函数图像切线问答
函数图像的切线问题
要点梳理归纳
1.求曲线y ＝f(x)的切线方程的三种类型及其方法
(1)已知切点P(x 0，f(x 0))，求y ＝f(x)在点P 处的切线方程：
切线方程为 y －f(x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0). (2)已知切线的斜率为k ，求y ＝f(x)的切线方程：
设切点为P(x 0，y 0)，通过方程k ＝f ′(x 0)解得x 0，再由点斜式写出方程. (3)已知切线上一点(非切点)A(s,t)，求y ＝f(x)的切线方程：
设切点为P(x 0，y 0)，利用导数将切线方程表示为y －f(x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再将A(s,t)代入求出x 0.
2．两个函数图像的公切线
函数y=f(x)与函数y=g(x) 存在公切线，
若切点为同一点P(x 0，y 0)，则有 ?????
f ′(x 0)＝
g ′(x 0)，
f (x 0)＝
g (x 0).
若切点分别为(x 1,f(x 1)),(x 2,g(x 2)),则有2
12121)
()()()(x x x g x f x g x f --=
'='.
题型分类解析
题型一 已知切线经过的点求切线方程
例1.求过点(2,2)P 与已知曲线3
:3S y x x =-相切的切线方程.
解：点P 不在曲线S 上.
设切点的坐标()00,x y ，则3
0003y x x =-，函数的导数为2
'33y x =-，
切线的斜率为0
20'33x x k y x ===-，2
000(33)()y y x x x ∴-=--切线方程为，
Q 点(2,2)P 在切线上，20002(33)(2)y x x ∴-=--，又30003y x x =-，二者联立
可得001,1x x ==或相应的斜率为0k =
或9k =-±∴切线方程为2y =
或(9(2)2y x =-±-+.
例 2. 设函数()()2f x g x x =+，曲线()y g x =在点()()
1,1g 处的切线方程为
21y x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为________
解析：由切线过()()
1,1g 可得：()13g =，所以()()21114f g =+=，另一方面，
()'12g =，且()()''2f x g x x =+，所以()()''1124f g =+=，从而切线方程为：()4414y x y x -=-?=
例3. 已知直线1y kx =+与曲线3
y x ax b =++切于点(1,3)，则b 的值为_________
解析：代入(1,3)可得：2k =，()'23f x x a =+，
所以有()()
'113132f a b f a =++=???=+=??，解得13a b =-??=?
题型二 已知切线方程（或斜率），求切点坐标（或方程、参数）
例4.已知函数()ln 2f x x x =+，则：
（1）在曲线()f x 上是否存在一点，在该点处的切线与直线420x y --=平行
（2）在曲线()f x 上是否存在一点，在该点处的切线与直线30x y --=垂直 解：设切点坐标为()00,x y ()'
00
1
2f
x x ∴=
+ 由切线与420x y --=平行可得： ()'00011242f x x x =
+=?= 011ln 122y f ??
∴==+ ???
∴切线方程为：11ln 244ln 212y x y x ?
?-+=-?=-- ??
?
（2）设切点坐标()00,x y ()'
00
1
2f
x x ∴=
+，直线30x y --=的斜率为1 ()'00011
213
f x x x ∴=
+=-?=- 而()00,x ∈+∞ 01
3
x ∴=-不在定义域中，舍去
∴不存在一点，使得该点处的切线与直线30x y --=垂直
例5.函数()2ln f x a x bx =-上一点()()
2,2P f 处的切线方程为32ln22y x =-++，
求,a b 的值
思路：本题中求,a b 的值，考虑寻找两个等量条件进行求解，P 在直线32ln22y x =-++上，322ln222ln24y ∴=-?++=-，即()2=2ln24f -，得到,a b 的一个等量关系，在从切线斜率中得到2x =的导数值，进而得到,a b 的另一个等量关系，从而求出,a b 解：P Q 在32ln22y x =-++上，()2322ln222ln24f ∴=-?++=-
()2ln242ln24f a b ∴=-=-
又因为P 处的切线斜率为3- ()'
2a
f
x bx x
=
- ()'
2432a f b ∴=-=-, ln 242ln 24
21432
a b a a b b -=-?=??∴???=-=-???
例6.设函数()()32910f x x ax x a =---<，若曲线()y f x =的斜率最小的切线与直线126x y +=平行，求a 的值
思路：切线斜率最小值即为导函数的最小值，已知直线的斜率为12-，进而可得导函数的最小值为12-，便可求出a 的值
解：()2
'2222221111329393939333f x x ax x a a a x a a ???
?=--=-+--=--- ? ????
?
()'2min 11933f x f a a ??
∴==-- ???
Q 直线126x y +=的斜率为12-，依题意可得：
21
91233
a a --=-?=± 0a 例7.若存在过点(1,0)的直线与曲线3 y x =和2 15 94 y ax x =+ -都相切,则a 等于( ) A.1-或2564- B. 1-或214 C. 74-或2564- D. 74-或7 思路：本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线2 15 94 y ax x =+ -含有参数，所以考虑先从常系数的曲线3 y x =入手求出切线方程，再考虑在利用切线与曲线 21594 y ax x =+ -求出a 的值.设过()1,0的直线与曲线3y x =切于点()3 00,x x ,切线方程为()32 0003y x x x x -=-，即230032y x x x =-，因为()1,0在切线上，所以解得：00x =或 032x = ，即切点坐标为()0,0或327,28?? ? ?? .当切点()0,0时，由0y =与2 1594y ax x =+-相切可得 ()2 1525490464a a ?? ?=--=?=- ??? ，同理，切点为327,28?? ???解得1a =- 答案：A 小炼有话说：（1）涉及到多个函数公切线的问题时，这条切线是链接多个函数的桥梁.所以可以考虑先从常系数的函数入手，将切线求出来，再考虑切线与其他函数的关系 （2）在利用切线与2 1594y ax x =+ -求a 的过程中，由于曲线215 94 y ax x =+-为抛物线，所以并没有利用导数的手段处理，而是使用解析几何的方法，切线即联立方程后的 0?=来求解，减少了运算量.通过例7，例8可以体会到导数与解析几何之间的联系：一 方面，求有关导数的问题时可以用到解析的思想，而有些在解析中涉及到切线问题时，若曲线可写成函数的形式，那么也可以用导数来进行处理，（尤其是抛物线） 例8.若曲线2 1x y C =：与曲线x ae y C =：2存在公切线，则a 的最值情况为（ ） A ．最大值为 28e B ．最大值为24e C ．最小值为28e D ．最小值为2 4 e 解析：设公切线与曲线1C 切于点()2 11 ,x x ，与曲线2C 切于点()2 2,x x ae ，由''2x y x y ae ?=??=??可得： 000x 00e 例10.曲线x y e =在点() 22,e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A.2 e B. 2 2e C. 2 4e D.2 2 e 思路：()'x f x e = 由图像可得三角形的面积可用切线的横纵截距计算，进而先利用求出切线方程 ()'22f e ∴=所以切线方程为：()222y e e x -=-即2 2 0e x y e --=， 与两坐标轴的交点坐标为()()2 1,00,e - 22 1122 e S e ∴=??= 例11.一点P 在曲线3 2 3 y x x =-+ 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )． A.0, 2π?????? B.30,,24πππ????????????U C.3,4ππ?????? D.3,24ππ?? ??? 思路：倾斜角的正切值即为切线的斜率，进而与导数联系起来.' 2 31y x =-，对于曲线上任意一点P ，斜率的范围即为导函数的值域：[)'2=311,y x -∈-+∞，所以倾斜角的范围是30, ,24πππ???? ???????? U .答案：B 例12.已知函数()323f x x x =-，若过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围 思路：由于并不知道3条切线中是否存在以P 为切点的切线，所以考虑先设切点()00,x y ， 切线斜率为k ，则满足()3 000 '2 002363 y x x k f x x ?=-??==-?? ，所以切线方程为()00y y k x x -=-，即 ()()()32 00002363y x x x x x --=--，代入()1,P t 化简可得：3200463t x x =-+-，所以若存在3条切线，则等价于方程32 00463t x x =-+-有三个解，即y t =与 ()32463g x x x =-+-有三个不同交点，数形结合即可解决 解：设切点坐标()00,x y ，切线斜率为k ，则有： ()3 000'2 002363 y x x k f x x ?=-??==-?? ∴ 切线方程为：()()()32 00002363y x x x x x --=-- 因为切线过()1,P t ，所以将()1,P t 代入直线方程可得： ()()()32000023631t x x x x --=-- ()()()23000063123t x x x x ?=--+- 23332 0000000636323463x x x x x x x =--++-=-+- 所以问题等价于方程32 00463t x x =-+-，令()32463g x x x =-+- 即直线y t =与()32463g x x x =-+-有三个不同交点 ()()'21212121g x x x x x =-+=-- 令()'0g x >解得01x << 所以()g x 在()(),0,1,-∞+∞单调递减，在()0,1单调递增 ()()()()11,03g x g g x g ==-==-极大值极小值 所以若有三个交点，则()3,1t ∈-- 所以当()3,1t ∈--时，过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切 例13. 已知曲线C:x 2=y ，P 为曲线C 上横坐标为1的点，过P 作斜率为k(k ≠0)的直线交C 于另一点Q ，交x 轴于M ，过点Q 且与PQ 垂直的直线与C 交于另一点N ，问是否存在实数k ，使得直线MN 与曲线C 相切？若存在，求出K 的值，若不存在，说明理由. 思路：本题描述的过程较多，可以一步步的拆解分析.点()1,1P ，则可求出 :1PQ y kx k =-+，从而与抛物线方程联立可解得()( ) 2 1,1Q k k --，以及M 点坐标， 从而可写出QN 的方程，再与抛物线联立得到N 点坐标.如果从,M N 坐标入手得到MN 方程，再根据相切()0?=求k ，方法可以但计算量较大.此时可以着眼于N 为切点，考虑抛物线2 x y =本身也可视为函数2 y x =，从而可以N 为入手点先求出切线，再利用切线过M 代入M 点坐标求k ，计算量会相对小些. 解：由P 在抛物线上，且P 的横坐标为1可解得()1,1P ∴设():11PQ y k x -=-化简可得：1y kx k =-+ 1,0k M k -?? ∴ ??? 21 y x y kx k ?=∴? =-+? 消去y ：2 10x kx k -+-= 121,1x x k ∴==- ()( ) 2 1,1Q k k ∴-- 设直线()()2 1:11QN y k x k k --=- --????即()()2 111y k x k k =----???? ∴ 联立方程：()()2 2 111y x y k x k k ?=? ?=----?????? ()211110x x k k k k ? ?∴+ ---+= ?? ? ()11111Q N N x x k k x k k k ??? ?∴?=---+?=--+ ? ???? ? 2 111,1N k k k k ??????∴--+-+ ? ? ? ??????? 由2y x =可得：' 2y x = ∴切线MN 的斜率'1|21N MN x x k y k k =? ?==--+ ?? ? 2 111:1211MN y k k x k k k k ??????? ?∴--+=--++-+ ? ? ???????? ??? 代入1,0k M k -?? ??? 得： 2 111112111k k k k k k k ????? ???--+=--+-+-+ ? ? ?????? ????? 211210k k k k k ∴-+ =?+-=,k ∴= 小炼有话说：（1）如果曲线的方程可以视为一个函数（比如开口向上或向下的抛物线，椭圆双曲线的一部分），则处理切线问题时可以考虑使用导数的方法，在计算量上有时要比联立方程计算0?=简便 （2）本题在求N 点坐标时，并没有对方程进行因式分解，而是利用韦达定理，已知Q 的横坐标求出N 的横坐标.这种利用韦达定理求点坐标的方法在解析几何中常解决已知一交点求另一交点的问题. 例14.设函数f(x)＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g(x)＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y ＝f(x)与y ＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l. (1)求a 、b 的值，并写出切线l 的方程； (2)若方程f(x)＋g(x)＝mx 有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，其中x 1 【解答】 (1)f ′(x)＝3x 2＋4ax ＋b ，g ′(x)＝2x －3. 由于曲线y ＝f(x)与y ＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线， 故有f(2)＝g(2)＝0，f ′(2)＝g ′(2)＝1. 由此得????? 8＋8a ＋2b ＋a ＝0，12＋8a ＋b ＝1，解得????? a ＝－2， b ＝5. 所以a ＝－2，b ＝5，切线l 的方程为x －y －2＝0. (2)由(1)得f(x)＝x 3－4x 2＋5x －2， 所以f(x)＋g(x)＝x 3－3x 2＋2x. 依题意，方程x(x 2－3x ＋2－m)＝0有三个互不相同的实根0、x 1、x 2， 故x 1、x 2是方程x 2－3x ＋2－m ＝0的两相异的实根． 所以Δ＝9－4(2－m)>0，即m>－14 . 又对任意的x ∈[x 1，x 2]，f(x)＋g(x) 所以函数f(x)＋g(x)－mx 在x ∈[x 1，x 2]的最大值为0. 于是当－1 4 综上，m 的取值范围是? ?? ?? －14，0. 例15.如图3－1，有一正方形钢板AB CD 缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC 是以直线AD 为对称轴，以线段AD 的中点O 为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线 EF ，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值． 解法一：以O 为原点，直线AD 为y 轴， 建立如图所示的直角坐标系，依题意， 可设抛物线弧OC 的方程为 y ＝ax 2(0≤x ≤2)， ∵点C 的坐标为(2,1)， ∴22a ＝1，a ＝ 1 4 ， 故边缘线OC 的方程为y ＝1 4 x 2(0≤x ≤2)， 要使梯形ABEF 的面积最大，则EF 所在的直线必与抛物线 弧OC 相切，设切点坐标为P ? ?? ?? t ，14t 2(0 ∵y ′＝12x ，∴直线EF 的方程可表示为y －14t 2＝t 2 (x －t )， 即y ＝12tx －1 4t 2.由此可求得E ? ????2，t －14t 2，F ? ????0，－14t 2.∴|AF |＝???? ??－14t 2－－1＝1－1 4 t 2， |BE |＝?? ?? ??t －14t 2－－1＝－1 4t 2＋t ＋1. 设梯形ABEF 的面积为S (t )，则 S (t )＝－12(t －1)2＋52≤52，∴当t ＝1时，S (t )＝5 2 ， 故S (t )的最大值为2.5，此时|AF |＝0.75，|BE |＝1.75. 答：当AF ＝0.75 m ，BE ＝1.75 m 时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为2.5 m 2. 解法二：以A 为原点，直线AD 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线的方程为y ＝ax 2＋1(0≤x ≤2)． ∵点C 的坐标为(2,2)，∴22a ＋1＝2，a ＝ 14 ， 故边缘线OC 的方程为y ＝1 4 x 2＋1(0≤x ≤2)． 要使梯形ABEF 的面积最大，则EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切，设切点坐标为 P ? ?? ?? t ，14t 2＋1(0 2 t (x －t )， 即y ＝1 2tx －1 4 t 2＋1， 由此可求得E ? ????2，t －14t 2＋1，F ? ?? ??0，－1 4t 2 ＋1. ∴|AF |＝1－14t 2，|BE |＝－1 4t 2＋t ＋1， 设梯形ABEF 的面积为S (t )，则 S (t )＝1 2 |AB |·(|AF |＋|BE |) ＝1－14t 2＋? ?? ??－14t 2＋t ＋1＝－1 2t 2＋t ＋2 ＝－12(t －1)2＋52≤5 2. ∴当t ＝1时，S (t )＝52 ， 故S (t )的最大值为2.5.此时|AF |＝0.75，|BE |＝1.75. 答：当AF ＝0.75 m ，BE ＝1.75 m 时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值 为2.5 m2. 【点评】与切线有关的多边形的最值问题，首先应该面积建立关于动点P的函数，再选择相关的方法求解所得函数的最值，复杂函数可以用求导进行研究． 三次函数——导数应用中永恒的经典 【考点定位 】 考试说明： 了解导数概念及其几何意义；会用常见基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简 单函 数和简单复合函数的导数；了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数 的单调区间，会用导数求函数的极值和闭区间上函数的最值 . 问题概述： 三次函数 y ax 3 bx 2 cx d(a 0) 一直是中学阶段一个重要的函数，在高考和一些重大考试中 频繁出现有关它的单独命题 .2014 年高考，在全国卷、浙江卷、天津卷、安徽卷、北京卷、辽宁卷、陕西 卷、江西卷、广东卷中都出现了这个函数的单独命题，特别是浙江卷(理) 、北京卷(文) 、广东卷(文) 以压轴题的形式出现，更应该引起我们的重视 .单调性和对称性最能反映这个函数的特性 .通常以它为素材 来研究函数的单调性、极值、最值等性质，还可沟通函数、方程、不等式、等知识之间的有机联系 .本文以 2014 年高考为例，例谈高考中的三次函数问题 . 【考量基础】 三次函数的单调区间及闭区间上的最值 例 1【 2014高考安徽卷第 18题】设函数 f (x) 1 (1 a)x x 2 x 3,其中 a 0. (1) 讨论 f (x) 在其定义域上的单调性； (2) 当 x ［0,1］时，求 f ( x)取得最大值和最小值时的 x 的值. 解析： 2' (x) 1 a 2x 3x 2 .令 f '(x) 0 ，得 x 1 x 1 x x 2时， f '(x) 0.故 f (x)在( ,x 1)和 (x 2, ) 内递减，在 (x 1,x 2)内递增 . 2)因为 a 0，所以 x 1 0,x 2 0.当a 4时， x 2 1 ，由( 1)知， f (x)在［0,1］ 上递增，所以 f(x) 在 x 0和 x 1处分别取得最小值和最大值 .当0 a 4时， x 2 1，由(1)知， f (x)在［0,x 2］上递增， 1 4 3a 在［ x 2 ,1］递减，所以 f(x)在 x x 2 处取得最大值 .又 f (0) 1, f (1) a ，所以当 0 a 1 3 时， f (x)在 x 1处取得最小值；当 a 1时， f(x)在 x 0和 x 1处同事取得最小值；当 1 a 4时， 1 4 3a 1) f (x) 的定义域为 ( , ) ， x 2 1 4 3a 3 x 1 x 2，所以 f (x) 3(x x 1)(x x 2).当 x x 1或 x x 2时， (x) 0 ；当 导数与函数的切线及函数零点问题 高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)导数的几何意义是考查热点，要求是B 级，理解导数的几何意义是曲线上在某点处的切线的斜率，能够解决与曲线的切线有关的问题；(2)在高考试题导数压轴题中涉及函数的零点问题是高考命题的另一热点. 真 题 感 悟 (2016·江苏卷)已知函数f (x )＝a x ＋b x (a ＞0，b ＞0，a ≠1，b ≠1). (1)设a ＝2，b ＝1 2. ①求方程f (x )＝2的根； ②若对任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值； (2)若0＜a ＜1，b ＞1，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值. 解 (1)①由已知可得2x ＋? ?? ??12x ＝2， 即2x ＋1 2 x ＝2.∴(2x )2－2·2x ＋1＝0， 解得2x ＝1，∴x ＝0. ②f (x )＝2x ＋? ?? ??12x ＝2x ＋2－x ， 令t ＝2x ＋2－x ，则t ≥2. 又f (2x )＝22x ＋2－2x ＝t 2－2， 故f (2x )≥mf (x )－6可化为t 2－2≥mt －6， 即m ≤t ＋4t ，又t ≥2，t ＋4 t ≥2 t ·4 t ＝4(当且仅当t ＝2时等号成立)， ∴m ≤? ? ???t ＋4t min ＝4，即m 的最大值为4. (2)∵0＜a ＜1，b ＞1，∴ln a ＜0，ln b ＞0. g (x )＝f (x )－2＝a x ＋b x －2， g′(x)＝a x ln a＋b x ln b且g′(x)为单调递增，值域为R的函数.∴g′(x)一定存在唯一的变号零点， ∴g(x)为先减后增且有唯一极值点. 由题意g(x)有且仅有一个零点， 则g(x)的极值一定为0， 而g(0)＝a0＋b0－2＝0，故极值点为0. ∴g′(0)＝0，即ln a＋ln b＝0，∴ab＝1. 考点整合 1.求曲线y＝f (x)的切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率 f ′(x )，由点斜式写出方程. (2)已知切线的斜率为k，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f ′(x )解得x0，再由点斜式写出方程. (3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x ，再由点斜式或两点式写出方程. 2.三次函数的零点分布 三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x→∞时，函数值也趋向∞，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x1，x2且x1＜x2的函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的零点分布情况如下： 3.(1)研究函数零点问题或方程根问题的思路和方法 研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底还是研究函数的图 函数图像的切线问题 要点梳理归纳 1.求曲线y ＝f(x)的切线方程的三种类型及其方法 (1)已知切点P(x 0，f(x 0))，求y ＝f(x)在点P 处的切线方程： 切线方程为 y －f(x 0)＝f′(x 0)(x －x 0). (2)已知切线的斜率为k ，求y ＝f(x)的切线方程： 设切点为P(x 0，y 0)，通过方程k ＝f′(x 0)解得x 0，再由点斜式写出方程. (3)已知切线上一点(非切点)A(s,t)，求y ＝f(x)的切线方程： 设切点为P(x 0，y 0)，利用导数将切线方程表示为y －f(x 0)＝f′(x 0)(x －x 0)，再将A(s,t)代入求出x 0. 2．两个函数图像的公切线 函数y=f(x)与函数y=g(x) 存在公切线， 若切点为同一点P(x 0，y 0)，则有 ? ???? f ′(x 0)＝ g ′(x 0)，f (x 0)＝g (x 0). 若切点分别为(x 1,f(x 1)),(x 2,g(x 2)),则有2 12121) ()()()(x x x g x f x g x f --= '='. 题型分类解析 题型一 已知切线经过的点求切线方程 例1.求过点(2,2)P 与已知曲线3 :3S y x x =-相切的切线方程. 解：点P 不在曲线S 上. 设切点的坐标()00,x y ，则3 0003y x x =-，函数的导数为2 '33y x =-， 切线的斜率为0 20'33x x k y x ===-，2 000(33)()y y x x x ∴-=--切线方程为， Q 点(2,2)P 在切线上，20002(33)(2)y x x ∴-=--，又30003y x x =-，二者联立 可得001,1x x ==或相应的斜率为0k =或9k =-± 三次函数的对称中心与切线条数问题 证明：三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠一定有对称中心。 提示：可根据奇函数图像的平移得到。 分析：我们知道奇函数的图像关于原点对称，所以要证结论成立，只需证任意一个三次函数都可以由关于原点对称的三次函数（奇函数）平移得来，也即任意的三次函数都可以写成3()()y a x m k x m n =-+-+的形式，因为上述函数图像可以看成奇函数3y ax kx =+按向量(,)m n 平移之后的结果，一定是中心对称图形 展开得：32233(3)()y ax amx am k x n km am =-+++-- 与32y ax bx cx d =+++比较系数得：23 33am b am k c n km am d -=?? +=??--=? 容易发现，上述方程组一定是有解的，解得：3b m a =- 故三次函数一定是中心对称图形，且对称中心为(,())33b b f a a - - 问题：过三次函数图像上一点00(,)P x y 能作三次函数图像多少条切线？ 分析：由于三次函数有对称中心，可假设其对称中心在原点，设3()f x ax bx =+，则2()3f x ax b '=+ 设11(,)Q x y 为函数图像上任意一点，则以Q 为切点的切线为21111(3)()y y ax bx x x -=+- 将点00(,)P x y 代入得：201101(3)()y y ax b x x -=+-，即3 320 011101()(3)()ax bx ax bx ax b x x +-+=+- 整理得：3231010 230x x x x -+=，问题转化为关于1x 的方程323 1010230x x x x -+=有几个实根的问题 为了看起来习惯，我们将上述方程中的1x 换成x ，即323 00 230x x x x -+= ① 显然当00x =时，方程①即为30x =，解得：0x =，故过(0,0)能作函数图像的一条切线 当00x ≠时，由方程①解得：0x x =或02x -，故过00(,)x y 能作函数图像的两条切线 问题：过三次函数图像外任意一点能作三次函数图像多少条切线？ 分析：根据三次函数中心对称的特征，我们知道一定可以将函数图像平移至关于原点对称，而本问题的结论显然只与点P 与三次函数图像的相对位置有关，故可简单地考虑三次函数对称中心在坐标原点的情形，设三次函数的解析式为3()f x ax bx =+，并且不妨设0a >，这两个假设并不会影响本结论的一般性。 设点00(,)P x y 为平面上任意一点，易求得函数在坐标原点（对称中心）处的切线方程为y bx = 设3111(,)x ax bx +为()y f x =上任意一点，则该点处的切线方程为：321111()(3)()y ax bx ax b x x -+=+- 将点P 代入得：32011101()(3)()y ax bx ax b x x -+=+- 问题转化为讨论方程3200()(3)()y ax bx ax b x x -+=+-有几个解的问题 将上述方程化简得：32000230ax ax x y bx -?+-= 令32000()23g x ax ax x y bx =-?+-，则：0()6()g x ax x x '=- 注意到000()()g x y f x =-，00(0)g y bx =-，下面讨论函数()g x 的零点个数 解决三次函数问题的几种方法 近几年，三次函数问题已成为高考的命题热点，并且所占的比例在逐年增大。本文就处理三次函数问题的几种数学意识加以盘点，希望对大家有所帮助。 一、数形结合意识 例1、函数3211()22132 f x ax ax ax a = +-++的图像经过四个象限的充要条件是（ ） A 、4133a -<<- B 、112 a -<<- C 、63516a -<<- D 、20a -<< 解：2 '()2(2)(1)f x ax ax a a x x =+-=+-，若a=0，则函数f （x ）=1为常函数，不能经过四个象限，故0a ≠ （1）若a>0，如图1，此时x=-2，x=1分别为函数f （x ）的极大值点和极小值点，又 lim (),lim ()x x f x f x →+∞→-∞ →+∞→-∞，故欲使f （x ）的图像经过四个象限只需f （-2）>0， 且f （1）<0. （2）若a<0，如图2，此时x=-2，x=1分别为函数f （x ）的极小值点和极大值点，又 lim (),lim ()x x f x f x →+∞→-∞ →-∞→+∞，故欲使f （x ）的图像经过四个象限只需f （-2）<0，且f （1）>0，综合（1）（2）可知函数f （x ）的图像经过四个象限的充要条件是 f （-2）f （1）<0，解得63516 a -<<-，故选C. 点评：上面的解法借助数形结合，有效地实施转化，解题过程直观、清晰。 二、分类讨论意识 例2、已知函数3221()313f x x mx m x = --+在区间（1，2）内是增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A 、1(1,)3 - B 、1[0,]3 C 、(0,1] D 、1[1,]3- 解：由已知得22'()230f x x mx m =--≥对任意的(1,2)x ∈恒成立，因此 22'(2)4430m f m m >??=--≥?或21'(1)1230 m f m m 【高中数学】 《函数的切线问题》微专题 第一讲 函数切线及其应用 1．导数的几何意义: 函数)(x f 在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率．注：（()tan k f x α'==） 2．在点00(,)A x y 处的切线方程：()000()()y f x f x x x '-=-抓住关键：000() () y f x k f x =??'=?； 3．过点11(,)A x y 的切线方程：设切点为00(,)P x y ，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程 为： ∵过点11(,)A x y ，∴10010()()y y f x x x '-=-然后解出0x 的值．（0x 有几个值，就有几条切线， 三次函数多解） 考点1 切线及斜率问题 【例1.1】已知函数()f x 是偶函数，定义域为()()00-∞?+∞， ，，且0x >时， ()1 x x f x e -=，则曲线()y f x =在点()()11f --，处的切线方程为 ． 析】 ()()()21 ','1,10,x x f x f f e e -= ∴==∴曲线y ， 是偶函数， ∴曲线()y f x =在点((1,f --相切，则切点的横坐标为( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．e －1 [解析] 设切点为(x 0，e 2x 0－1)，∵f ′(x )＝2e 2x －1，∴2e 2x 0－1 ＝e 2x 0－1＋e x 0 ，化简得2x 0 －1＝e2－2x 0.令y ＝2x －1－e 2－2x ，则y ′＝2＋2e 2－2x >0.∵x ＝1时，y ＝0，∴x 0＝1.故选A. [答案] A 【例1.3】设点 P 是曲线33 5 y x =+ 上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角 α 的范围是（ ） A ．203π?? ??? ? ， B ．2023 πππ???? ????? ? ? ?? ，， C ．22 3ππ?? ??? ， D ．23 3ππ?? ???? ， 233x -，为第一象限角）． 设函数f ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝－2x B ．y ＝－x C ．y ＝2x D ．y ＝x 解析：选D 法一：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a . 又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立， 即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立， ∴a ＝1，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x . 法二：易知f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ＝x [x 2＋(a －1)x ＋a ]，因为f (x )为奇函数，所以函数g (x )＝x 2＋(a －1)x ＋a 为偶函数，所以a －1＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ， 高考总复习09：三次函数图像的切线 1.(1)求平行于直线910x y -+=,且与曲线3231y x x =+-相切的直线方程. (2)求垂直于直线320x y -+=,且与曲线32 31y x x =+-相切的直线方程. 2.(1)求函数3()2f x x =的图像在点(1,2)P 处的切线l 方程； (2)设函数3 ()2f x x =的图像为C ,求曲线C 与其在点(1,2)P 处的切线l 的所有交点坐标. 3.(1)求函数3()2f x x =的图像经过点(1,2)P 的切线方程. (2)求函数3 ()2f x x =的图像经过点(1,10)P 的切线方程. 4.已知直线y x =是函数32()31f x x x ax =-+-图像的一条切线,求实数a 的值. 5.已知0a >,且过点(,)P a b 可作函数3()f x x x =-图像的三条切线,证明:()a b f a -<<. 6.设函数3211()32 f x x ax bx c =-++(0)a >的图像C 在点(0,(0))P f 处的切线为1y =. (1)确定,b c 的值； (2)设曲线C 在1122(,()),(,())A x f x B x f x 处的切线都过(0,2)Q ,证明:若12x x ≠,则12'()'()f x f x ≠； (3)若过点(0,2)Q 可作曲线C 的三条不同切线,求a 的取值范围. 7.已知函数3211()32f x x ax bx = ++在区间[11)-，,(13]，内各有一个极值点． (1)求24a b -的最大值； (2)当248a b -=时,设曲线C :()y f x =在点(1 (1))A f ，处的切线l 穿过曲线C (穿过是指:动点在点A 附近沿曲线C 运动,当经过点A 时,从l 的一侧进入另一侧),求()f x 的表达式． 8.由坐标原点(0,0)O 向曲线x x x y +-=233引切线,切于不同于点O 的点111(, )P x y ,再由1P 引切线切于不同于1P 的点222(,)P x y ,如此继续下去……,得到点(,)n n n P x y ,求1n x +与n x 的关系,及n x 的表达式. 圆锥曲线的切线问题 圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：思路 1，导数法，将圆锥曲线方程化为函数 y =f (x) ，利用导数法求出函数y =f (x) 在点(x 0 , y ) 处的切线方程，特别是焦点在y 轴 上常用此法求切线；思路 2，根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于x（或y）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式?= 0 ，即可解出切线方程，注意关于x （或y）的一元二次方程的二次项系数不为 0 这一条件，圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法. 类型一 导数法求抛物线切线 例1 【2017 课表1，文 20】设A，B为曲线C：y= x 4 （1）求直线A B的斜率； 上两点，A与B的横坐标之和为 4． （2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线A B平行，且A M⊥B M，求直线A B的方程． 类型二椭圆的切线问题 2 5 + = > > 例 2（2014 广东 20）（14 分）已知椭圆C : x a 2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的一个焦点为( 5, 0) ， b 2 离心率为 . 3 （1） 求椭圆 C 的标准方程； （2） 若动点 P (x 0 , y 0 ) 为椭圆外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨 迹方程. 类型三 直线与椭圆的一个交点 例 3.【2013 年高考安徽卷】已知椭圆 C : x a 2 y 2 b 2 1(a b 0) 的焦距为 4 ， 且过点 （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设Q (x 0 , y 0 )(x 0 y 0 ≠ 0) 为椭圆C 上一点，过点Q 作 x 轴的垂线，垂足为 E .取点 A (0, 2 2) ,连接 AE ，过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D .点G 是点 D 关于 y 轴的对称点， 作直 线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点？并说明理由. 【解析】（1）因为椭圆过点 P ( 2，3) ∴ 2 + 3 = 1 a 2 b 2 且a 2 = b 2 + c 2 P ( 2，3) . 2 2 、过三次函数上一点的切线问题。 3 2 设点p 为三次函数f （x ） ax bx ex d （a 0）图象上任一点，则过点P 一定有直线与y f （x ） 的图象相切。若点 P 为三次函数图象的对称中心，则过点 P 有且只有一条切线；若点 P 不是三次函数图象 的对称中心，则过点 P 有两条不同的切线。 证明 设P （x i ，y i ） 过点P 的切线可以分为两类。 1、 P 为切点 k 1 f /(x 1) 3ax 12 2bx 1 e ， 2 切线方程为：y y_! (3ax 1 2bx 1 e)(x x 1) f （x ）图象的切线，切于另一点 Q （ X 2, y 2） 当X 1 K —时，两切线重合，所以过点 P 有且只有一条切 线。 3a 当X 1 —时, 3a k 1 k 2，所以过点 P 有两条不同的切线。 其切线方程为: y y 1 (3ax 12 2bx 1 e)(x X 1) 3 2 1 b 2 y y 1 (— ax 1 4 bx 1 2 e)(x X 1) 4a 由上可得下面结论： 过三次函数 f （X ） 3 , 2 ax bx ex d (a 0）上异于对称中心的任一点 卩1（人，％）作y f （x ）图 象的切 线，切于另一点P 2（X 2，y 2），过P 2（X 2,y 2）作y f （x ）图象的切线切于P 3（X 3,y 3），如此继续，得到点 列 三次函数切线问题 k 2 y2 % 3 ax 2 3 ax bx ； bx, ex 2 ex-! X 2 ax 2 ax 1 又 k 2 f/ (X 2 ) 2 3ax 2 2bx 2 e ax 2 2 ax 1 X 2 2 ax 1 bx 1 bx 2 即 (X 2 X 1 )(2x 2 X 」） 0 x 2 a 得 3 2 1 b 2 k 2 ax 1 — bx 1 e 4 2 4a 2 讨论：当 k 1 k 2 时，3ax 1 2bx 1 e e 3ax 2 2 2bx 2 e 1 b X 1 代入（ 1 )式 2 2a 3 2 1 b 2 e ，得 X 1 b —ax 1 bx 1 4 2 4a 3a P 不是切点，过P 点作y 2 ax 1x 2 2 bx 1 bx 2 e (1) 应用导数研究三次函数图像的对称性及切线条数 [教学目标] 知识与技能：（1）掌握三次函数对称中心的求法；（2）掌握三次函数切线方程的求法；（3） 了解过一点作三次函数图像切线条数的结论. 过程与方法：（1）应用导数研究三次函数的方法；（2）由特殊实例猜想一般结论，然后证 明的思想；（3）利用函数对称性，多种情形通过分析减少讨论种类. 情感与态度：（1）通过自主深入探究，增强学生学生学习数学的兴趣，独立思考的能力； （2）让学生感数学结论的完整美，数形结合的统一美. [教学重点]三次函数图像的对称中心、切线条数的探究，三次函数切线方程的求法. [教学难点]特殊到一般的归纳方法，切线条数的判断方法. [教学方法]探究式教学. [教学手段]多媒体辅助教学. [教学过程] 1 三次函数图像的对称性 1.1 创设情景，提出问题 三次函数3()f x x =是奇函数，它的图像的对称中心是(0,0)（几何画板展示），那么一般的三次函数是否有对称中心呢？ 观察函数32()321g x x x x =-++的图像（几何画板展示），它也有对称中心（1，1），那么怎样求三次函数的对称中心？ 1.2 回归通法，探究发现 研究三次函数我们最常用的就是通过研究其导函数来研究它本身，我们分别画出(),()f x g x 的导函数图像（几何画板展示），和原函数的对称性联系起来，通过归纳得到，三次函数有唯一的对称中心，对称中心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同. 1.3 追根索源，理解本质 为什么会有这样的结论？因为三次函数在两个相互对称的点处的切线是平行的（几何画板展示），所以对于任意三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，它的图像有唯一的对称中心(,())33b b f a a --.i 2 过一点作三次函数图像切线条数的探究 2.1 因势利导，引出问题 三次函数过对称中心(,())33b b f a a - -的切线是如何的？通过实例来探究.32()321g x x x x =-++在对称中心（1，1）处的切线方程为20x y +-=，这和我们以前形成的切线的印象不同，但它就是三次函数的切线，因为它符合切线的定义.我们注意这样的切线只有一条，那么当这一点在别的地方，切线有多少条？ 2.2 恰当分类，实例探索 因为三次函数是中心对称图形,因此对称部分的情形应该是一样的，过对称中心的切线和三次函数的图像把平面分成四部分，所以上下是一种情形，左右是一种情形，三次函数图 函数的切线问题 一、基础知识： （一）与切线相关的定义 1、切线的定义：在曲线的某点A 附近取点B ，并使B 沿曲线不断接近A 。这样直线AB 的极限位置就是曲线在点A 的切线。 （1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点A 附近的点向A 不断接近，当与A 距离非常小时，观察直线AB 是否稳定在一个位置上 （2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。例如函数3y x =在()1,1--处的切线，与曲线有两个公共点。 （3）在定义中，点B 不断接近A 包含两个方向，A 点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线AB 的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点A 处的切线。对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。例如y x =在()0,0处，通过观察图像可知，当0x =左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =-，而当0x =右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =，两个不同的方向极限位置不相同，故y x =在()0,0处不含切线 （4）由于点B 沿函数曲线不断向A 接近，所以若()f x 在A 处有切线，那么必须在A 点及其附近有定义（包括左边与右边） 2、切线与导数：设函数()y f x =上点()()00,,A x f x ()f x 在A 附近有定义且附近的点()()00,B x x f x x +?+?，则割线AB 斜率为： ()()()()()000000 AB f x x f x f x x f x k x x x x +?-+?-==+?-? 函数的切线问题 一、基础知识： （一）与切线相关的定义 1、切线的定义：在曲线的某点A 附近取点B ，并使B 沿曲线不断接近A 。这样直线AB 的极限位置就是曲线在点A 的切线。 （1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点A 附近的点向A 不断接近，当与A 距离非常小时，观察直线AB 是否稳定在一个位置上 （2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。例如函数3 y x =在 ()1,1--处的切线，与曲线有两个公共点。 （3）在定义中，点B 不断接近A 包含两个方向，A 点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线AB 的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点 A 处的切线。对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。例如y x =在()0,0处， 通过观察图像可知，当0x =左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =-，而当 0x =右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =，两个不同的方向极限位置不相 同，故y x =在()0,0处不含切线 （4）由于点B 沿函数曲线不断向A 接近，所以若()f x 在A 处有切线，那么必须在A 点及其附近有定义（包括左边与右边） 2、切线与导数：设函数()y f x =上点()() 00,,A x f x ()f x 在A 附近有定义且附近的点 ()()00,B x x f x x +?+?，则割线AB 斜率为： ()()()()() 000000 AB f x x f x f x x f x k x x x x +?-+?-= = +?-? 当B 无限接近A 时，即x ?接近于零，∴直线AB 到达极限位置时的斜率表示为： ()()000 lim x f x x f x k x ?→+?-=?, 三次函数切线问题 【探究拓展】 探究1：切线的辩证定义 设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线。随着点Q 沿着曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C 。当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线也称为曲线在P 点处的切线。 探究2：填表：曲线在P 点附近的局部图像反映出如下特点 在运动中： 探究3：切线问题的辩证策略 T n A 1 A 例1：若直线y x =是曲线3 23y x x ax =-+的切线，则a ＝ ． （零点法） ↑ y x =是曲线323y x x ax =-+相切 x a x x y )1(323-+-=与x 轴相 切 ↓ ↑ 联立()323 2 3103y x x x a x y x x ax =??-+-=? =-+?有重根→新联立?? ? -+-==x a x x y y )1(30 2 3 ↓ （重根法） 变式1：（2020年）曲线px x y +=3 与q y -=相切，求证32 032p q ???? += ? ????? 变式2：方程3 0x px q ++=有几个实根？ 探究4：切线问题的辩证思考： 联系——数形结合、函数与方程、转化与化归 发展——量变与质变、运动观点 探究5：辩证思维的强化延伸 由原点向曲线x x x y +-=233引切线，切于不同于点O 的点()1 1 1 , P x y ， 再由1 P 引切线切于不同于1 P 的点()2 2 2 , P x y ，如此继续下去……，得点到 (){}, n n n P x y ． （1）求1 x ； （2）求1与n n x x +的关系； （3）点列{}n P 有何特点？ 拓展1：若直线y x =是曲线3 231y x x ax =-+-的切线，则 a ＝ 拓展2：直线y kx m =+对一切m ∈R 与曲线3 26910y x x x =-+-有且只有一个交 点，求k 的取值范围，并尝试一下，将结论推广到任意三次曲线的情形，此外能否从运动变化的观点阐述上述结论的几何意义． 绝密★启用前 2015-2016学年度学校1月月考卷 试卷副标题 题 号 一 二 三 总 分 得 分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人 得 分 一、选择题（题型注 释） 1．曲线31 23y x =-在点 51,3?? - ??? 处切线的斜率为( ) A ．3 B ．1 C ．1- D ．3- 2．曲线31 23y x =-在点(1，－5 3)处切线的倾斜角为( ) A ．30° B．45° C ．135° D ．150° 3．已知函数ln y x x =，则这个函数在点)0,1(处的切线方程是（ ） A ．22y x =- B ．22y x =+ C ．1y x =- D ．1+=x y 4．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A(1,3)，则2a ＋b 的值为（ ） A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－2 5．若曲线在点处的切线平行于x 轴，则k= ( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 6．过点)1,1(-且与曲线x x y 23-=相切的直线方程为（ ） A ． 20x y --=或5410x y +-= B ．02=--y x C ．20x y --=或4510x y ++= D ．02=+-y x 7．已知点P 在曲线41 x y e = +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ） A.3[ ,)4ππ B.[,)42ππ C.3(,]24ππ D.[0,4 π) 8．若曲线321()3 f x x x mx =++的所有切线中，只有一条与直线30x y +-=垂直，则实数m 的值等于（ ） A ．0 B ．2 C ．0或2 D ．3 9．曲线e x y =在点A 处的切线与直线30x y -+=平行，则点A 的坐标为( ) （A ）()11,e -- （B ）()0,1 （C ）()1,e （D ）()0,2 10．设曲线11 x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a 等于 （ ） A. 2 B. 12 C. 12 - D. 2- 11．曲线323y x x =-+在点(1，2)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x ＋5 C ．y ＝3x ＋5 D ．y ＝2x 12．已知曲线421y x ax =++在点()-12a +，处切线的斜率为8，=a （ ） （A ）9 （B ）6 （C ）-9 （D ）-6 13．已知点P 在曲线y= 41x e +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A.[0, 4π) B.[,)42ππ C. 3(,]24ππ D. 3[,)4 ππ 三次函数切线专题 过点P 一定有直线与)(x f y =图象相切。 （1）若,30a b x - =则过点P 恰有一条切线； （2） 若 ,30a b x -≠且)3()(0a b g x g -0>，则过点P 恰有一条切线； （3） 若,30a b x -≠且)3()(0a b g x g -=0，则过点P 有两条不同的切线； （4）若,30a b x - ≠且)3()(0a b g x g -0<，则过点P 有三条不同的切线。 其中).)(()()(0/0x x x f x f y x g -+-= 证明 设过点P 作直线与)(x f y =图象相切于点),,(11y x Q 则切线方程为 ),)(23(11211x x c bx ax y y -++=- 把点),(00y x P 代入得： 02)3(2001021031=--+--+cx d y x bx x ax b ax ， 设.2)3(2)(000203cx d y x bx x ax b ax x g --+--+= ,2)3(26)(002/bx x ax b ax x g --+= ,)3(448)3(420020b ax abx ax b +=+-=? 令,0)(/=x g 则.3,0a b x x x -== 因为0)(=x g 恰有一个实根的充要条件是曲线)(x g y =与X 轴只相交一次，即)(x g y =在R 上为单调函数或两极值同号，所以 ,30a b x -=或,30a b x -≠且)3()(0a b g x g -0>时，过点P 恰有一条切线。 0)(=x g 有两个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与X 轴有 两个公共点且其中之一为切点，所以 ,30a b x -≠且)3()(0a b g x g -=0时，过点P 有两条不同的切线。 )(=x g 有三个不同实根的充要条件是曲线)(x g y =与X 轴有 一般n 次曲线切线方程的推导 光信1001 黄飞洪 关键词：一般n 次曲线，某点的切线方程， 提要：在求曲线上某点的切线时，通常会使用先求导得到斜率后再求切线，此法在二次曲线中尚可使用，但如果是n 次曲线就不大现实了，因此如果能找到该类曲线切线的某些规律，在求高次曲线的切线方程时会节省很多时间 首先，我们先来分析几个比较特殊的例子： ○1圆A ：x 2+y 2=r 2在（x 0,y 0）处的切线方程为x 0x+ y 0y= r 2 ○2椭圆B ：A 2a)x +（+B b y 2 )(+=1在（x 0,y 0）处的切线方程为1))(())((00=+++++B b y b y A a x a x ○3双曲线C ：A 2a)x +（-B b y 2 )(+在（x 0,y 0 ）处的切线方程为1))(())((00=++-++B b y b y A a x a x ○4抛物线C ：y 2 =2px 在（x 0,y 0）处的切线方程为y 0y=p(x+x 0) 以上都是几个比较典型的二次曲线在某点切线的方程，总结起来就是在原曲线方程框架的基础上将x 2（或y 2）型变为x 0x （或y 0y ）型，x(或y)型转变为2 0x x +（或20y y +）型，但在一般的二次曲线中包含了xy 的项，那么，这种一般型曲线的切线是否仍存在某种规律呢？ 设f(x,y)=Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0,求在（x 0,y 0）处的切线方程 方程两边求导得2Ax+By+Bxy ’+2Cyy ’+D+Ey ’=0 y’= -E Cy Bx D By Ax ++++220 ∴在（x 0,y 0）处的切线方程为y-y 0= - E Cy Bx D By Ax ++++220(x-x 0) 高考 浙江奉化奉港中学 罗永高 程雪飞 315500 三次函数的切线蕴含着许多美妙的性质，用导数方法探求切线的性质，为分析问题和解决问题提供了新的视角、新的方法，不仅方便实用，而且三次函数的切线性质变得十分明朗.纵览近几年高考数学试题，三次函数的切线问题频频出现，本文给出三次函数切线的三个基本问题. 一、已知斜率为k 与三次函数图象相切的切线 三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 1、0>a ,斜率a b a c k 332 -=时，有且只有一条切线； a b a c k 332 ->时，有两条不同的切线； a b a c k 332 -<时，没有切线； 2、0时，没有切线； 证明 c bx ax x f ++=23)(2/ 1、 0>a 当a b x 3-=时，.33)(2 min /a b a c x f -= ∴ 当a b ac k 332-= 时，方程a b a c c bx ax 33232 2-=++有两个相同解， 所以斜率为k 的切线有且只有一条；其方程为： ).3(33)3(2a b x a b a c a b f y +-=-- 当a b a c k 332 ->时，方程k c bx ax =++232，有两个不同的解21,x x ，且21x x +=-a b 32-，即存在两个不同的切点))(,()),(,(2211x f x x f x ，且两个切点关于三次函数图象对称中心对称。所以斜率为k 的切线有两条。 当a b a c k 332 -<时，方程k c bx ax =++232无实根，所以斜率为k 的切线不存在。 2、0 三次函数图象的切线问题专练 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 三次函数图象的切线问题专练 广西 王强芳 [问题] 一、 曲线在点P 处的切线方程 1 曲线33y x x =+在点(2,14)P --处的切线方程是 。 二、曲线经过点P 处的切线方程 2 已知曲线C ：3()2f x x x =-+，则经过点(1,2)P 的曲线C 的切线方程 是 。 三、点P 不在曲线上的切线方程 3 已知曲线C ：3()2f x x x =-+，试问：分别过点（1）(0,54)-，（2）(2,0)， （3）16(,2)11 的曲线C 的切线有几条？如果是一条，写出切线的方向向量；如果是两条， 求两条切线之间的夹角；如果是三条，写出切线方程。 四、其它变形 4 已知曲线C ：32()32f x x x x a =-++的一条切线方程为2y x =，则实数a 的值 等于 。 5 斜率为3的直线与曲线C ：3y x =相切于P 点，并与曲线有另一个交点Q ，求P 、 Q 两点的坐标。 6 若方程330x x m --=有一个二重根，求方程的解集。 7 P 为曲线C ：3y x =上一动点，若曲线在该点处的切线与曲线有另一交点Q ，求PQ 的中点的轨迹方程。 [答案与提示] 1 解：由'2()33f x x =+，得'(2)15f -=， 所以所求的切线方程为1415(2)y x +=+，即1516y x =+。 2 错解：由'2()31f x x =-，得'(1)2k f ==， 所以所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =。 错因剖析：此处所求的切线只说经过P 点，而没说P 点一定是切点，于是切线的斜率 k 与'(1)f 不一定相等。比如（如图）当02x π≤≤时，正弦曲线sin y x =在点P 处的切线三次函数专题
导数与函数的切线及函数零点问题专题
数学函数概念图像的切线问题.doc
三次函数的对称中心与切线条数
解决三次函数问题的几种方法..
【高考数学】《函数切线问题》微专题
09：三次函数图像的切线
圆锥曲线的切线问题
1三次函数切线专题
应用导数研究三次函数图像的对称性及切线条数
函数的切线问题
全国高考数学复习微专题：函数的切线问题
三次函数切线问题
导数切线斜率问题解析版
三次函数切线专题
一般n次曲线切线方程的推导
三次函数切线斜率
三次函数图象的切线问题专练