不等式的证明方法及其推广

不等式的证明方法及其推广

摘要：在初等代数和高等代数中，不等式的证明都占有举足轻重的位置。初等代数中介绍了许多具体的而且相当有灵活性和技巧性的证明方法，例如换元法、放缩法等研究方法；而高等代数中，可以利用的方法更加灵活技巧。我们可以利用典型的柯西不等式的结论来证明类似的不等式；除此还可以利用导数，微分中值定理，泰勒公式，积分中值定理等有关的知识来证明不等式；在正定的情况下，也可以用判别式法；掌握了定积分化为重积分的内容之后，对于某类不等式，也可以将定积分化为重积分，再证明所求的不等式。由此我们可以看到，不等式的求解证明方法并不唯一，但是初等数学里的不等式，都可以用高等数学的知识来解决，解答更为简洁。所以，高等数学对初等数学的教学和学习具有重要的指导意义。本文归纳和总结了一些求解证明不等式的方法与技巧，突出了不等式的基本思想和基本方法，便于更好地了解各部分的内在联系，从总体上把握证明不等式的思想方法；注重对一些着名不等式的推广及应用的介绍。

关键词：不等式；证明方法

1引言

1．1研究的背景

首先，我们要从整个数学，特别是现代数学在21世纪变得更加重要来认识不等式的重要性。美国《数学评论》2000年新的分类中，一级分类已达到63个，主题分类已超过5600

多个，说明现代数学已形成庞大的科学体系，并且仍在不断向纵深化发展。它在自然科学、

工程技术、国防、国民经济(如金融、管理等)和人文社会科学(如语言学、心理学、历史、

文学艺术等)以至我们的日常生活中的应用都在不断深化和发展。它为我们提供了理解信

息世界的一种强有力的工具，它也是新世纪公民的文化和科学素质的重要组成部分。而不

等式在数学中又处于独特的地位。美国《数学评论》在为匡继昌的《常用不等式》第2版

写的长篇评论中指出:“不等式的重要性，无论怎么强调都不会过分。”这说明不等式仍

然是十分活跃又富有吸引力的研究领域。

再者不等式的求解和证明一直是高考的热点和难点。近年来高考虽然淡化了单纯的不等式证明的证明题。但是以能力立意的、与证明有关的综合题却频繁出现。常常与函数、

数列、三角等综合，考查逻辑推理能力。是高考考查的一项重要内容。而要解决这一点的

关键在于掌握常用方法，理解不等式证明中的数学思想，熟练地运用性质和基本不等式。

因此，本文归纳和总结了一些求解证明不等式的方法与技巧，突出了不等式的基本思想和基本方法，便于更好地了解各部分的内在联系，从总体上把握不等式的思想方法；注

重对一些着名不等式的推广及应用的介绍，以便更好地理解和运用。

1．2文献综述

数学问题（猜想）的重要性先哲们已有过精辟的阐述。的确，形式优美、新颖、内涵丰富的不等式问题，不仅丰富了我们的研究素材，而且孕育了新思想、新方法的胚芽。当

探索者在艰难的跋涉中感到困倦和乏味时，它就会突然放出奇光异彩，照亮一片天地。人们之所以能孜孜不倦地向未知领域探求，也正是问题那充满诱惑力的深情呼唤。新的东西可以刷新我们的视野。虽然它一开始可能是含糊的、幼稚的、脆弱的，但是只要视野中能映出，那么离抓住它的真谛的日子一定不会遥远了！

由于不等式的多样性，各有各的证明特色，所以我阅读许多文献。许小华的《不等式证明的常用方法》是我参考的第一篇文献。文中介绍了一些常见的证明方法及其在数学竞赛中的应用：分析和综合法、数学归纳法、反证法、函数法、判别式法。由此可知不等式在数学中的地位十分重要,而证明不等式的方法和技巧也很多。所以要掌握好不等式证明，除了要认真理解并能熟练运用不等式的基本性质外，还应当注意观察相关条件与数学其他知识点的联系，充分利用有关知识解决不等式证明问题。陈初良的《不等式证明的两种巧法》就介绍了两种技巧性较高的不等式证明方法：化归函数法、放缩法。本文对这两种方法的介绍非常的精彩。周再禹在《不等式证题中调整法的应用》也给大家展示了不等式证明的一种独特的方法——调整法。而董琳为了拓宽视野，则在《几种证明不等式的妙法》一文中通过实例，介绍了几种切实可行的方法：放缩法证明不等式、反证法、函数法、最值法。除此不少问题还不止用一种方法而需要用几种方法综合使用才能解决。所以翁耀明善于抓住不等式的特点，突破旧例，在《运用概率方法证明某些数学不等式》一文中利用函数的凹凸性，再结合概率中数学期望的不等式性质，恰当地构造一个概率分布密度来证明一些特殊的不等式。

我们知道任何知识体系都不是孤立的，它们相互联系相互渗透，而不同体系的“知识交汇”更能有效地培养学生的综合思维能力。例如：数列与不等式是函数内容的后续知识板块，与函数一样，也都是历年高考的热点。由于在知识网络交汇点设计试题这一命题思想的不断成熟，以数列为载体的不等式证明问题备受高考青睐。以数列为载体的不等式证法虽灵活多变，但极富有挑战性，只要我们善于思考、适时调整、不畏险阻、锲而不舍，其实成功并不遥远，这正体现了高考为选拔优秀人才所精心布置的一个公平舞台。所以证明这类题通常要有一些较为“高超”的放缩技巧。孟利忠则针对这一问题，在《以数列为载体的不等式证明的放缩技巧》中介绍了四种利用数列证明不等式的方法：放缩成递约数列乘积、放缩成相消数列和式、放缩成等差数列和式、放缩成等比数列和式。又如：向量是中学阶段的重要内容，目前大家主要重视向量与三角函数、平面几何、解析几何的“交汇”，用向量证明代数不等式重视不够，缺少系统的研究。一般认为用向量证明不等式就是用向量模的性质来思考问题，实并非如此。张国棣的《用向量证明代数不等式的新探索》对用向量证明代数不等式的方法，进行一些新的探索：（1）利用向量的几何特征构建不等式关系，因为利用向量的加法、减法所构成平行四边形的几何特征来思考问题，可以使证明过程更直观、简捷。（2）用向量有效转化代数不等式，因为用向量搭起代数不等式证明与其他知识体系的桥梁，可实现代数不等式的有效转化，降低思维难度。（3）利用向量的数量积公式，建不等关系证明。因为根据向量的数量积公式cos ab a b θ=找出不等关系。

这样则增加了向量应用的多样性，将老问题赋予新的生命，是证明方法上的创新，可以使证明过程更加简捷、清晰。

不等式证明既是数学的重要内容之一，也是高等数学的重要工具。许多初等数学中的问题，往往蕴含着数学中的较高层次理论的再实践的问题。如能在教学中有意将高等数学的原理、方法应用于一些初等数学的证明、计算，不仅可以开拓学生的视野，而且可使学生体会到用高等数学的原理、方法解决初等数学问题时，居高临下，驾轻驭熟的感觉，进而了解高等数学与初等数学密不可分的关系。比如：函数的单调极值问题其本身都与不等式密切相联，而微分学中值定理和Taylor公式又使我们能够通过对导数或余项的估计来确定变量间的大小关系，因此常常是证明不等式的得力工具，相对于函数极值概念的局部性，函数的最值则是一种整体的概念，即是在一个固定的区间内有意义的概念，这是和极值概念绝然不同的所在。那么我们如何通过运用导数与微分这样的反映局部性质的概念来研究最值呢？显然我们只能给出一个最值的必要条件，就是一个最值先要是一个极值。这也就是说最值是包含在极值之中的，至于通过极值来找到最值，最终还是必须依靠对可能有的不同极值进行比较。如果极值的数目是有限的。并且不是很多，那么就比较容易得到最值；如果极值是无穷多的，或者是数目极大的，就面临得到最值的困难。因此实际上通过导数的方法来求最值，并没有最终解决问题，而只是在一定的条件下可以得到解决。所以刘海燕在《利用微分学证明不等式》一文中讨论了如何利用微分学证明不等式。而叶殷的《用高等数学证明不等式的若干种方法》则探讨解决了如何将高等数学的原理和方法运用于初等数学，如何解决高等数学与中学数学脱节的问题。并且给出了几种证明方法：利用函数的单调性证明不等式、利用微分中值定理证明不等式、利用函数的极值证明不等式、利用泰勒公式证明不等式、利用函数的凸性证明不等式、利用积分不等式证明不等式、利用定积分的定义证明不等式。魏全顺在《微分在不等式证明中的应用》一文中介绍的不等式的高等证明方法也非常地精彩。高等数学除了可以使学生站在更高的观点上思考问题，同时又可以帮助学生处理初等数学的问题，以达到初等数学与高等数学之间的衔接，刘兴祥在《柯西—施瓦兹不等式的应用》中利用柯西—施瓦兹不等式且巧妙地构造向量ξ与η解决了部分分式不等式的证明及求极值问题。

不等式的证明方法有很多，而且非常的灵活、精彩。但是着名不等式更是优美而又魅力无限的。正如音乐家能够将很少几组音符变化发展为动听美妙的旋律一样，数学家则往往能够通过不多几步逻辑推理揭示出简明优美的结果。这些有关不等式的结果就是数学家依靠并不复杂的逻辑推理得到的，然而在其来龙去脉被领悟以前，却常常像变戏法似的神秘莫测。胡克在《解析不等式的若干问题》中则介绍了一些非常美丽的不等式及近年来有关的新成果。总之，不等式的内容博大精深，还有很多问题期待我们去挖掘

2证明不等式的方法

2．1初等代数中不等式的证明

2．1．1比较法[1]

比较法分为作差法和作商法。

1、作差法的数学思想是把不等式左边的代数式减去右边的代数式，根据已知条件，研究这个差在实数范围内为正还是负，从而确定其大小。

例1：设12,x x R +∈则11121212n n n n x x x x x x --+≥+。

证明：当12,x x R +∈则

2、作商法的数学思想是在证明时，一般在,a b 均为正数时，借助1a b >或1a

b

<来判断其大小，步骤一般为：作商——变形——判断（大于1或小于1）。

例2：设0a b >>，求证：a b b a a b a b >。 证明：0a b >>Q

1,0a a b b ∴>->；而1a b

a b b a a b a a b b -??

=> ???

，

故a b b a a b a b >。 2．1．2分析法和综合法[1]

所谓分析法，就是假定结论是正确的，然后利用恒等变形及不等式的性质逐步推演，如果能够得到一个已知它成立的不等式，而且推演的每一步骤都是可逆的，则这个不等式成立。对于较复杂的不等式的证明，多用这种方法。所谓综合法，它的着眼点在条件，即从已知条件出发，根据不等式的性质，逐步推证所要求的结论。

例：设,a b R +∈，求证2

a b

+≥a b =时等号成立。

证明：（1）分析法要证

2

a b

+≥成立，只要证a b +≥

即只须证0a b +-≥成立，

最后不等式显然成立，而其中每步推证都是可逆的，

2

a b

+∴

≥a b =时，等号成立。

（2）综合法,,a b R R ++∈Q

于是有

2

0≥（仅当a b =时等号成立），即

0a b +-≥。

2

a b

+∴

≥ 2．1．3反证法[1]

反证法的数学思想是从否定的结论出发，通过逻辑推理，导出矛盾，从而证明原来的结论是正确的。

例：设,,a b c 和,,x y z 均为不等于0的实数，若

2220,0,0az by cx ac b xz y ++=->-≤则。

证明：设2200xz y xz y ->>>则

即220b y acxz -<

由20,az by cx ++=有2az cx by +=- 即22222224a z acxz c x b y ++=

()()2

2240az cx b y acxz ∴-=-<与()2

0az cx -≥矛盾

2．1．4数学归纳法[1]

已知条件均是在整数集或自然数集中，所证式子项数或因式数为无穷多。证明的难点是在1n k =+时，关键是要充分利用n k =以及第一步的结果。对于含有)(N n n ∈的不等式，当n 取第一个值时不等式成立，如果使不等式在)(N n k n ∈=时成立的假设下，还能证明不等式在1+=k n 时也成立，那么肯定这个不等式对n 取第一个值以后的自然数都能成立。

例：设,2>a 给定数列},{n x 其中)(,)

1(2,211N n x x x a x n n

n ∈-==+,求证：2>n x 。

证明：1）当1=n 时，21>=a x ，故不等式当1=n 时成立。

2）假设当k n =时不等式也成立，即2>k x ，则当1+=k n 时，有

()()2222

1211

121)1(22

1

=+>??????+-+-=-=+k k k k k x x x x x 。 综合1）、2）可知对于一切自然数n 都有2>n x 。 2．1．5换元法[1]

换元法的基本思想，是通过对所证不等式添设辅助元素，原来的未知量(或变量)变换成新的未知量(或变量)，而更容易达到证明的目的。此种方法证明不等式一般采取以下步骤:〈1〉认真分析不等式，合理换元；〈2〉证明换元后的不等式；〈3〉得证后，得出原不等式成立。换元法可分为两大类：

1、代数换元

例1

<

[证法分析]由于根指数为3，若采取两边三次方的办法，中间运算较繁。根据不等式左边的特点，考虑公式()()3322-a b a b a ab b +=++

不妨设a b ==于是只要证

()

3

24a b +<即可。

证明：设a b ==0,0a b >>并且336,,a b a b +=>又

222a b ab +>故22ab a ab b <-+

不等式两边同乘以0a b +>得

故()()()33333ab a b a b a b +<+<+即3ab a+b 对上式两边同时加上33a b +

即()()33333424a b ab a b a b +++<+=

即()3

24a b +<所以a b +<

2、三角换元:借助三角变换，在证题中可使某些问题变易。

例2：设22,,1x y R x y ∈+≤且，求证：222x xy y +-≤。

证明：设222x y u +=则由题设知1u ≤并可设cos ,sin x u y u θθ==。

于是，()222222cos 2cos sin sin x xy y u θθθθ+-=+-

所以，2222x xy y u +-≤≤

可见，冗长而复杂的不等式用代数法换元，可以使问题变得明显简单。含有根式或带有绝对值符号的不等式可用三角法换元，同样也可以将难化易。 2．1．6迭合法（降元法）[1][9]

迭合法的数学思想是把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质，使原不等式获证。

例、已知：122221=+++n a a a Λ，12

2221=+++n b b b Λ，求证：

12211≤+++n n b a b a b a Λ。

证明：因为122221=+++n a a a Λ，12

2221=+++n b b b Λ， 所以122221=+++n a a a Λ，12

2221=+++n b b b Λ。 由柯西不等式 所以原不等式获证。 2．1．7构造法

[2][4]

在中学的数学竞赛题目中，经常碰到不等式的证明，特别有些技巧性强的题目，学生往往手足无措，难于下手。这时候采用构造法往往能达到意想不到的效果，构造是一种探索和创新，适当的构造可以准确快速地解决问题，也可以给学生带来耳目一新的解题感受，对于培养学生的解题技巧、思维能力。甚至开拓创新都大有脾益。

构造法的基本数学思想，是通过构造中介性的辅助元素，沟通不等式的条件与结论的内在联系，使原题得以证出。构造的辅助元素是多种多样的，常用的有构造图形，构造函数，构造方程，构造等价命题，构造反例等。在此只介绍前三中构造法。 1、构造图形（用几何特性或区域讨论）：

利用几何定理或借助几何图形可以直观地、简便地表达和解决问题。

例1：求证重要不等式sin tan 02x x x x π?

?<<<< ??

?

证明：圆O 是半径为1的单位圆，OA 是圆O 的任一半径，作,AOC x ∠=过A 作OA 的

垂直线交OC 于B ，显然OAC OAB S S S ??<<扇形OAC 即111

sin tan 222

x x x <<故原不等式成立。

2、构造函数：

我们知道由函数的单调性可以得到不等式。例如：如果函数()f x 在定义域内可导，且()'0f x ≥（或()'0f x ≤）

，则()f x 在定义域内是增（或减）函数。 例2：设0x >，求证：()21

ln 12

x x x +>-。

证明：令()()21ln 12

f x x x x =+-+，则()2'

1111x f x x x x =-+=++。显然，当1x >-时，()'0f x >，这就表明()f x 在()1,-+∞内为增函数。因此，当0x >时，

()()0f x f >。注意到()00f =，有()0f x >，即()21

ln 102

x x x +-+>

因此，()21

ln 12

x x x +>-。

3、构造方程（利用一元二次方程的判别式）：

二次不等式的证明，有时可转化为二次方程的判别式来解决。

例3：求证)sec tan 0,a b a b θθθ-≥>>为锐角

证明：设sec tan y a b θθ=-

θQ 为锐角，()()222222tan 440R b y a y a b θ+∈∴?=---≥

故sec tan a b θθ-≥

注：证明二次不等式时，可如同把二次不等式的求解转化为二次函数图象的讨论一样，也可以应用更一般的二次曲线来证明更广泛的不等式问题，或者利用不等式所表示的平面区域来讨论以达到证明的目的。 4、构造多项式

某些不等式所含的字母较多，直接推证难下手，可以联想多项式的展开式。 例4：,,a b c 都是小于k 的正数，求证：()()()2a k b b k c c k a k -+-+-<。

证明：要证明原不等式，即证：2k -[a(k-b)+b(k-c)+c(k-a)]>0，

此式所含字母较多，直接推证难于下手，观察此式特点，联想到多项式(k-a)(k-b)(k-c)的展开式为： 5、构造三角形

例5：,,a b c 都是小于k 的正数，求证：()()()2a k b b k c c k a k -+-+-<。

证明：由2a(k-b)+b(k-c)+c(k-a)

变形：2

联想到正三角形的面积，构造边长为k 的正ABC ?，在,,AC BC AB 上分别取点,,M N P ；使,,AM a CN c BP b ===。则ABC AMP CMN BPN S S S S ????>++

2111

sin 60sin 60sin 60222

AM AP CM CN BP BN >++o o o g g g g g g 即，2

k > a(k-b)+b(k-c)+c(k-a)。

注：从以上题目的分析和证明过程可以看出，分析不等式的结构特点，联想与之相关的几何关系，构造适当的图形，将不等式的关系转化为所构造的图形的线段关系或面积关系。从而化复杂为简单，化抽象为直观，对解题起到事半功倍的效果，培养学生数形结合的思想，进一步提高学生探索与创新的能力。

2．1．8标准化法[2][4]

形如1212(,,,)sin sin sin n n f x x x x x x =L L 的函数，其中π≤

n x x x +++Λ21为常数，则当i x 的值之间越接近时，),,,(21n x x x f Λ的值越大（或不变）；

当n x x x ===Λ21时，),,,(21n x x x f Λ取最大值，即50

121212(,,,)sin sin sin sin n

n n n x x x f x x x x x x n

+++=≤L L L 。

标准化定理：当A+B 为常数时，有2

sin sin sin 2

A B

A B +≤。

例、设A ，B ，C 为三角形的三内角，求证：1sin

sin sin 2228

A B C ≤。 证明：由标准化定理得，当A=B=C 时，212sin 2sin 2sin

===C B A ，取最大值8

1

，故

1sin

sin sin 2228

A B C ≤。 2．1．9分解法

[2][4]

把一个数或式分解为几个数或式，使复杂问题转化为简单易解的基本问题，以便分而治之，各个击破，从而达到证明不等式的目的。

例、2≥n ，且N n ∈，求证：)11(1

31211-+>++++n n n n

Λ。

证明：因为??

?

??+++??? ??++??? ??+++=+++++

11131121)11(131211n n n ΛΛ 所以，)11(1

31211-+>++++

n n n n

Λ。 2．1．10利用已知的不等式证明[1][16]

已知不等式的运用，从学习过程和掌握知识的层次上看，可以分为五个层次：套着用、凑着用、逆着用、变着用和横着用。每个公式均可作各种变化，为了能在更广阔的背景中运用公式，就需要对公式本身进行各种变形、产生各种不同形式的新公式，同时还应注意它在其它分科中的应用，开拓应用的范围。

例：求证()13521n n n -

证明：由),0a b a b +≥≥得()2

14

ab a b ≤+ …………

两边分别相乘得到 两边开方，得

()1321n n n -≤g g L g 。

注：这个例题的证明完全是借助于基本不等式a b +≥明不等式的左边任一乘积均能找到另一乘积项，两者之和为恒定常数。 2．1．11利用坐标和解析性[4]

通过直角坐标系建立平面上每个点与一对有序实数之间的一一对应关系，从而把曲线与方程联系起来的数的问题。

例：设,,a b c 为三角形的三边，S 为面积，求证222a b c ++≥

证明：建立直角坐标系设A 、B 、C 三点坐标分别为()()(),0,,0,,A m B m C p q -，则三边的关系式为：

222222226a b c p q m ∴++=+而

故不等式成立。

2．1．12利用复数证明[4]

2

z

+可作为不等式证明的尝试。

≥

=

令()()

12

2

,13

z x i z x i

=-+=-+则

12

14

z z

i

+=-+=

12

z z

==

而

1212

z z z z

+≤+，故原不等式成立。

2．1．13参数法[4][16]

原理：取参数时，使各未知量的数字部分取A与未知量个数的商

A

n

，而参数中全部字母部分的和为零。

例：若1,

x y z

++=求证222

1

3

x y z

++≥。

证明：令

12,3

111

,

333

x t y t z t

=+=+=+，其中

123

,,

t t t为实数，且

123

t t t

++=则222

1

3

x y z

∴++≥，当

1

3

x y z

===时取等号。

2．

1．14利用概率证明[11]

例：已知0,

2

x

π

??

∈??

??

，求证

4sin2

2

1

4

x

x

π

+

≥

??

+

?

??

证明：设两独立事件A和B，且()()

sin,cos

p A x p B x

==，则()()()()sin cos sin cos1

p A B p A p B p AB x x x x

+=+-=+-

≤，

即，2sin cos1sin cos

x x x x

+≥++

1

2sin21

24

x x

π

??

∴+≥++

?

??

而0,

2

x

π

??

∈??

??

sin0,cos0

x x

∴≥≥则

4sin2

2

1

4

x

x

π

+

≥

??

+

?

??

。

从以上的证明来看，通过运用概率方法构造一个适当的概率事件去证明不等式，比运用代数方法证明要简单明了。此法无论是对初等数学还是对高等数学，都有一定的实用价值，它使数学的不同分支之间架起了桥梁。不过利用概率证明不等式要牵涉到比较多的数学知识，方法比较灵活。

2．1．14利用向量证明[12]

目前大家主要重视向量与三角函数、平面几何、解析几何的“交汇”，而对向量证明代数不等式重视不够，缺少系统的研究。在此本人总结了3种常见的利用向量证明代数不等式的方法。

1、利用向量的几何特征构建不等式关系：

例1：设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是其前n 项和，求证： 0.50.52

0.51log log log 2

n n n S S S +++>。

分析：这是不等式证明中一个非常好的题，只要证明221n n n S S S ++<。构造向量，用平行四边形的几何特征来证明也是这道题的一个非常精彩的证明方法。

证明：设向量()12,OA a a =r ，()1,n n OB qS qS +=r

，()()

11121,,n n n n OC a qS a qS S S +++=++=r （其中q 为该等比数列的公比），则OC OA OB =+r r r

，故,,,O A C B 构成平行四边形。由于,OA OB

在对角线OC 的两侧，所以OA k 及OB k 中必有一个大于OC k ，另一个小于OC k 。由于

111

1n OC OA n a qS k k a qS ++=

<=+，故1OB OC OA k k k <<=，既1121n n n n S S

S S +++<<。所以221n n n S S S ++<。

2、用向量有效转化代数不等式： 例2：已知11a -<<，11b -<<，求证

22

112

111a b ab

+≥---。 分析：这是一道很有“活力”的不等式证明题。不过其证明有点复杂。 证明：不等式条件可加强为：0a ≤，1b ≤；

设()()()()12121,,1,,1,,1,x a x a y b y b ==-==-，则1212,x x y y ==，2121a x x -=g ，

2121b y y -=g ，12ab x y =。

设1x 与x 轴的夹角为1H ，1y 与x 轴的夹角为2H ，则有120,4

p

H H ≤≤

，故()22

12111212121212cos 2,cos 2,cos x x x H y y y H x y x y H H ===+g g g 。

2

2

1112222

2211121112cos 2cos 21111

11cos 2cos 2cos 2cos 2x H y H a b x H y H x y H H ++=+=--， ()

121211

1cos ab x y H H =-+， 故只要证明：

()

22

11122

2

12121

112

cos 2cos 22

cos cos 2cos 2x H y H x y H H x y H H +≥

+

即证明：22

1112

1112122cos 2cos 2cos 2cos 2cos x y H H x H y H H H +≥

+

因为2

2

11121cos2cos22x H y H x y +≥

故只要证明：1112

1122cos 2cos 22cos x y H H x y H H ≥

+

即证明：(

)12cos H H +≥（实现代数不等式向三角不等式的转化）， 即证明：()21212cos cos2cos2H H H H +≥ 即证明：()12121cos 22cos2cos2H H H H ++≥

即证明：()1212121cos 22sin 2sin 2cos2cos2H H H H H H ++-≥ 3、利用向量的数量积公式建不等关系证题：

例3：若,x y R +∈，求证()114x y x y ??

++≥ ???

证明：令

,a b ??=

=，则()222211a b a b x y x y ??

==++ ???g g (

)

()2

2

2

114a b ?

???==+=????

?

?

g g 由()222a b a b ≥g g 得()114x y x y ??

++≥ ???

2．2高等数学中不等式的证明 2．2．1函数上、下极限的不等式

原理：设()(),f x g x 在E 上有意义，0x 是E 的一个聚点，若0σ?>当00,x x x E σ<-<∈时，

()()f x g x ≤，则有：

()()0

lim lim x x x x f x g x →→≤，()()0

lim lim x x x x f x g x →→≤。

例：设()(),f x g x 在E 上有意义，0x 是E 的一个聚点，则：

()()()()()()()0

lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x f x g x f x g x f x g x →→→→→+≤+≤+。

证明：00,,0x E x x σσ?>?∈<-<时，有：

()()()()()()inf inf sup f x g x f x g x f x g x +≤+≤+（其中确界是在0,0x E x x σ∈<-<的范围里取的，下同）

所以：()()()()()()()inf inf inf sup f x g x f x g x f x g x +≤+≤+ 从而有：()()()()()()()inf inf inf sup inf f x g x f x g x f x g x +≤+≤+

最后令0σ+→，取极限，即得：()()()()()()()0

lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x f x g x f x g x f x g x →→→→→+≤+≤+。

注：此例中的等号也可以不发生。例如：对(){

2,0f x =

当x 为有理数

，当x 为无理数

，(){

0,1,x x g x =

当为有理数当为无理数

有

()()()()()()()0

lim lim 0lim lim lim 2x x x x x f x g x f x g x f x g x →→→→→+=<+<+=

2．2．2由Cauchy 不等式证明

原理：若函数()(),f x g x 在(),a b 皆可积，则

()()(

)()()()()

2

22

b b

b a a

a xf x dx g x dx f x dx g x dx ?≤?

?g

g ，称上式为Cauchy 不等式。

例：设函数()f x 在()0,1上导数连续，()()010f f ==，证明：()()()212

1

0014

f x dx f x dx ?≤

? 证明：()00,f =Q

()()()()2

2

210001x x dx f x dx x f x dx ≤??≤?g g （A ）

又()10,f =Q

()()

()()()22

12110011x x x dx f x dx x f x dx ≤???≤-?g g （B ）

由（A ）和（B ）得：

即，()()()2121

0014

f x dx f x dx ?≤

? 2．2．3由Taylor 公式及余项证明

原理：定积分证明题中，若被积函数具有二阶及二阶以上导数时，利用Taylor 公式可对余项做放缩处理，进而证明不等式。

例：设()f x 是()0,a 上的非负函数，()"0,0f x a ≥>证明：()0

2a

a f x dx af ???≥ ???

。 证明：对()f x 在02

a

x =

点处利用Taylor 公式，即 ()()2

'"12222!2a a a a f x f f x f x ξ???????

?=+-+- ? ??? ????????

?（2a x ξ<<）

两边取从0到a 的积分，得：

2a a f ??= ???

g 即()02a

a f x dx af

??

?≥ ???

2．2．4由积分性质证明

原理：利用下列两条定积分的性质可证明定积分不等式。

（1）若在(),a b 上，()()f x g x ≥，则()()b b

a a f x dx g x dx ?≥?；（2）M 和m 为()f x 在(),a

b 上最大值和最小值，则()()()b a m b a f x dx M b a -≤?≤-。

例1：当2n >

时，证明12

0126π≤?≤。

证明：210,,2,2n x n x x ??

∈>≤ ???

有

取从0到1

2

的积分，得

例2

222

02x x e dx e -≤?≤。 证明；设()2

x

x

f x e -=，则()()2

'21x

x

f x x e -==若令()'0f x =，则得到1

2

x =

为驻有(

)1142

f x e

-==

()()()2

0,2,01,2x f f e ∈==Q ()0,2∴在上，()f x 的最大值()22M f e ==

，最小值12m f ??== ???

()()220

2020x x

m e dx M --≤?≤-

222

02x x e dx e -≤?≤。 2．2．5由积分中值定理证明

原理：()f x 在(),a b 上连续，则至少存在一点(),a b ξ∈，使()()()b a f x dx f b a ξ?=-。

例1：设函数()f x 在()0,1连续且单减，证明当01λ<<时，()()1

00f x dx f x dx λλ?≥?。

证明：()()()()()11

0000f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx λλλλλλλ?-?=?-?-?

()()()()1211f f λλξλλξ=---g 其中()()()120,,,1ξλξλ∈∈ 又()f x Q 单减，()()()()1212,0f f f f ξξξξ≥-≥Q 又()01,10λλλ<<∴->Q 因此()()()1210f f λλξξ--≥????

故()()1000f x dx f x dx λλ?-?≥即()()1

00f x dx f x dx λλ?≥?。

例2：证明不等式

()ln 0a b a a b

b a a b b

--<<<<。 证明：选择函数()[]ln ,,f x x x b a =∈。

()ln f x x =在区间[],b a 满足拉格朗日中值定理，因此，有()1

ln ln a b a b ξ

-=

-，

()0b a ξ<<<，

2．2．6利用求函数的最值证明[10][17]

原理：当所要证明的不等式形如()f x A ≥或()f x A ≤时，可考虑A 是否是()f x 在某个区间上的最值。

例：证明()()()

()2201

sin ,0,2223x

n t t tdt x n n ?-≤

∈+∞++其中n 为正整数。

证明：令()()220sin x

n f x t t tdt =?-，只要证明()f x 的最大值不超过

()()

1

2223n n ++，

由()()'220,01

sin 0,10,1n

x f x x x x x x ><?

可得()f x 的最大值

()()()12200max 1sin

n

x f x f t t tdt +∞

==?-p p ，从而 ()()

1

2223n n =

++。

2．2．7利用曲线的凹凸性证明[10][17]

一般遇到某个函数在某两点的平均值及中点的函数值的关系时，可考虑用曲线的凹凸性，因为这种形式的不等式很容易识别出来，因而在实际中很少遇到这种问题。但有时巧妙地利用函数在所给区间上的凹凸性，可大大简化证明。

例：证明当02x π<<时，2

sin x x π

<。

证明：设()2

sin f x x x π

=-

，则()()'"2

cos ,sin 0f x x f x x π

=-

-<，所以()f x 的图形是

上凸的；又()002f f π??

== ???

，因此()0f x >，即2sin x x π<。

由于不等式的多样性,证明的方法也有所不同。所以在证明不等式时,应注意多种证明方法的综合应用,绝不可以将某种证法看成是孤立的而且对于不同的题目可有多种证明方法,只不过有难易之分,在解题中应根据题目的特征对证明方法进行选择。

3几个着名不等式的推广及应用 3.1关于绝对值不等式[14][16] 3．1．1三角形不等式

三角不等式定理：a b a b a b -≤-≤+ 3．1．2三角形不等式的变形

（1）设()1,2,,i a R i n ∈=L 则有1212n n a a a a a a +++≤+++L L ，即

1

1

n n

i i

i i a a

==≤∑∑

（2

12n a a a ≤+++L ，特别地，当23n =或时容易给出不等式的几何解释。

当2n =时，不等式表示直角三角形两直角边之和大于它的斜边：

12a a ≤+。

当3n =时，不等式表示以线段123,,a a a 为棱长作成的长方体，它的对角线的长小于这些线段的长的和：

（3

1122n n a b a b a b ≤-+-++-L

（4

≤（5）设A ，B ，C 为平面上任意三点，坐标分别为

)

,(),,(),,(332211y x y x y x ，则由

AC BC AB ≥+及距离公式得： 通常也称之为平面三角不等式。 3．2平均值不等式[16]

3．2．1算术平均数与几何平均数

（1）我们知道两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，即

),(2

为正数b a ab b

a ≥+，对于三个正数的算术平均数与它们的几何平均数的关系，也曾作为探究性问题提出过。你有没有认真考虑过：对于三个正数、四个正数、…、甚至n 个正数，都有类似的结果出现呢？下面我们就来研究这个问题。 例：设c

b a ,,为正数。证明3333a b

c abc ++≥。

（说明：该问题我们曾采用比较法解决过，为让同学们加深对该不等式的认

识和理解，此处换一个角度来考虑。）

证明：2233ab b a b a +≥+ 同理，2233bc c b c b +≥+

三式相加得，)()()()(2222222333b a c a c b c b a c b a +++++≥++。] 又ca a c bc c b ab b a 2,2,2222222≥+≥+≥+ 所以.6)(2333abc c b a ≥++

于是结论成立。当且仅当c b a ==时，等号成立。

在上例中，将333,,c b a 换成,,,c b a 得到3

3

abc c b a ≥++。即三个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数。

更一般地，可以证明n 个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数。即

设12,,,n x x x L 为n 个实数，()121

n x x x n

≤

+++L ，即几何平均值不超过算术平均值。当且仅当这n 个数相等时，等号成立。这就是关于n 个正数的算术平均数与几何平均数的着名不等式，通常称为平均不等式。它有相当广泛的应用。

（2）命题：若12,,,n x x x L 皆为正数，且12n x x x L =1，则12n x x x n +++≥L ，并且式中的等号当且仅当121n x x x ====L 时成立。 3．2．2几个平均数的关系

平均的概念，在人们的日常生活和生产实践中是经常遇到的。除了上述谈到的算术平均数和几何平均数之外，还常会用到另外两种平均数，即平方平均数和调和平均数。

设n a a a ,,,21Λ为正数，则这n 个数的平方和的算术平均数的算术平方根为

n

a a a Q n

n 2

2221+++=

Λ.

n Q 称为这n 个数的平方平均数。平方平均数在概率统计及误差分析中有着重要

的作用。

而n 个正数的倒数的算术平均数的倒数为n

n a a a n

H 11121+++=

Λ.

n H 称为这n 个数的调和平均数。调和平均数在物理学中的光学及电路分析

中有着较多的应用。

通常又记.,2121n n n n

n a a a G n

a a a A ΛΛ=+++=

则n n G A ,,n Q ,n H 四个平均数的关系为：≤n H n G n A ≤≤n Q 。 其中等号当且仅当n a a a ===Λ21时成立。

注：这是一组十分重要的不等式，应用很广。在解决初等极值问题中，也提供了一种重要方法。在应用不等式求极值时，必须考虑不等式中等号成立的条件，因为极值一般正是在等号成立的时候达到。为了便于以后应用，我们把上述不等式改写成便于求极值的形式。

例44：已知0,0,0,1a b c abc >>>=，求证：

()()()2221113

2

a b c b a c c a b ++≥+++。

证明：由()204x y x y y ≥->知()()2

3

2111111114bc a

a b c a b c a b c b c

?? ?????==≥-+ ?++??

+ 同理：

()3111114b a c b a c ??

≥-+ ?+??

相加得：

()()(

)333

11111113

22

a b c b a c c a b a b c ??++≥++≥= ?+++?? 3．3贝努利（Bernoulli ）不等式[16]

Bernoulli ）不等式定理：

设0,1x α>>，则不等式()11x x α

α+>+成立。

Bernoulli ）不等式的应用：

例：设0,0,,2a a b n N n +>+>∈≥。证明不等式：

()

1n

n n a b a na b -+≥+等号当且仅当0b =时成立。

证明：()

1n

n

n b a b a q ??+=+ ???

1n b a n a ?

?≥+ ???=1n n a na b -+

即()1n

n n a b a na b -+≥+

3．4排序不等式[7][16]

先来看一个问题：设有10个人各拿一只水桶去接水，若水龙头注满第i 个人的水桶需要i a 分钟，且这些i a 各不相同。那么，只有一个水龙头时，应如何安排10个人接水的顺序，才能使它们等待的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？

解决这一问题，就需要用到排序不等式的有关内容。在没有找到合理的解决办法之前，同学们可以猜测一下，怎样安排才是最优的接水顺序？为了解决这一问题，先来了解排序不等式。

一般地，设有两组正数12,,,n a a a L 与，且12n a a a ≤≤≤L ，12n b b b ≤≤≤L 。若将两组中的数一对一相乘后再相加，则其和同序时最大，倒序时最小。即：

121122121211

n n n i i n i n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b -+++≥+++≥+++L L L （同序）（乱序）（倒序）

其中12,,,n i i i L 是1,2,,n L 的任一个排列，等号当且仅当12n a a a ===L 或

12n b b b ===L 时成立。以上排序不等式也可简记为：反序和≤乱序和≤同序和

注：这个不等式在不等式证明中占有重要地位，它使不少困难问题迎刃而解。 例：请思考：怎样用排序不等式解决上述最优接水问题？

解：设1021,,,i i i Λ是不同于10,,2,1Λ的一个排列。若第一个接水的人拿的是需要1i a 分钟才能注满的水桶，则接这桶水10人共需等待101i a 分钟；第二个接水的人拿的是需要2i a 分钟才能注满的水桶，则接这桶水9人共需等待92i a 分钟；…如此继续下去，到第10人接水时，只有它一人在等，需要10i a 分钟。按这样的顺序，10人都接满水所需总时间为

101i a +92i a +…+29i a +10i a 不访设1021a a a <<<Λ，而1021<<<Λ，由排序不等式得

这就是说，按水桶的大小由小到大依次接水，10人等待的总时间最少，这个最少的时间就是109212910a a a a ++++Λ。

例47、求证：da cd bc ab d c b a +++≥+++2222。

证明：因为R d c b a ∈,,,有序，所以根据排序不等式同序和最大，即

da cd bc ab d c b a +++≥+++2222。

3．5柯西不等式[5][17]

柯西不等式是一个非常重要不等式，它在数学和物理方面，尤其是在解决不等式证明的有关问题中有着十分广泛的应用。与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它在不等式中的独特地位。 3．5．1柯西不等式的几种不同的表达形式 （1）αβαβ≥r r

r r g （向量形式）

（2）任给()()()2

2222,,,,a b c d R a b c d ac bd ∈++≥+；当且仅当ad bc =时等号成

立。（代数形式）

一般地，对于实数,i i a b R ∈,i =1,2,…,n ,有2

2

211

1

()n

n

n

i

i

i i i i i a

b

a b ===≥∑∑∑；当且仅当

11b a =22b a =…=n

n b a

等号成立。（推广形式） （3

下面我们一起来进一步感受柯西不等式的和谐统一性，从不同角度体验它的协调一致性。

3．5．2柯西不等式的推广（下面出现的11,,;,,n n a a b b L L 都表示实数） （1）1,12

222122221=+++=+++n n b b b a a a ΛΛ，则

1

2211≤+++n n b a b a b a Λ

（2）

23

2221133221a a a a a a a a a ++≤++

（3）

()()22221221n n a a a n a a a +++≤+++ΛΛ 3．5．3由柯西不等式导出的几个着名不等式

(1)设A ，B ，C 为平面上任意三点，坐标分别为),(),,(),,(332211y x y x y x ，则由

AC BC AB ≥+及距离公式得 通常也称之为平面三角不等式。

如果将推广1推广到一般的形式，则得到：

(2)（闵可夫斯基不等式）设1212,,,;,,,n n a a a b b b L L 是实数，则

(3)（赫尔德（Holder ）不等式）已知()1i i a b i n >≤≤是n 2个实数，

0,0,1αβαβ>>+=，则()()βαβ

αβαn n n n b b b a a a b a b a ++++++≤++ΛΛΛ212111

(4)（赫尔德不等式一个极好的变式）设()0,01,2,,,0i i a b i n m >>=>L 或

1m <-，则有1

1111m

m m n n n i i i m i i i i a b a b ++===??????≥ ? ? ?

??

????∑∑∑，当且仅当()1,2,,i i a b i n λ==L 时等

号成立。