Z变换在求解差分方程中的应用举例
Z 变换在求解差分方程中的应用
()3(1)2(2)()3(1)()(),(1)1,(2)0
n y n y n y n x n x n x n a u n y y --+-=+-??=-=-=?例8-16： 解： Z 方程两边取单边变换
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y n 求()11()3()13()
X z z X z z X z --=+=+121()3()(1)2()(1)(2)Y z z Y z y z Y z z y y ---????-+-++-+-????121132()3(1)2(1)2(2)z z Y z y y z y --??-+--+-+-??
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z X z -=+即： 4(3)421(1)(2)11z z a a z z z z a a z a a z ??+??=-++????-------????1112123213()()132132z z Y z X z z z z z -------+=+-+-+零输入
,()-z X z z a =零状态1022z a z ---()421()n y n u n ??∴=?-??(零输入)
(3)4102()(1)(2)12n n a a a u n a a a a ??+++-??----??（零状态）
3差分方程Z变换
第3章线性离散时间系统的描述及分析3.1 差分方程及其时域分析 3.1.1 差分方程 3.1.2 差分方程的解 A递推解 B古典解 C Z变换求解 3.2 Z变换 3.2.1 Z变换的定义 3.2.2 Z变换的性质 3.2.3 Z反变换 A长除法 B留数法 C部分分式法 3.3 离散时间系统的Z域分析 3.3.1 零输入响应 3.3.2 零状态响应 3.3.3 完全响应 3.4 Z传递函数及其求法 3.4.1 Z传递函数的定义 3.4.2 离散系统的运算 3.4.3 由G(s)求G(z)——连续时间系统的离散化 A对G(s)的讨论
B对离散化方法的评价 C 留数法 D直接代换法 E系统等效法Ⅰ——冲击响应不变法；F系统等效法Ⅱ——阶跃响应不变法 G部分分式法 3.4.4 离散化方法小结 3.5 线性离散时间系统的稳定性分析 3.5.1 闭环极点与输出特性之间的关系 3.5.2 稳定判据 3.6 线性离散时间系统的频率特性分析法3.6.1 线性离散时间系统的频率特性 3.6.2 线性离散时间系统的频率特性分析法
第3章 线性离散系统的描述及分析 3.1 差分方程及其时域分析 3.1.1 差分方程 在线性离散时间动态系统中，输入激励序列u (k )与输出响应序列y (k )之间的动态关系在时域中用差分方程来描述，差分方程一般写成升序方式 1101101-1 ()(1)(1)()()(1)(1)()0(0),(1),..., (-1)n n m m n y k n a y k n a y k a y k b u k m b u k m b u k b u k k y y y y y n y m n --+++-++++= =+++-+ +++≥===≤有始性:初始条件:时间因果律: (2.1) 或写成 ∑∑==-+--+=+m i n j j i j n k y a i m k u b n k y 0 1 ) ()()( 上式表明某一离散时间点上输出值可能与当前时间点上的输入值（当 00,b m n ≠=）以及此前若干个输入和输出值有关。 推论开来，当前的输出值是“此前”全部激励和内部状态共同作用的“积累”效应。 考虑实时控制系统的时间因果律，必须有m ≤n 。 当m =n 时，表明当前时刻的输入会直接影响当前时刻的输出，可称为“直传”； 当m 第二讲离散时间动态经济系统运动分析及稳定性分析 2.1离散时间函数与Z变换 目的要求：通过本节的学习使学生掌握离散时间函数及Z变换的概念，会使用Z变换的性质解决问题，掌握差分方程及离散时间系统的运动分析方法。 教学内容： 我们经常会遇到利用离散时间函数表示的差分方程或差分方程组，这在经济管理中经常遇到。现介绍离散时间函数，差分方程后面介绍。 一、离散时间函数 例1 人口离散时间函数 设全国人口普查每年进行一次。每年的7月1日凌晨零点的人口数代表该年的人口数。我们以t=0 代表1990年7月1日凌晨的这个时刻，那么t=1,2,3,……分别表示1991年、1992年、1993年等各年度7月1日凌晨零点。各年度普查的实际人口数如下表所示 中国实际人口数据（亿人） x(0)=11.4333, x(1)=11.5823, x(2)=11.7171, x(3)=11.8517, x(4)=11.9850, x(5)=12.1121, x(6)=12.2389, x(7)=12.3626,…… 由于在离散时间离取值，故称之为离散时间函数 例2 国民生产总值GNP(gross national product)离散时间函数。 则，GNP(t)表示第t年的GNP数值。 GNP(O)=33560.5, GNP(1)=46670.0, GNP(2)=57494.9,…… 例3 企业月产量离散时间函数。 表为电视机工厂生产月报表（万台） 则，Y(0)=1.5, Y(1)=2, Y(2)=1.8,…… 可以看出， 经济管理实践中基本上采用离散时间函数来表达各种变量的变化，并该函数没有解析表达式，只有图象、列表表达式。其自变量为离散时间。 二、Z 变换及其逆变换 导言：Z 变换是怎么发明出来的？ 牛顿、莱布尼兹等发明了微积分，之后发明了常系数微分方程及方程组。在求解方程时总结经验，简化计算，如用符号s 表示微分运算s=d/dt,即s 〃f(t)=df(t)/dt 。称s 为‘微 分算子’。后来，拉普拉斯总结出－拉氏变换，这一理论，即 ? ∞ -= →0 )()()(dt e t f s F t f st 来求解微分方程。相应的，f(t)的微分的拉氏变换为： )0()()(F s sF dt t df L -?→?。 由于常系数的差分方程与微分方程的解有许多相似之处，那么希望与连续时间函数类似的应该有相应的变换存在，因此，与拉氏变换一样，发明了Z 变换。所以，Z 变换也是为了简化差分方程而发明出来的。(但它没有拉氏变换那么有名，因为不是‘原创’。) 关于数学的研究，具有原创的，有：杨乐，张广厚（复变函数），陈景润（数论）70－80年代 1．定义 对离散时间函数x(t),t=0,1,2,……(t<0时不予考虑，或x(t)=0)；它的Z 变换为： 下面讨论一些常用的离散时间函数的Z 变换。 例1 单位阶跃函数h(t)如图所示。 h(t)＝1。 则Z 变换函数，h(z)＝1＋z -1 + z -2 + z -3 +…… （提问） (1) zh(z)＝z+1＋z -1 + z -2 + z -3 +…… zh(z)= z+h(z) 1≠z ） (2) 称此函数为：海维赛得函数 (1)、(2)均为h(t)的Z 变换。 注意：① h(z)= 1-z z 是h(t)的Z 变换，并不意味着h(t)= 1 -t t 第3章线性离散时间系统的描述及分析差分方程及其时域分析 3.1.1 差分方程 3.1.2 差分方程的解 A递推解 B古典解 C Z变换求解 Z变换 3.2.1 Z变换的定义 3.2.2 Z变换的性质 3.2.3 Z反变换 A长除法 B留数法 C部分分式法 离散时间系统的Z域分析 3.3.1 零输入响应 3.3.2 零状态响应 3.3.3 完全响应 Z传递函数及其求法 3.4.1 Z传递函数的定义 3.4.2 离散系统的运算 3.4.3 由G(s)求G(z)——连续时间系统的离散化 A对G(s)的讨论 B对离散化方法的评价 C 留数法 D直接代换法 E系统等效法Ⅰ——冲击响应不变法； F系统等效法Ⅱ——阶跃响应不变法 G部分分式法 3.4.4 离散化方法小结 线性离散时间系统的稳定性分析 3.5.1 闭环极点与输出特性之间的关系 3.5.2 稳定判据 线性离散时间系统的频率特性分析法3.6.1 线性离散时间系统的频率特性 3.6.2 线性离散时间系统的频率特性分析法 第3章 线性离散系统的描述及分析 3.1 差分方程及其时域分析 3.1.1 差分方程 在线性离散时间动态系统中，输入激励序列u (k )与输出响应序列y (k )之间的动态关系在时域中用差分方程来描述，差分方程一般写成升序方式 1101101-1 ()(1)(1)()()(1)(1)()0(0),(1),...,(-1)n n m m n y k n a y k n a y k a y k b u k m b u k m b u k b u k k y y y y y n y m n --+++-++++==+++-++++≥===≤K K 有始性:初始条件:时间因果律: 或写成 ∑∑==-+--+=+m i n j j i j n k y a i m k u b n k y 0 1 ) ()()( 上式表明某一离散时间点上输出值可能与当前时间点上的输入值（当 00,b m n ≠=）以及此前若干个输入和输出值有关。 推论开来，当前的输出值是“此前”全部激励和内部状态共同作用的“积累”效应。 考虑实时控制系统的时间因果律，必须有m ≤n 。 当m =n 时，表明当前时刻的输入会直接影响当前时刻的输出，可称为“直传”； 当m 《数字信号处理》 （一） 实验目的 使用ztrans,iztrans 函数分别求出离散时间信号的Z 变换和Z 反变换的结果,并用pretty 函数进行结果美化。编写函数时养成良好的注释习惯,有利于对函数的理解。复习MATLAB 的基本应用，如：help,可以帮助查询相关的函数的使用方法,巩固理论知识中的离散时间信号的传递函数与二次项式之间的转换，以及使用zplane 函数画出相关系统的零极点分布图,根据零极点的分布情况估计系统的滤波特性。 （二） 程序的运行与截图 实验项目一Z 变换 （1）求)(])31()21[()(n u n x n n += Z 变换 clear all;close all;clc; syms n f=0.5^n+(1/3)^n; %定义离散信号 F=ztrans(f) %z 变换 pretty(F); 运算结果 F （2）4 )(n n x = Z 变换 clear all ;close all ;clc; syms n f=n^4; %定义离散信号 F=ztrans(f) %Z 变换 pretty(F) 运算结果 （3）)sin()(b an n x += Z 变换 clear all;close all;clc; syms a b n f = sin(a*n+b) %定义离散信号 F=ztrans(f) %Z 变换 pretty(F) 运算结果 实验项目二Z 反变换 （1）2 )2(2)(-=z z z X Z 反变换 clear all;close all;clc; syms k z Fz=2*z/(z-2)^2; %定义Z 反变换表达式 fk=iztrans(Fz,k) %Z 反变换 pretty(fk); 运算结果 （2）1 2)1()(2++-=z z z z z X Z 反变换 clear all;close all;clc; syms k z Fz=z*(z-1)/(z^2+2*z+1); %定义Z 反变换表达式 fk=iztrans(Fz,k) %Z 反变换 pretty(fk); 运算结果 f （3） 211 cos 211)(---+-+=z z z z X ω Z 反变换 clear all;close all;clc; syms k z w Fz=(1+z^(-1))/(1-2*z^-1*cos(w)+z^-2); %定义Z 反变换表达式 fk=iztrans(Fz,k) %Z 反变换 pretty(fk); 运算结果 工程实例 机械电子工程 谈卓雅 一、基于时域有限差分方法求解薛定谔方程 在量子力学理论中一维时域薛定谔方程的具体形式如下: ()()()()t x x V x t x m h t t x jh ,,2,222ψψψ+??-=?? (1) 式中,参数h-为普朗克常数；m 为粒子质量；()y x ,ψ定义为状态变量;()x V 为势函数。在求解含时薛定谔方程时,本文将利用时域数值计算方法——时域有限差分(finite difference time domain, FDTD)来差分离散薛定谔方程。其基本思想是利用微分方程的中心差分离散形式建立空间和时间上的迭代。时域有限差分法与传统的量子力学计算方法相比更加直观、计算效率更高、操作性更强。因此,该数值方法在量子力学等其他领域中的应用亟待进一步发展与完善。在运用FDTD 方法时,数值稳定性条件是首要考虑因素之一,它直接影响着数值计算结果的精度和有效性。本文主要是分析用FDTD 方法求解薛定谔方程时所需要满足的稳定性要求,又进一步提出了在不同势能情况下从一维到三维的统一的数值稳定性表达方式。 1 薛定谔方程的基本形式 将式(1)改写为： ()()()()t x x V h j x t x m h j t t x ,,2,22ψψψ-??=?? （2） 为了便于计算,将()y x ,ψ复函数的实部和虚部分别考虑： ()()()()t x x V h x t x m h j t t x R R I ,1,2,2 2ψψψ-??=?? （3a ） ()()()()t x x V h x t x m h j t t x I I R ,1,2,22ψψψ+??=?? （3b ） FDTD 方法在时间上的差分格式如下所示： () ()()()()I or R t t n x t n x t t x t n t =??-?+=???+=ξψψψξξξ,,1,,2/12 (4)Z变换及差分方程的求解
差分方程Z变换
用matlab绘制差分方程Z变换,反变换,zplane,residuez,tf2zp,zp2tf,tf2sos,sos2tf,幅相频谱等等
差分方程及Z变换工程实例