC 长8厘米，已知两块阴影部分的面积和比三角形EFG 的面积大10平方厘米，求CF 的长．

11．如图20 -24，已知D 是BC 的中点，E 是AC 的中点，三角形ABC 由①至⑤这5部分组成，其中①的面积比④多6平方厘米．请问：三角形ABC 的面积是多少平方厘米？

12．根据图20 -25中所给的条件，求梯形ABCD 的面积．

超越篇

1．在图20-26中，,1=====?????D EF CD E BCD ABC O AB S S S S S 请问：S △CDF 是多少？

2．如图20 -27，ABCDEF 为正六边形．G 、H 、I 、J 、K 、L 分别为AB 、BC 、CD 、DE 、EF 、FA 边上的三等分点，形成了正六边形GHIJKL.请问：小正六边形占大正六边形面积的几分之几？

3．如图20-28，等腰直角三角形ABC 的面积是8，AE= CF ，四边形BEOF 的面积比三角形AOC 的面积大4，求AE 的长．

4．如图20 -29，ABCD 是正方形，AE= DF =4，已知三角形AEG 与三角形DEF 的面积比为2:3，求

三角形EFG 的面积．

5．如图20 -30，正方形ABCD的面积为1，BF=2FC，求阴影四边形FHJG的面积．

6．如图20-31，四边形BCDE是正方形，三角形ABC是直角三角形．若AB长3厘米，AC长4厘米，试求j角形ABE的面积．

7．如图20-32，一个长方形被分为面积比为5：6：7：8：9的A、B、C、D、E五块，其中A和B 是长方形，且A的长等于B的周长的一半．请问：A、B、C、D、E的周长比为多少？

8．如图20-33，三角形ABC为等腰直角三角形，C为直角顶点，尸、Q为AB边上的两点，又已知AP长度为3，BQ长度为4，二PCQ= 45 0，那么PQ的长度是多少？

第21讲数字问题

内容概述

各种与数字有关的数字谜问题．学会位值原理的分析方法；综合应用已学的数字谜技巧和数论知识．

典型问题

兴趣篇

1．一个两位数等于它的数字和的6倍，求这个两位数．

2．今年是2008年，小王说：“我的年龄正好与我出生那年年份的四个数字之和相同”．请问：小王今年多大？

3．用3个不同的数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求6个三位数中最小的一个．

4．有一个两位数，在它前面加上数字“3”可以得到一个三位数；在它后面加上数字“3”也得到一个三位数；在它前、后各加一个数字“3”得到一个四位数，已知得到的三个数总和为3600，求原来的两位数．

5．有A 、B 两个整数，A 的各位数字之和为35，B 的各位数字之和为26，且两数相加时进位三次，求A+B 的各位数字之和．

6．有些三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字的和就减少到原来三位数各位数字之和的3

1，求所有这样的三位数．

7．一张卡片上写了一个五位数，李老师给学生看时拿倒了，这时卡片上还是一个五位数，这个五位数比原来的五位数小71355.问：原来卡片上写的五位数是多少？

8．有一个四位数N 9M 2，它是由M 个2的积与N 个9的积相乘得到的，求这个四位数．

9．如果

3

33312个n 是27的倍数，那么n 最小是几？

10．从1至9这9个数中选出8个不同的数字，组成能被24整除的八位数．试问：在这样的八位数中，最大的和最小的分别是多少？

拓展篇

1．在一个两位数的两个数字中间加一个0，所得的三位数比原数大8倍，求这个两位数．

2．把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，新数与原数的和恰好是某个自然数的平方．请问：这个和是多少？

3．有一个三位数是8的倍数，把它的各位数字的顺序颠倒过来所得到的新三位数与原三位数的和恰好是1111.请问：原来的三位数是多少？

4．在等式“学习习好勤动×5=勤动动脑学习×8”中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，“学习好勤动脑”所表示的六位数最小是多少？

5．在一个三位数的百位和十位之间加入一个数字后，得到的四位数恰好是原三位数的9倍，在这样的三位数中最小的是多少？最大的是多少？

6．用5、7、2、0、8这5个数字组成两个没有重复数字的五位数，这两个五位数的差是66663，这两个数中较大的一个可能是多少？

7．有两个相邻的自然数，它们的各位数字之和均为7的倍数，这两个自然数中较小的数是多少？

8．记号n!表示前n 个正整数相乘，并且规定0 ！=l ，例如：4!=1 x2x3x4.每一个三位数abc 都有一个“对应数”：a ！+ b! + c!，例如：254的对应数是2 !+5 !+4 !=146.请问：对应数与自身相同的三位数是什么？

9．如果修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数，那么修改后的这个数是多少？

10．如果

2

222个n 是1998的倍数，那么n 最小是多少？

11．1至9这9个数字，按图21-1所示的次序排成一个圆圈．请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数（例如，在l 和7之间剪开，得到的两个数是193426857和758624391）．如果要求剪开后得到的两个九位数的差能被396整除，那么剪开处左右两个数字的乘

积是多少？

12．各位数字互不相同的八位数中，能被72整除的数最小是多少？最大是多少?

超越篇

1．用3个不同的数字可以组成6个三位数，已知其中的5个的和是3194，求剩下的那个数是多少．

2．一个数是它的数字和的88倍，求所有满足条件的正整数．

3．两个自然数，差是98，各自的各位数字之和都能被19整除．试问：满足要求的最小的一对数之和是多少？

4．如果2333313

个n 是756的倍数，那么n 最小是多少？

5．包含0至9这10个数字的十位数称为―十全数‖．求满足以下条件的所有的十全数：

①它的千位是7；

②从左往右数，它的第一位能被1整除，前两位组成的两位数能被2整除，前三位组成的三位数能被3整除……前十位组成的十位数能被10整除．

6．由8个不同的数字组成的八位数中，能被396整除的数最大是多少？最小是多少？

7．最多有多少个连续自然数，它们的各位数字之和都不是11的倍数？请举例．

8．用0至9这10个数字组成一位数、两位数、三位数、四位数各一个，使它们都是非零的完全平方数，

第22讲牛吃草问题与钟表问题

内容概述

牛吃草问题是一类特殊的工程问题，钟表问题是一类特殊的行程问题．牛吃草问题的难点在于草的总量有变化，因此要注意单位“1”的选取．掌握钟表问题的相关知识，学会将掐针成角度问题转化为指针闻的环形追及问题或相遇问题，学会用比例分析两个速度不同的钟表之间的时间对比关系．

典型问题

兴趣篇

1．有一片牧场，草每天都在均匀地生长．如果在牧场上放养24头牛，那么6天就把草吃完了；如果只放养21头牛，那么8天才把草吃完．请问：

(1)要使得草永远吃不完，最多可以放养多少头牛？(2)如果放养36头牛，多少天可以把草吃完？

2．学校有一片均匀生长的草地，可以供18头牛吃40天，或者供12头牛与36只羊吃25天，如果1头牛每天的吃草量相当于3只羊每天的吃草量．请问：这片草地让17头牛与多少只羊一起吃，刚好16天吃完？

3．一片均匀生长的草地，如果有15头牛吃草，那么8天可以把草全部吃完；如果起初这15头牛在草地上吃了2天后，又来了2头牛，则总共7天就可以把草吃完．如果起初这15头牛吃了2天后，又来了5头牛，再过多少天可以把草吃完？

4．有一座时钟现在显示上午10点整，问：

(1)多少分钟后，分针与时针第一次重合？(2)再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？

5．小悦早上6点半起床，赶到学校时发现手表上的时针和分针恰好第一次张开成一条直线，那么小悦到达学校的时间是几点几分？

6．阿奇在9点与10点之间开始解一道数学题，当时手表的时针和分针正好成一条直线．当阿奇解完这道题时，时针和分针刚好第一次重合．请问：阿奇解这道题用了多少分钟？

7．下午6点多时冬冬吃完晚饭开始看动画片，动画片开始时他看手表，发现时针和分针的夹角为110°．在新闻联播前动画片放完了，冬冬又看手表，发现时针和分针的夹角仍是110°．那么动画片一共放了多少分钟？

8．在早晨6点到7点之间有一时刻，钟面上的―6‖字恰好在时针与分针的正中央．请问：这一时刻是6点多少分？

9．小悦的手表比家里的闹钟走得要快一些．这天中午12点时，小悦把手表和闹钟校准，但当闹钟走到下午1点时，手表显示的时间是1点5分．请问：

(1)当闹钟显示当天下午5点的时候，手表显示的时间是几点几分？

(2)当手表显示当天下午6点半的时候，闹钟显示的时间是几点几分？

10．一个快钟每小时比标准时间快1分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟，现在将两个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示9点整时，慢钟恰好显示8点整．请问：这个时候的标准时间是多少？

拓展篇

1．有一片牧场，草每天都在均匀地生长．如果在牧场上放养18头牛，那么10天能把草吃完；如果只放养24头牛，那么7天就把草吃完了，请问：

(1)如果放养32头牛，多少天可以把草吃完？(2)要放养多少头牛，才能恰好14天把草吃完？

2．进入冬季后，有一片牧场上的草开始枯萎，因此草会均匀地减少．现在开始在这片牧场上放羊，如果有38只羊，把草吃完需要25天；如果有30只羊，把草吃完需要30天．如果有20只羊，这片牧场可以吃多少天？

3．一个露天水池底部有若干同样大小的进水管，这天蓄水时恰好赶上下雨，每分钟注入水池的雨水量相同．如果打开24根进水管，5分钟能注满水池；如果打开12根进水管，8分钟能注满水池；如果打开8根进水管，多少分钟能将水池注满？

4．把一片均匀生长的大草地分成三块，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷．如果第一块草地可以供10头牛吃30天，第二块草地可以供28头牛吃45天，那么第三块草地可以供多少头牛吃80天？

5．一个时钟现在显示的时间是3点整，请问：(1)多少分钟后，时针与分针第一次重合？

(2)再经过多少分钟后，时针与分针第一次张开成一条直线？

6．在9点23分时，时针和分针的夹角是多少度？从这一时刻开始，经过多少分钟，时针和分针第一次垂直？

7．小悦晚上去超市买东西，到的时候是7点24分，买完出来的时候仍然是7点多，且分针和时针所夹的角度与到超市时相同，请问：小悦出来的时候是7点几分？买东西一共花了多少分钟？

8．图22-1中是一个特殊的钟，分针每80分钟走一圈，分针走8圈时针就走一圈，从分针与时针重合开始，到分针与时针第三次成直角需要多少分钟？

9．小明上了一节课，时间不到l小时，他发现下课时与上课时手表上时针与分针的位置刚好对调．请问：这一堂课上了多少分钟？

10．在早晨6点到7点之间有一个时刻，钟面上的数字―5‖恰好在时针与分针的正中央，请问：这时是6点几分？

11．(1)小悦的闹钟比标准时间每小时快3分钟．一天晚上11点，小悦把钟校准，并把闹铃定在第二