第22届华杯赛总决赛全部四组题目

总决赛试题小中组一试

一、填空题（共3题，每题10分）

1. 计算：2017201820192020220182019?+?-??=_________.

2. 若干枚白色棋子成直线摆放，将其中一些棋子染成红色，使未染成的白色棋子被隔成9

部分，其中有2部分棋子数量相同，而同样被白色棋子隔开的各部分的红色棋子数均不相同，则棋子总数的最小值为_________.

3. 把1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入33?的九宫格中，使得每行、每列的三个数的

和都相等，中心位置可能填的数共有_________个.

二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）

4. 如图，大、小正方形的边长分别为4和1，且各边均水平或竖直放置，求四边形ADFG

和BHEC 的面积之和.

5. 将一个数的各位数字倒序后所得的数称为原数的倒序数.2017具有这样的性质：将2017

及其倒序数7102相加，所得和9119的各位数字都是奇数.能否找到这样的五位数，使它与其倒序数的和的各位数字都是奇数？若能，请给出一个例子；若不能，请说明理由.

6. 一副扑克牌去掉大小王后还有52张，如果把J ，Q ，K ，A 分别当作11，12，13，1点，

问最多取出多少张牌，可使得取出的牌中任意两张牌的点数之和是合数？

总决赛试题小中组二试

一、填空题（共3题，每题10分）

1. 2017的倍数中，各个数字不同的五位数最大为_________.

2. 长方形甲与乙的边长都是大于1的自然数，如图拼成一个“L 形”.已知“L 形”的面

积是432，甲的面积为133，那么“L 形”的周长为_________.

3. 同时满足下列两个条件的四位数共有_________个.

（1）该数的各位数字只能是2，3，4，5中的数，数字允许重复；（2）该数能被组成它的各位数字整除.

二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）

4. 将1，2，3，4，5，6，7，8分成两组，若第一组数的乘积恰为第二组数的乘积的整数

倍，则最小为多少倍？

5. 能否将1个正方形恰好分割成2017个互不重叠的小正方形，使得这2017个小正方形

一共只有2种不同的大小？若能，请给出一个例子；若不能，请说明理由.

6.下图是用9个相同的小正三角形拼成的图案，小正三角形的顶点称为格点.以格点为顶

点，一组对边平行但不相等，另一组对边相等的四边形，称为“贝贝梯形”.

（1）图中共有多少个“贝贝梯形”？

（2）在格点处写下自然数1，2，3，4，…，8，9，10，每个格点写1个数字，不同格点所写的数字不同，将每一个“贝贝梯形”的四个顶点处的数字求和，再将这些和相加，结果最大是多少？

总决赛试题小高组一试

一、填空题（共3题，每题10分）

1. 计算：()

422201720162017220173-?+?+=_________.

2. 不超过100的所有质数的乘积，减去不超过100的所有个位数字为3和7的质数的乘

积，所得差的个位数字为_________.

3. 运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观

众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6道的选手都不可能得第一名；比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是_________.

二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）

4. 能够将1到2017这2017个自然数分为若干组，使得每组中的最大数都等于该组其余

数的和吗？如果能，请举一例；如果不能，请说明理由. 5. 把

20172016表示成两个形式均为1

n n

+的分数相乘（其中n 是不为零的自然数），问有多少种不同的方法？（b d a c ?与d b

c a

?视为相同方法）

6. 甲、乙锻炼身体，从山脚爬到山顶，再从山顶跑回山脚，来回往返不断运动.已知甲、

乙下山速度都是上山速度的1.5倍，甲的速度与乙的速度之比是6:5.两人同时从山脚开始爬山，经过一段时间后，甲第10次到达山顶.问：在此之前，甲在山顶上有多少次看到乙正爬向山顶，且此时乙距离山顶尚有多于从山脚到山顶路程的三分之二？

总决赛试题小高组二试

一、填空题（共3题，每题10分）

1. 某小镇上有若干辆共享单车，如果小镇人口少1人，则平均200人共享一辆单车，如果

单车减少2俩，小镇共享一辆单车的平均人数仍为整数，则小镇最多有_________人.

2. 恰有1513个不超过m 的正整数n 使得1234n n n n +++的个位数字为0，则自然数m =

_________.

3. 下图中的L 型立体称为“构件”，可切割成为4个单位正方体.用4个“构件”连结组合

成一个长方体，如果经旋转及翻转后，连结成的两个长方体宽、长、高相同，并且连结方式相同，可视为相同的长方体，否则是不同的长方体，则可连结出_______种一条棱长为1的不同的长方体，总共可以连结出_______种不同的长方体.

二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）

4. 从1，2，3，4，…，2017中，最多能选出多少个数，在这些数中，不存在三个数a ，b ，

c 满足a b c +=？

5. 下图中，ABCD 是长为3，宽为1的长方形，BE EG GC ==，2AH HD =，AC 、AG 、

BH 、EH 交成阴影四边形PNQM .求四边形PNQM 的面积.

6. 在等差数列1，4，7，10，13，16，…的前500项中，有多少个是完全平方数？

总决赛试题初一组一试

一、填空题（共3题，每题10分）

1. 计算：22222222221223344520162017---+---+

--=_________.

2. 某班30名同学在旅游途中看到一个商店的广告：酸奶一瓶5元，两瓶9元；冰激凌一

支6元，两只10元.每人选择酸奶或者冰激凌中的一种，用最省钱的方式购买，一共花了140元.那么，他们一共至多买了_____瓶酸奶，至少买了_____瓶酸奶.

3. 如图，在三角形ABC 中，D 、E 分别在边BC 、AC 上，AB AC =，AD AE =，

18CDE ∠=?，则BAD ∠=_________.

二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）

4. 是否存在数c 满足：对任意的有理数a ，b ，都有a b +，a b -，1b -三个值中最大值

大于等于c ？如果存在这样的c ，请给出一个具体数值，并求c 的最大值；如果不存在，请说明理由.

5. 一个立方体是由27个棱长为1个单位的小正方体构成的.一只蚂蚁从A 沿着立方体表

面的小正方体的边爬到B ，最短路径长是多少个单位？最短路径有多少种不同的走法？ 6. []a 表示不超过a 的最大整数，求满足条件12235x x x x ++??????

++=????????

的所有x 的值的和.

总决赛试题初一组二试

一、填空题（共3题，每题10分）

1. 一个四位数abcd 是完全平方数，并且满足()5104910c d a b ++=+，则这个四位数是

_____或_____.

2. 把500枚鸡蛋装到分别能装17枚和27枚两种规格的盒子中出售，刚好装完无剩余，则

17枚规格的盒子装了_____盒，27枚规格的盒子装了_____盒.

3. 在一条线段有n 个等分点，从n 个等分点中任选10个点，中间必有两个点，能把原线

段分成3段，这3段能构成三角形，则n 的最大值是_________.

二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程） 4. 求方程2432426760x y y y y -+-+-=的全部整数解.

5. E 、F 分别是四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的中点，EF 分别交边AD 、BC 于点P 和

Q .已知7AP

=，求BQ QC 的值.

6. 将1，2，3，4，5，6，7这7个数打乱次序排列成一行，1a ，2a ， (7)

并作部分和，11S a =，212S a a =+，…，1j j j S S a -=+，2,3,,7j =.

使得7个部分和中至少有1个是3的倍数的排列方法有多少种？

总决赛试题初二组一试

一、填空题（共3题，每题10分） 1. 若正数a ，b ，c 满足1a b c ++=，则

()()()

111abc

a b c ---的最大值为_________.

2. 将正数x 四舍五入到个位得到整数n ，若42017x n -=，那么x =_________.

已知1p =+，那么

23331

p p p

++=_________.

二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）

4. 在边长为1的正方形中（含边上）至多放置多少个点，可使得这些点之间的所有距离都

不小于0.5？

5. 下图中，四边形ABCD 是矩形，

()12AB

r r BC

=<<.四边形AEFG 是正方形，顶点G 在边CD 上，边EF 通过点B .求:BF EF .

6. 早上8点，快、慢两车同时从A 站出发，慢车环行全程一次用43分钟，回到A 站休息

5分钟；快车环行全程一次用37分钟，回到A 站休息4分钟.如此往返行驶.问：22点以前，两车同时到达A 站几次？快车在A 站休息时慢车达到的情况有几次？（8点整，两车出发时不计）.

总决赛试题初二组二试

二、填空题（共3题，每题10分）

1. 设多项式()p x 的各项系数都是非负整数，且()16p =，()332p =，则()2p 的所有可能

值为_________.

已知a =105173

a a a +-=+_________.

()12

k k +能被n 整除的最小正整数k 记为()F n ，例如，()54F =.若()9F x =，则x =

_______.若()9F y =，则y =_______.

二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）

4. 从1，2，…，50这50个数中任选n 个不同的数，其中一定有三个的比为2:3:7.求n

的最小值.

5. 如图，以长为4厘米的线段AB 的中点O 为圆心和2厘米为半径画圆，交AB 的中垂线

于点E .再以A 、B 为圆心和4厘米为半径分别画圆弧交AE 于C ，交BE 于D .最后以E 为圆心和DE 为半径画圆弧DC .请确定“下弦月形”ADCBEA （图中阴影部分）的面积是多少平方厘米.（答案中圆周率用π表示）

6. 将1，2，3，4，5，6，7这7个数打乱次序排列成一行，1a ，2a ， (7)

并作部分和，11S a =，212S a a =+，…，1j j j S S a -=+，2,3,,7j =.

使得7个部分和中至少有1个是3的倍数的排列方法有多少种？