八年级初二数学下学期二次根式单元 易错题难题学能测试试题
八年级初二数学下学期二次根式单元 易错题难题学能测试试题
一、选择题
1．下列计算正确的是（ ） A ．336+=
B ．3323+=
C ．336?=
D ．3333+=
2．下列计算正确的是（ ） A ．532-=
B ．223212?=
C ．933÷=
D ．423214+=
3．已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简2||(-1)a a +的结果为（ ）
A ．1
B ．﹣1
C ．1﹣2a
D ．2a ﹣1 4．下列式子中，是二次根式的是( )
A 2
B 32
C x
D ．x
5．下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A 12
B 7
C 4
D 48
6．下列运算正确的是（ ） A x 2x 3x B ．2﹣2=1
C ．55
D ．x ﹣x （a ﹣b x
7．已知0xy <，化简二次根式2
y
x - ） A y B y -
C ．y -
D ．y --
8．x ≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（ ） A 3x +B 1
3
x - C 1
3
x +D 3x -
9．230x x +-=成立的x 的值为（ ）
A ．-2
B ．3
C ．-2或3
D ．以上都不对 10．下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 1-B 4x C 24a -D 2a 11．下列运算正确的是（ ） A 826=
B 222=
C 3515=
D 2739=
12．12+63的值应在（ ） A ．1和2之间
B ．3和4之间
C ．4和5之间
D ．5和6之间
二、填空题
13．已知
112a b +=，求535a ab b a ab b
++=-+_____． 14．
2=
=________．
15．
+的形式(,,a b c 为正整数)，则abc =______.
16．若2x ﹣
x 2﹣x=_____．
17．
若6x ，小数部分为y
，则(2x y 的值是___.
18．已知：
可用含x
=_____．
19．
，3
，
，
，则第100个数是_______．
20．
已知2x =243x x --的值为_______．
三、解答题
21．计算及解方程组： （1
-1-） （2
)
2
+
（3）解方程组：25103
2x y x y x y -=??
+-?=??
【答案】（1
）2
）7；（3）102
x y =??=?． 【分析】
（1）首先化简绝对值，然后根据二次根式乘法、加减法法则运算即可； （2）首先根据完全平方公式化简，然后根据二次根式加减法法则运算即可； （3）首先将第二个方程化简，然后利用加减消元法即可求解． 【详解】
（1
1-
1+（
1
1
=1
（2
2
+）
=34-
=7-
=7-
（3）2510
32x y x y x y
-=??
?+-=??
①②
由②得：50x y -= ③ ②-③得： 10x = 把x=10代入①得：y=2 ∴原方程组的解是：10
2x y =??=?
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，加减消元法解二元一次方程，熟练掌握二次根式的运算法则是本题的关键．
22．小明在解决问题：已知a
2a 2－8a ＋1的值，他是这样分析与解答的： 因为a
＝2，
所以a －2
所以(a －2)2＝3，即a 2－4a ＋4＝3. 所以a 2－4a ＝－1.
所以2a 2－8a ＋1＝2(a 2－4a)＋1＝2×(－1)＋1＝－1.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)计算：= － .
(2)
…
(3)若a ，求4a 2－8a
＋1的值． 【答案】 ，1；(2) 9；(3) 5
【分析】
（1
1==；
（2）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差
公式的根式，去掉分母，然后合并同类项二次根式即可求解； （3）首先化简a ，然后把所求的式子化成()2
413a --代入求解即可. 【详解】 (1)计算：
1=； (2)
原式
)
1...11019=
+
+
++
==-=；
(3)
1a =
==，
则原式(
)
()2
2
4213413a a a =-+-=
--， 当1
a =
时，原式2
435=?
-=.
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键.
23
．阅读材料，回答问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式
a =
，
)
1
11
=
11
互为有理化因式．
（1）1的有理化因式是 ；
（
2）这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：
3==，
2
4
==
==
进行分母有理化． （3）利用所需知识判断：若a =
，2b =a b
，的关系是 ． （4
）直接写结果：)
1
=
．
【答案】（1）1；（2）7-；（3）互为相反数；（4）2019 【分析】
（1）根据互为有理化因式的定义利用平方差公式即可得出；
（2
）原式分子分母同时乘以分母的有理化因式(2，化简即可；
（3
）将a=
（4）化简第一个括号内的式子，里面的每一项进行分母有理化，然后利用平方差公式计算即可．
【详解】
解：（1
）∵(
)()
1111
=，
∴1
的有理化因式是1；
（2
2
2
7 -
==-
（3
）∵2
a===，2
b=
-，
∴a和b互为相反数；
（4
）)1 ++
?
=)
1
1
?
=)
11
=20201
-
=2019，
故原式的值为2019.
【点睛】
本题考查了互为有理化因式的定义及分母有理化的方法，并考查了利用分母有理化进行计算及探究相关式子的规律，本题属于中档题．
24．
解：设x
222
x
=++2334
x=+，
x2=10
∴x
=10．
．
【分析】
根据题意给出的解法即可求出答案即可． 【详解】
设x
两边平方得：x 2=
2+
2+
即x 2=4
+4
+6， x 2=14 ∴x =
．
0，∴x
． 【点睛】
本题考查了二次根式的运算，解题的关键是正确理解题意给出的解法，本题属于中等题型．
25．
）÷
）（a ≠b ）．
【答案】
【解析】
试题分析：先计算括号内的，然后把除法转化为乘法，约分即可得出结论．
试题解析：解：原式＝
()(
)
a b a b --+-
26．观察下列等式：
1
==
；
==
==
回答下列问题：
（1
（2）计算：
【答案】（1（2）9 【分析】
（1）根据已知的31
=-n=22代入即可
求解；（2）先利用上题的规律将每一个分数化为两个二次根式的差的形式，再计算即可． 【详解】
解：（1
=
（2+
99+
=1100++-
=1 =10-1 =9.
27．先化简再求值：（a ﹣2
2ab b a -）÷22a b a
-，其中，b=1．
【答案】原式=a b
a b
-=+【分析】
括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后将数个代入进行计算即可. 【详解】
原式=()()
222a ab b a
a a
b a b -+?+-
=
()()()
2
·a b a a
a b a b -+- =
a b a b
-+，
当，b=1时，
原式
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.
28．先化简，再求值：2443
(1)11
m m m m m -+÷----，其中2m =.
【答案】22m
m
-+ 1． 【解析】
分析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m 的值代入计算可得．
详解：原式=2
21m m --（）÷（31m -﹣211m m --） =2
21m m --（）÷241
m m --
=2
21
m m --（）
?122m m m --+-（）（） =﹣22m m -+
=22m m
-+
当m ﹣2时，原式=
=
=﹣1+
=1．
点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
29．计算：
（1；
（2+2）2+2）．
【答案】（1-2）【分析】
（1）直接化简二次根式进而合并得出答案； （2）直接利用乘法公式计算得出答案． 【详解】
解：（1）原式＝-
（2）原式＝3434++-＝6+． 【点睛】
本题考查了二次根式的运算，在进行二次根式运算时，可以运用乘法公式，运算率简化运算．
30．先阅读下面的解题过程，然后再解答.
a ，
b ，使a b m +=，ab n =，即22m +==
0)a b ==±>.
这里7m =，12n =， 由于437+=，4312?=，
所以22+==，
2===.
. 【答案】见解析 【分析】
应先找到哪两个数的和为13，积为42．再判断是选择加法，还是减法． 【详解】
根据题意，可知13m =，42n =， 由于7613+=，7642?=，
所以2213+=，=
===
【点睛】
此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于求得13m =，42n =.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
根据二次根式加法法则，二次根式的乘法法则计算后判断即可得到答案. 【详解】
=3= ， ∴A 、C 、D 均错误，B 正确， 故选：B. 【点睛】
此题考查二次根式的加法法则，二次根式的乘法法则，熟记计算法则是正确解题的关键.
2．B
解析：B 【分析】
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【详解】
A 不符合题意；
∵12=，故选项B 符合题意；
C 不符合题意；
∵=D 不符合题意； 故选：B ． 【点睛】
本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
3．A
解析：A 【分析】
先由点a 在数轴上的位置确定a 的取值范围及a-1的符号，再代入原式进行化简即可 【详解】
由数轴可知0＜a ＜1，
所以，||1a a a =+-＝1，选A ． 【点睛】
此题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，解题关键在于确定a 的大小
4．A
解析：A 【分析】
a≥0）的式子叫做二次根式，据此可得结论．
【详解】
解：A是二次根式，符合题意；
B是三次根式，不合题意；
C、当x＜0
D、x属于整式，不合题意；
故选：A．
【点睛】
此题考查二次根式的定义，关键是根据二次根式的定义理解被开方数是非负数．
5．B
解析：B
【分析】
根据最简二次根式的定义即可求出答案．
【详解】
=，故A不是最简二次根式；
2
是最简二次根式，故B正确；
，故C不是最简二次根式；
=D不是最简二次根式；
故选：B．
【点睛】
本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．
6．D
解析：D
【解析】
利用二次根式的加减法计算，可知：
A、
B、﹣
C、
D、﹣（a﹣b，此选项正确．
故选：D．
7．B
解析：B
【分析】
先根据xy＜0，考虑有两种情况，再根据所给二次根式可确定x、y的取值，最后再化简即
【详解】 解：
0xy <，
0x ∴>，0y <或0x <，0y >，
又
2
y
x x -
有意义， 0y ∴<，
0x ∴>，0y <，
当0x >，0y <时， 故选B ． 【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简．解题的关键是能根据已知条件以及所跟二次根式来确定x 、y 的取值．
8．D
解析：D 【分析】
根据二次根式有意义的条件逐项求解即可得答案. 【详解】
A 、x+3≥0，解得：x≥-3，故此选项错误；
B 、x-3＞0，解得：x ＞3，故此选项错误；
C 、x+3＞0，解得：x ＞-3，故此选项错误；
D 、x-3≥0，解得：x≥3，故此选项正确， 故选D ． 【点睛】
本题考查了二次根式和分式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．分式的分母不能等于0．
9．B
解析：B 【分析】
根据二次根式有意义的条件以及二次根式的乘法进行分析即可得答案. 【详解】
x 30-=，
0=0=， ∴x=-2或x=3， 又∵20
30
x x +≥??
-≥?，
∴x=3，
【点睛】
本题考查了二次根式的乘法以及二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键. 10．D
解析：D
【分析】
根据二次根式的意义,如果一定是二次根式,则不论字母取何值,被开方数一定是非负数,逐一判断即可得．
【详解】
解:A,不是二次根式；
B x＜0时无意义,不一定是二次根式；
C在-2＜a＜2时,无意义,不一定是二次根式；
D a2≥0,一定是二次根式；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查二次根式的定义,一般地,a≥0）的式子叫做二次根式．11．C
解析：C
【分析】
根据二次根式的减法法则对A进行判断；根据二次根式的加法法则对B进行判断；根据二次根式的乘法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【详解】
解：A=，所以A选项错误；
B=B选项错误；
C=C选项正确；
D3
=，所以D选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
12．B
解析：B
【分析】
原式利用多项式除以单项式法则计算，估算确定出范围即可．
【详解】
＝
∵1＜2＜4，
∴1＜2，
即3＜＜4，
则原式的值应在3和4之间．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，以及无理数的估算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
二、填空题
13．13
【解析】
【分析】
由得a+b=2ab，然后再变形，最后代入求解即可.
【详解】
解：∵
∴a+b=2ab
∴
故答案为13.
【点睛】
本题考查了已知等式求代数式的值，解答的关键是通过变形找
解析：13
【解析】
【分析】
由11
2
a b
+=得a+b=2ab，然后再变形
535
a a
b b
a a
b b
++
-+
，最后代入求解即可.
【详解】
解：∵11
2 a b
+=
∴a+b=2ab
∴
()
53
53510ab3
===13
2ab
a b ab
a a
b b ab
a a
b b a b ab ab
++
+++
-++--
故答案为13.
【点睛】
本题考查了已知等式求代数式的值，解答的关键是通过变形找到等式和代数式的联系.
14．【解析】
【分析】
用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、n的值即可．
【详解】
设m＝，n＝，
那么m?n＝2①，
m2＋n2＝()2＋()2＝34②．
由①得，m＝2
解析：13
【解析】
【分析】
用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、n的值即可．【详解】
设m n
那么m?n＝2①，
m2＋n2＝2＋2＝34②．
由①得，m＝2＋n③，
将③代入②得：n2＋2n?15＝0，
解得：n＝?5（舍去）或n＝3，
因此可得出，m＝5，n＝3（m≥0，n≥0）．
n＋2m＝13．
【点睛】
此题考查二次根式的减法，本题通过观察，根号里面未知数的系数为相反数，可通过换元法求解．
15．【解析】
【分析】
根据题意，可得到=，利用平方关系把根号去掉，根据、、的系数相等的关系得到关于a，b，c的三元方程组，解方程组即可.
【详解】
∵=
∴，
即．
解得
． 【点睛】 本题考查了
解析：【解析】 【分析】
a ，
b ，
c 的三元方程组，解方程组即可. 【详解】
∴(2
2118=，
即2222118235a b c =+++++．
2222352118,2120,2540,2144,a b c ab ac bc ?++=?
=?∴?=??=? 解得15,4,18.a b c =??
=??=?
154181080abc ∴=??=． 【点睛】
本题考查了二次根式的加减，解本题的关键是将等式平方去根号，利用等量关系中等式左
、
.
16．【解析】 【分析】
根据完全平方公式以及整体的思想即可求出答案． 【详解】 解：∵2x ﹣1= ， ∴（2x ﹣1）2=3 ∴4x2﹣4x+1=3 ∴4（x2﹣x ）=2 ∴x2﹣x= 故答案为 【点
解析：
12 【解析】 【分析】
根据完全平方公式以及整体的思想即可求出答案． 【详解】
解：∵2x ﹣
， ∴（2x ﹣1）2=3 ∴4x 2﹣4x+1=3 ∴4（x 2﹣x ）=2
∴x 2﹣x=
12 故答案为1
2
【点睛】
本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
17．3 【分析】
先估算,再估算,根据6－的整数部分为x,小数部分为y,可得: x=2, y=,然后再代入计算即可求解. 【详解】 因为, 所以,
因为6－的整数部分为x,小数部分为y, 所以x=2,
解析：3 【分析】
先估算34<<,再估算263<<,根据6x ,小数部分为y ,可
得: x =2, y=4然后再代入计算即可求解. 【详解】
因为34<,
所以263<-<,
因为6x ,小数部分为y ,
所以x =2, y=4-,
所以(2x y =(4416133=-=,
故答案为:3.
【点睛】
本题主要考查无理数整数部分和小数部分,解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法.
18．【解析】 ∵=， ∴== = -==﹣x3+x ， 故答案为：﹣x3+x.
解析：211166
x x -+ 【解析】
∵
x =
-
3
=
=
123
=
146
+
= -2
1
116
?
?-???
?=3
1
11
6
6
-
+
=﹣16x 3+11
6
x ，
故答案为：﹣
16x 3+11
6
x. 19．【分析】
原来的一列数即为，，，，，，于是可得第n 个数是，进而可得答案． 【详解】
解：原来的一列数即为：，，，，，， ∴第100个数是． 故答案为：． 【点睛】
本题考查了数的规律探求，属于常考
解析：【分析】
，，于是可得第n 进而可得答案． 【详解】
，
∴第100=．
故答案为： 【点睛】
本题考查了数的规律探求，属于常考题型，熟练掌握二次根式的性质、找到规律是解题的关键．
20．-4 【分析】
把代入计算即可求解． 【详解】 解：当时， =-4
故答案为：-4 【点睛】
本题考查了求代数式的值，二次根式混合运算，本题直接代入求值即可，能正确进行二次根式的混合运算是解题
解析：-4 【分析】
把2x =243x x --计算即可求解． 【详解】
解：当2x =
243x x --
((2
2423=---
4383=--+
=-4 故答案为：-4 【点睛】
本题考查了求代数式的值，二次根式混合运算，本题直接代入求值即可，能正确进行二次根式的混合运算是解题关键．
三、解答题 21．无 22．无 23．无
24．无25．无26．无27．无28．无29．无30．无