基本不等式常见题型训练

必修5 基本不等式基本题型训练

一、选择题

1. [2013·常州质检]已知f (x )＝x ＋1

x

－2(x <0)，则f (x )有( )

A. 最大值为0

B. 最小值为0

C. 最大值为－4

D. 最小值为－4

答案：C

解析：∵x <0，∴－x >0，

∴x ＋1x －2＝－(－x ＋1

－x

)－2≤－2

－x ·1

－x

－2＝－4，

当且仅当－x ＝1

－x

，即x ＝－1时，等号成立．

2. [2013·长沙质检]若0

3 B. 12 C. 3

4 D. 23

答案：D 解析：∵0

∴f (x )＝x (4－3x )＝1

3·3x (4－3x )

≤13×(3x ＋4－3x 2)2＝43

， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝2

3

时，取得“＝”，故选D.

3. 函数y ＝x 2＋2x ＋2

x ＋1

(x >－1)的图象最低点的坐标为( )

A. (1,2)

B. (1，－2)

C. (1,1)

D. (0,2)

答案：D

解析：y ＝x ＋12＋1x ＋1＝x ＋1＋1

x ＋1

≥2，

当x ＋1＝

1

x ＋1

，即x ＝0时，y 最小值为2，故选D 项． 4. 已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝(12

)x 2

－2(x <0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A. m >n

B. m

C. m ＝n

D. m ≤n

答案：A

解析：∵a >2，x <0， ∴m ＝(a －2)＋

1

a －2

＋2 ≥2

a －2·1

a －2

＋2＝4，

n ＝22－x 2<22＝4，∴m >n ，故选A.

5. [2013·商丘模拟]若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y

的最小值为( )

A. 12

B. 23

C. 3 2

D. 6

答案：D

解析：依题意得4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2,9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ×3y ＝232x ＋y

＝

232

＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，因此9x ＋3y

的最小值是6，选D.

6. 已知a ，b 为正实数且ab ＝1，若不等式(x ＋y )(a x ＋b y

)>m 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数m 的取值范围是( )

A. [4，＋∞)

B. (－∞，1]

C. (－∞，4]

D. (－∞，4)

答案：D

解析：因为(x ＋y )(a x ＋b y )＝a ＋b ＋ay x ＋bx y ≥a ＋b ＋2≥2ab ＋2＝4，当且仅当a ＝b ，ay x

＝bx y

时等号成立，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要m <4即可，正确选项为D.

二、填空题

7. [2013·金版原创]规定记号“?”表示一种运算，即a ?b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正

实数)．若1?k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝

k ?x

x

的最小值为________． 答案：1 3

解析：1?k ＝k ＋1＋k ＝3， 即k ＋k －2＝0， ∴k ＝1或k ＝－2(舍)， ∴k ＝1.

f (x )＝

1?x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1

x

≥1＋2＝3， 当且仅当x ＝

1

x

即x ＝1时等号成立．

8. [2013·西安质检]函数f (x )＝1＋log a x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn >0，则1m ＋1

n

的最小值为________．

答案：2

解析：由题知，函数图象恒过点A (1,1)，且点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n ＝2，其中mn >0，所以1m ＋1n ＝12(1m ＋1n )(m ＋n )＝12(2＋n m ＋m n )≥1

2×(2＋2)＝2，当且仅当m ＝n

＝1时取得最小值，故所求的最小值为2.

9. [2013·鹤岗模拟]若a ，b ，c >0，且a 2

＋ab ＋ac ＋bc ＝4，则2a ＋b ＋c 的最小值为________．

答案：4

解析：由已知得a 2

＋ab ＋ac ＋bc ＝(a ＋b )(a ＋c )＝4， 则2a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(a ＋c )≥2a ＋b a ＋c ＝4，

∴2a ＋b ＋c 的最小值为4. 三、解答题

10. [2013·梅州质检]已知lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)． (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值．

解：由lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)

得?????

x >0y >03xy ＝x ＋y ＋1

(1)∵x >0，y >0，

∴3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1， ∴3xy －2xy －1≥0， 即3(xy )2

－2xy －1≥0， ∴(3xy ＋1)(xy －1)≥0， ∴xy ≥1，∴xy ≥1，

当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． ∴xy 的最小值为1. (2)∵x >0，y >0， ∴x ＋y ＋1＝3xy ≤3·(

x ＋y

2

)2

，

∴3(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0， ∴[3(x ＋y )＋2][(x ＋y )－2]≥0， ∴x ＋y ≥2，

当且仅当x ＝y ＝1时取等号， ∴x ＋y 的最小值为2.

11. [2013·房山区模拟]已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1

ab

≥8；

(2)(1＋1a

)(1＋1

b

)≥9.

证明：(1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2(1a ＋1

b

)，

∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，

∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a

≥2＋2＝4，

∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝1

2时等号成立)． (2)方法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，

∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a

，

同理，1＋1b ＝2＋a b

，

∴(1＋1a )(1＋1b )

＝(2＋b a

)(2＋a b

)

＝5＋2(b a ＋a b

)≥5＋4＝9.

∴(1＋1a )(1＋1b )≥9(当且仅当a ＝b ＝1

2

时等号成立)．

方法二 (1＋1a )(1＋1b )＝1＋1a ＋1b ＋1ab .由(1)知，1a ＋1b ＋1

ab

≥8，

故(1＋1a )(1＋1b

)＝1＋1a ＋1b ＋1

ab

≥9.

12. [2013·三明模拟]某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200 m 2

的十字型区域．现计划在正方形MNPQ 上建一花坛，造价为4200元/m 2

，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花

岗岩地坪，造价为210元/m 2

，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m 2

.

(1)设总造价为S 元，AD 的长为x m ，试建立S 关于x 的函数关系式； (2)计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区． 解：(1)设DQ ＝y ，

则x 2

＋4xy ＝200，y ＝200－x

2

4x

.

S ＝4200x 2＋210×4xy ＋80×4×1

2

y 2

＝38000＋4000x 2

＋400000x

2

(0

＋400000x

2

≥38000＋216×108

＝118000，

当且仅当4000x 2

＝400000x

2

，即x ＝10时，S min ＝118000(元)， 即计划至少要投入万元才能建造这个休闲小区．

11. 某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．

(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元

(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入1

6(x 2－600)万元

作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入1

5x 万元作为浮动宣传费

用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和并求出此时商品的每件定价．

11.【解】 (1)设每件定价为x 元，依题意得 (8－

x －251

×x ≥25×8，

整理得x 2－65x ＋1 000≤0， 解得25≤x ≤40.

∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋1

5x 有解，

等价于x ＞25时，a ≥150

x ＋16x ＋1

5

有解， ∵

150x ＋1

6

x ≥2150

x ·1

6

x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)， ∴a ≥.

∴当该商品明年的销售量a 至少应达到万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．