高中数学-分段函数的几种常见题型及解法
分段函数常见题型及解法
【解析】
3 ?求分段函数的最值
4x 3 (x 0)
例3?求函数f(x) x 3 (0 x 1)的最大值
x 5 (x 1)
分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内 有不同的对应法则的函数
它是一个函数，却又常常被学生误认为是几个函数
；它的定义域是各段函数定义域的并
集，其值域也是各段函数值域的并集 ?由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知 识的程度的考察上有较好的作用 ，时常在高考试题中“闪亮”登场，笔者就几种具体的题 型做了一些思考，解析如下：
1 ?求分段函数的定义域和值域
例1.求函数f(x)
值域?
【解析】 2x 2 x [ 1,0];
1
x x (0,2);的定义域、
3 x [2，)；
作图，
利用“数形结合”易知f (x)的定义域为
[1，)，值域为(1,3].
2 ?求分段函数的函数值
|x 1| 2，(|x|
例2 . ( 05年浙江理)已知函数 f(x)
1 1 x 2
(|x|
1)
1) 求f[?
因为 f(i)
11 1| 2 所以 f[f(b] f(
1 4 1 ( i)
2 13
【解析】当 X 0 时,f max (X ) f(0)
3,当 0 X 1 时，f max (X )
f(1) 4,
当 X 1 时, X 5
15 4,综上有 f max (x)
4.
4 ?求分段函数的解析式
例4 .在同一平面直角坐标系中，函数y f (X )和y g(X )的图象关于直线 y X 对 称，现将y g(x)的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，所得 的图象是由两条线段组成的折线(如图所示)
，则函数f (x)的表达式为()
5 ?作分段函数的图像
例5?函数y e IM |X 1|的图像大致是()
2x 2 (1
X 0)
A. f(x)
2
X 2
(0 X 2)
2x 2 (1
X 0)
B. f(x)
2
X 2
(0 X 2)
2x 2 (1 X 2)
C. f(x)
X
2
1 (
2 X 4)
2x 6 (1 X 2)
D. f(x)
X
2
3 (2
X 4)
【解析】
将其图象沿X 轴向右平移2个单位,
再沿y 轴向下
平移 1 个单位
得解析式为y 今(x 2) 1 1
4 1
f(x) 2x 2 (x [ 1,0]),当 x [0,1]时,
y 2x 1,将其图象沿x 轴向右平移2
个单位，再沿y 轴向下平移
1个单位,
得解析式y 2(x
2) 1 1 2x 4,
所以
f(x) 2x 2 (x [0,2])
综上可得f(x)
2x 2 ( 1 x 0) ■2 2
(0 x 2)
故选A
当 X [ 2,0]时，y 1 x 1
6 ?求分段函数得反函数
【解析】
设x 0, 则x
0,所以 f( x) 3 x 1
,又因为f (x)是定义在R 上的奇函数
所以f ( x)
f (x), 且 f (0) 0,
所以f(x)
1 3 x ,因此
x
3 1 (x 0)
Iog 3(x 1) (x 0)
f(x)
(x 0), 从而可得 g(x) 0
(x 0).
1 3 x (x 0)
Iog 3(1 x)(x 0)
7?判断分段函数的奇偶性
【解析】
0, x 0 , f ( x) ( x)2( x 1)
x 2(x 1) f (x)
例6已知y
f(x)是定义在R 上的奇函数， 且当x
0时，f(x)
3x 1 ,设
f(x)得反函数为y
g(x), 求g(x)的表达式.
例7 ?判断函数 f(x)
x 2(x 1)
x 2(x 1)(x
(x
0)
的奇偶性.
0)
x 0,
f( x)(
x)2( x 1) x 2(x 1)
f (x),
f( 0) f(0) 0,
x
D
因此,对于任意x R 都有f( x) f(x),所以f(x)为偶函数.
&判断分段函数的单调性
9 ?解分段函数的方程
10 ?解分段函数的不等式
2 x 1 (x 0)
例11 ?设函数f (x)
1
x 2 (x 0)
例8?判断函数f(x)
3
(
x x (x
x (x
0)
的单调性.
0)
【解析】
显然f (x)连续?当x 0时,
' 2
f (x) 3x 1 1恒成立，所以f (x)是单调递增函
数，当x 0时，f '(x) 2x 0恒成立，f (x)也是单调递增函数
所以f(x)在R
上是单调递增函数；
或画图易知f (x)在R 上是单调递增函数
例9 ?写出函数 f(x) |1 2x| |2 x|的单调减区间.
3x 【解析】f (x)
3x 1
1 (x
( (x 1 2
彳x
2)
) 2)
，
画图易知单调
减区间为(
值为
例10.(01年上海)设函数
f(x)
2 x
log 81 x x (
x (1,
,1] )
1
则满足方程f(x) 的x 的
4
【解析】
7，则 2 x 22
,1], 所以x 2 (舍去)，若log 81 x
1
则 x 814,解得 x 3 (1,
)， 所以x
f(X。)1,则X o得取值范围是( )
A.( 1,1)
B.( 1,)
C-(,2)(0,)
D.(,1)(1,)
【解析1】
首先画出y f (x)和y 1的大致图像,易知f(x o) 1时，所对应的x o的取值范
围是(,1) (1,).
【解析2】
因为f(x。) 1 , 当当
0时，2*11,解得X0 1 ,当X0 0 时
X。
1
综上X。的取值范围是(，1) (1,).故选D.
X0215解得X。1
,
(X1)2(x1) 「、
1的自变量X的取值范围为例12设函数f(x),贝M吏得f (x)
4X 1 (X1)
()
A.(,2][0,10]
B.(,2] [0,1]
C.(,2][1,10]
D.[2,0] [1,10]
【解析】
当x 1 时，f(x) 1 (x 1)2 1 x 2或x 0 ,所以x 2或0 x 1 ,当x 1 时，f(x) 1 4 .T7 1 3 x 10，所以 1 x 10,综
上所述,x 2或Ox 10,故选A项?
【点评：】
以上分段函数性质的考查中，不难得到一种解题的重要途径，若能画出其大致图像，定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解，方程、不等式等可用数形结合
使问题得到大大简化，效果明显.思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解