2020学而思教材讲义高一数学寒假(目标班、尖子班) 高一寒假 第3讲 数列的小伙伴们 教师版 目标班
第3讲数列的小伙伴们
满分晋级
数列3级
等差数列深入
数列2级
数列的小伙伴们
数列1级
与数列的第一次
亲密接触
知识切片
<教师备案>本讲内容分成两部分：3．1等比数列的基本量；3．2等比数列的性质初步．本讲内容较少，可以与上一讲进行一个时间上的均衡．本讲思路是：先从直观上认识等比数列，通过一些
具体的数列感受等比数列并学习等比中项，之后再学习等比数列的通项公式，熟悉通项公
式以及正确计算等比数列的项数．再学习等比数列的求和公式，以及一些简单的性质．希
望把概念分开讲解，分别配例题．国际象棋的故事在暑期指数函数已经讲过了，此处就尽
量不用了，由汉诺塔引入．
等比数列引入
汉诺塔
在印度，有这么一个古老的传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，印度教的主神
大梵天在创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在其中一根柱子上从下到上地放着由大到小的64片黄金圆盘，这就是所谓的汉诺塔（如下图）．不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些圆盘：一次只移动一片
．．．．．．．
，不管在哪根柱子上，小．圆盘
．．
必在大
．．．
圆盘
．．
上面
．．
．当所有的金盘都从梵天放好的那根柱子上移到另外一根上时，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽．故汉诺塔问题又被称为“世界末日问题．”
汉诺塔初始模型
64
63
62
2
1
C
B
A
???
???
要把圆盘移动到另外一根柱子上，至少需要移动多少次呢？设有n个圆盘，要从A移动到C，至少需要移动的次数为
n
a．易知12
n=，时，
12
13
a a
==
，，3
n=的时候，可以考虑先将上面两个小的移到B上，要
2
3
a=次，再将最大的那个移到C上，要1次，最后将B上的两个移到C上，要
2
3
a=次，总共要
2
217
a+=次．
对于一般的n，我们可以类似考虑（如下图）：先将上面1
n-个圆盘移到B上，要
1
n
a
-
次；然后将最大的那个盘子移到C上，要1次移动；最后再将B上的那1
n-个圆盘移到C上，要
1
n
a
-
次．这种方法
需要的次数为
111
121
n n n
a a a
---
++=+．
n－1
1
n
???
???
A B C
22
C
B
A
???
???
n
1
n－1
①②
3.1等比数列基本量计算
n
??????A
B
C
12
③
下面简单说明一下，至少要移动的次数121n n a a -=+．只需要考虑最大的那个圆盘移动到C 上的时
候，此时，比较小的1n -个圆盘必定是图②中的摆放方式，这1n -个圆盘从A 到B 要1n a -次，然后这1n -个盘子移到C 又要1n a -次，因此总共至少要121n a -+次才行． 综上可得到数列{}n a 的递推公式121n n a a -=+，则 232121231212212221222121n n n n n n n a a a a a -----=+=++=+++=
=++
++=- （也可变形为()1121n n a a -+=+，于是()()()2112112121212n n n n n a a a a ---+=+=+==+=．）
假设一秒钟能移动一次，那完成目标需要的时间就是6421-秒，大概是5845亿年，地球是远撑不到那个时候的．
当然，我们不是要探讨地球什么时候毁灭，而是要研究像231222，
，，，这样的数列，比如怎么求和，类似于这样的数列就是等比数列．
考点1：等比数列的概念
1．文字定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母(0)q q ≠表示．
2．符号定义：数列{}n a 中，若1n n a
q a +=（q 为常数，0q ≠），则称{}n a 为等比数列．
<教师备案>对于等比数列定义的详细理解：
① 由于等比数列每一项都可作为分母，故每一项均不为0，因此q 也不为0．
② “从第二项起”是因为首项没有“前一项”．
③ 1n n
a
a +均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意义，同时还要注意公比是每一项与前
一项之比，防止前后次序颠倒．
④ 如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列．这时可以说此数列从第2项起或第3项起是一个等比数列． ⑤ 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与n 无关的常数，但却是不同的常数，这时此数列不是等比数列．
⑥ 常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列．若常数列是各项都为0的数列，它就不是等比数列．当常数列各项不为0时，是等比数列．
知识点睛
【例1】等比数列的认识
下列数列是等比数列吗?如果是，求出公比，如果不是说明理由．
①1010
，，，，；②2222
，，，，；③1248
--
，，，，；④39183672
，，，，，【追问】等比数列是不是一定是单调的？
【解析】①④不是等比数列，②③是等比数列．
①的项中有0，④此数列从第2项起是一个等比数列．②1
q=，③2
q=-．
【追问】主要是希望学生通过一些等比数列的例子探索一下等比数列的单调性，不涉及等比数列的通项公式．
1
q=时，等比数列是常数列，不单调性；
q<时，等比数列一定是正负交替的，这时数列一定不单调，如1248
--
，，，，；
1
q>，
1
a>时数列单调增加，如1248
，，，，；
1
q>，
1
a<时，数列单调递减，如1248
----
，，，，；
01
q
<<，
1
a>时，数列单调递减，如
11
1
24
，，，；
01
q
<<，
1
a<时，数列单调递增，如
1
1
24
1
---
，，，．
考点2：等比数列的通项公式
已知等比数列{}n a，首项为1a，公比为q，第n项为n a，通项公式：1
1
n
n
a a q-
=．
1
1
n
n
a a q-
=
<教师备案>等比数列通项公式的推导：
可以直接迭代，根据等比数列定义有221
1221
n n
n n n
a a q a q a q a q
--
--
=?=?==?=?．也可以用叠乘法进行推导：
根据等比数列的定义，可以得到2
1
a
q
a
=，3
2
a
q
a
=，4
3
a
q
a
=，…，
1
n
n
a
q
a
-
=．
把以上1
n-个等式左右两边分相乘得
1
3
24
1231
n
n
n
a a
a a
q q q q
a a a a
-
-
????=????
个
，
经典精讲
知识点睛
第n项
首项项数减1
即
11
n n
a q a -=，11n n a a q -=．
【例2】 等比数列的基本量与通项公式
⑴已知数列{}n a 的通项公式为23n n a =?，则首项1a =_____，公比q =_____．
⑵等比数列48
239，，，的第4项4a =_______，第20项20a =___________．
⑶等比数列11
13242
，，，，的第5项为________，项数n =_____．
⑷已知等比数列{}n a 中，33a =，10384a =，则该数列的通项n a =___________．
【解析】 ⑴16a =，3q =．
⑵19
1622273??? ???
，；19
420422821622233393273q a a ??
÷===?=
=? ???，，，． ⑶48，；22-到52共8项，或是写出通项公式131
224n n n a --=?=知83232-=．54a =．
⑷332n -?；根据题意得：21913384a q a q ?=??=?? 得到1342
a q ?=???=?，∴13
32324n n n a --=?=?．
<教师备案>等比数列的求和中一个关键的问题是正确确定数列的项数，等比数列的公比的幂次成等差
数列，故等比数列的项数求法用到等差数列的项数求法，这里的挑战五分钟是为了熟悉项数的求法，避免错误．题目数量较少，用不到五分钟．
【挑战五分钟】⑴等比数列1
2551125
，，，，的项数为______．
⑵等比数列333327，，，，的项数为_______．
⑶等比数列1111
1248256--，，，，，
的项数为______． ⑷等比数列11
16442---，，，，的项数为______．
⑸等比数列11111
36122432n
?，，，，，的项数为______．
⑹等比数列473103333n +，
，，，的项数为_______． ⑺等比数列4128322n +，
，，，的项数为_______． ⑻等比数列
3133n ，，，，的项数为______． 【解析】 ⑴6；⑵6；⑶9；⑷9；
⑸01111323232n
???，，，，共1n +项； ⑹3(3)103(2)10310333n ?-+?-++，
，，，共有(3)14n n --+=+项； ⑺201211221222n ?+?+?+，，，，共21n +项．
经典精讲
⑻
112
222
3333
n
-
，，，，，共有22
n+项．
已知数列{}n a是等比数列，28
a=，
4
32
a=，则公比q=_______．
【解析】2±；
由等比数列的通项公式
1
8
a q?=，3
1
32
a q?=，∴24
q=，2
q=±．
【点评】如果目测的话，很可能会认为公比是2，漏掉2-．
考点3 ：等比数列的求和公式
等比数列{}n a的前n项和为n S，有前n项和公式：
1
1
1
1
(1)
1
11
n
n n
na q
S a a q
a q
q
q q
=
?
?
=-
-
?
=≠
?--
?
，
，
1
q=时，
1
n
S na
=；
1
q≠时，1
1
)
11
n
n
n
a a q
a q
S
q q
-
-
==
--
<教师备案>等比数列前n项和公式的推导：（一般用得多的是前面的求和公式）法一：
由等比数列的定义知
2132121
n n n n
a a q a a q a a q a a q
---
====
，，，，，将这n个等式的两边分别相加得：
23121
()
n n
a a a a a a q
-
+++=+++，即
1
()
n n n
S a S a q
-=-，整理得
111
(1)n
n n
S q a a q a a q
-=-=-，
当1
q≠时，1(1)(2)
1
n
n
a q
S n
q
-
=
-
≥，显然此式对1
n=也成立；
当1
q=时，
1
n
S na
=．
法二：错位相减法（会在春季同步的求和中再次遇到）
21
1111
n
n
S a a q a q a q-
=++++，
将上式两边同乘以q得：23
1111
n
n
qS a q a q a q a q
=++++，
知识点睛
{}
n
a是常数列
{}
n
a非常数列
首项项数
两式相减得：11(1)n n q S a a q -=-，以下讨论同法一．
<教师备案>注意等比数列的求和公式对1q =的情况需要单独讨论！
当1q ≠时，将前n 项和公式整理成1(1)1n n a q S q -=-111n
a a q q -=-11111n a a q q q q
=-≠--，，
即等比数列的前n 项和公式一定有n n S c cq =-的形式，给出等比数列的前n 项和公式可以快速看出公比q ，且n q 前面的系数与常数项互为相反数，由此可以快速解决例4⑷⑸． 例：等比数列{}n a 的前n 项和3n n S r =+，则3q =，1r =-；
等比数列{}n a 的前n 项和13n n S r +=+，则3q =，整理一下得33n n S r =?+，故3r =-； 等比数列{}n a 的前n 项和213n n S r +=+，则39n n S r =?+，有9q =，且3r =-．
这个结论可以这么理解：12n n n a S S n -=-，≥；这样的式子无法算出1a ，故1a 常常出问题，见易错门诊；要想1a 不成问题，希望110a S S =-成立，故希望00S =，即得n n S c cq =-．
【铺垫】⑴（2010东城一模文11）设{}n a 是等比数列，若141,8a a ==，则q = ，数列{}n a 的
前6项的和6S = ．
⑵ 已知数列{}n a 是等比数列，前n 项和记为n S ，132a q ==，，则6S =_______． ⑶ 等比数列4816512，，，，的和为_______．
【解析】 ⑴ 2,63；3
412a a q q =?=；661(12)
6312
S ?-==-．
⑵ 189；()
6631218912
S -=
=-； ⑶ 1020；此等比数列的公比为2，可直接用公式145122
1020112
n n a a q S q --?=
==--； 也可算出项数为8，得84(12)
102012
n S -==-．
【例3】 等比数列的前n 项和
⑴等比数列111
48256
，，，的和为_______．
⑵设4710310()22222n f n +=+++++（n ∈N ），则()f n 等于（ ）
A ．()2817n -
B ．()12817n +-
C ．()32817n +-
D ．()42817
n +-
⑶已知数列{}n a 是等比数列，前n 项和记为n S ，若12a =，公比3q =，则使得26n S =的
项数n =________． ⑷已知等比数列{}n a 的前n 项和为112n
n S ??
=- ???
，则1a =______，n a =_______．
⑸
已知等比数列{}n a 的前n 项和为11
36
n n S x -=?-，则x 的值为（ ）
A ．
13
B ．13-
C ．
12
D ．12-
经典精讲
⑹
（目标班专用）已知等比数列{}n a 中，332a =
，39
2
S =，求首项1a 和公比q ． 【解析】 ⑴
127
256； ⑵ D ；
473102222n +，，，，构成以2为首项，8为公比的等比数列，且共有4n +项，
故44
2(18)2()(81)187
n n f n ++-==--．
⑶ 3；由等比数列的前n 项和公式1(1)2(13)
26113n n n a q S q -?-=
==--，3n =． ⑷12n -；1112a S ==-，1
2
q =，故1
111
222n n n
a -??=-?=-
?
??． ⑸ C ；
解法一：当0n =时，00S =，即
1036
x -=，12x =∴
解法二：1136n n S x -=?-∵，11
6
a x =-∴，22a x =，36a x =，
由中项公式得2
213a a a =，即21466x x x ??=- ???，解得12x =或0x =（舍），∴12x =
解法三：()
1111111n n n a q a a S q q q q -=
=
?----，由定义形式可知，136x =．1
2x =．
⑹ 3123122933
3222S a a a a a q q
=++=?+==+
化简得2210q q --=，解得1
2
q =-或1q =；又1232a q =，
得1312a q ==，或16a =，1
2
q =-．
【点评】⑹一般来说，对于23S S ，我们没必要用求和公式去求，这样也省去讨论1q =的麻烦．
<教师备案>已知n S 求n a 时，不管是等差数列还是等比数列，或者其它数列，都要注意1a 单独讨论．对
第1题，因为00S ≠，故数列{}n a 是从第2项开始才是等比数列．
等比数列的求和中，注意1q =与1q ≠时，公式是大不相同的，需要分别讨论．
1．已知数列{}n a 的前n 项和3n n S =，求通项n a ． 【解析】 当1n =时，113a S ==；
当2n ≥时，1113323n n n n n n a S S ---=-=-=?． 故1
31
232n n n a n -=?=???
，，≥
2．求21n S a a a =+++
+（其中a 为常数）
． 【解析】 当0a =时，1S =；
当1a =时，1S n =+；
当1a ≠时，1
11n a S a +-=-．
11
1111n n a S a a a
++=??
=?-≠?
-?∴
<教师备案> 例4介绍较为复杂的等比数列基本量的计算，在同步班中等比数列的基本量只做课前回
顾，不再展开，例4⑵的【追问】会在春季同步时作为性质展开，此处可作为一个思考的问题．
【例4】 等比数列的基本量综合
⑴数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则数列2
{}n
a 的前n 项和为（ ） A ．()221n - B ．21(21)3n - C ．41n - D ．1
(41)3
n -
⑵（2012年丰台区高三一模数学理10）已知等比数列{}n a 的首项为1，若12342a a a ，，成
等差数列，则数列1n a ??
????
的前5项和为______．
【追问1】已知数列{}n a 为等比数列，公比为q （1q ≠），则数列1n a ??????
，{}2
n a ，{}
(0)n n a a >，
{}lg (0)n n a a >，{}2n
a 中哪些是等比数列？是等比数列的，公比为多少？
【追问2】已知数列{}n a ，{}n b 都为等比数列，公比分别为12q q ，，则数列{}n n a b +，{}n n a b ，
n n a b ??
????
是否为等比数列？是等比数列的，公比为多少？ 如果12q q =，数列{}n n a b +是否为等比数列？
⑶
设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =，若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k 等于（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 ⑷（目标班专用）设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ．若12n n n S S S ++，，成等差
数列，则q 的值为_____．
【解析】 ⑴ D ；
由21n n S =-知，12n n a -=．故214n n
a -=，数列2
{}n a 是公比为4，首项为1的等比数列， 故它的前n 项和为141(41)143
n n
-=--．
⑵ 3116
；
设数列{}n a 的公比为q ，则21344a a a =+，即244q q =+，解得2q =，
所以()1
*112n n n a -??=∈ ???N ，前5项的和为5
11312
11612
??- ???=-．
追问1：
数列1
n
a
??
??
??
，{}2n a，{}(0)
n n
a a>都为等比数列，公比分别为2
1
q q
q
，，；
{}
lg(0)
n n
a a>不是等比数列，是等差数列，公差为lg q；
{}2n a既不是等比数列，也不是等比数列．
追问2：
数列{}
n n
a b，n
n
a
b
??
??
??
是等比数列，公比分别为1
12
2
q
q q
q
，；
数列{}
n n
a b
+在
12
q q
≠时一定不是等比数列；
在
12
q q
=时，可能不是等比数列，但如果数列{}
n n
a b
+中各项都非零的话，一定是等比数列，公比为
1
q．如：22
n n
n n
a b
==-
，不是等比数列．
⑶B；
2
12
k k
a a a
=，即[][]
2
111
(1)(21)
a k d a a k d
+-=+-．
由
1
9
a d
=得：22
(8)9(28)
k d d k d
+=+，由0
d≠得：2
(8)18(4)
k k
+=+，即2280
k k
--=，故4
k=或2
k=-（负值舍去）．
⑷2-；
解法一：由题意知
12
2
n n n
S S S
++
=+，∴
12
n n n n
S S S S
++
-=-，即
112
n n n
a a a
+++
-=+，
∴
12
2
n n
a a
++
-=，∴2
1
2
n
n
a
a
+
+
=-
解法二：由题意知
12
2
n n n
S S S
++
=+；
①若1
q=，有
111
2(1)(2)
na n a n a
=+++，因为
1
a≠，故有223
n n
=+，这不可能；
②若1
q≠，则有
12
111
(1)(1)(1)
2
111
n n n
a q a q a q
q q q
++
---
?=+
---
，由0
q≠可化简得：
220
q q
+-=，解得2
q=-或1
q=（舍去）．
<教师备案>和等差数列类似，等比数列的题目只要知道
1
a和q后，都可以通过这两个基本量的各种运算来求解．同样的如果总是生搬基本公式的话，计算量会很大，准确率会降低，因此我们
还需要学习一些省时省事的小技巧，即等比数列的一些简单性质．当然也不能舍本逐末，
等比数列的基本量的基础运算还是最重要的，性质只是辅助．基本概念明白透彻了，性质
也会更容易理解．
学习等比数列的性质，可以和等差数列的性质对照引入．
考点4：等比数列的性质
3.2等比数列性质初步
1．等比中项：三个数x ，G ，y 组成等比数列，G 叫做x ，y 的等比中项．
如果G 是x 和y 的等比中项，则2G xy =．
2．等比数列{}n a 的主要性质：
⑴若{}n a 是等比数列，则n m n m a a q -=?．
⑵若{}n a 是等比数列，m ，n ，p ，t *∈N ，当m n p t +=+时，m n p t a a a a ?=?， 特别地：当2m n p +=时，2m n p a a a ?=．
当m n t +=+时，m n p t a a a a ?=?，
特别地：当2m n p +=时，2m n p a a a ?=．
⑶若{}n a 是等比数列，则下标成等差数列的子列构成等比数列．n a ，n m a +，2n m a +，为等比数列，公比为m q ．
<教师备案>这一讲对等比数列的性质只学习它常用的几条，其它性质我们还会在春季同步班重点学习．
对性质的简单证明如下：
⑴1111n m n m n m n m a a q a q q a q ----=?=??=?． ⑵当m n p t +=+时，
m n a a ?1111m n a q a q --=???211m n a a q +-=??211p t a a q +-=??1111p t a q a q --=???p t a a =?．
特别地：当2m n p +=时，2m n p p p a a a a a ?=?=． ⑶1
1n n a a q
-=?，1
1n m n m a a q
+-+=?，21
21n m n m a a a
+-+=?，1
111n m m n m n n a a q q a a q
+-+-?==?， 21
211
1n m m n m n m n m a a q q a a q
+-++-+?==?，n a ，n m a +，2n m a +，，为等比数列，公比为m q ．
<教师备案>①性质1是说明求通项时，可以从任意项开始求，比如已知482a q ==，
，求10a 时，可以常规求出1a ，再由通项公式算；也可以直接用10469104822a a q -=?=?=来求解． ②在使用中，常常将性质⑶和⑵同时使用，比如在等比数列{}n a 中，44a =，求26a a ?．可
以先利用性质⑶说明246a a a ，，成等比数列，然后利用性质⑵说明22
264416a a a ?===，
也可以直接使用性质⑵．
③由等比数列的性质⑶知一个等比数列隔项取一定是等比数列，这时新的等比数列的公比为20q >，不注意这个有时可能会出错，见易错门诊．
知识点睛
项数和相等
对应项的积相等
项数是等差中项 对应项是等比中项
【铺垫】⑴各项均为正数的等比数列{}
n
a中，
2
3
a=，
10
27
a=，则
6
a=_____．
⑵在各项均为负数的等比数列{}
n
a中，
1
16
a=-，
5
4
a=-，则q=_____，
3
a=______，9
a=______．
【解析】⑴9；2
62106
819
a a a a
==?=±，负值舍去；
⑵
2
81
2
--
，，；
4
51
a a q
=得：45
1
1
4
a
q
a
==，故2
1
2
q=，从而
2
2
q=±；又此数列各项均为负数，故
2
2
q=；
2
1533
648
a a a a
==?=±，故
3
8
a=-；2
5199
1
a a a a
=?=-．
【例5】等比数列的性质
⑴①m是2323
-+
，的等比中项()0
m>，则m=；
②39
a
，，为等比数列，则a=．
⑵等比数列{}n a的各项为正，公比q满足24
q=，则34
45
a a
a a
+
+
的值为（）
A．
1
4
B．2 C．
1
2
±D．
1
2
⑶在等比数列{}n a中，若110
a a
，是方程2
3260
x x
--=的两根，则
47
a a?=．
⑷（2012年海淀区高三一模数学理）在等比数列{}n a中，1435
8
a a a a
==
，，则
7
a=（）A．
1
16
B．
1
8
C．
1
4
D．
1
2
⑸在等比数列{}n a中，515
205
a a
==
，，则
20
a=_______．
⑹（目标班专用）在等比数列{}n a的前n项中，1a最小，且121
66128
n n
a a a a
-
+==
，，前n
项和126
n
S=，则n=______，q=_______．
【解析】⑴①1；()()
223231
m=-?+=，∵0
m>，∴1
m=．
②33
±；22733
a a
==±
，．
⑵D；
()
3434
4534
11
2
a a a a
a a q a a q
++
===
++
．
⑶2
-；根据性质2得
47110
2
a a a a
?=?=-．
⑷B；由
435
a a a
=得2
4354
a a a a
==，又
4
a≠，因此2
4174
11
a a a a
===
，，
2
4
7
1
1
8
a
a
a
==．⑸
5
2
±；根据性质2得2
10515
100
a a a
=?=，∴
10
10
a=±．
由性质3知下标成等差数列的子列也构成等比数列，即5101520
a a a a
，，，构成等比数列．经典精讲
公比151051102a q a =
==±±，∴201552
a
a q ==±． ⑹（目标班专用）62，；
由题意可知1166128n n a a a a +==，．∴1264n a a ==，． 126412611n n a a q q S q q --===--，解得2q =．
∴111222n n n n a a q --==?=，即264n =，故6n =．
【例6】
等比数列的性质应用
设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，已知34a =，639S S =，则{}n a 的通项n a = ．
【解析】 12n -
∵63=9S S ，∴()1234561239a a a a a a a a a +++++=++．
∴()4561238a a a a a a ++=++，即()3331231238a q a q a q a a a ++=++ ∴()()31231238q a a a a a a ++=++，
∵()
2123110a a a a q q ++=++≠（210q q ++>）， ∴38q =，2q =∴
∵34a =，∴33342n n n a a q --==?231222n n --=?=．
<教师备案>讲完这题可以接着讲后面的易错题．那道题中12a a +可能等于零，容易被忽视直接消去．
【备选】在等比数列{}n a 中，423a =，35209a a +=．若数列{}n a 的公比大于1，且3log 2
n n a
b =，
求数列{}n b 的前n 项和n S ．
【解析】 由等比数列的性质得 235449a a a ?==，所以35a a ，是方程2204
099
x x -+=的两个根．
由公比大于1解得35229
a a ==，，∴25393a q q a ===，．312229981a a q ===，15123n n n a a q --==?，3
log 52
n
n a b n ∴==-，()21194222n n n S n n n -=-+
=-．
1．已知数列{}n a 是等比数列，11a =-，59a =-，则3a =______，9a =______．
【解析】 381--，；
21539a a a ==33a ?=±，但22310a a q q ==-<，故33a =-；2
195981a a a a =?=-．
222m k m k m k m k a a a --?=±
2．设等比数列{}n a 的公比1q <，前n 项和为n S ．已知32a =，42=5S S ，
则{}n a 的通项n a = ． 求等比中项
符号要验证
【解析】
()2
2n n a -=--或1
2(1)
n n a -=-．
425S S =，即()1234125a a a a a a +++=+，
而由等比数列的性质有：()2
3412a a q a a +=+．
∴()()2
1212125a a q a a a a ++?+=+，即()()
21240a a q +-= 当120a a +=时，110a a q +=，∴1q =-，()
()
3
1
3
32121n n n n a a q ---==-=-．
当120a a +≠时，2
40q -=，2q =±，又因1q <，所以2q =-．
所以3
3n n a a q -=()
()
3
2
=222n n ---=--．
【演练1】 在等比数列{}n a 中，25864a a ==，，则公比q 为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．8
【解析】 A ；
【演练2】 设{}n a 是公比为正数的等比数列，若15116a a ==，，则数列{}n a 前7项的和为（ ）
A ．63
B ．64
C ．127
D ．128
【解析】 C ．
【演练3】 若43a a ，，为等差数列的连续三项，则0129a a a a +++???+的值为（ ）
A ．1023
B ．1025
C ．1062
D ．2047 【解析】 A ；
由题意知832a a a =+?=．于是100
1
2
9
12102312
a a a a -+++???+==-．
【演练4】 ⑴等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，333S a =．则公比q = ．
⑵设等比数列{}n a 的公比为1
2
q =，前n 项和为n S ，则44S a = ．
【解析】 ⑴1
12
-，；
212313a a a a q ++=?，∵10a ≠，∴2213q q q ++=，即2210q q --=，解得1
2
q =-或1q =；
⑵15；()23
23
1433
411115a q q q S q q q a a q q ++++++=
==．
【演练5】 在等比数列{}n a 中，若39a a ，是方程231190x x -+=的两根，则6a 的值是_____． 【解析】
3± 实战演练
【演练6】 在等比数列{}n a 中，
⑴ 若12321a a a ++=，123216a a a =，求n a ； ⑵ 若3518a a ?=，4872a a ?=，求公比q ．
【解析】 ⑴ ∵2132a a a ?=，∴3
1232
216a a a a ??==， 解得26a =，代入已知可得1313
1536a a a a +=???=?，，解方程得13312a a =??=?，
，或13123.a a =??=?，
当13a =时，2q =；当112a =时，1
2
q =．
故132n n a -=?或11122n n a -??
=? ???
．
⑵ 由3518a a ?=，得241118a q a q ?=，即26118a q ?= ①，
又由4872a a ?=，得371172a q a q ?=，即210172a q ?= ②． ②÷①得 44q =，∴2q =±．
【点评】 ⑴ 在求得13a =，312a =或112a =，33a =后，由于260a =>，因此，公比q 一定大于0．
⑵ 在等比数列中，奇数项和偶数项分别同号（无论公比q 大于0或小于0），因此，在求出44q = 后，q 的值应为2±．
此外，上题还可以直接将两式相除得44q =，从而求出q ．
1．等比数列{}n a ，首项1a ，公比为q ，则通项公式为n a =___________． 2．等比数列{}n a 的公比为q ，首项1a ，则前n 项和公式为n S =_____________． 3．等比数列{}n a ，若2p q m +=，则p q a a ?___2m a （填<、>、=）
概念要点回顾
分牛的传说
古代的印度，有一位老人，他在弥留之际，把三个儿子叫到床前，对他们说：“我就要去见真主了，辛苦了一辈子，没有其它珍贵遗产留给你们，只有19头牛，你们自己去分吧，老大分总数的1/2，老二分总数的1/4，老三分总数的1/5．”话音甫落，老人就咽了气．
按照印度的教规，牛被视为神灵，不准宰杀，只能整头的分，而先人的遗嘱必须无条件遵从．那么，这19头牛怎样分呢？这道题着实难坏了兄弟三人．他们请教了许多有才学的人，人们总是摇头，表示爱莫能助．三兄弟急得走投无路，却无计可施……
结局大家估计也听过：有一天，一位老农牵着一头牛路过，看到兄弟三人愁眉苦脸，便动问原由．老农听后思索了片刻说：“这件事好办，我把自己的一头牛借给你们，这样总共就有了20头牛，老大可分得10头，老二可分得5头，老三可分得4头，你们三人分去了19头牛，剩下的一头再还给我！”真是妙极了！一个曾使多少人费尽心机无法解决的大难题竟这样干脆利落的解决了，不用说，这件事也被当作佳话而广为流传．
这种分法到底对不对呢？我们来算一下，按老人的遗嘱，老大应该分得
19
2
头，老二分得
19
4
头，老三分得
19
5
头，注意到
11119
24520
++=，所以分一次后没分完，还剩下牛的数量的
1
20
即
19
20
头．老人的遗愿显然应该分完，因此老大应该继续分得这
19
20
头的一半，老二、老三分得的比例为
1
4
和
1
5
，悲剧的是这次仍然不会分完，还剩
19
20
头的
1
20
没分完，所以这个过程需要继续下去……
统计下来，老大应该分得的牛的数量为
23
1111111
19191919
2202202202
????
?+??+??+??+
? ?
????
，这是一个无穷递减等比数列的求和．我们知道等比数列的求和公式：
21
1
1
1111111191
20
19191919101
1
2202202202220
1
20
n
n n
n
S
-
??
- ???
??????
??
=?+??+??+??=?=-
??
? ? ?
??????
??
??
-
当n趋于无穷大时，极限
1
lim0
20
n
n→+∞
??
=
?
??
，此时10
n
S=，这就是老大应分得的牛的数量！同样的方法可得到老二、老三分得的牛的数量为5和4．这说明老农的分法没有错，是不是很奇妙！！
（附：无穷递缩等比数列（1
q<，
1
a≠）的求和公式：231
11111
a
a a q a q a q
q
++++=
-
）