初中数学“圆”专题复习(初三必备)
初中数学“圆”专题复习（初三必备）
一、知识点梳理
知识点1：圆的定义：
1. 圆上各点到圆心的距离都等于 .
2. 圆是对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的；
圆又是对称图形，是它的对称中心.
知识点2：弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、圆心角、圆周角等与圆有关的概念
1.在同圆或等圆中，相等的弧叫做
2. 同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的 .
3. 直径所对的圆周角是，90°所对的弦是 .
例1 P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；?最长弦长为_______．
例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度．点P是半圆弧AC的中点，连接BP交AC于点D，若半圆弧的圆心为O，点D、点E关于圆心O对称．则图中的两个阴影部分的面积S
1
，
S
2
之间的关系是（）
A．S
1＜S
2
B．S
1
＞S
2
C．S
1
=S
2
D．不确定
例3 如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，所围成的图形（阴影部分）的面积为（）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
知识点3：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个圆周角中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别 .
知识点4：垂径定理
垂直于弦的直径平分，并且平分；
平分弦(不是直径)的垂直于弦，并且平分 .
例1、如图（1）和图（2），MN是⊙O的直径，弦AB、CD?相交于MN?上的一点P，?∠APM=∠CPM．
（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．
（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．
例2 在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（）
A．6分米 B．8分米 C．10分米 D．12分米
例3 小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（）
例4如图所示，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB的长，就计算出了圆环的面积，若测量得AB的长为20米，则圆环的面积为（）
A．10平方米 B．10π平方米 C．100平方米 D．100π平方米
例5 为了测量一铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（）
A．8.8cm B．8cm C．9cm D．10cm
知识点5：确定圆的条件及内切圆
三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的___________、这个圆的圆心叫做三角形的、这个三角形是圆的 .
切线的判定与性质
判定切线的方法有三种：①利用切线的定义：即与圆有的直线是圆的切线。
②到圆心的距离等于的直线是圆的切线。
③经过半径的外端点并且于这条半径的直线是圆
的切线。
切线的五个性质：①切线与圆只有公共点；
②切线到圆心的距离等于圆的；
③切线垂直于经过切点的；
④经过圆心垂直于切线的直线必过；
⑤经过切点垂直于切线的直线必过。
三角形内切圆
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的，三角形内切圆的圆心叫三角形的 .
切线长定理
经过圆外一点作圆的切线，这点与之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长.过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的 .
例
例2 如图，在坐标平面上，Rt△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，AB垂直x轴，M为Rt△ABC的外心．若A点坐标为（3，4），M点坐标为（-1，1），则B点坐标为何（）A．（3，-1） B．（3，-2） C．（3，-3） D．（3，-4）
例3 如图所示，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若AD=3，AC=2，则cosD的值为（）
中考数学精编—初中数学圆专题复习
初中数学圆的专题圆 一、知识点梳理 知识点1：圆的定义： 1. 圆上各点到圆心的距离都等于 . 2. 圆是对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的； 圆又是对称图形，是它的对称中心. 知识点2：弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、圆心角、圆周角等与圆有关的概念 1.在同圆或等圆中，相等的弧叫做 2. 同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的 . 3. 直径所对的圆周角是，90°所对的弦是 . 例1 P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；?最长弦长为_______． 例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度．点P是半圆弧AC的中点，连接BP交AC于点D，若 半圆弧的圆心为O，点D、点E关于圆心O对称．则图中的两个阴影部分的面积S 1，S 2 之间的关系是 （） A．S 1＜S 2 B．S 1 ＞S 2 C．S 1 =S 2 D．不确定 例3 如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，所围成的图形（阴影部分）
的面积为（） 例4 车轮半径为0.3m的自行车沿着一条直路行驶，车轮绕着轴心转动的转速为100转/分，则自行车的行驶速度（） A．3.6π千米/时 B．1.8π千米/时 C．30千米/时 D．15千米/时 例5 如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，图中弦的条数有（） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 知识点3：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个圆周角中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别 . 知识点4：垂径定理 垂直于弦的直径平分，并且平分； 平分弦(不是直径)的垂直于弦，并且平分 . 例1、如图（1）和图（2），MN是⊙O的直径，弦AB、CD?相交于MN?上的一点P，?∠APM=∠CPM．（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由． （2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．
初三数学圆的知识点整理
1.在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另 一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 2.连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。 3.圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直 径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。能够重合的两个圆叫做等圆。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 4.P108圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称 轴，圆心是它的对称中心（p110） 5.垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。(逆定理： 经过弦中点的直径垂直于这条弦并且平分弦所对的两条弧) 6.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。 7.我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。 8.定理1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦也相等。 9.在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相 等。 10.定理3：在同圆或等圆中，相等的弦所对的两条劣弧（优弧） 相等，相等的劣弧（优弧）所对的圆心角相等。相等的圆心角所对的弦相等的优劣弧之间的关系 11.不在同一条直线上的三个点确定一个圆（P117） 12.顶点在圆上，并且两边都与圆相交(弦)的角叫做圆周角。 13.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这 条弧所对的圆心角的一半。(p122)4-23 14.定理：（p119-120）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90° 的圆周角所对的弦是直径。 15.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫 做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。 16.P123推论：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，他们所 对的弧一定相等。 17.圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的一个外角等于互 补角的内对角；对角互补的四边形内接于圆 下接PPT 18.点P在圆外——d > r 点P在圆上——d = r 点P在圆内— —d < r
初中数学圆练习题大全
初中数学圆练习题大全 （一） 一. 填空 1.在半径为10cm的⊙O中，弦AB长为10cm,则O点到弦AB的距离是______cm． 3.圆外切等腰梯形的周长为20cm，则它的腰长为______cm. 4.AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于D，AD=4cm,,BD=9cm,则CD=______cm,BC=______cm. 5.若扇形半径为4cm，面积为8cm，则它的弧长为______cm. 6.如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C点，若圆O的半径为6，OP=10， 则△PDE的周长为______. 7.如图，PA=AB，PC=2，PO=5，则PA=______. 8.斜边为AB的直角三角形顶点的轨迹是______. 9.若两圆有且仅有一条公切线，则两圆的位置关系是______. 10.若正六边形的周长是24cm,它的外接圆半径是______，内切圆半径是 ______. 二. 选择题 在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请你将正确答案前 的字母填在括号内． 1.两圆半径分别为2和3，两圆相切则圆心距一定为[ ] A.1cm B.5cm C.1cm或6cm D.1cm或5cm 2.弦切角的度数是30°，则所夹弧所对的圆心角的度数是 [ ] A.30° B.15° C.60° D.45° 3.在两圆中，分别各有一弦，若它们的弦心距相等，则这两弦 [ ] A.相等 B.不相等 C.大小不能确定 D.由圆的大小确定 ∠PAD= [ ] A.10° B.15° C.30° D.25° 5.如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，AC是⊙O的直径，连接AB、BC、OP，则 与∠APO相等的角的个数是 [ ] A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 6.两圆外切，半径分别为6、2，则这两圆的两条外公切线的夹角的度数是 [ ] A.30° B.60° C.90° D.120° 7.正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是 [ ] A.60° B.120° C.60或120 D.30°或150°
人教版初三数学圆的测试题及答案
九年级圆测试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1．如图，直角三角形A BC 中，∠C ＝90°，A C ＝2，A B ＝4，分别以A C 、BC 为直径作半圆，则图中阴影的面积为 （ ） A 2π－ 3 B 4π－4 3 C 5π－4 D 2π－23 2．半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为 （ ） A 1∶2∶3 B 1∶ 2∶3 C 3∶2∶1 D 3∶2∶1 3．在直角坐标系中,以O(0，0)为圆心,以5为半径画圆,则点A(3-,4)的位置在 （ ） A ⊙O 内 B ⊙O 上 C ⊙O 外 D 不能确定 4．如图，两个等圆⊙O 和⊙O ′外切，过O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB 等于 （ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 5．在Rt △A BC 中，已知A B ＝6，A C ＝8，∠A ＝90°，如果把此直角三角形绕直线A C 旋转一周得到一个圆锥，其表面积为S 1；把此直角三角形绕直线A B 旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为S 2，那么S 1∶S 2等于 （ ） A 2∶3 B 3∶4 C 4∶9 D 5∶12 6．若圆锥的底面半径为 3，母线长为5，则它的侧面展开图的圆心角等于 （ ） A ． 108° B ． 144° C ． 180° D ． 216° 7．已知两圆的圆心距d = 3 cm ，两圆的半径分别为方程0352 =+-x x 的两根，则两圆的位置关系是 （ ） A 相交 B 相离 C 相切 D 内含 8．四边形中，有内切圆的是 （ ） A 平行四边形 B 菱形 C 矩形 D 以上答案都不对 9．如图，以等腰三角形的腰为直径作圆，交底边于D ，连结AD ，那么
(易错题精选)初中数学圆的知识点总复习
（易错题精选）初中数学圆的知识点总复习 一、选择题 1．下列命题中哪一个是假命题（ ） A ．8的立方根是2 B ．在函数y ＝3x 的图象中，y 随x 增大而增大 C ．菱形的对角线相等且平分 D ．在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等 【答案】C 【解析】 【分析】 利用立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】 A 、8的立方根是2，正确，是真命题； B 、在函数3y x =的图象中，y 随x 增大而增大，正确，是真命题； C 、菱形的对角线垂直且平分，故错误，是假命题； D 、在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确，是真命题， 故选C ． 【点睛】 考查了命题与定理的知识，能够了解立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理等知识是解题关键． 2．用一个直径为10cm 的玻璃球和一个圆锥形的牛皮纸纸帽制作一个不倒翁玩具，不倒翁轴截面如图所示，圆锥的母线AB 与O e 相切于点B ，不倒翁的顶点A 到桌面L 的最大距离是18cm .若将圆锥形纸帽表面全涂上颜色，则涂色部分的面积为（ ） A ．260cm π B ．260013cm π C ．272013cm π D ．272cm π 【答案】C 【解析】 【分析】 连接OB ，如图，利用切线的性质得OB AB ⊥，在Rt AOB ?中利用勾股定理得12AB =，利用面积法求得6013 BH = ，然后利用圆锥的侧面展开图为扇形和扇形的面积公式计算圆锥形纸帽的表面．
【详解】 解：连接OB ，作BH OA ⊥于H ，如图， Q 圆锥的母线AB 与O e 相切于点B ， OB AB ∴⊥， 在Rt AOB ?中，18513OA =-=，5OB =， 2213512AB ∴=-=， Q 1122 OA BH OB AB =g g ， 512601313 BH ?∴==， Q 圆锥形纸帽的底面圆的半径为6013BH = ，母线长为12， ∴形纸帽的表面2160720212()21313 cm ππ=?? ?=． 故选：C ． 【点睛】 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆锥的计算． 3．如图，在ABC ?中，90ABC ∠=?，6AB =，点P 是AB 边上的一个动点，以BP 为直径的圆交CP 于点Q ，若线段AQ 长度的最小值是3，则ABC ?的面积为（ ） A ．18 B ．27 C ．36 D ．54 【答案】B 【解析】 【分析】 如图，取BC 的中点T ，连接AT ，QT ．首先证明A ，Q ，T 共线时，△ABC 的面积最大，设QT=TB=x ，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】 解：如图，取BC 的中点T ，连接AT ，QT ．
(完整版)初中数学圆知识点总结
A 图5 圆的总结 一 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 二 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 三 位置关系： 1点与圆的位置关系: 点在圆内 d D B B A B A 四 垂径定理: 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD 五 圆心角定理 六 圆周角定理 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴ AB 是直径 推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 ??BC BD =??AC AD = 第二十四章圆 24.1 圆的有关性质 24.1.1 圆 1.平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.其中，定点称为圆心，定长称为半径，以点O为圆心的圆记作“☉O”，读作“圆O”. 2.确定圆的基本条件：（1）、圆心：定位置，具有唯一性，（2）、半径：定大小. 3.半径相等的两个圆叫做等圆，两个等圆能够完全重合. 4.连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径. 5.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，弧用符号“?”表示，圆的任意一条直径的两个端点分圆成为两条等弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧. 6.在同圆或等圆中，能过重合的两条弧叫做等弧. 24.1.2 垂直于弦的直径 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧. 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②AB CD ⊥③CE DE =④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论. 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 即：在⊙O中，∵AB∥CD AC=弧BD B D 24.1.3 弧、弦、圆心角 1.顶点在圆心的角叫做圆心角.圆心角的度数与他所对的弧的度数相等. 2.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等.此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =； ③OC OF =；④弧BA =弧BD 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，那他们所对的优弧劣弧分别相等. 24.1.4 圆周角 1.顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 2.圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角（或弧的度数）的一半. 即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠ 3.圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 九年级圆专题复习 第21题圆这道题对于升学考高中的学生来说是一道必得分题，随着中考复习的逐步深入，学生从知识上对于这道题已经很熟练了，都知道这道题的第（2）问主要考查圆与相似、三角函数、勾股定理等等。如果不进行归类，学生的脑海中还是显得比较杂，比较乱。在复习的过程中，教师如何引导学生进行归类，如何提升学生的转化能力，这些则是教学最需要突破的地方。如果教师能够引导学生对第21题考查的题型结构进行有效的归类，那么学生在面对这道题的时候，首先将这道题归纳为几个重要的熟悉的题型，然后利用自己对这几个题型的熟练理解，则可以大大提高解决问题的速度和准确性。 一、历年题型对比分析及2017年中考题型预测 1. （2013?武汉四月调考）在圆O 中，AB 为直径，PC 为弦，且PA=PC. （1）如图1，求证：OP//BC ； （2）如图2，DE 切圆O 于点C ，若DE//AB ，求tan ∠A 的值。 2. （2013?武汉中考）如图，已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是弧AB 的中点，连接PA 、PB 、PC （1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AP AC 3 ； （2）如图②，若sin ∠BPC= 25 24 ,求tan ∠PAB 的值。 3. （2014?武汉四月调考）已知：P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，点C 为⊙O 上一点． （1）如图1，若AC 为直径，求证：OP ∥BC ； （2）如图2，若sin ∠P=，求tan ∠C 的值． 4.（2014?武汉中考）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、P 是弧AB 上两点，AB ＝13，AC ＝5 (1) 如图(1)，若点P 是弧AB 的中点，求PA 的长 (2) 如图(2)，若点P 是弧BC 的中点，求PA 得长 5.（2015?武汉四月调考）已知：⊙O 为Rt △ABC 的外接圆，点D 在边AC 上，AD ＝AO ． （1）如图1，若弦BE ∥OD ，求证：OD=BE ； （2）如图2，点F 在边BC 上，BF ＝BO ，若OD ＝2 2 ，OF ＝3，求⊙O 的直径． 6.（2015?武汉中考）如图，AB 是⊙O 的直径，∠ABT=45°，AT=AB ． （1）求证：AT 是⊙O 的切线； （2）连接OT 交⊙O 于点C ，连接AC ，求tan ∠TAC ． 7.（2016?武汉四月调考） 已知⊙O 为△ABC 的外接圆，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线交BC 于点F ，交⊙O 于点D ． (1)如图1，求证：BD= ED ； (2)如图2,AO 为⊙O 的直径，若BC= 6,sin ∠BAC=5 3 ，求OE 的长． E D O A B C F D O A B C 圆的基本性质 1．半圆或直径所对的圆周角是直角. 2．任意一个三角形一定有一个外接圆. 3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆. 4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半. 6．同圆或等圆的半径相等. 7．过三个点一定可以作一个圆. 8．长度相等的两条弧是等弧. 9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等. 10．经过圆心平分弦的直径垂直于弦。 直线与圆的位置关系 1．直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切. 2．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心. 3．弦切角等于所夹的弧所对的圆心角. 4．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心. 5．垂直于半径的直线必为圆的切线. 6．过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线. 7．垂直于半径的直线是圆的切线. 8．圆的切线垂直于过切点的半径. 圆与圆的位置关系 1．两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切. 2．相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 3．两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交. 4．两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条. 5．相切两圆的连心线必过切点. 正多边形基本性质 1．正六边形的中心角为60°. 2．矩形是正多边形. 3．正多边形都是轴对称图形. 4．正多边形都是中心对称图形. 圆的基本性质 1．如图，四边形ABCD 内接于⊙O,已知∠C=80°,则∠A 的度数是 . A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 2．已知：如图，⊙O 中, 圆周角∠BAD=50°,则圆周角∠BCD 的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.50° 3．已知：如图，⊙O 中, 圆心角∠BOD=100°,则圆周角∠BCD 的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.50° 4．已知：如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，则下列结论中正确的是 . A.∠A+∠C=180° B.∠A+∠C=90° C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠B=90 5．半径为5cm 的圆中,有一条长为6cm 的弦,则圆心到此弦的距离为 . A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 6．已知：如图，圆周角∠BAD=50°,则圆心角∠BOD 的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.50 7．已知：如图，⊙O 中,弧A B 的度数为100°,则圆周角∠ACB 的度数是 . A.100° B.130° C.200° D.50 8. 已知：如图，⊙O 中, 圆周角∠BCD=130°,则圆心角∠BOD 的度数是 . A.100° B.130° C.80° D.50° 9. 在⊙O 中,弦AB 的长为8cm,圆心O 到AB 的距离为3cm,则⊙O 的半径为 cm. A.3 B.4 C.5 D. 10 点、直线和圆的位置关系 1．已知⊙O 的半径为10㎝,如果一条直线和圆心O 的距离为10㎝,那么这条直线和这个圆的位置关系为 . A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相离 2．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为7cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . A.相切 B.相离 C.相交 D. 相离或相交 3．已知圆O 的半径为6.5cm,PO=6cm,那么点P 和这个圆的位置关系是 A.点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D.不能确定 4．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为4.5cm,那么这条直线和这个圆的公共点的个数是 . A.0个 B.1个 C.2个 D.不能确定 5．一个圆的周长为a cm,面积为a cm 2，如果一条直线到圆心的距离为πcm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . A.相切 B.相离 C.相交 D. 不能确定 6．已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为6cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . A.相切 B.相离 C.相交 D.不能确定 7. 已知圆的半径为6.5cm,直线l 和圆心的距离为4cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 . ? ? C B A O ? B O C A D ? B O C A D ? B O C A D ? D B C A O ? D B C A O ? D B C A O 《圆》 一、圆的概念 概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内?d r ?点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点； 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点； 3、直线与圆相交?d r +； 外切（图2）?有一个交点?d R r =+； 相交（图3）?有两个交点?R r d R r -<<+； 内切（图4）?有一个交点?d R r =-； 内含（图5）?无交点?d R r <-； A r R d 图3 r R d 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 例题1、 基本概念 1．下面四个命题中正确的一个是（ ） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（ ）． A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B ．过弦的中点的直线必过圆心 C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D ．弦的垂线平分弦所对的弧 例题2、垂径定理 1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大 深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm. r R d 图4 r R d 图5 r R d O E D C A O C D A B 圆练习题 1.如图，已知线段OA 交⊙O 于点B ，且OB ＝AB ，点P 是⊙O 上的一个动点，那么∠OAP 的最大值是( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 2.如图，已知AB 是⊙O 的直径，AD 切⊙O 于点A ，点C 是EB ︵ 的中点，则下列结论不成立的是( ) A. OC ∥AE B. EC ＝BC C. ∠DAE ＝∠ABE D. AC ⊥OE 3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的⊙P 的圆心P 的坐标为(－3，0)，将⊙P 沿x 轴正方向平移，使⊙P 与y 轴相切，则平移的距离为( ) A. 1 B. 1或5 C. 3 D. 5 4.若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为( ) A. 6，3 2 B. 32，3 C. 6，3 D. 62，32 5.已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为2 cm 和3 cm ，若O 1O 2＝7 cm ，则⊙O 1和⊙O 2的位置关系是( ) A. 外离 B. 外切 C. 内切 D. 相交 6在同一平面直角坐标系中有5个点：A(1，1)，B(－3，－1)，C(－3，1)，D(－2，－2)， E(0，－3)． (1)画出△ABC 的外接圆⊙P ，并指出点D 与⊙P 的位置关系． (2)若直线l 经过点D(－2，－2)，E(0，－3)，判断直线l 与⊙P 的位置关系． 7如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，切点为D ，CD 与AB 的延长线交于点C ，∠A ＝30°，给出下面3个结论：①AD ＝CD ；②BD ＝BC ；③AB ＝2BC ，其中正确结论的个数是( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 08届初中数学总复习：《圆》基础练习题 （一）选择题（每题2分，共20分） 1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有………………（ ） （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个 【提示】若三点在一条直线上，则不能作出过这三点的圆，故②不对．【答案】B ． 【点评】本题考查直径、过不在同一条直线上的三点的圆、外心、等圆与等弧等概念，其中第②个命题不对的原因在于忽视了过三点作图的条件． 2．下列判断中正确的是………………………………………………………………（ ） （A ）平分弦的直线垂直于弦（B ）平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 （C ）弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧（D ）平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 【提示】弦的垂直平分线平分弦、垂直于弦，因此平分弦所对的两条弧．【答案】C ． 3．如图，在两半径不同的同心圆中，∠AOB ＝∠A ′OB ′＝60°，则………………（ ） （A ）＝ （B ） ＞ （C ）的度数＝的度数 （D ） 的长度＝ 的长度 【提示】因为在圆中，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等， 而∠AOB ＝∠A ′OB ′，所以 的度数＝ 的度数．【答案】C ． 4．如图，已知⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E ， 的度数为60° ， 的度数为100°，则∠AEC 等 于………………………………………………………………………（ ） （A ）60° （B ）100° （C ）80° （D ）130° 【提示】连结BC ，则∠AEC ＝∠B ＋∠C ＝ 2 1×60°＋ 2 1×100°＝80°． 6．OA 平分∠BOC ，P 是OA 上任一点，C 不与点O 重合，且以P 为圆心的圆与OC 相离，那么圆P 与OB 的位置关系是………………………………………………（ ） （A ）相离 （B ）相切 （C ）相交 （D ）不确定 【提示】因为以点P 为圆心的圆与OC 相离，则P 到OC 的距离大于圆的半径．又因为角平分线上的一点到角的两边的距离相等，则点P 到OB 的距离也大于圆的半径，故圆P 与OB 也相离．【答案】A ． 7．△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，它的内切圆的半径为r ，则△ABC 的面积为（ ） （A ） 2 1 （a ＋b ＋c ）r （B ）2（a ＋b ＋c ）（C ） 3 1 （a ＋b ＋c ）r （D ）（a ＋b ＋c ）r 【提示】连结内心与三个顶点，则△ABC 的面积等于三个三角形的面积之和，所以△ABC 的面积为2 1a ·r ＋ 2 1 b ·r ＋ 2 1c ·r ＝ 2 1（a ＋b ＋c ）r ．【答案】A ． 8．如图，已知四边形ABCD 为圆内接四边形，AD 为圆的直径，直线MN 切圆于点B ，DC 的延长线交MN 于G ，且cos ∠ABM ＝ 2 3 ， 初三数学圆知识点总结 一、本章知识框架 二、本章重点 1．圆的定义： (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆． (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 2．判定一个点P是否在⊙O上． 设⊙O的半径为R，OP＝d，则有 d>r点P在⊙O 外； d＝r点P在⊙O 上； d (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心． 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等． (2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴． 垂径定理及推论： (1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． (3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧． (4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦． (5)平行弦夹的弧相等． 5．三角形的内心、外心、重心、垂心 (1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示． (2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示． (4)垂心：是三角形三边高线的交点． 6．切线的判定、性质： (1)切线的判定： ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． ②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线． (2)切线的性质： ①圆的切线垂直于过切点的半径． ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点． ③经过切点作切线的垂线经过圆心． (3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长． (4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 7．圆内接四边形和外切四边形 (1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角． (2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等．8．直线和圆的位置关系： 设⊙O 半径为R，点O到直线l的距离为d． (1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R． (2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d＝R． (3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交d 初中数学“圆”专题复习（初三必备） 一、知识点梳理 知识点1：圆的定义： 1. 圆上各点到圆心的距离都等于 . 2. 圆是对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的； 圆又是对称图形，是它的对称中心. 知识点2：弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、圆心角、圆周角等与圆有关的概念 1.在同圆或等圆中，相等的弧叫做 2. 同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的 . 3. 直径所对的圆周角是，90°所对的弦是 . 例1 P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；?最长弦长为_______． 例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度．点P是半圆弧AC的中点，连接BP交AC于点D，若半圆弧的圆心为O，点D、点E关于圆心O对称．则图中的两个阴影部分的面积S 1 ， S 2 之间的关系是（） A．S 1＜S 2 B．S 1 ＞S 2 C．S 1 =S 2 D．不确定 例3 如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，所围成的图形（阴影部分）的面积为（） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 知识点3：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个圆周角中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别 . 知识点4：垂径定理 垂直于弦的直径平分，并且平分； 平分弦(不是直径)的垂直于弦，并且平分 . 例1、如图（1）和图（2），MN是⊙O的直径，弦AB、CD?相交于MN?上的一点P，?∠APM=∠CPM． （1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由． （2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 例2 在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（） A．6分米 B．8分米 C．10分米 D．12分米 人教版初中数学圆的技巧及练习题 一、选择题 1．一个圆锥的底面半径是5，高为12，则这个圆锥的全面积是（ ） A ．60π B ．65π C ．85π D ．90π 【答案】D 【解析】 【分析】 根据勾股定理求出圆锥侧面母线长，再根据圆锥的全面积=底面积+侧面积求出答案. 【详解】 ∵圆锥的底面半径是5，高为12， ∴侧面母线长为2251213+=， ∵圆锥的侧面积=51365ππ??=， 圆锥的底面积=2525ππ?=， ∴圆锥的全面积=652590πππ+=， 故选：D. 【点睛】 此题考查圆锥的全面积，圆锥侧面母线长与底面圆的半径、圆锥的高的关系，熟记计算公式是解题的关键. 2．如图，在平行四边形ABCD 中，BD ⊥AD ，以BD 为直径作圆，交于AB 于E ，交CD 于F ，若BD=12，AD ：AB=1：2，则图中阴影部分的面积为（ ） A ．123 B ．1536π-π C ．30312π- D ．48336π-π 【答案】C 【解析】 【分析】 易得AD 长，利用相应的三角函数可求得∠ABD 的度数，进而求得∠EOD 的度数，那么一个阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形DOE -S △BOE ，算出后乘2即可． 【详解】 连接OE ，OF ． ∵BD=12，AD ：AB=1：2， ∴AD=43 ，AB=83，∠ABD=30°， ∴S △ABD =33,S 扇形= 60361 6,633933602 OEB S ππ?==?=V ∵两个阴影的面积相等， ∴阴影面积=() 224369330312ππ?--=- . 故选：C 【点睛】 本题主要是理解阴影面积等于三角形面积减扇形面积和三角形面积． 3．已知，如图，点C ，D 在⊙O 上，直径AB=6cm ，弦AC ，BD 相交于点E ，若CE=BC ，则阴影部分面积为（ ） A ．934 π- B ． 9942 π- C ． 39 324 π- D ． 39 22 π- 【答案】B 【解析】 【分析】 连接OD 、OC ，根据CE=BC ，得出∠DBC=∠CEB=45°，进而得出∠DOC=90°，根据S 阴影=S 扇形-S △ODC 即可求得． 【详解】 连接OD 、OC ， ∵AB 是直径, ∴∠ACB=90°， ∵CE=BC ， ∴∠CBD=∠CEB=45°， ∴∠COD =2∠DBC=90°， ∴S 阴影=S 扇形?S △ODC = 2903360 π?? ?1 2×3×3=94π ?92. 初中数学圆知识点总结 1、圆是定点的距离等于定长的点的集合 2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 4、同圆或等圆的半径相等 5、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆 6、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线 7、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线 8、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线 9、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。 10、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 11、推论1： ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 12、推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等 13、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 14、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 15、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 16、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 17、推论：1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 18、推论：2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 19、推论：3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 20、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角 21、①直线L和⊙O相交d﹤r ②直线L和⊙O相切d=r ③直线L和⊙O相离d﹥r 22、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 23、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径 圆 专 题 复 习 学生姓名： 指导教师：黄浩桓 知识点归纳 一、圆的基本性质 1、圆的有关概念 （1）圆（2）圆心角（3）圆周角（4）弧（5）弦 2、圆的有关性质 （1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心． （2）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． （3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90度的圆周角所对的弦是直径 3．三角形的内心和外心: （1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆． （2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理 （3）三角形的内心：在三角形中,三个角的角平分线的交点是这个三角形内切圆的圆心 4. 圆心角的度数等于它所对弧的度数．圆周角的度数等于它所对弧的度数一半．同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 二、直线与圆、圆与圆的位置关系 1. 直线与圆的位置关系 （1）相离（2）相切（3）相交 2. 切线的定义和性质： 若直线只与圆交与一点,则这条直线被称为圆的切线. 切线与圆的半径所在直线垂直.从圆外一点引同一个圆的两条切线，切点与圆外一点之间的的距离相等。 3.三角形与圆的特殊位置关系 4.圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d，半径分别为r1，r2） 三、圆的有关计算 1、圆周的公式 2、n°的圆心角所对的弧长公式 3、圆心角为n°的扇形面积公式 九年级数学 《圆》单元测试 一、选择 1。下列命题中正确的有( )个 (1) 平分弦的直径垂直于弦 （2）经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线 （3）在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半 （4）平面内三点确定一个圆 （5）三角形的外心到各个顶点的距离相等 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 2。如图，直线PA PB ，是O 的两条切线， A B ，分别为切点，120APB =?∠，10OP = 厘米，则弦AB 的长为（ ） A ． B ．5厘米 C ． D ．2 厘米 3。小明想用直角尺检查某些工件是否恰好是半圆形，下列几个图形是半圆形的是（ ） 4。已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC 的内切圆的半径为（ ） A ．310 B ．5 12 C ．2 D ．3 5。若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10 cm 、深约为2 cm 的小坑，则该铅 球的直径约为( ) A. 10 cm B. 14.5 cm C. 19.5 cm D. 20 cm 二、选择 6。如图9，在10×6的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位长），⊙A 的半径为1， ⊙B 的半径为2，要使⊙A 与静止的⊙B 内切，那么⊙A 由图示位置需向右平移 _______个单位长． 7。一扇形的圆心角为150°，半径为4，用它作为一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的表面积 是_____________ 8。已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，那么BC 边上的高为 。 9。直角三角形的两条直角边分别为5cm 和12cm ，则其外接圆半径长为 10。点A 是半径为3的圆外一点,它到圆的最近点的距离为5,则过点 A 的切线长为 __________ 11、如图，直线AB 、CD 相交于点O ，∠AOC =300，半径为1cm 的⊙P 的圆心在射线OA 上， 开始时，PO =6cm ．如果⊙P 以1cm/秒的速度沿由A 向B 的方向移动，那么当⊙P 的运人教版初中数学第二十四章圆知识点
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