39知识讲解_简单的三角恒等变换_基础

简单的三角恒等变换

【学习目标】

1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式； 2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧；

3．了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行互化；

4．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想的作用，发展推理能力和运算能力；

5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理问题的能力．

【要点梳理】

要点一：升（降）幂缩（扩）角公式

升幂公式：2

1cos 22cos αα+=， 2

1cos 22sin αα-= 降幂公式：2

1cos 2cos 2αα+=，2

1cos 2sin 2

αα-= 要点诠释：

利用二倍角公式的等价变形：2

1cos 2sin

2

α

α-=，2

1cos 2cos

2

α

α+=进行“升、降幂”变换，即由左边的

“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换．

要点二：辅助角公式

1．形如sin cos a x b x +的三角函数式的变形：

sin cos a x b x +

x x ???

令cos ??=

=

sin cos a x b x +

)sin cos cos sin x x ??+

)x ?+

（其中?角所在象限由,a b 的符号确定，?角的值由tan b

a ?=

确定，或

由sin ?=

和

cos ?=

）

2．辅助角公式在解题中的应用

通过应用公式sin cos a x b x +

=)x ?+（或sin cos a x b x +

)α?-），将形如sin cos a x b x +（,a b

)x ?+

)α?-）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化

简、求值等．

【典型例题】

类型一：利用公式对三角函数式进行证明 例1．求证：α

α

ααα

sin cos 1cos 1sin 2

tan

-=

+=

【思路点拨】观察式子的结构形式，寻找式子中α与2

α

之间的关系发现，利用二倍角公式即可证明． 【证明】

方法一：

2tan 2

cos

2sin

2

cos 22cos

2

sin

2cos 1sin 2

ααα

α

α

α

α

α

==

=

+ 2tan 2

cos

2sin

2

cos

2

sin

22

sin 2sin cos 12ααα

α

α

α

α

α

==

=

- 方法二：sin sin

2cos

sin 222tan 21cos cos cos 2cos 222

α

α

α

αααααα

?===+?

sin sin

2sin

1cos 22

2tan

2

sin cos

cos 2sin 2

22

αα

α

α

αα

ααα?-===?

【总结升华】代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换；对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点． 举一反三：

【变式1】求证：2

tan 12tan

2tan ,2tan 12tan 1cos ,2

tan 12tan

2sin 2

2

2

2α

-α

=αα+α-=αα

+α

=

α 【证明】

2

2

2

2sin cos

2tan

2

22sin 2sin

cos

2

2

sin cos 1tan 2

2

2

α

α

α

α

α

αα

α

α

===

++

2222

2

22

2

cos sin 1tan 2

22cos cos sin 2

2

cos sin 1tan 2

2

2

αααα

α

αα

α

α

--=-==++ 2222sin

cos

2tan

sin 222tan cos cos sin 1tan 222

αα

α

ααααα

α=

=

=--．

例2．求证：（1）1

cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=

++-

(2)

cos cos 2cos

cos

22

x y x y

x y +-+= 【思路点拨】（1）把右边两角和与差的余弦公式展开、相加即得左边．（2）把右边两角和与差的余弦公式展开、相加，然后观察所得式子与要证明的式子之间的区别，最后令,x y αβαβ+=-=即可得证． 【证明】 （1）cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- ①

又

cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ ②

∴①+②得

1

cos cos [cos()cos()]2

αβαβαβ=++-

结论得证． （2）cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- ①

又

cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ ②

∴①+②得

1

cos cos [cos()cos()]2

αβαβαβ=++-

令,x y αβαβ+=-=，则,22

x y x y

αβ+-==

[]1cos cos cos cos 222

x y x y x y +-∴=+

cos cos 2cos cos

22

x y x y

x y +-∴+= 结论得证．

【总结升华】当和、积互化时，角度重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或

互约因式，从而利于化简求值．正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段．

举一反三：

【变式1】求证：sin sin 2sin cos

2

2

θ?

θ?

θ?+-+=

【证明】

sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+，sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-

上面两式相加得：sin()sin()2sin cos αβαβαβ++-= 令,αβθαβ?+=-=，则,2

2

θ?

θ?

αβ+-=

=

∴sin sin 2sin cos 22

θ?θ?

θ?+-+=

结论得证．

【变式2】求证：32sin tan

tan 22cos cos 2x x x

x x

-=

+．

【思路点拨】 从消除恒等式左、右两边的差异入手，将右边的角x ，2x 凑成

32x ，2

x

的形式，注意到322x x x =

-，3222

x x

x =+，于是 【证明】右边32sin 2sin 2233cos cos 2cos cos 2222x x x x x x x x x ??

- ?

??==+????

-++ ? ?????

3332sin cos cos sin sin 322222tan tan 3222cos cos cos 222

x

x x x x

x x x x x ??- ???==

=-=左边． ∴等式成立．

【总结升华】解答中右边分母拆角的目的是利用和（差）角公式．证明（化简）的本质上是一个寻找差异、消除差异、追求和谐的过程，应从消除差异入手．

类型二：利用公式对三角函数式进行化简 例3． 已知

322

π

θπ<<

【思路点拨】根据化简的基本思想，本题需消去根式，联想到恒等式2

1sin sin cos 22θ

θθ??±=± ??

?，于是利用此

公式先化简． 【解析】原式sin

cos

sin

cos

2

2

2

2

θ

θ

θ

θ

=+--，

∵

322πθπ<<，∴342

πθ

π<<

，∴0sin 22θ<<

，1cos 22θ-<<-， 从而sin

cos

02

2

θ

θ

+<，sin

cos

02

2

θ

θ

->，

∴原式sin

cos sin cos 2sin 22222

θ

θθθθ?

???=-+--=- ? ??

???． 【总结升华】从局部看（即每个式子本身）上述解法是唯一解法，但从整体看两个根号里面的式子相加得2，相乘得cos 2θ，因此可以“先平方暂时去掉根号”．注意到

322

π

θπ<<，则sin 0θ<，cos 0θ>

，设x =x ＜0

，则2222cos x θ=-=-=-，又342

πθ

π<<，

故sin

02

θ>

，从而2sin

2

x θ

==-．

举一反三： 【变式1

3,22αππ????∈ ??

????

?．

【解析】∵3,22παπ??

∈

???

，∴cos α＞0

cos α=，

∴原式=

3,24αππ??∈ ???

，∴sin 02α

>，

sin 2

α=． 即原式=sin

2

α．

类型三：利用公式进行三角函数式的求值

例4．（2015春 湖南衡阳期末）已知1

sin(3)4

πθ+=， （1）求2

cos θ的值； （2）求

cos()cos(2)

cos [cos()1]cos(2)cos()cos()

πθθπθπθθππθθ+-++-+++-的值．

【答案】（1）

15

16

；（2）32 【解析】由已知1sin(3)4πθ+=，所以1sin 4θ=-， （1）22

115cos 1sin 11616

θθ=-=-=；

（2）

cos()cos(2)

cos [cos()1]cos(2)cos()cos()πθθπθπθθππθθ+-++-+++-

cos cos cos (cos 1)cos (cos )cos θθ

θθθθθ

-=

+---+

1

1

cos 1cos 1θθ=

+

+-+

21cos 1cos 22321(1cos )(1cos )sin 16

θθθθθ

-++====+-．

举一反三：

【变式1】已知sin x －sin y ＝－

23，cos x －cos y ＝2

3

，且x ，y 为锐角，则sin(x ＋y )的值是( ) A ．1 B ．－1 C.

13 D. 1

2

【答案】A

【解析】∵sin x －sin y ＝－

23，cos x －cos y ＝2

3

，两式相加得：sin x ＋cos x ＝sin y ＋cos y ， ∴sin2x ＝sin2y .又∵x 、y 均为锐角， ∴2x ＝π－2y ，∴x ＋y ＝

2

π

，∴sin(x ＋y )＝1.

【变式2】（2016 江苏模拟）已知角α终边逆时针旋转6

π

与单位圆交于点，且2tan()5αβ+=． （1）求sin(2)6

π

α+的值， （2）求tan(2)3

π

β-

的值．

【答案】（1

；（2）17

144

【解析】（1）角α终边逆时针旋转

6

π

与单位圆交于点，

可得sin(),cos()6

10610

π

παα+

=

+=

3

sin(2)2sin()cos()236610105πππααα+=++=??=，

24

cos(2)2135

πα+=?-=．

sin(2)sin(2)sin(2)cos sin cos(2)6363663

πππππππ

αααα+=+-=+-+

341552=-?= （2）∵2

tan()5

αβ+=

， ∴222

22tan()205tan(22)21tan ()21

1()5

αβαβαβ?

++==

=-+-． 343

sin(2),cos(2),tan(2)353534

πππααα+=+=+=．

tan(22)tan(2)(2)]33

ππ

αβαβ+=++-

3(tan 2)

204

33211tan(2)43

πβπ

β+-==-?- 解得17

tan(2)3144

πβ-=．

类型四：三角恒等变换的综合应用

【高清栏目：简单的三角恒等变换401793 例2】 例5．求函数sin cos sin cos y x x x x =+-；3[

,

]44x ∈ππ

的值域

【思路点拨】设sin cos x x t +=，则21

sin cos 2

t x x -=，然后把y 转化为关于t 的二次函数，利用配方法求y 的

最值．

【解析】 设3sin cos ,,44x x t x ππ??+=∈?

???

))4

t x x x π

∴==+

又

344x π

π≤≤，24

x ππ

π∴≤+≤，t ?∴∈? 又2

12sin cos x x t +=，21

sin cos 2t x x -∴=

则22111

222

t y t t t -=-=-++ =21

(1)12

t -

-+ 当0t =时，min 1

2

y =

当1t =时，max 1y =

1,12y ??∴∈????

【总结升华】本题给出了sin cos ,sin cos θθθθ+-及sin cos θθ三者之间的关系，三者知一求二，在求解的过程中关键是利用了2

2sin cos 1θθ+=这个隐含条件．

举一反三：

【变式1】（2015 安徽模拟）已知函数2

()cos sin cos ()f x a x x x x R =-∈的图象经过点1

(,)82

M π，其中常数a ∈R ．

（1）求a 的值及函数f （x ）的最小正周期T ；

（2）当3[

,

]84x ππ

∈时，求函数f （x ）的最值及相应的x 值．

【思路点拨】首先利用正弦和余弦的倍角公式化简三角函数为一个三角函数名称的形式然后求周期及最值．

【答案】（1）π；（2）当24

x π

π+=，即38

x π

=

时，min 1()2f x -=；

当7244x π

π+

=

，即34

x π

=时，max ()1f x =

【解析】（1）cos 2111()sin 2cos 2sin 222222x a a f x a

x x x +=-=-+由函数f （x ）的图象经过点1

(,)82

M π知道1()82f π=，即11

cos sin 242422

a a ππ-+=，解得a =1．

∴1111()cos 2sin 2)22242

f x x x x π=-+=++， ∴22

T π

π=

=． （2）当3[,]84x ππ∈时，72[,]424

x πππ

+∈，

∴当24

x π

π+=，即38

x π

=

时，min ()f x =；

当724

4x π

π+=

，即34

x π

=时，max ()1f x =．