河南省湘豫名校2020-2021学年高三上学期1月月考数学文科试题(解析版)
湘豫名校联考（2021年1月）
数学（文科）试卷
第Ⅰ卷
一、选择题
1. 将下列各式的运算结果在复平面中表示，在第四象限的为（ ） A.
1i
i
+ B.
1i
i
+- C.
1i
i
- D.
1i
i
-- 【答案】A
2. 设集合{1,0,1}A =-，集合{}
B x x t =>，若A 、B 两集合的关系如图，则实数t 的取值范围为（ ）
A. 1t ≤
B. 1t ≥
C. 1t <
D. 1t >
【答案】B
3. 根据如下样本数据：
x
2 3 4 5 6
y
4
2.5
0.5- 2- 3-
得到的回归方程为y bx a =+，则（ ） A. 0a >，0b > B. 0a >，?0b < C. 0a <，0b > D. 0a <，?0b
< 【答案】B
4. 函数2ln ||y x x =-的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
5. 在数列{}n a 中，12a =，()*111n
n n
a
a n a ++=∈-N ，则2021a =（ ） A. 1
2
-
B. -3
C.
13
D. 2
【答案】D
6. 《巴黎协定》是2015年12月12日在巴黎气候变化大会通过，2016年4月22日在纽约签署的气候变化协定，该协定为2020年后的全球应对气候变化行动作出安排．中国政府一直致力积极推动《巴黎气候》协定的全面有效落实．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%．已知在过滤过
程中污染物的数量P （单位：毫克/升） 与过滤时间t （单位：时）之间的函数关系式为0e k
P P -=（k ，0
P 均为正常数）．如果前5小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是（ ） A.
1
2
小时 B.
5
9
小时 C. 5小时 D. 10小时
【答案】C
7. 函数()g x 的图象是由函数()2sin 22cos 2f x x x =
+的图象向右平移
4
π
个单位长度得到的，则下列关于函数()g x 的说法正确的是（ ） A. ()g x 为奇函数
B. ()g x 为偶函数
C. ()g x 的图象的一条对称轴为78
x π= D. ()g x 的图象的一个对称中心为3,08π??
???
【答案】C
8. 在长方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是棱1BB ，BC 的中点，若M 在以1C N 为直径的圆上，则异面直线1A D 与1D M 所成的角为（ ）
A. 45?
B. 60?
C. 90?
D. 随长方体的形状变化而
变化 【答案】C
9. 疫苗是为预防、控制传染病的发生、流行，用于人体预防接种的预防性生物制品，其前期研发过程中，一般都会进行动物保护测试，为了考察某种疫苗预防效果，在进行动物试验时，得到如下统计数据：
附表及公式：
2
2()
()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．
现从试验动物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率为5
，则下列判断错误的是（ ） A. 注射疫苗发病的动物数为10
B. 从该试验未注射疫苗的动物中任取一只，发病的概率为23
C. 能在犯错概率不超过0．001的前提下，认为疫苗有效
D. 该疫苗的有效率为75% 【答案】D
10. 圆2
2
3(1)4
x y -+=的一条切线y kx =与双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>无交点，则双曲线C 的离心率
的取值范围为（ ）
A.
)
+∞
B. (
C. [2,)+∞
D. (1,2]
【答案】D
11. 函数()3log f x x =，若正实数m 、()n m n <满足()()f m f n =，且()f x 在区间2
,m n ????上的最大
值为2，则n m -=（ ） A.
8
3
B.
809
C.
154
D.
255
16
【答案】A
12. 已知矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，E ，F 分别为边AB 和CD 上
动点（不与端点重合），且
//EF AD ，将四边形ADFE 沿EF 折起，使平面ADFE ⊥平面BCFE ，连接AB ，CD ，当三棱柱ABE DCF -的体积最大时，该三棱柱的外接球体积为（ ）
A.
3
B.
3
C.
6
D.
【答案】C
第Ⅱ卷
二、填空题
13. 若单位向量1e ，2e 的
夹角为120°，则21e e -=______．
14. 已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点的直线交抛物线于,A B 两点，若||6AB =，AB 的中点的横坐标为2，则此抛物线的方程为__________． 【答案】2
4y x =
15. 已知数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项的和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝2(n ∈N *)，则满足21001
11
100010
n n
S S <<的n
的最大值为__________． 【答案】9 16. 不等式ln a
x x x
+
>在()1,x e ∈上恒成立，则实数a 的取值范围为______． 【答案】[
)1,-+∞
三、解答题 （一）必考题：
17. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a
，b ，c
2222ac +=-． （1）求sin B ； （2）若a =
2b =，求ABC 的面积．
【答案】（1）
3；（2）
22
-. 18. 某餐厅提供自助餐和点餐两种服务，其单人平均消费相近，为了进一步提高菜品及服务质量，餐厅从某日中午就餐的顾客中随机抽取了100人作为样本，得到以下数据表格．
（单位：人次）
满意度
老年人
中年人
青年人
自助餐
点餐 自助餐 点餐 自助餐 点餐 10分（满意） 12 1 20 2 20 1 5分（一般） 2 2 6 3 4 12 0分（不满意）
1
1
6
2
3
2
（1）由样本数据分析，三种年龄层次的人群中，哪一类更倾向于选择自助餐?
（2）为了和顾客进行深人沟通交流，餐厅经理从点餐不满意的顾客中选取2人进行交流，求两人都是中年人的概率；
（3）若你朋友选择到该餐厅就餐，根据表中的数据，你会建议你朋友选择哪种就餐方式? 【答案】（1）中年人更倾向于选择自助餐；（2）1
10
P =
；（3）建议其选择自助餐． 19. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，M 为11B C 中点．
（1）求证：1//AB 平面1BD M ；
（2）若12AA AD ==，22AB =A 到平面1BD M 的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2222
． 20. 已知函数2
()ln ()2
a f x x x a =-
∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若()f x 有极值1-，求()f x 的图象在1x =处的切线方程．
【答案】（1）当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，()f x 在0,
a
a
? ?
?
单调递增，在,a a ??+∞ ? ???单调递减；（2）(1)102
x y e
e -+-
+=.
21. 已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为12，点1F ，2F 分别为其左、右焦点，点A ，B 分别为
其左、右顶点，点Q 为椭圆上不与A ，B 重合的动点，且1QAF △
面积的最大值为2
． （1）求椭圆C 的方程；
（2）分别过点A ，B 作直线1l AQ ⊥于点A ，2l BQ ⊥于点B ，设1l 与2l 相交于点P ，求点P 的轨迹方程．
【答案】（1）2
2
143
x y +=；（2）22
1(2)
164
3
y x x +=≠±. （二）选考题．
22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线1
l
的参数方程为,
12
x y t ?=??
?
?=??
（t 为参数）
．以坐标原点为极点，x 轴的
正半轴为极轴，建立极坐标系，直线2l 的极坐标方程为2sin 303πρθ??
-+= ??
?
，2l 交极轴于点A ，交直线1
l 于B 点．
（1）求A ，B 点的极坐标方程；
（2）若点P 为椭圆2
213
y x +=上的一个动点，求PAB △面积的最大值及取最大值时点P 的直角坐标．
【答案】（1）)
A
，3,6B π?? ???；（2）max S =，P 点坐标为? ??
. 23. 已知函数()21()f x x x m m =-++∈R ． （1）若1m =，解不等式()6f x ≤；
（2）若关于x 的不等式()21f x x ≤+在3,24??????
上恒成立，求实数m 的取值范围．
【答案】（1）{
}
22x x -≤≤；（2）11,04??
-
????