二次函数知识点总结及中考题型总结

二次函数知识点总结及中考题型,易错题总结

（一）二次函数知识点总结

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，

叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2.

2y ax c

=+的性质：

上加下减。

3.

()2y a x h =-的性质：

左加右减。

4. ()2y a x h k

=-+的性质：

三、二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式

()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标

()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．

方法二：

⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，

c bx ax y ++=2变成

m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）

⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，

c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）

四、二次函数()2y a x h k =-+与

2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2y a x h k =-+与

2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即

22424b ac b y a x a a -??=++ ???，其中2424b ac b h k a a -=-=，．

五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2

()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.

六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为

2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当

2b x a =-时，y 有最小值2

44ac b a -．

2.

当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，

y 有最大值2

44ac b a -．

七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；

2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；

3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次

函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物

线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a

二次函数

2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠． ⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；

⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．

总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．

2. 一次项系数b

在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．

⑴ 在0a >的前提下，

当0b >时，

02b a -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，

02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a -

>，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即

当0b >时，

02b a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，

02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a -

<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．

ab 的符号的判定：对称轴a b

x 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0

概括的说就是“左同右异”

总结：

3. 常数项c

⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；

⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；

⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．

总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．

总之，只要a b c ，

，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

1. 关于x 轴对称

2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；

()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；

2. 关于y 轴对称

2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；

()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；

3. 关于原点对称

2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；

4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）

2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2

2

2b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．

5. 关于点()m n ，对称

()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知

的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

十、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：

一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数

2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：

① 当240b ac ?=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12

x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离

21AB x x =-=.

② 当0?=时，图象与x 轴只有一个交点；

③ 当0?<时，图象与x 轴没有交点.

1'

当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．

2. 抛物线

2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函

数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的

点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元

二次方程之间的内在联系：

二次函数图像参考：

2-3

2y=3(x+4)2

2

y=3x 2

y=-2(x-3)2

十一、函数的应用

?????刹车距离何时获得最大利润

最大面积是多少

（二）二次函数考查重点与常见题型

1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：

已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值

是

2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：

如图，函数2y kx k =-和

(0)k y k x =≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )

3.考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：

已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35

=x ，求这条抛物线的解析式。 4.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解

答题，例如：已知抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）与x 轴的两个交点的横坐标是－1、

3，与y 轴交点的纵坐标是－32

（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标

.

5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。

【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号

例1 （1）二次函数2y ax bx c =++的图像如图1，则点

),(a c b M 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

（2）已知二次函数y=ax2+bx+c （a ≠0）的图象如图2所示，?则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0.其中正确的个数是（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

(1) (2)

方．下列结论：①aO ；③4a+cO ，其中正确结论的个数为( )

A 1个 B. 2个 C. 3个 D ．4个

答案：D

会用待定系数法求二次函数解析式

例3.已知：关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax2+bx+c 的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( )

A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D ．(3，2)

答案：C

例4、如图（单位：m ），等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动，直到AB 与CD 重合．设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2．

（1）写出y 与x 的关系式；

（2）当x=2，3.5时，y 分别是多少？

（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一

半时，

三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、

对称轴.

例5、已知抛物线y=12x2+x-5

2．

（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．

（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，求线段AB 的长．

例6、 “已知函数c bx x y ++=221的图象经过点A （c ，－2），

求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。

（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。

（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。

点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点A （c ，－2）”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。

[解答] （1）根据c bx x y ++=221的图象经过点A （c ，－2），图象的对称轴是x=3，得???????=?--=++,

3212,

2212b c bc c

解得???=-=.2,3c b

所以所求二次函数解析式为

.2

3

2

1

2+

-

=x

x

y

图象如图所示。

（2）在解析式中令y=0，得

2

3

2

1

2=

+

-x

x

，解得.5

3

,5

3

2

1

-

=

+

=x

x

所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3+)0,5”或“抛物线与x 轴的一个交点的坐标是).0,5

3(-

令x=3代入解析式，得

,

2

5

-=

y

所以抛物线

2

3

2

1

2+

-

=x

x

y

的顶点坐标为

),

2

5

,3(-

所以也可以填抛物线的顶点坐标为

)

2

5

,3(-

等等。

函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。

用二次函数解决最值问题

例1 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）?与产品的日销售量y

若日销售量y是销售价

（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；

（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？?此时每日销售利润是多少元？

与相似三角形的综合

例：6．如图，抛物线经过(40)(10)(02)

A B C-

，，，，，三点．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作PM x

⊥轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC

△相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

二次函数应用题典例剖析

小强在一次投篮训练中，从距地面高1.55米处的O点投出一球向篮圈中心A点投去，球的飞行路线为抛物线，当球达到离地面最大高度3.55米时，球移动的水平距离为2米．现以O点为坐标原点，建立直角坐标系（如图所示），测得OA与水平方向OC的夹角为30o，A、C两点相距1.5米．

（1）求点A的坐标；

（3）判断小强这一投能否把球从O点直接投入

篮圈A点（排除篮板球），如果能的，请说明理由；

如果不能，那么前后移动多少米，就能使刚才那一

投直接命中篮圈A点了．（结果可保留根号）

分析：（1）利用直角三角形的边角关系得到OC的长，可以确定点A的坐标．（2）根据球到达的最大高度和移动的水平距离确定抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，然后把O（0，0）代入顶点式，求出抛物线的解析式．（3）把点A的坐标代入抛物线的解析式，发现抛物线的两边不等，说明点A不在抛物线上，那么小强不能从O点把球投入．把y=1.5代入抛物线求出x的值，得

到小强后退的距离．

点拨：题设结合实际情景给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进行应用。解答的关键是认真分析题意，正确写出数量关系式。

二次函数与面积

如图，已知平面直角坐标系xOy 中，点A （m ，6），B （n ，1）为两动点，其中0＜m ＜3，连接OA ，OB ，OA ⊥OB ．

（1）求证：mn =－6；

（2）当S △AOB =10时，抛物线经过A ，B 两点且以y 轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；

（3）在（2）的条件下，设直线AB 交y 轴于点F ，过点F 作直线l 交抛物线于P ，Q 两点，问是否存在直线l ，使S △POF ：S △QOF =1：3？若存在，求出直线l 对应的函数关系式；若不存在，请说明理由．

分析：（1）作BC ⊥x 轴于C 点，AD ⊥x 轴于D

点，证明△CBO ∽△DOA ，

利用线段比求出mn ．

（2）由（1）得OA =mBO 推出 2

1OB ?OA =10，根据勾股定理求出 mn 的值．然后可得A ，B 的坐标以及抛物线解析式．

（3）假设存在直线l 交抛物线于P 、Q 两点，使3

1 PQ PF ，作 PM ⊥y 轴于M 点，QN ⊥y 轴于N 点，设P 坐标为（t ，－t 2+10），

证明△PMF ∽△QNF 推出t 值，继而可解出点P 、Q 的坐标．

（三）二次函数错例分析

在解决与二次函数有关的问题时，往往由于审题不清、考虑不周而错解，为帮助大家纠正错误,正确灵活地应用二次函数的图像及性质，解决有关二次函数问题,现将常见原因所造成的错误剖析如下：

例1：如果函数y =()13232++-+-kx x k k k 是二次函数，

那么k 的值一定是______． 错解：根据二次函数的定义，得：

k 2－3k +2=2，

解得k =0或k =3；

∴当k =0或k =3时，这个函数是二次函数．

正解：根据二次函数的定义，得：

k 2－3k +2=2，

解得k =0或k =3；

又∵k －3≠0，

∴k ≠3．

∴当k =0时，这个函数是二次函数．

点拨：二次函数二次项系数不为0是个易错点。

例2、求二次函数x x y 422+=的顶点坐标

错解：x x y 422+==8)2(22-+=x y ，所以顶点坐标（－2，8）

正解：

得顶点坐标（－1，－2）

点拨：同学们应记住配方到y =a (x +h )2+m 形式时x +h =0得顶点横坐标h x -=，顶点纵坐标就是m 。该同学配方错误，在提取公因数2的时候一次项没提出来，同时按该同学配方结果－8这个整体才代表上面配方结果中的m 。

例3：二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，且P =|a －b +c |+|2a +b |，

2222(2)2(211)2(1)2

y x x x x x =+=++-=+

-

Q =|a +b +c |+|2a －b |，则P 、Q 的大小关系为P ＜Q ．

错解：q p >

正解：根据图象知道：

当x =－1时，y ＜0，

∴a －b +c ＜0；

当x =1时，y ＞0，

∴a +b +c ＞0；

∵对称轴在x =1的右边， ∴12>-a

b ，两边同乘以－2a （－2a >0）得 ∴2a +b ＞0；

∵a ＜0，b ＞0，

∴2a －b ＜0；

∴P =|a －b +c |+|2a +b |= －a +b －c +2a +b =a +2b －c ，

Q =|a +b +c |+|2a －b |=a +b +c －2a +b =－a +2b +c ，

∵图像过原点 ∴c =0 ∴P －Q = a +2b －c –(－a +2b +c )=2(a －c )=2a ＜0

∴P ＜Q ．

点拨：错解形式太多，无法全部写出。这里应注意：a 决定二次函数开口方向，由图象开口向下判断出a ＜0，由对称轴在x =1右侧、得出12>-

a

b ，两边同乘以－2a 得：

2a +b >0，当x =－1时图象在x 轴下方，得出y ＜0，即a －b +c ＜0．当x =1时图象在x 轴上方，得出y ＞0，即a +b +c ＞0，然后把P ，Q 化简利用作差法比较大小．

例4：如图是二次函数y =ax 2+bx +c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x =－1．给出两个结论：b 2＞4ac ； 5a ＜b ．它们正确的个数是

错解：b 2＞4ac 正确，5a ＜b 看不出，所以不正确。它们正确的个数是1个。

正解：∵图象与x 轴显然应有两个交点

∴b 2－4ac ＞0，

即b 2＞4ac ，正确；

把x =1，x =－3代入解析式得a +b +c =0，9a －3b +c =0，两边相加整理得 5a －b =－c ＜0，即5a ＜b ．

因此给出的两个结论都正确。

点拨：窍门就在当结论出现b 2－4ac 形式时，只考虑二次函数图像与x 轴交点的个数；当出现2a 和b 形式时只考虑a b x 2-=的符号或者值是多少，当出现本题5a

例5：已知：二次函数y =x 2－4x －a ，下列说法错误的是（ ）

A 、当x ＜1时，y 随x 的增大而减小

B 、若图象与x 轴有交点，则a ≤4

C 、当a =3时，不等式x 2－4x +a ＜0的解集是1＜x ＜3

D 、若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，－2），则a =－3

错解：选C

正解：解：二次函数为y =x 2－4x －a ，对称轴为x =2，图象开口向上．则：

A 、当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，故选项正确；

B 、若图象与x 轴有交点，即△=16+4a ≥0则a ≥－4，故选项错误；

C 、当a =3时，不等式x 2－4x +a ＜0的解集是1＜x ＜3，故选项正确；

D 、将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后所得函数解析式是y =（x +3）2－4（x +3）－a +1．

函数过点（1，－2），代入解析式得到：16－4×4－a +1=－2，解得a =－3．故

选项正确．

故选B ．

点拨：判断C 项正确关键点在理解二次函数y =x 2－4x +3，与一元二次方程x 2－4x +3=0的关系，x 2－4x +3=0的根为x 1=1,x 2=3. 满足函数y =x 2－4x +3<0的x 是图像在(1,0) ，(3,0)之间x 轴下方的部分，所以x 2－4x +3＜0的解集是1＜x ＜3正确。

例6：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），我们把使函数值等于0的实数x 叫做这个函数的零点，则二次函数y =x 2－mx +m －2（m 为实数）的零点的个数是（ ）

A 、1

B 、2

C 、0

D 、不能确定

错解：D

正解：由题意可知：函数的零点也就是二次函数y =ax 2+bx +c 与x 轴的交点 △=（－m ）2－4×1×（m －2）=m 2－4m +8=（m －2）2+4

∵（m －2）2一定为非负数

∴（m －2）2+4＞0

∴二次函数y =x 2－mx +m －2（m 为实数）的零点的个数是2．

故选B ．

点拨：判断二次函数y =x 2－mx +m －2的零点的个数，也就是判断二次函数y =x 2－mx +m －2与x 轴交点的个数；根据△与0的关系即可作出判断．

例7: 抛物线y =x 2－4x －5与x 轴交于点A 、B ，点P 在抛物线上，若△P AB 的面积为27，则满足条件的点P 有（ ）

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个

解：∵抛物线y =x 2－4x －5与x 轴交于点A 、B 两点． y=x 2-4x+3(1,0) (3,0) y=x (-1,0) (5,0)2-4x-5O A B P