【材料科学基础】必考知识点第七章

【材料科学基础】必考知识点第七章
【材料科学基础】必考知识点第七章

2020届材料科学基础期末必考知识点总结

第七章塑性变形

第一节单晶体的塑性变形

常温下塑性变形的主要方式:滑移和孪生。

一滑移

1滑移:在切应力作用下,晶体的一部分相对于另一部分沿着一定的晶面(滑移面)和晶向(滑移方向)产生相对位移,且不破坏晶体内部原子排列规律性的塑变方式。

光镜下:滑移带(无重现性)。

2滑移的表象学

电境下:滑移线。

3 滑移的晶体学

滑移面(密排面)

(1)几何要素

滑移方向(密排方向)

(2)滑移系

滑移系:一个滑移面和该面上一个滑移方向的组合。

滑移系的个数:(滑移面个数)×(每个面上所具有的滑移方向的个数)

典型滑移系

常见金属晶体结构滑移面滑移方向滑移系数

面心立方{111}×4<110>×312Cu,Al,Ni,Au

{110}×

6

×

2

12Fe,W,Mo

体心立方{121}×

12<111> ×

1

12Fe,W

{123}×

24

×124Fe

{0001}

×1

×33Mg,Zn,Ti

密排六方{1010}<1120>3Mg,Zr,Ti

{1011}6Mg,Ti

一般滑移系越多,塑性越好;数目与材料塑性的关系:与滑移面密排程度和滑移方向个数有关;

与同时开动滑移系数目有关(τc)。

(3)滑移的临界分切应力(τc)

τc:在滑移面上沿滑移方面开始滑移的最小分切应力。

外力在滑移方向上的分解。

τc取决于金属的本性,不受?,λ的影响;

?或λ=90?时,σs ∞;

τc=σs cos?cosλσs的取值?,λ=45?时,σs最小,晶体易滑移;

软取向:值大;

取向因子:cos?cosλ硬取向:值小。

(4)位错运动的阻力

派-纳力:τP-N=[2πG/(1-v)]exp{-2πa/[(1-v)b]}

主要取决于位错宽度、结合键本性和晶体结构。

4 滑移时晶体的转动

(1)位向和晶面变化拉伸时滑移面和滑移方向趋平行于力轴方向

压缩时,晶面逐渐趋于垂直于压力轴线。

几何硬化:?,λ远离45?,滑移变得困难;(2)取向因子的变化

几何软化;?,λ接近45?,滑移变得容易。

5 多滑移

多滑移:在多个滑移系同时或交替进行的滑移。

(1)滑移的分类双滑移:

单滑移:

(2)等效滑移系:各滑移系的滑移面和滑移方向与力轴夹角分别相等的一组滑移系。

6 交滑移

(1)交滑移:晶体在两个或多个不同滑移面上沿同一滑移方向进行的滑移。

螺位错的交滑移:螺位错从一个滑移面转移到与之相交的另一滑移面的过程;

(3)机制螺位错的双交滑移:交滑移后的螺位错再转回到原滑移面的过程。

单滑移:单一方向的滑移带;

(3)滑移的表面痕迹多滑移:相互交叉的滑移带;

交滑移:波纹状的滑移带。

二孪生

(1)孪生:在切应力作用下,晶体的一部分相对于另一部分沿一定的晶面和晶向发生均匀切变并形成晶体取向的镜面对称关系。

孪生面A1{111}, A2{112}, A3{1012}(2)孪生的晶体学孪生方向A1<112>,A2<111>, A3<1011>

孪晶区

第二节多晶体的塑性变形

1 晶粒之间变形的传播

位错在晶界塞积应力集中相邻晶粒位错源开动相邻晶粒变形塑变

2 晶粒之间变形的协调性

(1)原因:各晶粒之间变形具有非同时性。

(2)要求:各晶粒之间变形相互协调。(独立变形会导致晶体分裂)

(3)条件:独立滑移系≥5个。(保证晶粒形状的自由变化)

3 晶界对变形的阻碍作用

(1)晶界的特点:原子排列不规则;分布有大量缺陷。

(2)晶界对变形的影响:滑移、孪生多终止于晶界,极少穿过。

(3)晶粒大小与性能的关系

a 晶粒越细,强度越高(细晶强化:由下列霍尔-配奇公式可知)

σs=σ0+kd-1/2

原因:晶粒越细,晶界越多,位错运动的阻力越大。(有尺寸限制)

晶粒越多,变形均匀性提高由应力集中

导致的开裂机会减少,可承受更大的变

形量,表现出高塑性。

b 晶粒越细,塑韧性提高

细晶粒材料中,应力集中小,裂纹不易

萌生;晶界多,裂纹不易传播,在断裂

过程中可吸收较多能量,表现出高韧性。

第三节合金的塑性变形

一固溶体的塑性变形

1 固溶体的结构

2 固溶强化

(1)固溶强化:固溶体材料随溶质含量提高其强度、硬度提高而塑性、韧性下降的现象。

晶格畸变,阻碍位错运动;

(2)强化机制

柯氏气团强化。

(3)屈服和应变时效

现象:上下屈服点、屈服延伸(吕德斯带扩展)。

预变形和时效的影响:去载后立即加载不出现屈服现象;去载后放置一段时间或200℃加热后再加载出现屈服。

原因:柯氏气团的存在、破坏和重新形成。

(4)固溶强化的影响因素

溶质原子含量越多,强化效果越好;

溶剂与溶质原子半径差越大,强化效果越好;

…………………价电子数差越大,强化效果越好;

间隙式溶质原子的强化效果高于置换式溶质原子。

二多相合金的塑性变形

1 结构:基体+第二相。

2 性能

(1)两相性能接近:按强度分数相加计算。

(2)软基体+硬第二相

第二相网状分布于晶界(二次渗碳体);

a结构两相呈层片状分布(珠光体);

弥散强化:位错绕过第二相粒子(粒子、位错环阻碍位错运动) b强化

沉淀强化:位错切过第二相粒子(表面能、错排能、粒子阻碍位错运动)

第四节塑性变形对材料组织和性能的影响

一对组织结构的影响

晶粒拉长;

1 形成纤维组织

杂质呈细带状或链状分布。

2 形成形变织构

(1)形变织构:多晶体材料由塑性变形导致的各晶粒呈择优取向的组织。

(拉拔时形成)

(2)常见类型

变形方向。(轧制时形成)

力学性能:利:深冲板材变形控制;弊:制耳。

(3)对性能的影响:各向异性

物理性能:硅钢片<100>织构可减少铁损。

3 形成位错胞

变形量位错缠结位错胞(大量位错缠结在胞壁,胞内位错密度低。)

二对性能的影响

1对力学性能的影响(加工硬化)

(1)加工硬化(形变强化、冷作强化):随变形量的增加,材料的强度、硬度升高而塑韧性下降的现象。

强化金属的重要途径;

利提高材料使用安全性;

(2)利弊材料加工成型的保证。

弊变形阻力提高,动力消耗增大;

脆断危险性提高。

2 对物理、化学性能的影响

导电率、导磁率下降,比重、热导率下降;

结构缺陷增多,扩散加快;

化学活性提高,腐蚀加快。

三残余应力(约占变形功的10%)

第一类残余应力(σⅠ):宏观内应力,由整个物体变形不均匀引起。

1 分类第二类残余应力(σⅡ):微观内应力,由晶粒变形不均匀引起。

第三类残余应力(σⅢ):点阵畸变,由位错、空位等引起。80-90%。

利:预应力处理,如汽车板簧的生产。

2 利弊

弊:引起变形、开裂,如黄铜弹壳的腐蚀开裂。

3 消除:去应力退火。

数学图形与几何-知识点归纳【小升初】.doc

图形与几何 一线和角 (1)线 * 直线 直线没有端点;长度无限;过一点可以画无数条,过两点只能画一条直线。 * 射线 射线只有一个端点;长度无限。 * 线段 线段有两个端点,它是直线的一部分;长度有限;两点的连线中,线段为最短。 * 平行线 在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。 两条平行线之间的垂线长度都相等。 * 垂线 两条直线相交成直角时,这两条直线叫做互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足。 从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。 (2)角 (1)从一点引出两条射线,所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的边。 (2)角的分类 锐角:小于90°的角叫做锐角。 直角:等于90°的角叫做直角。 钝角:大于90°而小于180°的角叫做钝角。 平角:角的两边成一条直线,这时所组成的角叫做平角。平角180°。 周角:角的一边旋转一周,与另一边重合。周角是360°。 二平面图形 1长方形 (1)特征 对边相等,4个角都是直角的四边形。有两条对称轴。 (2)计算公式 c=2(a+b) s=ab 2正方形 (1)特征: 四条边都相等,四个角都是直角的四边形。有4条对称轴。 (2)计算公式 c= 4a s=a2

3三角形 (1)特征 由三条线段围成的图形。内角和是180度。三角形具有稳定性。三角形有三条高。 (2)计算公式 s=ah/2 (3)分类 按角分 锐角三角形:三个角都是锐角。 直角三角形:有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为45度,它有一条对称轴。 钝角三角形:有一个角是钝角。 按边分 不等边三角形:三条边长度不相等。 等腰三角形:有两条边长度相等;两个底角相等;有一条对称轴。 等边三角形:三条边长度都相等;三个内角都是60度;有三条对称轴。 4平行四边形 (1)特征 两组对边分别平行的四边形。 相对的边平行且相等。对角相等,相邻的两个角的度数之和为180度。平行四边形容易变形。(2)计算公式 s=ah 5 梯形 (1)特征 只有一组对边平行的四边形。 中位线等于上下底和的一半。 等腰梯形有一条对称轴。 (2)公式 s=(a+b)h/2=mh 6 圆 (1)圆的认识 平面上的一种曲线图形。 圆中心的一点叫做圆心。一般用字母o表示。 半径:连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。一般用r表示。 在同一个圆里,有无数条半径,每条半径的长度都相等。 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用d表示。 同一个圆里有无数条直径,所有的直径都相等。 同一个圆里,直径等于两个半径的长度,即d=2r。

北师大版八年级下册数学[等腰三角形(提高)知识点整理及重点题型梳理]

北师大版八年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 等腰三角形(提高)知识讲解 【学习目标】 1. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性; 2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质,会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图. 3. 理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程. 通过定理的证明和应用,初步了解转化思想,并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题. 【要点梳理】 要点一、等腰三角形的定义 1.等腰三角形 有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形,其中相等的两条边叫做腰,另一边叫做底,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示,在△ABC中,AB=AC,△ABC是等腰三角形,其中AB、AC为腰,BC为底边,∠A是顶角,∠B、∠C是底角. 2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a. 作法:1.作线段BC=a; 2.分别以B,C为圆心,以b为半径画弧,两弧 相交于点A; 3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形 3.等腰三角形的对称性 (1)等腰三角形是轴对称图形; (2)∠B=∠C;

(3)BD=CD,AD为底边上的中线. (4)∠ADB=∠ADC=90°,AD为底边上的高线. 结论:等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴. 4.等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形,有三条对称轴,每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. 要点诠释:(1)等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝 角(或直角).∠A=180°-2∠B,∠B=∠C=180 2 A ?-∠ . (2)等边三角形与等腰三角形的关系:等边三角形是特殊的等腰三角形,等腰三角形不一定是等边三角形. 要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质 性质1:等腰三角形的两个底角相等,简称“在同一个三角形中,等边对等角”. 推论:等边三角形的三个内角都相等,并且每个内角都等于60°. 性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”. 2.等腰三角形中重要线段的性质 等腰三角形的两底角的平分线(两腰上的高、两腰上的中线)相等. 要点诠释:这条性质,还可以推广到以下结论: (1)等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。 (2)等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等. (3)等腰三角形两底角平分线,两腰上的中线,两腰上的高的交点到两腰的距离相等,到底边两端上的距离相等. (4)等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等. 要点三、等腰三角形的判定定理 1.等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成:在一个三角形中,等角对等边. 要点诠释:(1)要弄清判定定理的条件和结论,不要与性质定理混淆.判定定理得到的结论是等腰三角形,性质定理是已知三角形是等腰三角形,得到边和角关系. (2)不能说“一个三角形两底角相等,那么两腰边相等”,因为还未判定它是一个等腰三角形. 2.等边三角形的判定定理 三个角相等的三角形是等边三角形.

等腰三角形知识要点及培优试题教案资料

等腰三角形知识要点及培优试题

等腰三角形性质与判定知识点及精选练习题 知识梳理 知识点1:等腰三角形的性质定理1 (1)文字语言:等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”) (2)符号语言:如图,在△ABC中,因为AB=AC,所以∠B=∠C (3)证明:取BC的中点D,连接AD 在△ABD和△ACD中 ∴△ABD≌△ACD(SSS) ∴∠B=∠C(全等三角形对应角相等) (4)定理的作用:证明同一个三角形中的两个角相等。 知识点2:等腰三角形性质定理2 (1)文字语言:等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线, 底边上的高,互相重合(简称“三线合一”) (2)符号语言:∵AB=AC,BD=DC∴∠1=∠2,AD⊥BC (3)定理的作用:可证明角相等,线段相等或垂直。 说明:在等腰三角形中经常添加辅助线,虽然“顶角的平分线,底 边上的高、底边上的中线互相重合,如何添加要根据具体情况来定, 作时只作一条,再根据性质得出另两条”。 知识3:等腰三角形的判定定理 (1)文字语言:如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所 对的边也相等(简写为“等角对等边”) (2)符号语言:在△ABC中,∵∠B=∠C ∴AB=AC (3)证明:过A作AD⊥BC于D,则∠ADB=∠ADC=90°。 在△ABD和△ACD中 ∴△ABD≌△ACD (AAS)∴AB=AC (4)定理的作用:等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化 关系,它是证明线段相等的重要定理,也是把三角形中角的相等关系转化 为边的相等关系的重要依据,是本节的重点。 说明:①本定理的证明用的是作底边上的高,还有其他证明方法(如 作顶角的平分线)。 ②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种:1、利用定 义 2、利用定理。 知识点4:等腰三角形的推论 1. 推论:推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对 的直角边等于斜边的一半。 知识点5:等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等 腰三角形问题的辅助线,由于这条线可以把顶角和底边折半,所以常通过 它来证明线段或角的倍分问题,在等腰三角形中,虽然顶角的平分线、底 边上的高、底边上的中线互相重合,添加辅助线时,有时作哪条线都可 以,有时需要作顶角的平分线,有时则需要作高或中线,这要视具体情况 来定。 一、知识点回顾 等腰三角形的性质: 仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除谢谢- 2 -

三角形的证明知识点汇总

百度文库- 让每个人平等地提升自我 1 三角形的证明知识点汇总 判定定理简称判定定理的内容性质SSS 三角形分别相等的两个三角形全等 全等三角形对 应边相等、对 应角相等SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 HL(Rt△)斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 知识点2 等腰三角形的性质定理及推论 内容几何语言条件与结论 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两底角相等。 简述为:等边对等角 在△ABC中,若AB=AC,则 ∠B=∠C 条件:边相等,即AB=AC 结论:角相等,即∠B=∠C 推论等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线及底边上的 高线互相垂直,简述为:三 线合一 在△ABC,AB=AC,AD⊥BC, 则AD是BC边上的中线,且 AD平分∠BAC 条件:等腰三角形中已知顶点的 平分线,底边上的中线、底边上 的高线之一 结论:该线也是其他两线 等腰三角形中的相等线段:1、等腰三角形两底角的平分线相等;2、等腰三角形两腰上的高相等;3、两腰上的中线相等;4、底边的中点到两腰的距离相等 知识点3 等边三角形的性质定理 内容 性质定理等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60度 解读(1)等边三角形是特殊的等腰三角形。它具有等腰三角形的一切性质 (2)等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线“三线合一” 【易错点】所有的等边三角形都是等腰三角形,但不是所有的等腰三角形都是等边三角形 知识点4 等腰三角形的判定定理 内容几何语言条件与结论 等腰三角形的判定定理有两个角相等的三角形是等腰 三角形,简述为:等校对等边 在△ABC中,若∠B=∠C则AC=BC 条件:角相等,即∠B=∠C 结论:边相等,即AB=AC 解读对“等角对等边”的理解仍然要注意,他的前提是“在同一个三角形中” 拓展判定一个三角形是等腰三角形有两种方法:1、利用等腰三角形;2、利用等腰三角形的判定定理,即“等角对等边” 知识点5 反证法 概念证明的一般步骤

人教版数学中考知识点梳理-等腰、等边即直角三角形

第16讲等腰、等边及直角三角形 一、知识清单梳理 知识点一:等腰和等边三角形关键点拨与对应举例 1.等腰三角形(1)性质 ①等边对等角:两腰相等,底角相等,即AB=AC ∠B=∠C; ②三线合一:顶角的平分线、底边上的中线和底 边上的高 互相重合; ③对称性:等腰三角形是轴对称图形,直线AD是 对称轴. (2)判定 ①定义:有两边相等的三角形是等腰三角形; ②等角对等边:即若∠B=∠C,则△ABC是等腰三角形. (1)三角形中“垂线、 角平分线、中线、等腰” 四个条件中,只要满足其 中两个,其余均成立. 如:如左图,已知AD⊥ BC,D为BC的中点,则三 角形的形状是等腰三角 形. 失分点警示:当等腰三角 形的腰和底不明确时,需 分类讨论. 如若等腰三 角形ABC的一个内角为 30°,则另外两个角的度 数为30°、120°或 75°、75°. 2.等边三角形(1)性质 ①边角关系:三边相等,三角都相等且都等于 60°. 即AB=BC=AC,∠BAC=∠B=∠C=60°; ②对称性:等边三角形是轴对称图形,三条高线(或角平分线或 中线)所在的直线是对称轴. (2)判定 ①定义:三边都相等的三角形是等边三角形; ②三个角都相等(均为60°)的三角形是等边三角形; ③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB=AC, 且∠B=60°,则△ABC是等边三角形. (1)等边三角形是特殊 的等腰三角形,所以等 边三角形也满足“三线 合一”的性质. (2)等边三角形有一个 特殊的角60°,所以 当等边三角形出现高 时,会结合直角三角 形30°角的性质,即 BD=1/2AB. 例:△ABC中,∠B=60°,

小升初几何知识点梳理总结

小升初几何知识点梳理总结 1 线、角 1直线没有端点,没有长度,可以无限延伸。 2射线只有一个端点,没有长度,射线可以无限延伸,并且射线有方 向。 3在一条直线上的一个点可以引出两条射线。4线段有两个端点,可以测量长度。圆的半径、直径都是线段。 5 角的两边是射线,角的大小与射线的长度没有关系,而是跟角的两边叉开的大小有关,叉得越大角就越大。 6几个易错的角边关系: (1)平角的两边是射线,平角不是直线。 (2)三角形、四边形中的角的两边是线段。 (3)圆心角的两边是线段。 7两条直线相交成直角时,这两条直线叫做互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线,这两条直线的交点叫做垂足。 8从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度叫做点到直线的距 离。 9在同一个平面上不相交的两条直线叫做平行线 2 三角形

1 任何三角形内角和都是180 度。 2三角形具有稳定的特性,三角形两边之和大于第三边,三角形两边之差小于第三边。 3 任何三角形都有三条高。 4 直角三角形两个锐角的和是90 度。 5两个三角形等底等高,则它们面积相等。 6面积相等的两个三角形,形状不一定相同。 3正方形面积 1正方形面积:边长X边长 2.正方形面积:两条对角线长度的积+ 2 4三角形、四边形的关系 1两个完全一样的三角形能组成一个平行四边形。 2 两个完全一样的直角三角形能组成一个长方形。 3两个完全一样的等腰直角三角形能组成一个正方形。 4两个完全一样的梯形能组成一个平行四边形。 5圆把一个圆割成一个近似的长方形,割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半,宽相当于圆的半径。则长方形的面积等于圆的面积,长方形的周长比圆的周长增加r x 2。 半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。

等腰三角形知识点

等腰三角形 【知识精读】 (-)等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理:等腰三角形有两边相等; 定理:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。 推论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边,这就是说,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形; 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系,由两边相等推出两角相等,是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等,两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 (二)等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”。) 推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系,它是证明线段相等的重要定理,也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据,是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问

题的辅助线,由于这条线可以把顶角和底边折半,所以常通过它来证明线段或角的倍分问题,在等腰三角形中,虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合,添加辅助线时,有时作哪条线都可以,有时需要作顶角的平分线,有时则需要作高或中线,这要视具体情况来定。 【分类解析】 例1. 如图,已知在等边三角形ABC 中,D 是AC 的中点,E 为BC 延长线上一点,且CE =CD ,DM ⊥BC ,垂足为M 。求证:M 是BE 的中点。 E 例2. 如图,已知:AB C ?中,AC AB =,D 是BC 上一点,且CA DC DB AD ==,,求BAC ∠的度数。 A B C D

2019小升初数学七大专题知识点复习汇总

2019小升初数学七大专题知识点复习汇总 专题一:计算 我一直强调计算,扎实的算功是学好数学的必要条件。聪明在于 勤奋,知识在于积累。积累一些常见数是必要的。如 1/8,1/4,3/8,1/2,5/8,3/4,7/8的分数,小数,百分数,比的互化要 脱口而出。100以内的质数要信手拈来。1-30的平方,1-10的立方的 结果要能提笔就写。对于整除的判定仅仅积累2,3,5的是不够的。9 的整除判定和3的方法是一样的。还有就是2和5的n次方整除的判 定只要看末n位。如4和25的整除都是看末2位,末2位能被4或25整除则这个数能够被4或25整除。8和125就看末3位。7,11,13 的整除判定就是割开三位。前面部分减去末三位就能够了如果能整除7或11或13,这个数就是7或11或13的倍数。这其实是判定1001的 方法。此外还有一种方法是割个位法,望同学们至少掌握20以内整除 的判定方法。 接下来讲下数论的积累。1搞清楚什么是完全平方数,完全平方 数个位只能是0,1,4,5,6,9.奇数的平方除以8余1,偶数的平方 是4的倍数。要掌握如何求一个数的约数个数,所有约数的和,小于 这个数且和这个数互质数的个数如何求。如何估计一个数是否为质数。 计算分为一般计算和技巧计算。到底用哪个呢?首先基本的运算 法则必须很熟悉。不要被简便运算假象迷惑。这里重点说下技巧计算。首先要熟练乘法和除法的分配律,其次要熟练a-b-c=a-(b+c)a-(b- c)=a-b+c 还有连除就是除以所有除数的积等。再者对于结合交换律都应该 很熟悉。分配律有直接提公因数,和移动小数点或扩大缩小倍数来凑 出公因数。甚至有时候要强行创造公因数。再单独算尾巴。 分数的裂项:裂和与裂差等差数列求和,平方差,配对,换元,拆项约分,等比定理的转化等都要很熟悉。还有就是放缩与估计都要

知识点26 等腰三角形与等边三角形2019

一、选择题 12.(2019·烟台)如图,AB 是O e 的直径,直线DE 与O e 相切于点C ,过点A ,B 分别作AD DE ⊥,BE DE ⊥, 垂足为点D ,E ,连接AC ,BC .若AD = 3CE =,则?AC 的长为( ). A B C D 【答案】D 【解题过程】连接OC , 因为AD DE ⊥,BE DE ⊥, 所以90ADC CEB ∠=∠=? 所以90DAC ACD ∠+∠=? 因为AB 是O e 的直径, 所以90ACB ∠=?, 所以90BCE ACD ∠+∠=?, 所以BCE DAC ∠=∠, 在△ADC 与△CED , 因为90ADC CEB ∠=∠=?,BCE DAC ∠=∠ 所以△ADC ∽△CED , 所以 BC CE AC AD ===在Rt △ACB 中,sin BC BAC AC ∠= = 所以60BAC ∠=?, 又因为OA OC =, 所以△AOC 是等边三角形, 所以60ACO ∠=?, 因为直线DE 与 O e 相切于点C , 所以OC DE ⊥, 因为AD DE ⊥,OC DE ⊥, 所以AD//OC , 所以60DAC ACO ∠=∠=?, 所以9030ACD DAC ∠=?-∠=?, 所以2AC AD ==, 所以△AOC 是等边三角形, 所以OA AC ==,60AOC ∠=?, O D E B A

所以? AC 的长为602323 ππ??=. 8.(2019·娄底)如图(2),边长为23的等边△ABC 的内切圆的半径为( ) A. 1 B . 3 C . 2 D . 23 【答案】A 【解析】由等边三角形的内心即为中线,底边高,角平分线的交点,则在直角三角形OCD 中,从而解得. 如图(2-1),设D 为⊙O 与AC 的切点,连接OA 和OD , ∵等边三角形的内心即为中线,底边高,角平分线的交点, ∴OD ⊥AC ,∠OAD =30°,OD 即为圆的半径. 又∵23AC =, ∴11 23322 AD AC = =?= ∴在直角三角形OAD 中, 3 tan tan 303 OD OAD AD ∠=?= ==, 代入解得:OD =1. 故答案为 1. 1.(2019·潍坊)如图已知∠AOB ,按照以下步骤作图: ①以点O 为圆心,以适当的长为半径作弧,分别交∠AOB 的两边于C ,D 两点,连接CD . ②分别以点C ,D 为圆心,以大于线段OC 的长为半径作弧,两弧在∠AOB 内交于点E ,连接CE ,DE . ③连接OE 交CD 于点M . 下列结论中错误的是() A .∠CEO =∠DEO B .CM =MD C .∠OC D =∠ECD D .S 四边形OCED = 1 2 CD ·OE

三角形知识点总结

三角形知识点总结 一、基础知识 1、三角形的定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.(三角形有三条边,三个角,三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的角;相邻两边的公共端点是三角形的顶点) 2、三角形的表示 三角形ABC用符号表示为△ABC,三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示,AC可用b表示,BC可用a表示.三个顶点用大写字母A,B,C来表示。 注意:(1)三条线段要不在同一直线上,且首尾顺次相接;(2)三角形是一个封闭的图形;(3)△ABC是三角形ABC的符号标记,单独的△没有意义 3、三角形的分类:(1)按边分类:等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 (2)按角分类:锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 4、三角形的主要线段的定义: (1)三角形的中线:三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段. 如图:(1)AD是△ABC的BC上的中线.(2)BD=DC= BC. 注意:①三角形的中线是线段; ②三角形三条中线全在三角形的部且交于三角形部一点(重心) ③中线把三角形分成两个面积相等的三角形. (2)三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 如图:(1)AD是△ABC的∠BAC的平分线.(2)∠1=∠2= ∠BAC. 注意:①三角形的角平分线是线段; ②三角形三条角平分线全在三角形的部且交于三角形部一点(心) ③角平分线上的点到角的两边距离相等 (3)三角形的高:从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段. 如图:①AD是△ABC的BC上的高线;②AD⊥BC于D;③∠ADB=∠ADC=90°. 注意:①三角形的高是线段; ②锐角三角形的三条高的交点在三角形部;钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部:直角三角形的三条高的交点在直角顶点上。三角形三条高所在直线交于一点(垂心) ③由于三角形有三条高线,所以求三角形的面积的时候就有三种(因为高底不一样)(4)三角形的中垂线:过三角形一条边中点所做的垂直于该条边的线段 如图:DE是△ABC的边BC的中垂线;DE⊥BC于D;BD=DC 注意:①三角形的中垂线是直线; ②三角形的三条中垂线交于一点(外心) 小总结:心:三条角平分线的交点,也是三角形切圆的圆心. 性质:到三边距离相等. 外心:三条中垂线的交点,也是三角形外接圆的圆心. 性质:到三个顶点距离相等. 重心:三条中线的交点. 性质:三条中线的三等分点,到顶点距离为到对边中点距离的2倍. 垂心:三条高所在直线的交点.

特殊三角形基本知识点整理讲解学习

特殊三角形的定义、性质及判定

等腰三角形 1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形;三条边都相等的三角形叫做等边三角形,等边三角形是特殊的等腰三角形。 2. 等腰三角形的性质: (1)等腰三角形的两个底角相等; (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。3. 等腰三角形的判定: 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。 4. 等边三角形的性质: 等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°。 5. 等边三角形的判定: (1)三个角都相等的三角形是等边三角形; (2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 6. 含30°角的直角三角形的性质: 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 等边三角形 (1)等边三角形的定义:三条边都相等的三角形叫等边三角形. (2)等边三角形的性质: ①等边三角形的三个角都相等,并且每个角都是60°; ②等边三角形具有等腰三角形的所有性质,并且每一条边上都有三线合一,因此等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴;而等腰三角形只有一条对称轴.(3)等边三角形的判定 ①三条边都相等的三角形是等边三角形; ②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形; ③有两个角都等于60°的三角形是等边三角形; ④三个角都相等的三角形是等边三角形. (4)两个重要结论 ①在直角三角形中,如果一个锐角是30°,那么它所对的直角边等于斜边的

一半. ②在直角三角形中,如果一条直角边是斜边的一半,那么它所对的锐角等于30°. 两个重要结论的数学解释:Array已知:如图4,在△ABC中,∠C=90°,则: ①如果AB=2BC,那么∠A=30°; ②如果∠A=30°,那么AB=2BC. 直角三角形 1. 认识直角三角形。学会用符号和字母表示直角三角形。 按照角的度数对三角形进行分类:如果三角形中有一个角是直角,那么这个三角形叫直角三角形。通常用符号“Rt△”表示“直角三角形”,其中直角所对的边称为直角三角形的斜边,构成直角的两边称为直角边。如果△ABC是直角三角形,习惯于把以C为顶点的角当成直角。用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。 如果AB=AC且∠A=90°,显然这个三角形既是等腰三角形,又是直角三角形,我们称之为等腰直角三角形。 2. 掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。 3. 会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。 4. 掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。 5在直角三角形中如果一个锐角是30°,则它所对的直角边等于斜边的一半”。难点: 1在直角三角形中如何正确添加辅助线通常有两种辅助线:斜边上的高线和斜 边上的中线。

小升初中知识点归纳归纳

小升初知识点归纳总结 1.负数:负数是数学术语,指小于0的实数,如?3。 任何正数前加上负号都等于负数。在数轴线上,负数都在0的左侧,所有的负数都比自然数小。负数用负号“-”标记,如?2,?5.33,?45,?0.6等。 2.正数:大于0的数叫正数(不包括0) 若一个数大于零(>0),则称它是一个正数。正数的前面可以加上正号“+”来表示。正数有无数个,其中分正整数,正分数和正无理数。 3.正数的几何意义:数轴上0右边的数叫做正数 4.数轴:规定了原点,正方向和单位长度的直线叫数轴。 所有的实数都可以用数轴上的点来表示。也可以用数轴来比较两个实数的大小。 5.数轴的三要素:原点、单位长度、正方向。 6.圆柱:以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体 即AG矩形的一条边为轴,旋转360°所得的几何体就是圆柱。 其中AG叫做圆柱的轴,AG的长度叫做圆柱的高,所有平行于AG的线段叫做圆柱的母线,DA和D'G旋转形成的两个圆叫做圆柱的底面,DD'旋转形成的曲面叫做圆柱的侧面。

7.圆柱的体积:圆柱所占空间的大小,叫做这个圆柱体的体积。设一个圆柱底面半径为r,高为h,则体积V:V=πr2h ;如S为底面积,高为h,体积为V:V=Sh 8.圆柱的侧面积:圆柱的侧面积=底面的周长*高,S侧=Ch (注:c为πd) 圆柱的两个圆面叫做底面(又分上底和下底);圆柱有一个曲面,叫做侧面;两个底面之间的距离叫做高(高有无数条)。 特征:圆柱的底面都是圆,并且大小一样。 9.圆锥解析几何定义:圆锥面和一个截它的平面(满足交线为圆)组成的空间几何图形叫圆锥。 10.圆锥立体几何定义:以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。该直角边叫圆锥的轴。 11.圆锥的体积:一个圆锥所占空间的大小,叫做这个圆锥的体积。一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3。

等腰三角形知识点+经典例题

第一讲等腰三角形 【要点梳理】 要点一、等腰三角形的定义 1.等腰三角形 有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形,其中相等的两条边叫做腰,另一 边叫做底,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示,在△ABC中,AB=AC,△ABC是等腰三角形,其中AB、AC 为腰,BC为底边,∠A是顶角,∠B、∠C是底角. 2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a. 作法:1.作线段BC=a; 2.分别以B,C为圆心,以b为半径画弧,两弧 相交于点A; 3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形 3.等腰三角形的对称性 (1)等腰三角形是轴对称图形; (2)∠B=∠C; (3)BD=CD,AD为底边上的中线. (4)∠ADB=∠ADC=90°,AD为底边上的高线. 结论:等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴. 4.等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形,有三条对称轴,每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. 要点诠释:(1)等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角).∠A =180°-2∠B,∠B=∠C=180 2A ?-∠. (2)等边三角形与等腰三角形的关系:等边三角形是特殊的等腰三角形,等腰三角形不一定是等边三角形. 要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质 性质1:等腰三角形的两个底角相等,简称“在同一个三角形中,等边对等角”. 推论:等边三角形的三个内角都相等,并且每个内角都等于60°. 性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”. 2.等腰三角形中重要线段的性质 等腰三角形的两底角的平分线(两腰上的高、两腰上的中线)相等. 要点诠释:这条性质,还可以推广到一下结论: (1)等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。

等腰三角形知识点汇总及典型例题

1.主要知识点: 1.在同一三角形中,有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义)。在同一三角形中,有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称:等角对等边) 2.主要性质:  (1).等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。  (2).等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高重合(简写成“等腰三角形的三线合一”)。  (3).等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等)。 3.判定: (1)两边相等的三角形为等腰三角形 (2)两底角相等的三角形为等腰三角形 (3)中线和高合一的三角形为等腰三角形

(4)角平分线和高合一的三角形为等腰三角形 (5)一个三角形,底边上的中垂线是同一条线,可以判定是此三角形是等腰三角形 4.特殊的等腰三角形------等边三角形 4.1定义: 三条边都相等的三角形叫做等边三角形,又叫做正三角形,等边三 角形是特殊的等腰三角形。 (注意:若三角形三条边都相等则 说这个三角形为等边三角形,而一般不称这个三角形为等腰三角形)。 4.2性质: ⑴等边三角形的内角都相等,且均为60度。 ⑵等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互 相重合。 ⑶等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,对称轴是每条 边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。 4.3判定:  ⑴三边相等的三角形是等边三角形(定义)。 ⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形。 ⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

⑷有两个角等于60度的三角形是等边三角形。 4.4反证法: 4.4.1定义:假设命题的结论不成立,然后推导出定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果。 4.4.2一般步骤: 应用反证法证明的主要三步是:否定结论→推导出矛盾→结论成立。 实施的具体步骤是: 第一步,反设:作出与求证结论相反的假设; 第二步,归谬:将反设作为条件,并由此通过一系列的正确推理导出矛盾; 第三步,结论:说明反设不成立,从而肯定原命题成立。 5.直角三角形中,30度锐角的性质: 直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半 典例分析 例1.如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm,求此三角形的周长

小升初数学知识点归纳-图形与几何.doc

【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功,文档内容齐全完整,请放心下载。】 图形与几何 一线和角 (1)线 * 直线 直线没有端点;长度无限;过一点可以画无数条,过两点只能画一条直线。 * 射线 射线只有一个端点;长度无限。 * 线段 线段有两个端点,它是直线的一部分;长度有限;两点的连线中,线段为最短。 * 平行线 在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。 两条平行线之间的垂线长度都相等。 * 垂线 两条直线相交成直角时,这两条直线叫做互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足。 从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。 (2)角 (1)从一点引出两条射线,所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的边。 (2)角的分类 锐角:小于90°的角叫做锐角。 直角:等于90°的角叫做直角。 钝角:大于90°而小于180°的角叫做钝角。 平角:角的两边成一条直线,这时所组成的角叫做平角。平角180°。 周角:角的一边旋转一周,与另一边重合。周角是360°。 二平面图形 1长方形 (1)特征 对边相等,4个角都是直角的四边形。有两条对称轴。 (2)计算公式

c=2(a+b) s=ab 2正方形 (1)特征: 四条边都相等,四个角都是直角的四边形。有4条对称轴。 (2)计算公式 c= 4a s=a2 3三角形 (1)特征 由三条线段围成的图形。内角和是180度。三角形具有稳定性。三角形有三条高。 (2)计算公式 s=ah/2 (3)分类 按角分 锐角三角形:三个角都是锐角。 直角三角形:有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为45度,它有一条对称轴。 钝角三角形:有一个角是钝角。 按边分 不等边三角形:三条边长度不相等。 等腰三角形:有两条边长度相等;两个底角相等;有一条对称轴。 等边三角形:三条边长度都相等;三个内角都是60度;有三条对称轴。 4平行四边形 (1)特征 两组对边分别平行的四边形。 相对的边平行且相等。对角相等,相邻的两个角的度数之和为180度。平行四边形容易变形。(2)计算公式 s=ah 5 梯形 (1)特征

等腰三角形知识点总结

等腰三角形知识点总结 1、复习上次课的内容同底数幂相乘底数不变,指数相加。幂的乘方,底数不变,指数相乘。积的乘方,各因数分别乘方。 2、等腰三角形的性质 1、有关定理及其推论定理:等腰三角形有两边相等;定理:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。 推论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边,这就是说,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形; 三、等腰三角形的判定 1、有关的定理及其推论定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”。)推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2:有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。 推论3:在直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2、定理及其推论的作用。

等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系,它是证明线段相等的重要定理,也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据,是本节的重点。 例 1、如图,已知在等边三角形ABC中,D是AC的中点,E为BC 延长线上一点,且CE=CD,DM⊥BC,垂足为M。求证:M是BE的中点。 课堂练习 1、如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36,B D、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线,且相交于点F,则图中的等腰三角形有() A、6个 B、7个 C、8个 D、9个例 2、如图,已知:中,,D是BC上一点,且,求的度数。 课堂练习 2、已知:如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点, DE⊥AB,DF⊥AC,E、F分别是垂足。求证:AE=AF。 教务处检查签字: 日期: 年月日课后评价

小升初试题几何篇含解析

小升初名校真题专项测试-----几何篇 引言:随着小升初考察难度的增加,几何问题变越来越难,一方面,几何问题仍是中学考察的重点,各学校更喜欢几何思维好的学生,这样更有利于小学和初中的衔接;另一方面几何问题由于类型众多,很多知识点需要提前学,这就加快了学生知识的综合运用,而这恰恰是重点中学学校所期望的。所以近几年的几何难度年年在增加,很多学校的考题可以说超出小学的范围,本节主要是通过分析例题来讲解其中的相关知识点和解题思维。 测试时间:15分钟 姓名_________ 测试成绩_________ 1、如图,在三角形ABC 中,,D 为BC 的中点,E 为AB 上的一点,且BE=13AB,已知四边形EDCA 的面积是35,求三角形ABC 的面积. 【解】根据定理:ABC BED ??=3211??=6 1,所以四边形ACDE 的面积就是6-1=5份,这样三角形35÷5×6=42。 2、四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方(如图)如果小正方形面积是1平方米,大正方形面积是5平方米,那麽直角三角形中,最短的直角边长度是______米. 【解】小正方形面积是1平方米,大正方形面积是5平方米,所以外边四个面积和是5-1=4,所以每个三角形的面积是1,这个图形是“玄形”,所以长直角边和短直角边差就是中间正方形的边长,所以求出短边长就是1。 3、如图在长方形ABCD 中,△ABE 、△ADF 、四边形AECF 的面积相等。△AEF 的面积是长方形ABCD 面积的______ (填几分之几)。 。 【解】连接AC ,首先△ABC 和△ADC 的面积相等,又△ABE 和△ADF 的面积相等,则△AEC 和△AFC 的面积也相等且等于ABCD 的1/6,不难得△AEC 与△ABE 的面积之比为1/2,由于这两个三角形同高,则EC 与BE 之比为1/2,同理FC 与DF 之比也为1/2。从而△ECF 相当于ABCD 面积的1/18,而四边形AECF 相当于ABCD 面积的1/3,从而答案为1/3-1/18=5/18。 4、如图1,一个长方形被切成8块,其中三块的面积分别为12,23,32,则图中阴影部分的面积为_____ 【解】设图示两个三角形的面积分别为a 和b ,因为△AED 面积等于ABCD 的一半,则△ABE 加上△DEC 的面积也等于ABCD 的一半。而△FDC 的面积也等于ABCD 的一半,即23+a+32+12+b=a+b+阴影面积,可见阴影面积=23+32+12=67。

小升初数学几何的初步知识总结及平面图形知识考点

小升初数学几何的初步知识总结及平面图形知识考 点 线和角 (1)线 *直线 直线没有端点;长度无限;过一点可以画无数条,过两点只能画一条直线。 *射线 射线只有一个端点;长度无限。 *线段 线段有两个端点,它是直线的一部分;长度有限;两点的连线中,线段为最短。 *平行线 在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。 两条平行线之间的垂线长度都相等。 *垂线 两条直线相交成直角时,这两条直线叫做互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足。 从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。 (2)角

(1)从一点引出两条射线,所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的边。 (2)角的分类 锐角:小于90°的角叫做锐角。 直角:等于90°的角叫做直角。 钝角:大于90°而小于180°的角叫做钝角。 平角:角的两边成一条直线,这时所组成的角叫做平角。平角180°。 周角:角的一边旋转一周,与另一边重合。周角是360°。 小升初数学平面图形知识考点复习 1、长方形 (1)特征 对边相等,4个角都是直角的四边形。有两条对称轴。 (2)计算公式 c=2(a+b) s=ab 2、正方形 (1)特征: 四条边都相等,四个角都是直角的四边形。有4条对称轴。 (2)计算公式 c=4a s=a2 3、三角形

(1)特征 由三条线段围成的图形。内角和是180度。三角形具有稳定性。三角形有三条高。 (2)计算公式 s=ah/2 (3)分类 按角分 锐角三角形:三个角都是锐角。 直角三角形:有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为45度,它有一条对称轴。 钝角三角形:有一个角是钝角。 按边分 不等边三角形:三条边长度不相等。 等腰三角形:有两条边长度相等;两个底角相等;有一条对称轴。 等边三角形:三条边长度都相等;三个内角都是60度;有三条对称轴。

等腰三角形知识点总结

等腰三角形 一、目标认知 学习目标: 通过观察发现等腰三角形的性质;掌握等腰三角形的识别方法,会用等腰三角形的性质进行简单的计算和证明;理解等腰三角形与等边三角形的相互关系;能够利用等腰三角形的识别方法判断等腰三角形;掌握等边三角形的特征和识别方法;掌握一般文字命题的解题方法 重点: 等腰三角形的性质与判定。 难点: 比较复杂图形、题目的推理证明。 二、知识要点梳理 知识点一:等腰三角形、腰、底边 有两边相等的三角形叫等腰三角形,其中相等的两条边叫腰,第三条边叫底边,两腰的夹角叫顶角,底边和腰的夹角叫底角 如图所示,在△ABC中,AB=AC,则它叫等腰三角形,其中AB、AC为腰,BC为底边,∠A是顶角,∠B、∠C是底角. 知识点二:等腰三角形的性质 1、性质1:等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”). 性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合(简称“三线合一”). 2、这两个性质证明如下: 在△ABC中,AB=AC,如图所示.

作底边BC的高AD,则有 ∴Rt△ABD≌Rt△ACD. ∴∠B=∠C,∠1=∠2.BD=CD. 于是性质1、性质2均得证. 3、说明: (1)①等腰三角形的性质1用符号表示为:∵AB=AC,∴∠B=∠C; ②性质1是等腰三角形的一条重要(主要)性质,也是今后我们证明角相等的又一个重要依据. (2)①性质2实质包含三条性质,符号表示为:∵AB=AC,AD⊥BC,∠1=∠2,∴BD=CD; 或∵AB=AC,BD=CD,∠l=∠2,∴AD⊥BC. ②性质2的用途更为广泛,可以用来证明线段相等,角相等,垂直关系等. (3)等腰三角形是轴对称图形,底边上高(顶角平分线或底边中线)所在直线是它的对称轴,通常情 况只有一条对称轴. 知识点三:等腰三角形的判定定理 1、定理内容及证明 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”),如图所示. 证明:在△ABC中,∠B=∠C,作AD⊥BC于D.则 所以△ABD≌△ACD(AAS). 所以,AB=AC. 2、注意: ①本定理的符号表示为:在△ABC中,∵∠B=∠C,∴AB=AC. ②本定理可以判定一个三角形是等腰三角形,同时也是今后证明两条线段相等的重要依据. 另外,等腰三角形的性质和判定条件和结论正好相反,要注意区分,不要混淆.

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