2014中考综合模拟测试数学试题

2014中考综合模拟测试数学试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．）

１．与－

1

2

互为相反数的是（） （Ａ）－０.５ （Ｂ）12 （Ｃ）２ （Ｄ）2

1

２．平行四边形的对角线（）

（Ａ）相等 （Ｂ）不相等 （Ｃ）互相平分 （Ｄ）互相垂直 ３．函数y ＝－x －２的图象不经过（）

（Ａ）第一象限 （Ｂ）第二象限 （Ｃ）第三象限 （Ｄ）第四象限 ４．若分式

2

4

4

x x --的值为零，则x 的值是（） （Ａ）０ （Ｂ）±２ （Ｃ）４ （Ｄ）－４ ５．如图１，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，弦ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为Ｅ，如果

ＡＢ＝１０，ＣＤ＝８，那么线段ＯＥ的长为（）

（Ａ）６ （Ｂ）５ （Ｃ）４ （Ｄ）３ ６．已知三角形的两边长分别为２cm 和７cm ，则下列长度的四条

线段中能作为第三边的是（）

（Ａ）３cm （Ｂ）５cm （Ｃ）８cm （Ｄ）１０cm

７．在平面直角坐标系下，与点Ｐ（２，３）关于x 轴或y 轴成轴对称的点是（） （Ａ）（－３，２） （Ｂ）（－２，－３） （Ｃ）（－３，－２） （Ｄ）（－２，３） ８．若a m n =+，b m n =-，则ab 的值为（）

（Ａ）2m （Ｂ）2mn （Ｃ）m n + （Ｄ）m n - ９．下列命题中错误的是（）

（Ａ）平行四边形的对边相等 （Ｂ）两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （Ｃ）对角线相等的四边形是矩形 （Ｄ）矩形的对角线相等

１０．将边长为３cm 的正三角形的各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，再顺次连结这个正六边形的各边中点，又形成一个新正六边形，则这个新正六边形的面积等于（） （Ａ）

2334cm （Ｂ）2938cm （Ｃ）2934cm （Ｄ）2

928

cm 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

１１．方程：２（x －１）＋１＝０的解为 ．

１２．把直线y ＝－２x ＋１向下平移２个单位长度，得到的直线是 ． １３．不等式组30

2(1)33x x x

+>??

-+≥?的解集为 ．

１４．在反比例函数23m

y x

-=

的图象上有两点Ａ（1x ，1y ），Ｂ（2x ，2y ）， O D C B

A

图1 E

当1x ＜０＜2x 时，有1y ＞2y ，则m 的取值范围是 ．

１５．多边形的内角和与它的一个外角的和为７７０°，则这个多边形的边数是 ． １６．如图２，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，∠Ｂ＝９０°，∠Ｃ＝４５°，ＡＤ＝２，ＢＣ＝８，Ｅ为ＡＢ的中点，ＥＦ∥ＤＣ交ＢＣ于点Ｆ．则ＥＦ的长＝ ．

三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） １７．（本小题满分９分）分解因式：244x y xy y -+

１８．（本小题满分９分）

已知，如图３，点Ｂ、Ｅ、Ｆ、Ｃ在同一条直线上，∠Ａ＝∠Ｄ，ＢＥ＝ＣＦ，∠Ｂ＝∠Ｃ．求证：ＡＦ＝ＤＥ．

１９．（本小题满分１１分）某校为了了解九年级男生１０００米长跑的成绩，从中随机抽取了５０名男生进行测试，根据测试评分标准，将他们的得分进行统计后分为Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个等级，并绘制成下面的频数分布表（表一）和扇形统计图（图①）。 表一

等级 成绩（得分） 频数（人数）

频率 Ａ １０分 ７ ０.１４ ９分 １２ ０.２４ Ｂ ８分 x m ７分 ８ ０.１６ Ｃ ６分 y n ５分 １ ０.０２ Ｄ ５分以下

３ ０.０６ 合计

５０

１.００

（１）求出x 、y 的值，直接写出m 、n 的值；

（２）求表示得分为Ｃ等级的扇形的圆心角的度数；

（３）如果该校九年级共有男生２５０名，试估计这２５０名男

生中成绩达到Ａ等级的人数约有多少人？

２０．（本小题满分１０分）

开学前，李浩去商场买书包，商场在搞促销活动，买一个书包可

A B

C

D

E

F 图2

A

B C

D

E F 图3 B 等46%

A 等

D 等

C 等图①

以通过抽奖形式送笔．方法如下：在一个不透明的箱子里，分别装有四张完全一样的卡片，上面分别写有“钢笔”、 “圆珠笔”、“铅笔”、“谢谢”字样（其中“谢谢”卡即意味着没有奖品）．凭抽取的卡片，工作人员即时对应地给出奖品．李浩买了一个书包，并参加了抽奖． （１）若只准抽一次，且每次只能抽一张，直接写出李浩能抽到一支笔的概率；

（２）若可以不放回地抽两次，每次只能抽一张，请用树形图把所有可能的情况表示出来，

并求李浩得到钢笔和圆珠笔的概率．

２１．（本小题满分１０分）

为了帮助云南昭通地震灾区重建家园，某校号召师生自愿捐款．第一次捐款总额为２４００元，第二次捐款总额为６８００元．已知第二次捐款人数是第一次的２倍，而且人均捐款额比第一次多２０元．求第一次捐款的人数．

２２．（本小题满分１２分） 如图４，点Ｎ（０，６），点Ｍ在x 轴负半轴上，ＯＮ＝３ＯＭ．Ａ为线段ＭＮ上一点， ＡＢ⊥x 轴，垂足为Ｂ，ＡＣ⊥y 轴，垂足为Ｃ．矩形ＡＢＯＣ的面积为２．

（１）点Ｍ的坐标为 ； （２）求直线ＭＮ的解析式；

（３）求点Ａ的坐标（结果用根号表示）．

２３．（本小题满分１３分）

如图５，ＡＢ为⊙Ｏ的直径，∠ＡＢＣ＝３０°，ＥＤ⊥ＡＢ于点Ｆ，ＣＤ切⊙Ｏ于点Ｃ，交ＥＦ于点Ｄ．

（１）∠Ｅ＝ °；

（２）△ＤＣＥ是什么特殊三角形？请说明理由； （３）当⊙Ｏ的半径为１，ＢＦ＝

33

2

-时，求证△ＤＣＥ≌△ＯＣＢ．

２４．（本小题满分１４分）

已知抛物线2

y ax bx c =++与x 轴交于Ａ、Ｂ两点（Ａ在Ｂ的左侧），且Ａ、Ｂ两点的横坐

标是方程2

4x x +－１２＝０的两个根．抛物线与y 轴的正半轴交于点Ｃ，且ＯＣ＝ＡＢ．

（１）求Ａ、Ｂ、Ｃ三点的坐标；

O

x y 图4

B A

C N

M E F

D

C B

O A

图5

（２）求此抛物线的解析式；

（３）连接ＡＣ、ＢＣ，若点Ｅ是线段ＡＢ上的一个动点（与点Ａ、点Ｂ不重合），过点Ｅ

作ＥＦ∥ＡＣ交ＢＣ于点Ｆ，连接ＣＥ，设ＡＥ的长为m ，△ＣＥＦ的面积为Ｓ，求Ｓ与m 之间的函数关系式； （４）对于（３），试说明Ｓ是否存在最大值或最小值，若存在，请求出此值，并求出此时

点Ｅ的坐标，判断此时△ＢＣＥ的形状；若不存在，请说明理由．

２５．（本小题满分１４分）

如图６，Ｄ、Ｅ分别是△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＡＢ上的点，△ＡＢＣ，△ＢＤＥ，△ＡＣＤ的周长依次为m ，1m ，2m ．

（１）当∠２＝∠３，ＢＤ＝3

5ＢＣ时，求1m m

的值； （２）当∠１＝∠２，ＢＤ＝3

5ＢＣ时，求22()m m

的值；

（３）当∠１＝∠２＝∠３时，证明：12m m m ≤5

4

．

E D C

B

A

1

3

图6

2

参考答案

一、选择题

题 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答 案 Ｂ

Ｃ

Ａ

Ｃ

Ｄ

Ｃ

Ｄ

Ｄ

Ｃ

Ｂ

二、填空题

题 号 １１

１２

１３ １４

１５ １６

答 案

12

y ＝－２x －１

－３＜x ≤１

m ＞23

６

32

三、解答题 １７．（本小题满分９分）

解：244x y xy y -+＝2(4

4)y x x -+＝22(222)y x x -?

?+＝2(2)y x - １８．（本小题满分９分）

证明：∵ＢＥ＝ＣＦ，∴ＢＥ＋ＥＦ＝ＣＦ＋Ｆ，即ＢＦ＝ＣＥ．

在△ＡＢＦ和△ＤＣＥ中，

∵A D B C BF CE ∠=∠??

∠=∠??

=?

， ∴△ＡＢＦ≌△ＤＣＥ（ＡＡＳ），∴ＡＦ＝ＤＥ １９．（本小题满分１１分） 解：（１）由表一和扇形图①，可得x ＋８＝５０3４６％，解得x ＝１５．由表一， 得７＋１２＋１５＋８＋y ＋１＋３＝５０，得y ＝４．m ＝０.３０，n ＝０.０８； （２）Ｃ等级扇形的圆心角的度数为：（０.０８＋０.０２）3３６０°＝３６°； （３）达到Ａ等的人数约为：（０.１４＋０.２４）3２５０＝９５（人）．

２０．（本小题满分１０分） 解：（１）

3

4

；（２）树形图如下（图２）

按规定的方法，所有等可能的情况共１２种，而抽到钢笔和圆珠笔占两种， ∴Ｐ（钢笔，圆珠笔）＝212＝16，即李浩得到钢笔和圆珠笔的概率为16

．

钢笔 谢 谢 圆 珠 笔 铅 笔 圆珠笔 钢 笔 铅 笔 谢 谢 铅笔 谢 谢 钢 笔 圆 珠 笔 谢谢 铅

笔 钢 笔 圆 珠 笔

图2

２１．（本小题满分１０分）

解法一：设第一次捐款的人数为x ，根据题意，得：

68002x －2400

x

＝２０， 解该分式方程，得x ＝５０，经检验，x ＝５０是原分式方程的解．

答：第一次捐款的人数为５０人．

解法二：设第一次人均捐款y 元，根据题意，得：

680020y +＝２32400

y

， 解得y ＝４８，经检验，y ＝４８是原分式方程的解．

２４００÷y ＝２４００÷４８＝５０， 答：第一次捐款的人数为５０人． ２２．（本小题满分１２分） 解：（１）Ｍ（－２，０）；

（２）设直线ＭＮ的解析式为：y ＝kx b +，分别把Ｍ（－２，０），Ｎ（０，６）坐标代

入其中，得6002k b

k b

=?+??

=-+?，解得36k b =??=?，∴直线ＭＮ的解析式为：y ＝３x ＋６；

（３）设点Ａ的为（x ，y ）．∵点Ａ在线段ＭＮ上，∴y ＝３x ＋６，且－２＜x ＜０．

根据题意，得ＯＢ2ＡＢ＝２，∵ＯＢ＝－x ，ＡＢ＝y ，∴－x （３x ＋６）＝２，整理得：236x x +＋２＝０，解得x ＝－１±

23．当x ＝－１＋23

时，y ＝３＋2； 当x ＝－１－

23时，y ＝３－2．∴点Ａ的坐标为Ａ（－１＋2

3，３＋2） 或Ａ（－１－

2

3

，３－2）． ２３．（本小题满分１３分） 解：（１）３０°；

（２）△ＤＣＥ为等腰三角形．∵ＣＤ是⊙Ｏ的切线，∴∠ＯＣＤ＝９０° 即∠１＋∠３＝９０°（如图１）．∵ＡＢ为⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＣＢ＝９０°，∴∠ＥＣＢ＝９０°，即∠２＋∠３＝９０°，∴∠１＝∠２．∵∠Ｂ＝３０°，∴∠Ａ＝６０°； ∵ＯＣ＝ＯＢ，∴∠１＝∠Ｂ＝３０°，∴∠２＝３０°．

∵ＥＤ⊥ＡＢ于点Ｆ，∴∠Ｅ＝９０°－∠Ａ＝３０°，∴∠Ｅ＝∠２，故△ＤＣＥ的等腰三角形；

（３）证明：在Ｒt △ＡＢＣ中，∵∠Ｂ＝３０°，∴ＡＣ＝

12ＡＢ＝1

2

3２＝１．∴ＢＣ＝

22AB AC -＝3．ＡＦ＝ＡＢ－ＢＦ＝２－

332-＝132

+， 在Ｒt △ＡＥＦ中，∵∠Ｅ＝３０°，∴ＡＥ＝２ＡＦ＝１＋3，

∴ＣＥ＝ＡＥ－ＡＣ＝１＋3－１＝3．在△ＤＣＥ和△ＯＣＢ中，

∵∠Ｅ＝∠２＝∠Ｂ＝∠１＝３０°，ＣＥ＝ＢＣ＝3，∴△ＤＣＥ≌△ＯＣＢ．

２４．（本小题满分１４分）

解：（１）由方程24x x +－１２＝０得（x ＋６）（x －２）＝０，

∴1x ＝－６，2x ＝２，由题意得Ａ（－６，０）、Ｂ（２，０）．ＡＢ＝６－（－２）＝８， ∵ＯＣ＝ＡＢ且Ｃ点在y 轴的正半轴上，∴Ｃ（０，８）．∴Ａ、Ｂ、Ｃ三点的坐标分别为： Ａ（－６，０）、Ｂ（２，０）、Ｃ（０，８）；

（２）∵点Ｃ（０，８）在抛物线上，当x ＝０时，y ＝８，∴c ＝８． 将Ａ（－６，０）、Ｂ（２，０）代入28y ax bx =++，得36680

4280

a b a b -+=??

++=?，

解得238

3a b ?=-????=-??

，∴所求抛物线的解析式为y ＝－22833x x -＋８；

（３）依题意，ＡＥ＝m ，则ＢＥ＝８－m ．∵ＥＦ∥ＡＣ，∴△ＢＥＦ∽△ＢＡＣ，设ＢＥ边上的高为h ，由相似三角形的性质“对应高的比等于相似比”，

可得：ＢＥ边上的高︰ＢＡ边上的高＝ＢＥ︰ＢＡ，即h ︰ＯＣ＝ＢＥ︰ＢＡ， ∴h ︰８＝（８－m ）︰８，∴h ＝８－m ．如图２， Ｓ＝Ｓ△ＣＥＦ＝Ｓ△ＡＢＣ－Ｓ△ＡＣＥ－Ｓ△ＢＥＦ ＝123８3８－123８m －12

2

(8)m -， 化简整理得Ｓ＝－

2

142

m m + （０＜m ＜８）； （４）存在最大值．∵Ｓ＝－2142m m +＝－2221(844)2m m -+-＝－2

1(4)2

m -＋８，

∵－1

2

＜０，∴当m ＝４时，Ｓ有最大值８，Ｓ最大值＝８．m ＝４，即ＡＥ＝４，

∴点Ｅ的坐标为Ｅ（－２，０），∵Ｂ（２，０），∴ＯＣ⊥ＥＢ且平行ＥＢ， 即ＣＥ＝ＣＢ，∴△ＢＣＥ为等腰三角形．

E F

D

C B

O A

图1

1

2

3

２５．（本小题满分１４分）

解：（１）∵∠２＝∠３，∴ＤＥ∥ＡＣ，∴△ＢＤＥ∽△ＢＣＡ，∴1m m ＝BD

BC

，由ＢＤ＝

35ＢＣ，得BD BC ＝35，即1m m ＝3

5

； （２）∵∠１＝∠２，∠Ｃ是公共角，∴△ＡＣＤ∽△ＢＣＡ，∴

2m m ＝DC AC ＝AC

BC

， ∴22()m m ＝DC AC AC BC

?＝DC BC ，由ＢＤ＝35ＢＣ，得ＤＣ＝2

5ＢＣ，∴22()m m ＝25；

（３）证法一：由∠２＝∠３，得ＤＥ∥ＡＣ，∴△ＢＤＥ∽△ＢＣＡ；

∠１＝∠２，∠Ｃ是公共角，∴△ＡＣＤ∽△ＢＣＡ，∴△ＡＣＤ∽△ＢＤＥ∽△ＢＣＡ．

∴

1m m ＝BD BC ① 2m m ＝DC AC ＝AC

BC

② 由②得，22()m m ＝DC AC AC BC ?＝DC BC ＝BC BD BC

-＝１－BD

BC ＝１－1m m ，

∴1m m ＝１－22()m m ．12m m m +＝1m m ＋2m m ＝１－22()m m ＋2m m ＝－22()m m ＋2m m ＋１＝－2215()24m m -+，

∵－221()2

m m -≤０，∴12m m m +≤54．

证法二：由∠２＝∠３，得ＡＣ∥ＤＥ，∴△ＢＣＡ∽△ＢＤＥ． ∵∠１＝∠２，∠Ｃ是公共角，∴△ＢＣＡ∽△ＡＣＤ，∴△ＢＣＡ∽△ＢＤＥ∽△ＡＣＤ． ∵△ＡＢＣ，△ＥＢＤ，△ＡＤＣ的周长为m ，1m ，2m ，∴相似比为m ︰1m ︰2m ，

12

10

86

42

-2

-5

x=-2

F

E

C B

A

O

y

x

图2

∴ＢＣ︰ＢＤ︰ＡＣ＝m ︰1m ︰2m ．设

BC m ＝1BD m ＝2

AC

m ＝k ，则ＢＣ＝mk ，ＢＤ＝1m k ，ＡＣ＝2m k ．ＣＤ＝ＢＣ－ＢＤ＝（1m m -）k ，由

CD AC AC BC =，得12

2m m m m m

-=， 等式左边的分子、分母同除以m ，得

1

221m m m m m m

-

=，设2m x m =，1m y m =， 则1y

x x

-=，１－y ＝2x ， y ＝１－2x ， 12m m m +＝1m m ＋2m m ＝x ＋y ＝x ＋１－2x ＝－2

x ＋x ＋１＝－215()24x -+，当x ＝12时，12m m m +取得最大值54，∴12m m m +≤54

．

证法三：证明：由∠２＝∠３，得ＤＥ∥ＡＣ，

∴△ＥＢＤ∽△ＡＢＣ．设相似比为k ，由题意知，０＜k ＜１．则1m m ＝DE AC ＝BE AB ＝BD

BC

＝k ．∵∠２＝∠１，∠Ｃ是公共角，∴△ＤＡＣ∽△ＡＢＣ，

∴2m m ＝DC AC ＝AD AB ＝AC BC ．在△ＡＢＣ中，设ＡＢ＝x ，ＡＣ＝y ，ＢＣ＝z ，由BD

BC ＝k ，得ＢＤ＝k ＢＣ＝k z ，ＣＤ＝ＢＣ－ＢＤ＝z －k z ． 由DE AC ＝k ，得ＤＥ＝k ＡＣ＝k y ．由△ＡＢＣ∽△ＤＡＣ，得AC BC ＝DC AC

， 得

y z kz z y -=，∴22(1)y z k =-．∵０＜k ＜１，∴１－k ＞０，∴y ＝1k -z ． ∴

12m m m +＝1m m ＋2m m ＝DE AC ＋DC AC ＝()ky z kz y +-＝1(1)

1k k z z k k z

?-+--＝k ＋

1k -．设1k -＝n ，则１－k ＝2n ，k ＝１－2n ，

∴

12m m m +＝１－2n ＋n ＝－2

n ＋n ＋１＝－215()24

n -+，当n ＝12时，12m m m +取得

最大值5

4，∴12m m m +≤54

．