高中新课标数学必修一幂函数
高中新课标数学必修一2.3幕函数知识梳理
一.定义
一般地，函数y = √z叫做幕函数，其中X是自变量，α是常数.
典例解析
题型一:幕函数的概念例1 ?有下列函数
(Dy = √x;(2)y = X°；(3)y = 2"; (4)y = x",J (5)y = 3x2; (6) y = X2 +1; ⑺y = _丄.
X
貝中，是幕函数的有__________________ （只填序号）?
规律方法：
⑴理解幕函数y = X a的概念应注意以下几点:①以底为自变量的形式呈现;②指数α是常数,且α e R;③
系数为1?
⑵幕函数与指数函数的区别：
指数函数y=a x-自变量（全体实数）
I一底数（大于O且不等于1）
幕函数y=Λ*" --------- 常数〔只研究α=l,2,3，―）?1）
I一自变量（与α的取值有关）
例2?已知函数/⑴=（加2_加_1冲-3 ,加为何值时,f（x）：
⑴是幕函数；⑵是幕函数，且是（0, + s）上的增函数：⑶是正比例函数;
⑷是反比例函数；⑸是二次函数.
规律方法：
本题将正比例函数，反比例函数，二次函数和幕函数放在一起考査，转化为系数和指数的取值问题，要注意区别它们之间的不同点，根据各自定义：①正比例函^y = kx （k≠0）t②反比例函^y =-（k≠0）t③二次函数y = ^2+^v + c（^≠0）;④幕函数y = xα（α是常数）?
题型二：幕函数的图象
例3?如图所示的曲线是y = Λ"在第一象限的图象，已知αj?4「丄丄则相应于曲线GGG,C4的
4 4 「
值依次为（）
4 1 I
A. —4 , ——，一4?
B. 4 ,-
4 4 4
C. 一丄.-4,4. 1
?D. 4 ,丄
4 4 4
32
例4?给泄一组函数解析式: (l)y = F; (2)y = x j;
⑺y = √和一组函数图象，请把图象对应的解析式号码填在图象下而的括号里.
3
规律方法:
1
?農函数的指数与图象特征的关系:当a ≠ 0,1时爲函数y =屮在第一象限的图象特征:
α取值
a>? OVaVl a<0
y
1/
r ,
图象
1 y I A
O
1
X
_VLA ___________ ——k ―≡ ?
a 1 X σ? ? X 特殊点 过(0,0), (1,1)
过(0,0), (1,1)
过(1,1) 凹凸性 下凸 上凸 下凸 单调性 递增 递增 递减
举例
y = X 2
1
y =
1
y =χ~'9y = x 2
2?農函数y = x α随着a 值的改变图象的变化规律是:随着a 的由小变大■图象在直线X = 1的右侧,由低到高. 认识
幕函数的图象重点在于掌握其特征?对于y = x σ,当QVo 时,在第一象限内为双曲线形;当0 < α V1 时,在第一象限内为抛物线形,且开口向右;当α > 1时,在第一象限内为抛物线形,且开口向上?
题型三:幕函数的定义域
例5.求下列函数的泄义域
规律方法:
α
题型四：幕函数的性质及应用
例6?比较下列各组数的大小. 5 5 8 I 8 ⑴ 3 2 与3?1 2；
(2)-8 9 与 一 (一)9；
9
2 ?- ZT-- 2 .Z 丄 (3)
(.-)3与(__) 3；
(4)4?153?8?
(-1?9)5.
3
6
(l)y = Λj ; _3 (4) y = X
7;
⑵ y = x^ ?
3
(5)y = (χ + 2f ?
(3) y = x 丁;
例7?已知幕函数/C) = MiL3,仏UM)的图象关于y 轴对称，且在(o, + s)上是减函数:
In m
⑵求满足(a + 1)~<(3-2?)~的G 的取值范味
规律方法：
⑴?单调性:幕函数y = Λ-α在第一象限的图象特征:①当Q >1时,图象过点(0,0),(,1,1)递增,如y =疋.②当 丄 OVaVl 时,图象过点(0,0>(,l,l)递增,如y = x 7.@当α V 0时,图象过点(1,1)递减,且以两坐标轴为渐进线,如 y = x~,.
(2)= X Λ的奇偶性的判断方法.
同步练习
一. 选择题
⑴求/3)的解析式: ⑶讨论 F(X) = (I y l /(x) +
b
5)
的奇偶性.
1?已知幕函数y = /(x)的图象经过点(4,扌),则/⑵=( )
A. -
B. 4
c?返
D. y ?2
4
2
2
2 ?函数y = √的图象大致是(
)
3 2 2 ■
3.a = (-)?Z? = (-)?c = (-)5 ,则小C 的大小关系是(
)
A. a>c>b
B. cι>h>c
4 ?下列说法正确的有( ) ⑴幕函数的图象均过点(IJ):⑵幕函数y = χ"1在(-OO)上单调递减,在(0, + s)上也单调递
减,因此幕函数
y = r 1是左义域内的单调函数；⑶幕函数的图象均在两个彖限岀现：⑷幕函数在第四象限可以有图象：⑸当 d>0时,幕函数在第一象限内均为增函数：⑹任何两个幕函数的图象最多有三个交点.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
5.下列不等式在b ) 1 ￡ 2 2 A. Cr X >b^ B. a 3 C. b 2 D. a 3 >b 3 6?若OVaV ” V1 ,则下列不等式成立的是( ) A. (l-α)∣>(l -β)f, B. (l + a)">(l+/" C. (l-a)fe >(l-tι)l D. (l -aj , >(l-^)b 7?图中C 1,C 2,C 3为三个呈函数)，= _?在第一象限内的图象,则解析式中指数R 的值依次可以是() A. — 1, — ,3 B. —13— C. —,— 1,3 D. —,3,-1 2 2 2 2 y 2 二. 填空题 C. c>a>b D. b>c>a O 1 X -1 &幕函数y = 0屛_伽+1902”T的图象不过原点,则In的值为 ___________________________ . 9.函^y = (X-Ip的单调区间为________________________ . 10?函数y = (//LV2 +4x + 2)^2 +χ2 -InX +1的泄义域为R .则m的取值范囤 ______________________ . 三.解答题 11 .已知幕函数/(Λ)=丿"'+"F,(加∈7V*). ⑴试确泄函数的定义域,并指明函数在左义域上的单调性； ⑵若该函数还经过(2,λU),试确定m的值,并求满足条件f(2-a) > f(a -1)的取值范围. 12.已知幕函数/(Q =疋"八2",(用e Z)为偶函数,且在(0, + OO)上单调递增. ⑴求/(X); ⑵设g(x) = JTG) + 2x + C,若g(x)> 2,对于XWR恒成立,求C的取值范用. 能力挑战 1.已知/(x)=芒"，+，”+3伽e Z)为偶函数,且/⑶V /⑸? ⑴求〃7; ⑵若^(X) = IOg fl[/M-?4(? > 0且α ≠ 1),在[2,3]上为增函数,求“的取值集合. 」2 3 2?已知幕函数/(Λ-) = √2p +,,+2,(/7 ∈ ∕V).?(0, + ∞)上是增函数,在泄义域上是偶函数. ⑴求〃的值,并写出相应的函数/3)的解析式； ⑵对于⑴中求得的函数/⑴.设函数g(x)=—0V(x)]+(2g-1)?/(x)+L则是否存在实数√t7<0),使得 g(x)在区间(-s,-4］上是减函数,且在区间(-4,0)上是增函数?若存在,请求出来,若不存在,请说明理由. 2. 3幕函数答案 典例解析 题型一:幕函数的概念 例 1 .(1X2X4) 解:⑶中y = 22J是指数函数;⑸中X2的系数是3,故不是幕函数;⑹中y = √+l ,不是√1的形式,故不是幕函数,⑺中丄的系数是一 1,故不是幕函数. 例 2.解:⑴?.? /(Λ)是幕函数,故m2-m-↑ = ?,即m2-m-2 = 0,解得In = 2 或ιn = -?. R 2 1 _ 1 ⑵若/(X)是幕函数,且又是(0,+?>)上的增函数厕一也一=, AZH = -I? —5/?1— 3 > 0, ⑶若f(X)是正比例函数,则一5∕π-3 = l.解得m = ~-,此时,m2-m-?≠0Mm = -- 2 2 ⑷若f (%)是反比例函数,则一5∕λ∕-3 =-L则加=一二,此时一〃2-1 HO,故Ul =——? ⑸若/(x)是二次函数,则一5也一3 = 2 ,即I n = -\ ,此时m2-m-?≠0,故加=—1. 综上所述,当m = 2或加=-l,∕(x)是幕函数;当/Π=-1?,∕(Λ)既是幫函数,又是(O,P)上的增函数;当m = ~-时J(X)是正比例函数;当m =⑴是反比例函数;当加=—1时J(X)是二次函数. 题型二:幕函数的图象 例 3. B. 解:要确定一个幕函数y = Λα任坐标系内的分布特征,就要弄淸幕函数y = χσ随着a值的改变图象的变化规律,随着a的变大,幕函数y = X a的图象在直线X = 1的右侧由低向髙分布,从图中可以看岀,直线X = 1右侧的图象,由高向低依次为C1,C2,C3,C4,fi∣τ以C∣,C2,C3,C t的指数G依次为4,1-1,-4. 例 4.(6X4)(3)(2)(7X1)(5) 解:先区分幕函数的正负,若是正指数,再与1比较大小,.若是负数,再区分奇偶性,就可找到对应图象的函数.. 观察前三个图象,由于在第一象限内,函数值随X的增大而减小,则幕指数αvθ.其中第一个函数图像关于原点 _1 对称,第二个函数图象关于y轴对称,而第三个函数的左义域为(09+oo).所以第一个函数图像对应y = Λ75;第二2-3 个图象对应y =三个图象对应〉，=人二;后而四个图象都通过(0,0)和(IJ)两点,故α>0,第四个图象关于 2 1 y轴对称,第五个图象关于原点对称,龙义域都是R ,所以第四个图象对应y = G,第五个图象对应y = x?由最后两个图象 知,函数的左义域为[0,-κo),而第六个图象呈上凸状.α应小于1,第七个图象呈下凸状.α应大于1,故3 3 第六个图象对应y = F,第七个图象对应y =込,所以按顺序分别填⑹(4)(3X2)(7)(1)(5). 题型三:幕函数的定义域 3 例5?解:(l)y = /=W ,其泄义域为R ： 丄 (2)y=P=屁其定义域为[0,+Oθ); 2 1 (3)y = χ i = -F=.,其定义域为(-oo,θ)U(θ,+oo): y?χ J (4)y = √5 =_L t其定义域为(0,乜)： 3 ___________ (5)y = (χ + 2)2=2∕(χ + 2)? 其泄义域为[一2,*c). 题型四：幕函数的性质及其应用 5 5 5 例6?解：⑴函数y = χA在(0,+?>)上为减函数，又3<3?1,所以3~>(3?1)~. 8]8 8 [[ 8[8 (2)8^=(-f 函数〉，=捂在[0,P)上为增函数，又→∣ ,所以8^^>(-)?所以一 8^^ < -(~Γ . Q 2 j 2Z- 2 2 -r 1 _2 (3)(--P= (-P= (-P , (--P = (-P ,因为函数y = P在(0,乜)上为减函数，—>Z 3 3 6 6 6 6 6 所以(-∣)^j<(-^ρ. 3 o 2 2 2 3 2 2 3 ⑷因为4?P >P =1 , 0<3?8^I<Γ5=1, (-l?9p<0,所以4?P >3?8^1 >(-l?9p. 例 7?解：(I)T 函数/(x)在(0,-KO)上单调递减，.?.∕√-2∕H-3<0, 解得-? ?.? 〃疋AT, .?. m = 1,2 , 又函数/⑴的图象关于y轴对称， A m2-2nι-3是偶数，而22-2×2-3 = -3为奇数，l2-2×l-3 = ^为偶数，.?.m = 1, /(x)=x^4. -丄-1 -1 (2)^(X)=X 3在(一oo,0>(0,RD)上均为减函数，.?.(α + l) 3 <(3-2?) 3等价于a + ?>3-2a>0 或 2 3 O>tz + 1 >3 —2r∕或α + lvθv3-2d 解得α<-l或一VdV-, 故a的取值范围为 3 2 、2 3 < a?a < -1?K- ? 1 3 2 ⑶由(I)W F(Λ-) = 6∕λf7W + -4-= Λ + ^V3 : 当a=b = O时，/G)既是奇函数又是偶函数：当 g) V- a = O,b≠ O时，/(x)是奇函数；当a≠O, b = O时，/(x)是偶函数：当a≠O,b≠O时，/(x)是非奇非偶函数. 同步练习 一.选择题 1. C.解析：将点(4,丄)代入y = x“得丄= 4°,。= —1,.?.∕(x)=χP, .?./⑵=2飞=二， 2. D.解 2 2 2 2 2 析:Vy = X3 =V√是R上的偶函数且在(0、+8)上单调递增，故选D. 3. A.解析：构造幕函数 2 2 y = x5(x∈∕?)由该函数在［0,+8)上单调递增，知a>cχ再构造指数函数γ = (-)v(x∈/?) >由该函数在其左义域内单调递戒得c>b,所以a>c>b? 4. C.解析:本题需熟练掌握幕函数的图象和性质.然后对每 个命题按性质判断,其Φ(1X5)(6)正确,(2X3)⑷错误,⑹可借助图形观察出来.故选C. 5. D 解析:考察函数 1 2 y = X-1,y = x?y = x2,y = x ',因为b I 1 I _2 y = X3在(-s,θ)上单调递增,所以b y a2?函数y = X '在2 2 (-。0)上单调递增,所以b~ 二.填空题 & 3 解析:由?m ^9,π + 19=Zh得Zn = 3- 9.减区间(l4-o);增区间(-s,l)解析:函数y = βP在2∕∕Z2-7W-9≤0, 2 2 (-。0)上单调递增,在(0,w)上单调递减,而函数y = Gv-Ip是由函数y = x'1向右平移1个单位得到的,所_2 以y = (X-I)'在(一G°」)上单调递增，在(1,乜)上单调递减. 10?In > 2 解析：???函数 y = (JnX l +4x+2) +x2 -IHX +1 的定义域为R ,:. InX I + 4x + 2 > O 恒成立匸只需 < m >θ5 Δ = 16-47/7x2 <0, :.m > 2. 三?解答题 11 ?解:(1)?.?m2 +m = m(m +1), tn ? N?、而In与m +1中必有一个偶数，.? Hr +m为偶数， /.函数 几Q = +"片”『,(〃疋M)的泄义域为［θ,+oo),并且函数/⑴在貝左义域上为增函数. I ⑵???函数/G)经过点(2,√r2), /.√2= 2曲"尸而2, = 2亦枷尸,???n/2 +加=2, /.川=1或 3 满足条件/(2-?)>/(?-!)的实数α的取值范围为 12 ?解:(1)由一 ”『+2〃? + 3>0 得-1 < m < 3 , .β. m = O 丄 2 , 因为 /(x)为偶函数， /. m = 1, A f(x)=χ4 ? (2)?.? ^(X)=X 2+2X +C = (Λ+1)2+c-l > 2恒成立,/. ^(X)Inin > 2且XeR ^(X)Inin = g(-1) = c-1, ???c-l>2, .?c>3. 能力挑战 1 ?解:⑴?.? /(Λ)为偶函数， .?. -Inr +加+ 3应为偶数, 又/⑶V /⑸即3亠CEV 5亠CE 3 3 /. (-)^2r "2Z <1, ???-2m 1 +∕w + 3>0, A-I <∕n<-且〃2 wZ. /. m = O 或 1, 5 2 当加=O 时,一Im 2 +也+ 3 = 3为奇数;当〃7 = 1时,一2m 2 +m + 3 = 2为偶数,所以/n = 1,/(X) = X 2. ⑵ ^(X)=IOg rt (Λ2 -ax),由 y = Ioga U(X)J((X) = x 2 -UX 复合而成,当 O VdVl 时,y = IOgd ZY(X)为减函数,而 ￡>3 要使 g(x)在［2,3］上为增函数，故"(x) = χ2-αr 在［2,3］上为减函数.J1X 2-6∕Λ>0.所以' 32-3^>O, .?.tz∈Φ ,当α >1时,y = Iog/心)为增函数,而要使g(x)在［2,3］为增函数,故W(X) = X 2-OX 在［2,3］上为增 函数但X 2-UJC>O, /.■ 2'i :Λ 4 一 2“ > 0, 1 3 2?解:⑴若y = √r 在(O,P)上是增函数侧有α>0,因为/⑴在(O,P)上增函数,所以—二］ >0,利 3 用二次函数图象解得一 Ivp <3,又p^N 、所以p = 2丄0;当〃 =0或2时,/(小=迈,不是偶函数,当P = I 时J(X) = x 2是偶函数,故f(x) = X 2? ⑵因为/G)=/,所以g(χ)=-G√l +(2g-l)Λ?2 + l,假设存在实数q(q < 0),使得g(x)满足条件,设x 1 若x 1,x 2 ∈(-00,-4],易知旺+x 2 <0,x 2 -X l >0 ,要使g(x)在(-00,-4]上是减函数，则应有 t z (x 12+x 22)-(2^-l) Irl = -2, 又 β.? m ? 9 .?. m = 1, 2-6/≥ O 5 由 /(2-α)>/(α-l)得< α-l≥0, 2-a> a-?, 解得?≤a<-故〃? = 1, 2 )M√+x 22)-(2g-l)] q(x； +x22)<2t∕-l 恒成立,只须2q-?≥ 32q ,解得 q S -丄；由州,七 W (-4,0),易知Cη + X I)(X2一Xl)V 0 , 3 0 要使g(x)在(-4,0)±是增函数,则应有^GV I2+Λ?22)-(2^7-I)>O恒成立?因为一4vx∣ Vθ,-4VX2 VO.所以 x12 +J?2 <32,W <0 .所以 q(xj +x22) >32g,要使q(x^ +Λ?2) >2§-1 恒成立,则必有2q-?< 32q ,解得空-丄. 30 综上所述,存在实数§ =-丄,使得g(x)在(-OO-4]±是减函数,且在(-4,0)±是增函数. 幂函数及其性质专题 一、幂函数的定义 一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数.如 112 3 4 ,,y x y x y x - ===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 二、函数的图像和性质 （1）y x = （2）12 y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x = 用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出： 3．幂函数性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 三．两类基本函数的归纳比较： ① 定义 对数函数的定义：一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 幂函数的定义：一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数. ②性质 对数函数的性质：定义域：（0，+∞）；值域：R ； 过点（1，0），即当x =1，y =0； 在（0，+∞）上是增函数；在（0，+∞）是上减函数 幂函数的性质：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义， 图象都过点（1，1）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点， 在[0，+∞]上，y x =、2y x =、3 y x =、1 2 y x =是增函数， 在（0，+∞）上， 1y x -=是减函数。 【例题选讲】 例1．已知函数()() 2 53 1m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =- （4）2 5 m =-（5）1m =- 变式训练：已知函数()()2 223 m m f x m m x --=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲 线。 简解：2 20230 m m m m ?+>??-->??解得：()(),13,m ∈-∞-+∞ 例2．比较大小： （1）1122 ,1.7 （2）33 ( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.5 30.5,3,log 0.5 例3．已知幂函数223 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值． 解：∵幂函数223 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点， ∴2 230m m --≤，∴13m -≤≤； ∵m Z ∈，∴2 (23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴2 23m m --是奇数，∴0m =或2m =． 例4、设函数f （x ）＝x 3， （1）求它的反函数； （2）分别求出f － 1（x ）＝f （x ），f － 1（x ）＞f （x ），f － 1（x ）＜f （x ）的实数x 的范围． 解析：（1）由y ＝x 3两边同时开三次方得x ＝3y ，∴f － 1（x ）＝x 3 1 ． （2）∵函数f （x ）＝x 3和f －1 （x ）＝x 3 1 的图象都经过点（0，0）和（1，1）． 3. 函数值域的求法： ①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式； ②逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；常用来解，型 如： ),(,n m x d cx b ax y ∈++= ； ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； 常针对根号，举例： 令 ，原式转化为： ，再利用配方法。 ⑤利用函数有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如： )0(>+ =k x k x y ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。 二．函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) （1）增函数 设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 高中数学必修基本初等 函数常考题型幂函数 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】 幂函数 【知识梳理】 1．幂函数的概念 一般地，函数y ＝x 叫做幂函数．其中x是自变量，α是常数．2．常见幂函数的图象与性质 解析式y＝x y＝x2y＝x3y＝1 x y＝ 1 2 x 图象 定义域R R R{x|x≠0}[0，＋∞)值域R[0，＋∞)R{y|y≠0}[0，＋∞) 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数非奇非偶函 数 单调性在(－∞， ＋∞)上单 调递增 在(－∞， 0]上单调递 减，在(0， ＋∞)上单 调递增 在(－∞， ＋∞)上单 调递增 在(－∞， 0)上单调递 减，在(0， ＋∞)上单 调递减 在[0，＋ ∞)上单调 递增 定点(1,1) (1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸； 当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 【常考题型】 题型一、幂函数的概念 【例1】 (1)下列函数：①y＝x 3 ；②y＝12x ?? ? ?? ；③y＝4x 2；④y＝x 5 ＋1；⑤y＝(x －1)2；⑥y＝x ；⑦y＝a x (a>1)．其中幂函数的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 (2)已知幂函数y ＝()2 2231m m m m x ----，求此幂函数的解析式，并指出定义域． (1)[解析] ②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B. [答案] B (2)[解] ∵y＝()2 2231m m m m x ----为幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x －3，且有x≠0； 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y ＝x －3，{x|x≠0}或y ＝x 0，{x|x≠0}． 【类题通法】 判断一个函数是否为幂函数的方法 高中函数大题专练 ２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。 ① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥； ② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。 已知函数2()g x x =与()21x h x a =?-是定义在[0,1]上的函数。 （1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值； （3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()x g h x m -+=()m R ∈解的个数情况。 3.已知函数| |212)(x x x f - =. （1）若2)(=x f ，求x 的值； （2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，11,()0,f x x ?-?=??? 0;0.x x >= （1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式. （2）请你作出函数)(x f 的大致图像. （3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围. （4）若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件. 5．已知函数()(0)|| b f x a x x =-≠。 （1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围； （2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x m n ∈时，函数()g x 的值域也是 [,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。若函数()f x 是某区间上的闭函数，试探求,a b 应满足的条件。 6、设bx ax x f += 2)(，求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正实数b ，使函数)(x f 的定义域和值域相同。 7．对于函数)(x f ，若存在R x ∈0 ，使00)(x x f =成立，则称点00(,)x x 为函数的不动点。 高中数学必修1《函数的应用》知识点(总7页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除 第4章 函数的应用 第1讲 函数与方程 一、连续函数 连续函数： 非连续函数： 二、方程的根与函数的零点 ()()()0001f x x f x x f x ?、零点：对于函数，若使=0，则称为函数的零点. ()()()=0y f x f x y f x x ??2、函数=的零点方程的实根函数=图像与交点的横坐标. 3、零点存在性定理： ()[]()()()(),::,. 0.y f x a b p q y f x a b f a f b ????? ()f x 三、用二分法求=0的近似解 步骤： ()()()()()()( )1 2121233131323231,,0; 2,;2 30,20,2.i i x x f x f x x x x f x f x f x x x f x f x x x x x d +?<+= ? 高中数学必修一幂函数 教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高中数学必修一幂函数教案 教学目标： 知识与技能通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用． 过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质． 情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．教学重点： 重点从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质． 难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律． 教学程序与环节设计： 问题引入． 索一般幂函数的图象规律． 教学过程与操作设计： 环节教学内容设计师生双边互动 组织探究 材料二：幂函数性质归纳． （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定 义，并且图象都过点（1，1）； （2）0 > α时，幂函数的图象通过原 点，并且在区间) ,0[+∞上是增函数．特别 地，当1 > α时，幂函数的图象下凸；当 1 0< <α时，幂函数的图象上凸； （3）0 < α时，幂函数的图象在区间 ) ,0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x从 右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼 近y轴正半轴，当x趋于∞ +时，图象在x轴 上方无限地逼近x轴正半轴． 师：引导学生 观察图象，归纳概 括幂函数的的性质 及图象变化规律． 生：观察图 象，分组讨论，探 究幂函数的性质和 图象的变化规律， 并展示各自的结论 进行交流评析，并 填表． 探究与发现 1．如图所示，曲线 是幂函数αx y=在第一象 限内的图象，已知α分别 取2, 2 1 ,1,1 -四个值，则相 应图象依次 为：． 2．在同一坐标系内，作出下列函数的图 象，你能发现什么规律？ （1）3- =x y和3 1 - =x y； （2）4 5 x y=和5 4 x y=． 规律1：在第 一象限，作直线 )1 (> =a a x，它同 各幂函数图象相 交，按交点从下到 上的顺序，幂指数 按从小到大的顺序 排列． 规律2：幂指 数互为倒数的幂函 数在第一象限内的 图象关于直线x y= 对称． 作业回馈 1．在函数 1 , , 2 , 1 2 2 2 = + = = =y x x y x y x y中，幂函数的个数为： A．0 B．1 C．2 D．3 环节呈现教学材料师生互动设计2．已知幂函数) (x f y=的图象过点 )2 ,2(，试求出这个函数的解析式． 3．在固定压力差（压力差为常数）下， 当气体通过圆形管道时，其流量速率R与管 道半径r的四次方成正比． （1）写出函数解析式； （2）若气体在半径为3cm的管道中，流 量速率为400cm3/s，求该气体通过半径为r 的管道时，其流量速率R的表达式； （3）已知（2）中的气体通过的管道半 径为5cm，计算该气体的流量速率． 4．1992年底世界人口达到54．8亿， 若人口的平均增长率为x%，2008年底世界人 口数为y（亿），写出： （1）1993年底、1994年底、2000年底 的世界人口数； （2）2008年底的世界人口数y与x的 函数解析式． 人教版高中数学必修一 知识点梳理 重点题型（常考知识点）巩固练习 指数函数、对数函数、幂函数综合 【学习目标】 1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算． 2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点． 3．理解对数的概念及其运算性质． 4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理． 5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质． 6．知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数（a ＞0，a≠1）． 【知识框图】 【要点梳理】 要点一：指数及指数幂的运算 1．根式的概念 a 的n 次方根的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈ 当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的n n 为偶数时，正数 的n 次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0． n 叫做根指数，a 叫做被开方数． 2．n 次方根的性质： （1）当n a =；当n ,0, ,0;a a a a a ≥?==? - )0,,,1m n a a m n N n =>∈>；()10,,,1m n m n a a m n N n a - = >∈> 要点诠释： 0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义． 4．有理数指数幂的运算性质： ()0,0,,a b r s Q >>∈ （1）r s r s a a a += （2）()r s rs a a = （3）()r r r ab a b = 要点二：指数函数及其性质 1．指数函数概念 一般地，函数()0,1x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 2 必修一第一章 集合与函数概念 二、函数 知识点8：函数的概念以及区间 1》函数概念 设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =()f x 注意：①x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域 ②与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域. 2》区间和无穷大 ①设a 、b 是两个实数，且a=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞. 3》决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数. 典例分析 题型1：函数定义的考察 例1：集合A=}{40≤≤x x ，B=}{20≤≤y y ，下列不表示从A 到B 的函数是（ ） A 、x y x f 21)(= → B 、x y x f 31 )(=→ C 、 x y x f 32 )(=→ D 、x y x f =→)( 例2：下列对应关系是否是从A 到B 的函数： ① }{;:,0,x x f x x B R A →>== ②,:,,B A f N B Z A →==求平方； ③B A f Z B Z A →==:,,，求算术平方根； ④B A f Z B N A →==:,,，求平方； ⑤A=[-2,2],B=[-3,3],B A f →:,求立方。 是函数的是_________________。 题型2：区间的表示 例1：用区间表示下列集合 （1） }{1≥x x =_____________。 （2）}{42≤ 2.3 幂函数 整体设计 教学分析 幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数.学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历,幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成.因此,学习过程中,引入幂函数的概念之后,尝试放手让学生自己进行合作探究学习.本节通过实例,让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型,通过研究 y ＝x,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝x -1 ,y ＝x 2 1 等函数的性质和图象,让学生认识到 幂指数大于零和小于零两种情形下,幂函数的共性：当幂指数α＞0时,幂函数的图象都经过点（0,0）和（1,1）,且在第一象限内函数单调递增；当幂指数α＜0时,幂函数的图象都经过点（1,1）,且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线.在方法上,我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质,并注意与指数函数进行对比学习. 将幂函数限定为五个具体函数,通过研究它们来了解幂函数的性质.其中,学生在初中已经学习了y=x,y=x 2,y=x -1等三个简单的幂函数,对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识.现在明确提出幂函数的概念,有助于学生形成完整的知识结构.学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象,研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数,对研究函数已经有了基本思路和方法.因此,教材安排学习幂函数,除内容本身外,掌握研究函数的一般思想方法是另一目的,另外,应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径. 学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆,因此在引出幂函数的概念之后,可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析. 三维目标 1.通过生活实例引出幂函数的概念,会画幂函数的图象,通过观察图象,了解幂函数图象的变化情况和性质,加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验,培养学生概括抽象和识图能力,使学生体会到生活中处处有数学,激发学生的学习兴趣. 2.了解几个常见的幂函数的性质,通过这几个幂函数的性质,总结幂函数的性质,通过画图比较,使学生进一步体会数形结合的思想,利用计算机等工具,了解幂函数和指数函数的本质差别,使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用,从而激发学生的学习欲望. 3.应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题,培养学生观察分析归纳能力,了解类比法在研究问题中的作用,渗透辩证唯物主义观点和方法论,培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力. 重点难点 教学重点:从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质. 教学难点:根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1 1.如果张红购买了每千克1元的水果w 千克,那么她需要付的钱数p （元）和购买的水果量w （千克）之间有何关系？根据函数的定义可知,这里p 是w 的函数. 2.如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a 2,这里S 是a 的函数. 3.如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a 3,这里V 是a 的函数. 高中数学必修1函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 高中数学学科测试试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．单选题（共__小题） 1．已知幂函数f（x）过点，则f（4）的值为（） A．B．1C．2D．8 答案：A 解析： 解：设幂函数f（x）=x a，x＞0， ∵幂函数f（x）过点， ∴，x＞0， ∴，∴， ∴f（4）==． 故选A． 2．幂函数y=（m2+2m-2）的图象过（0，0），则m的取值应是（）A．-3或1B．1C．-3D．0＜m＜4 答案：B 解析： 解：由幂函数的定义得：m2+2m-2=1，且-m2+4m＞0， 解得：m=1， 3．函数y= 的图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 答案：C 解析： 解：∵函数y=的定义域是[0，+∞）， ∴排除选项A 和B ， 又∵，∴曲线应该是下凸型递增抛物线． 故选：C ． 幂函数y=x -1及直线y=x ，y=1，x=1将平面直角坐标系的第一 象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数的图象经过的“卦限”是（ ） A ．④⑦ B ．④⑧ C ．③⑧ D ．①⑤ 答案：D 解析： 解：取x=得∈（0，1），故在第⑤卦限； 再取x=2得∈（1，2），故在第①卦限 5．幂函数f（x）=xα的图象经过点，则的值为（） A．4B．3C．2D．1 答案：C 解析： 解：幂函数f（x）=xα的图象经过点，所以，∴ ∴ 故选C． 二．填空题（共__小题） 6．若f（x）=x a是幂函数，且满足=3，则f（）=______． 答案： 解析： 解析：设f（x）=xα，则有=3，解得2α=3，α=log23， ∴f（）= = = = =． 故答案为： 7．设，则使函数y=xα的定义域为R且为偶函数的所有的α值为______．答案：，2 第4章 函数的应用 第1讲 函数与方程 一、连续函数 连续函数： 非连续函数： 二、方程的根与函数的零点 ()()()0001f x x f x x f x ?、零点：对于函数，若使=0，则称为函数的零点. ()()()=0y f x f x y f x x ??2、函数=的零点方程的实根函数=图像与交点的横坐标. 3、零点存在性定理： ()[]()()()(),::,.0.y f x a b p q y f x a b f a f b ????? ()f x 三、用二分法求=0的近似解 步骤： ()()()()()()()12121233131323231,,0; 2,;2 30,20,2.i i x x f x f x x x x f x f x f x x x f x f x x x x x d +?<+= ? 高一数学必修一函数必背知识点整理 高一数学必修一函数必背知识点 1、函数定义域、值域求法综合 2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略 4、反函数的几种题型及方法 5、二次函数根的问题——一题多解 &指数函数y=a^x a^a*a^b=a^a+ba>0,a、b属于Q a^a^b=a^aba>0,a、b属于Q ab^a=a^a*b^aa>0,a、b属于Q 指数函数对称规律： 1、函数y=a^x与y=a^-x关于y轴对称 2、函数y=a^x与y=-a^x关于x轴对称 3、函数y=a^x与y=-a^-x关于坐标原点对称 幂函数y=x^aa属于R 1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数. 2、幂函数性质归纳. 1所有的幂函数在0，+∞都有定义并且图象都过点1，1; 2时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数.特别地，当时，幂函数的图象下凸;当时，幂函数的图象上凸; 3时，幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴. 方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。 即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点. 3、函数零点的求法： 1 代数法求方程的实数根; 2 几何法对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点： 二次函数. 1△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点. 2△=0，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点. 感谢您的阅读，祝您生活愉快。 §2.3幂函数 教学目标： 知识与技能通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用． 过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质． 情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性． 教学重点： 重点从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质． 难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律． 教学程序与环节设计： 问题引入． 幂函数的图象和性质． 教学过程与操作设计： 环节教学内容设计师生双边互动 创设情境 阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列 问题： 1．它们的对应法则分别是什么？ 2．以上问题中的函数有什么共同特征？ （答案） 1．（1）乘以1；（2）求平方；（3）求立方；（4） 开方；（5）取倒数（或求－1次方）． 2．上述问题中涉及到的函数，都是形如αx y= 的函数，其中x是自变量，是α常数． 生：独立思考完成引 例． 师：引导学生分析归纳 概括得出结论． 师生：共同辨析这种新 函数与指数函数的异 同． 组织探究 材料一：幂函数定义及其图象． 一般地，形如 α x y=) (R a∈ 的函数称为幂函数，其中α为常数． 下面我们举例学习这类函数的一些性质． 作出下列函数的图象： （1）x y=；（2）2 1 x y=；（3）2x y=； （4）1- =x y；（5）3x y=． [解] ○1列表（略） ○2图象 师：说明： 幂函数的定义来 自于实践，它同指数函 数、对数函数一样，也 是基本初等函数，同样 也是一种“形式定义” 的函数，引导学生注意 辨析． 生：利用所学知识和方 法尝试作出五个具体 幂函数的图象，观察所 图象，体会幂函数的变 化规律． 师：引导学生应用画函 数的性质画图象，如： 定义域、奇偶性． 师生共同分析，强调画 图象易犯的错误． 环节教学内容设计师生双边互动 1.2函数及其表示 §1.2.1函数的概念 【教学目的】 1、使学生理解函数的概念，明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2、理解函数符号的含义，能根据函数表达式求出定义域、值域； 3、使学生能够正确使用“区间”、“无穷大”的记号； 4、使学生明白静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。 【教学重点】 在对应的基础上理解函数的概念 【教学难点】 函数概念的理解 【教学过程】 一、复习引入 〖提问〗初中学习的（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 〖回答〗设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数，并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，这种用变量叙述的函数定义我们称之为函 数的传统定义。 〖讲述〗初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。 〖提问〗问题1：y =1（x ∈R ）是函数吗？ 问题2：y =x 与y = x x 2 是同一函数吗？ 〖投影〗观察对应： 〖分析〗观察分析集合A 与B 之间的元素有什么对应关系？ 二、讲授新课 函数的概念 （一）函数与映射 〖投影〗函数：设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个 数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =)(x f ，x ∈A 。其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数y =)(x f 的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{)(x f |x ∈A}，叫做函数y =)(x f 的值域。 函数符号y =)(x f 表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f 。 函数的三要素：对应法则f 、定义域A 、值域{)(x f |x ∈A} 注：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。 映射：设,A B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射. 如果集合A 中的元素x 对应集合B 中元素y ,那么集合A 中的元素x 叫集合B 中元素y 的原象,集合B 中元素y 叫合A 中的元素x 的象. 映射概念的理解 (1)映射B A f →:包含三个要素:原像集合A ,像集合B(或B 的子集)以及从集合A 到集合B 的对应法则f .两个集合A,B 可以是数集,也可以是点集或其他集合.对应法则f 可用文字表述,也可以用符号表示.映射是一种特殊的对应关系,它具有: (1)方向性:映射是有次序的,一般地从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是不同的; (2)任意性:集合A 中的任意一个元素都有像,但不要求B 中的每一个元素都有原像; (3)唯一性:集合A 中元素的像是唯一的,即不允许“一对多”,但可以“多对一”. 函数与映射的关系 函数是一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出. 映射B A f →: 函数B y A x x f y ∈∈=,),( 集合A,B 可为任何集合,其元素可以是物,人,数等 函数的定义域和值域均为非空的数集 对于集合A 中任一元素a ,在集合B 中都有唯一确定的像 对函数的定义域中每一个x ,值域中都有唯一确定的值与之对应 对集合B 中任一元素b ,在集合A 中不一定有原像 对值域中每一个函数值,在定义域中都有确定的自变量的值与之对应 函数是特殊的映射,映射是函数的推广. 〖注意〗（1）函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应f ：A →B 。这里A ，B 为非空的数集。 （2）A ：定义域，原象的集合；{)(x f |x ∈A}：值域，象的集合，其中{)(x f |x ∈A}?B ；f ：对应法则，x ∈A ，y ∈B （3）函数符号：y =)(x f ，y 是x 的函数，简记) (x f 〖回顾〗（二）已学函数的定义域和值域： 1、一次函数)(x f =ax ＋b (a ≠0)：定义域R ，值域R 2、反比例函数)(x f = x k (k ≠0)：定义域{x |x ≠0}，值域{y | y ≠0} 3、二次函数)(x f =ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)：定义域R ，值域：当a ＞0时，｛y |y ≥a b a c 442 -｝； 函数部分难题汇总 1．函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 2．为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移， 这个平移是（ ） A ．沿x 轴向右平移1个单位 B ．沿x 轴向右平移 1 2个单位 C ．沿x 轴向左平移1个单位 D ．沿x 轴向左平移1 2 个单位 3．设? ??<+≥-=)10()],6([) 10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 4．已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是（ ） A ．[]052 ， B. []-14， C. []-55， D. []-37， 5．函数x x x y += 的图象是（ ） 6．若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A ．)2()1()2 3(f f f <-<- B ．)2()2 3()1(f f f <-<- C ．)23()1()2(-<- 《幂函数》教学设计 一、设计构思 1、设计理念 注重发展学生的创新意识。学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，倡导学生积极主动探索、动手实践与相互合作交流的数学学习方式。这种方式有助于发挥学生学习主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。我们应积极创设条件，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。 注重提高学生数学思维能力。课堂教学是促进学生数学思维能力发展的主阵地。问题解决是培养学生思维能力的主要途径。所设计的问题应有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等教学活动。容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。伴随新的问题发现和问题解决后成功感的满足，由此刺激学生非认知深层系统的良性运行，使其产生“乐学”的余味，学生学习的积极性与主动性在教学中便自发生成。本节主要安排应用类比法进行探讨，加深学生对类比法的体会与应用。 注重学生多层次的发展。在问题解决的探究过程中应体现“以人为本”，充分体现“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学”，“不同的人在数学上得到不同的发展”的教学理念。有意义的数学学习必须建立在学生的主观愿望和知识经验基础之上，而学生的基础知识和学习能力是多层次的，所以设计的问题也应有层次性，使各层次学生都得到发展。 注重信息技术与数学课程的整合。高中数学课程应尽量使用科学型计算器，各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、 计算器等进行探索和发现。 另外，在数学教学中，强调数学本质的同时，也让学生通过适度的形式化，较好的理解和使用数学概念、性质。 2、教材分析 幂函数是教育普通高中课程标准实验教科书数学（必修1）第二章第四节的容。该教学容在人教版试验修订本（必修）中已被删去。标准将该容重新提出，正是考虑到幂函数在实际生活的应用。故在教学过程及后继学习过程中，应能够让学生体会其实际应用。《标准》将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质。其中，学生在初中已经学习了y=x、y=x2、y=x-1等三个简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识。现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构。学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象，研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数，对研究函数已经有了基本思路和方法。因此，教材安排学习幂函数，除容本身外，掌握研究函数的一般思想方法是另一目的，另外应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径。该容安排一课时。 3、教学目标的确定 鉴于上述对教材的分析和新课程的理念确定如下教学目标： ⑴掌握幂函数的形式特征，掌握具体幂函数的图象和性质。 ⑵能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题。 ⑶加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验。 ⑷培养学生观察、分析、归纳能力。了解类比法在研究问题中的作用。 ⑸渗透辨证唯物主义观点和方法论，培养学生运用具体问题具体分析的方法高中数学必修一幂函数及其性质
高一数学必修一 函数知识点总结
高中数学必修基本初等函数常考题型幂函数
高中数学必修一函数难题
高中数学必修1《函数的应用》知识点
高中数学必修一幂函数教案
人教版高中数学【必修一】[知识点整理及重点题型梳理]_指数函数、对数函数、幂函数综合_提高
高中数学必修一函数的概念知识点总结
高中数学必修1公开课教案2.3.1 幂函数
高中数学必修1函数的基本性质
高中数学必修1幂函数测试卷
高中数学必修1《 函数的应用》知识点
高一数学必修一函数必背知识点整理
人教版高中数学必修一《基本初等函数》之《幂函数》表格式教学设计
高一数学必修一函数及其表示-函数的概念
(新)高中数学必修一函数部分难题汇总
高一数学教案：《幂函数》教学设计