匀变速直线运动相关公式与推导全解

匀变速直线运动相关公

式与推导全解

Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

匀速直线运动精华总结

1、 速度：物理学中将位移与发生位移所用的时间的比值定义为速度。用公式表示为：V =

ΔX Δt

=

x2?x1t2?t1

2、 瞬时速度：在某一时刻或某一位置的速度称为瞬时速度。瞬时速度的大小称为瞬时速率，简称速率。

3、加速度：物理学中，用速度的改变量V 与发生这一改变所用时间t 的比值，定量地描述物体速度变化的快慢，并将这个比值定义为加速度。α=ΔV Δt

单位：米每二次

方秒；m/S 2

α即为加速度；即为一次函数图象的斜率；加速度的方向与斜率的正负一致。

速度与加速度的概念对比：

速 度：位移与发生位移所用的时间的比值

加速度：速度的改变量与发生这一改变所用时间t 的比值

4、 匀变速直线运动：在物理学中，速度随时间均匀变化，即加速度恒定的运动称为匀变速直线运动。 1)

匀变速直线运动的速度公式：V t =V 0+αt

推导：α=

ΔV Δt

=

Vt? V0

t

……..速度改变量

发生这一改变所用的时间

2）匀变速直线运动的位移公式：x =V 0t+ 12

αt 2……….(矩形和三角形的面积公式) …推导：x =

V0+Vt

2

t (梯形面积公式) 如图：

3）由速度公式和位移公式可以推导出的公式：

⑴V t 2-V 02=2αx (由来：V T 2-V 02=(V 0+αt)2 -V 02=2αV 0t +α2t 2=2α(V 0t+ 1

2 αt 2)=2αx)

⑵V t 2

=

V0+Vt 2

=V ?(由来：V t

2=V 0+α t 2

=

2V0+αt 2

=

V0+(V0+αt )

2

=

V0+Vt 2=V ?)

⑶V x 2

=√

V 02+V t 2

2

(由来：因为：V t 2-V 02=2αx 所以V x 2

2-V 02=2αx

=αx =

VT2?V02

2

)

（

V x 2

2-V 02=

V t 2?V 02

2

；V x 2

2=

V t 2?V 02

2

+V 02=

V t 2+V 02

2

）

⑷x=T 2

（做匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时间内的位移差为

定值。设加速度为α，连续相等的时间为T,位移差为X ）

证明：设第1个T 时间的位移为X 1；第2个T 时间的位移为X 2；第3个T 时间的位移为X 3……..第n 个T 时间的位移即X n

由：x =V 0t+ 1

2 αt 2

得: X 1=V 0T+ 1

2

αT 2

X 2=V 02T+

12

α(2T )2-V 0T- 12

αT 2=V 0T+ 3

2

αT 2

X 3=V 03T+ 1

2

α(3T )2-V 02T- 12

α(2T )2=V 0T+ 52

αT 2

X n= V 0nT+ 12

α(nT )2-V 0(n-1)T- 1

2

α((n ?1)T)2

x =X 2-X 1=X 3-X 2=(V 0T+ 32 αT 2)-(V 0T+ 12 αT 2)=(V 0T+ 52 αT 2)-(V 0T+ 3

2 αT 2)=T 2

可以用来求加速度=

?x T 5、初速度为零的匀加速直线运动的几个比例关系。

初速度为零的匀加速直线运动(设其为等分时间间隔)： ① t 秒末、2t 秒末、……nt 秒末的速度之比：(V t =V 0+at=0+at=at)

V 1:V 2:V 3……V n =at:a2t:a3t …..ant=1:2:3…:n ②

前一个t 秒内、前二个t 秒内、……前N 个t 秒内的位移之比：

S 1=v 0t+12

at 2

=0+1

2

at 2=1

2

at 2;

S 2=v 0t+1

2a(2t)2=2at 2;

S 3=v 0t+12at 2=12a(3t)2=9

2

at 2

S n =v 0t+12

at 2=12

a(nt)2=n2

2

at 2

S 1:S 2:S 3……. S n =12

at 2: 2at 2: 92

at 2……n2

2

=1:22:32…. N 2

③第1个t 秒内、第2个t 秒内、……-第n 个t 秒内的位移之比：

S 1=v 0t+12αt 2=0+12

αt 2=1

2

αt 2; (初速为0)

S 2=v 0t+12αt 2=αt*t+12

αt 2=3

2

αt 2; (初速为αt)

S 3=v 0t+12

αt 2=α2t*t+12

αt 2=5

2

αt 2) (初速为2αt)

n =v 0t+

12

αt 2=α*(2n-1)t*t+12

αt 2=

2n?12

αt 2 (初速为(2n-1)αt)

α ③

前一个s 、前二个s 、……前n 个s 的位移所需时间之比：

t 1:t 2:t 3……:t n =1:√2:√3:……………√n 因为初速度为0，所以x =V 0t+ 1

2

αt 2= 1

2

αt 2

S= 12

a t 12, t 1=√2S

a

2S ==12

a t 22 t 2=√4S

a

3S =12

a t 32 t 3=√6S

a

t 1:t 2:t 3……:t n =√2S a

: √4S a

: √6S

a

………=1:√2: √3……√n

⑤第一个s 、第二个s 、……第n 个s 的位移所需时间之比： 由上题证明可知：

第一个s 所需时间为t 1=√2S

a ；

第二个s 所需时间为t 2-t 1=√4S a

-√2S a

=√2S

a

(√2-1)

第三个s 所需时间为t 3-t 2=√

6S a

?√

4S a =√2S

a

(√3-√2)

第n 个s 的位移所需时间t n -t n-1=√2S a

(√n -√n ?1) ⑥一个s 末、第二个s 末、……第n 个s 末的速度之比：

因为初速度为0，且V t2-V02=2αx，所以V t2 =2αx

V t12=2αs V t1=√2αs

V t22=2α(2s) V t2=√4αs

V t32=2α(3s) V t3=√6αs

V tn2=2α(ns) V tn=√2nαs

V t1：V t2：V t3：…….V tn=√2αs:√4αs: √6αs: √2nαs=1:√2:√3:√ n 以上特点中，特别是③、④两个应用比较广泛，应熟记。

6、作为匀变速直线运动应用的竖直上抛运动，其处理方法有两种：

其一是分段法。

上升阶段看做末速度为零，加速度大小为g的匀减速直线运动;

下降阶段为自由落体运动(初速为零、加速度为g的匀加速直线运动)；

其二是整体法。把竖直上抛运动的上升阶段和下降阶段看成整个运动的两个过程。整个过程初速为v0、加速度为g的匀减速直线运动。

（1）竖直上抛定义：将一个物体以某一初速度V0竖直向上抛出，抛出的物体只受重力，这个物体的运动就是竖直上抛运动。竖直上抛运动的加速度大小为g，方向竖直向下，竖直上抛运动是匀变速直线运动。

（2）竖直上抛运动性质：初速度为V0≠0，加速度为-g的匀变速直线运动（通常规定以初速度V0的方向为正方向）

（3）竖直上抛运动适应规律

速度公式：V t=V0?gt

gt2

位移公式： h=V0t?1

2

速度位移关系式：V t2V02=2gh

（4）竖直上抛处理方法

①段处理上抛：

竖直上升过程：初速度为V0≠0加速度为g的匀减速直线运动

基本规律：V t=V0?gt h=V0t?1

2

gt2V t2V02=2gh

竖直下降过程：自由落体运动

基本规律：V t=gt h=1

2

gt2V t2=2gh

④直上抛运动整体处理：设抛出时刻t=0，向上的方向为正方向，抛出位置

h=0，则有：

V t=V0?gt{若V t>0，表明物体处于上升阶段。

若V t=0，表明物体上升到最大高度。若V t<0，表明物体处于下降阶段。

h=V0t?1

2gt2{

h>0，表明物体在抛出点上方运动。

H=0，表明物体正处在抛出点。

H<0，表明物体在抛出点下方运动

V t2V02=2gh

用此方法处理竖直上抛运动问题时，一定要注意正方向的选取和各物理量正负号的选取；特别是t=0时h的正负。

（5）竖直上抛运动的几个特征量

①上升到最高点的时间：t=V0

g ；从上升开始到落回到抛出点的时间：t=2V0

g

。

⑤升的最大高度：h=V02

2g

；从抛出点出发到再回到抛出点物体运动的路程：

h=V02

g

⑥升阶段与下降阶段抛体通过同一段距离所用的时间相等（时间对称性：

t

上=t

下

）

⑦升阶段与下降阶段抛体通过同一位置时的速度等大反向（速度对称性：

V 上=?V

下

）

7、自由落体及公式

(1)物体只受重力作用

物体只受作用下，从静止开始下落的运动叫做自由落体运动（其初速度为0）。其规律有V t2=2gh。(g是，g=s2;)

（2）一段内v=h

t =1

2

gt

（3）自由落体半程时间与全程时间之比为1：√1

2推理：设半程时间为t;全程时间为T,则：

H 2=1

2

g t2 h=1

2

g T2

T2=h

g T2=2h

g

T T =√t2

T2

=√

h

g

2h

g

=√1

2

（4）自由落体半程速率与全程速率之比为1：√1

2