2020-2021初中数学二次函数的应用培优提升训练题3(附答案详解)

2020-2021初中数学二次函数的应用培优提升训练题3（附答案详解）

一、单选题

1．如图，曲线AB 是抛物线2481y x x =-++的一部分（其中A 是抛物线与y 轴的交点，B 是顶点），曲线BC 是双曲线(0)k

y k x

=

≠的一部分．曲线AB 与BC 组成图形W ．由点C 开始不断重复图形W 形成一组“波浪线”．若点(2020,)P m ，(,)Q x n 在该

“波浪线”上，则m n +的最大值为（ ）

A ．5

B ．6

C ．2020

D ．2021

2．已知抛物线2

114

y x =

+具有如下性质:抛物线上任意一点到定点()0,2F 的距离与到x 轴的距离相等.如图点M 的坐标为()3,6 , P 是抛物线21

14

y x =+上一动点，则

PMF ?周长的最小值是（ ）

A ．5

B ．9

C ．11

D ．1

3．如图1，矩形ABCD 中，2

43

AB BC =

=，点P Q 、分别是BC AB 、上两动点，将PCD 沿着对折得，将沿着DP 对折得PED ?，将PBQ ?沿着PQ 对折，使

P E F 、、三点在一直线上，设BP 的长度为x ，AQ 的长度为y ，在点P 的移动过程

中，y 与x 的函数图象如图2，则函数图象最低点的纵坐标为（ ）

A 2

B ．

32

C ．

74

D 25

4．如图，已知在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，D 是AC 的中点，点P 由点D 出发，沿△ABC 顺时针方向运动，速度为7cm /s ，同时，点Q 从C 出发，沿△ABC

顺时针方向运动，速度为6cm/s，当点P追上点Q时，两点停止运动．设运动时间为t （s），△DPQ的面积为s（cm2），则s关于t的函数图象大致为（）

A．B．

C．D．

5．如图1所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止，设P、Q同时出发t秒时，?BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系图象如图2所示（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）所示，则

下列结论：①BE=BC；②当t=6秒时，?ABE ??PQB；③点P运动了18秒；④当t=27 2

秒时，?ABE∽?QBP．其中正确的是（）．

A．①②B．①③④C．③④D．①②④

6．如图，点E、F、G、H分别是正方形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能为（）

A．B．C．D．

7．如图，在矩形ABCD中，AB = 8，AD = 4，E为CD的中点，连接AE、BE，点M从点A出发沿AE方向向点E匀速运动，同时点N从点E出发沿EB方向向点B匀速运动，点M、N运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t，连接MN，设△EMN的面积为S，则S关于t的函数图像为（）

A．B．

C．D．

8．如图，四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=6，点O是线段BD上一动点，EF、GH 过点O，EF∥AB，交AD于点E，交BC于点F，GH∥BC，交AB于点G，交DC于点H，四边形AEOG的面积记为S，GB=a，则S关于a的函数关系图象是（）

A．B． C．D．

9．已知坐标平面内抛物线2y x 2x 3=-++和一点72,

2P ??

???

过点P 作直线l ，若直线l 与该抛物线有且只有一个交点，则这样的直线l 的条数为（ ） A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

10．如图，在等腰直角ABC ?中，8AB =，点M 从点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，同时点N 从点C 出发沿CB 方向向点B 匀速运动，点M 、N 运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t ，连接MN ，设CMN ?的面积为S ，S 关于t 的函数图象为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

二、填空题

11．如图，抛物线22y x x =-++与x 轴交于点A 和点B .（1）已知点(,1)D m m +在第一象限的抛物线上，则点D 的坐标是_______．（2）在（l ）的条件下连接BD ，P 为抛物线上一点且DBP ∠=135，则点P 的坐标是_______．

12．如右图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝12cm ，点P 是AB 边上的一个动点，过点P 作PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥AC 于点F ，当PB ＝___________时，四边形PECF 的面积最大，最大值为_____________.

13．二次函数y＝2

3

x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1、A2、A3、…、

A

2018在y轴的正半轴上，点B

1

、B2、B3、…、B

2018

在二次函数y＝

2

3

x2位于第一象

限的图象上，若△A0B1A1、△A1B2A2、△A2B3A3、…、△A2017B2018A2018都为等边三角

形，则△A

2017B

2018

A

2018

的边长＝____________．

14．扫地机器人能够自主移动并作出反应，是因为它发射红外信号反射回接收器，机器人在打扫房间时，若碰到障碍物则发起警报．若某一房间内A、B两点之间有障碍物，现将A、B两点放置于平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A，B的坐标分别为(0，4)，(6，4)，机器人沿抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a运动．若机器人在运动过程中只触发一次报警，则a的取值范围是_____．

15．如图，在正方形ABCD中，AB=6，以点A为圆心，AB长为半径画弧，点E为弧BD上一点，作EH⊥BC于点H，则BE－EH的最大值为______．

16．在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线

y=ax2+bx-3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度得到点C．若抛物线与线段BC

恰有一个公共点，结合函数图象，a的取值范围是__________．

17．如图，在△ABC中，∠ACB= 90?，AC=3，CB=5，点D是CB边上的一个动点，将

线段AD绕着点D 顺时针旋转90 ，得到线段DE，连结BE，则线段BE的最小值等于__________．

18．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝﹣x2+2x+5在x轴上方的图象沿x轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为G（如图所示）．当直线y＝m 与图象G有4个交点时，则m的取值范围是_______．

三、解答题

19．把下列各数填在相应的大括号里：

+2，﹣|﹣2|，﹣3，0，﹣31

2

，﹣1.414，17，

2

3

，(﹣1)2

正整数：{ }

整数：{ }

负分数：{ }

正有理数：{ }．

20．某检修站，甲小组乘坐一辆汽车，沿东西方向的公路进行检修线路，约定向东为正，从A地出发到收工时，行走记录为（单位：km）：+8，- 2，-13，-1，+10．同时，乙小组也从A地出发，沿南北方向的公路检修线路，约定向北为正，行走记录为：-7，+9，- 2，+8，- 6．

（1）分别计算收工时，甲，乙两组各在A地的哪一边，分别距离A地多远？

（2）若每千米汽车汽油消耗为0.3L，求出发到收工时两组各耗油多少升？

21．（10分）如图，抛物线经过点A(﹣3，0)、B(1，0)、C(0，3)． （1）求抛物线的解析式；

（2）点P(m ，n)是抛物线上的动点，当﹣3＜m ＜0时，试确定m 的值，使得PAC 的面积最大；

（3）抛物线上是否存在不同于点B 的点D ，满足DA 2﹣DC 2＝6，若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．

22．如图，在矩形ABCD 中，点(0,10),(8,0)A C . 沿直线CD 折叠矩形OABC ，使点

B 落在OA 边上，与点E 重合．分别以O

C ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直

角坐标系，抛物线2y ax bx =+经过,D C 两点． （1）求,a b 及点D 的坐标；

（2）一动点P 从点E 出发，沿EC 以每秒2个单位长的速度向点C 运动， 同时动点Q 从点C 出发，沿CO 以每秒1个单位长的速度向点O 运动， 当点P 运动到点C 时，两点同时停止运动．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，以P ，Q ，C 为顶点的三角形与

ADE ?相似？

（3）点N 在抛物线对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 与点 N ，使以

M ，N ，C ， E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 与点N 的

坐标；若不存在，请说明理由．

23．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，点C 的坐标为（8，0），∠AOC

＝60°，垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l 与菱形OABC 的两边分别交于点M 、N （点M 在点N 的上方）．

（1）求A 、B 两点的坐标；

（2）设△OMN 的面积为S ，直线l 运动时间为t 秒（0≤t ≤12），求S 与t 的函数表达式； （3）在（2）的条件下，t 为何值时，S 最大？并求出S 的最大值．

24．如图，抛物线23y ax bx =+-经过点A （3，0），B （1-，0），与y 轴交于点C ，点P 是抛物线在第四象限内的一点. （1）求抛物线解析式；

（2）点D 是线段OC 的中点，OP ⊥AD ，点E 是射线OP 上一点，OE=AD ，求DE 的长； （3）连接CP ，AP ，是否存在点P ，使得OP 平分四边形ABCP 的面积？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由.

25．如图，已知抛物线23y ax bx =++与y 轴交于点A ，且经过()10

B ,，()5,8

C 两点，点

D 是抛物线顶点，

E 是对称轴与直线AC 的交点，

F 与E 关于点D 对称．

（1）求抛物线的解析式； （2）求证：AFE CFE ∠=∠；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使AFP 与FDC △相似．若有，请求出所有符合条件的点p 的坐标；若没有，请说明理由．

26．如图，在平面直角坐标系中，直线y =﹣x +4与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，抛物线y =﹣

1

3

（x ﹣m ）2+n 的顶点P 在直线y =﹣x +4上，与y 轴交于点C （点P 、C 不与点B 重合），以BC 为边作矩形BCDE ，且CD =2，点P 、D 在y 轴的同侧．

（1）n =________（用含m 的代数式表示），点C 的纵坐标是________（用含m 的代数式表示）；

（2）当点P 在矩形BCDE 的边DE 上，且在第一象限时，求抛物线对应的函数解析式； （3）直接写出矩形BCDE 有两个顶点落在抛物线上时m 的值．

27．如图1，抛物线y ＝﹣

12

x 2

+bx+c 与x 轴交于点A(4，0)，与y 轴交于点B(0，4)，

在x 轴上有一动点D9(m ，0)（0＜m ＜4），过点D 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，交抛物线于点E ，

（1）直接写出抛物线和直线AB 的函数表达式．

（2）当点C 是DE 的中点时，求出m 的值，并判定四边形ODEB 的形状（不要求证明）． （3）在（2）的条件下，将线段OD 绕点O 逆时针旋转得到OD′，旋转角为α（0°＜a ＜90°），连接D′A 、D′B ，求D′A+

1

2

D′B 的最小值．

28．如图，抛物线22y ax bx =++交x 轴于(1,0)A -，()4,0B 两点，交y 轴于点C ，过点C 且平行于x 轴的直线交于另一点D ，点P 是抛物线上一动点． （1）求抛物线解析式；

（2）连AC ，将直线AC 以每秒1个单位的速度向x 轴的正方向运动，设运动时间为1秒，直线AC 扫过梯形OCDB 的面积为S ，直接写出S 与t 的函数关系式；

（3）过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，若将CPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q '．是否存在点P ，使Q '恰好落在x 轴上？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，说明理由．

29．如下图，抛物线2

122

y x x =-

+与x 轴正半轴交于点A ，过点A 作直线l x ⊥轴，点P 是抛物线在第一象限部分上的一动点，连接OP 并延长交直线l 于点B ，连接AP 并延长交y 轴于点C ，过点P 作PH x ⊥轴，垂足为H ，连接BH ．设OH t =．

（1）请直接写出A 点坐标并求出OBH S △的最大值；

（2）如图1，随着点P 的运动，AB OC +的值是否会发生变化？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的值；

（3）连接BC ，如图2，则当点P 位于何处时，点O 到直线BC 的距离最大？请你求出此时点P 的坐标．

30．如图1,抛物线23y ax bx =++交x 轴于(1,0)A -和(5,0)B 两点,交y 轴于点C ,点D 是线段OB 上一动点,连接CD ,将线段CD 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DE ,过点E 作直线l x ⊥轴于H ,过点C 作CF l ⊥于F .

(1)求抛物线解析式；

(2)如图2,当点F 恰好在抛物线上时,求线段OD 的长；

(3)在(2)的条件下:试探究在直线l 上是否存在点G ,使45EDG ?∠=?若存在,请直接写出点G 的坐标;若不存在,请说明理由.

参考答案

1．B 【解析】 【分析】

根据题意可以求得点A 、点B 、点C 的坐标和k 的值，然后根据图象可知每5个单位长度为一个循环，从而可以求得m 的值和n 的最大值． 【详解】

解：∵()2

2y 481415x x x =-++=--+ ∴当x 0=时，y 1=

∴点A 的坐标为（0,1），点B 的坐标为（1,5）， ∵点B （1,5）在y k

x

=的图象上 ∴k 5= ∵点C 在5

y x

=

的图象上，点C 的横坐标为5 ∴点C 的纵坐标是1 ∴点C 的坐标为（5,1） ∵20205404÷=

∴P（2020，m ）在抛物线2

y 481x x =-++的图象上

m 40801=-?+?+

∵点Q(x ，n)在该＂波浪线＂上 ∴n 的最大值是5，故m+n 的最大值为6 故选：B ． 【点睛】

本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征以及二次函数的性质，根据二次函数顶点式得出最大值是解题关键． 2．C 【解析】 【分析】

作过P 作PH x ⊥轴于点H ，过点M 作MH x ⊥轴于点'H ，交抛物线2

114

y x =

+于点

P '，由PF PH =结合，结合点到直线之间垂线段最短及MF 为定值，即可得出当点P 运

动到点P′时，△PMF 周长取最小值，再由点F 、M 的坐标即可得出MF 、MH '的长度，进而得出PMF ?周长的最小值． 【详解】

解：作过P 作PH x ⊥轴于点H ， 由题意可知：PF PH =，

∴PMF ?周长=MF MP PF MF MP PH ++=++， 又∵点到直线之间垂线段最短，

∴当M 、P 、H 三点共线时MP PH + 最小，此时PMF ?周长取最小值， 过点M 作MH x ⊥轴于点H ' ，交抛物线2

114

y x =+于点P '，此时PMF ?周长最小值， (0,2)F 、(3,6)M ，

'6MH ∴=，22(30)(62)5FM -+-=，

PMF ∴?周长的最小值6511ME FM =+=+=．

故选：C ． 【点睛】

本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及点到直线的距离，根据点到直线之间垂线段最短找出△PMF 周长的取最小值时点P 的位置是解题的关键． 3．C 【解析】 【分析】

根据折叠的性质可得BPQ PDC ∠=∠，故可证得QBP PCD ??∽，得到

QB PB

PC CD

=，再代入,6,4BP x PC x QB y ===－－，可得()()446y x x -=-，再整理得：

()2

17344

y x =

-+，根据二次函数的图像与性质即可求解． 【详解】

由折叠性质可知90DPQ ∠=?，

90BPQ DPC DPC PDC ∠+∠=∠+∠=?， BPQ PDC ∴∠=∠，

又

,ABC BCD ∠=∠

QBP PCD ∴??∽ QB PB

PC CD

∴

=

由2

43

AB BC ==，得6BC =，

,6,4BP x PC x QB y ===－－

∴464

y x

x -∴

=- ∴()()446y x x -=-整理得：()()2

173,0644

y x x =

-+≤≤， 故函数的顶点为73,4??

???，得函数顶点的纵坐标为74

． 故选C ． 【点睛】

此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质得到比例式，再根据二次函数的图像与性质求解． 4．D 【解析】 【分析】 分0≤t ≤

37、37＜t ≤43、43＜t ≤117、11

7

＜t ≤3四段，分别求出函数表达式即可求解． 【详解】

解：①当0≤t ≤

3

7时， s ＝1

2×DP ×CQ ＝12

?7t ×6t ＝21t 2，

该函数为开口向上的抛物线；

②当3

7

＜t≤

4

3

时，

s＝1

2

PQ×CD＝

1

2

×（6t﹣7t+3）×3＝

3

2

（3﹣t），

该函数的一次函数；

③当4

3

＜t≤

11

7

时，如下图，

过点Q作GQ⊥AC于点G，作QH⊥BC于点H，

sin B＝AC

AB

＝

3

5

，则QH＝BQ sin B＝

3

5

BQ，同理QG＝

4

5

AQ，

则PC＝7t﹣6，PB＝8﹣7t+6＝14﹣6t，BQ＝t﹣8，AQ＝18﹣（t﹣8）＝26﹣t，

s＝S△ABC﹣（S△PDC+S△ADQ+S△BPQ）＝1

2

?6×8

1

2

-[3×（7t﹣6）+（14﹣7t）（t﹣8）×

3

5

+（26

﹣t）×4

5

]＝﹣2.1t2﹣13.5t+9.6，

该函数为开口向下的抛物线；

④当11

7

＜t≤3时，

同理可得：s＝﹣6

5

t+

18

5

，

该函数为一次函数；

故选：D．

【点睛】

本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、一次函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．

5．A

【解析】

【分析】

选项①正确．根据图中的信息，求出BE、AD的值即可判断；

选项②正确．根据SAS即可判断；

选项③错误．求出BE+DE+CD的值，可知点P运动了22秒；

选项④错误．当t=

27

2

秒时，点P在线段DE上，点Q与点C重合，此时∠PQB≠90°，由此即可判断．

【详解】

解：由图像可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10-4=6，

∴BE=BC，故①正确，

如下图所示，当t=6秒时，点P在BE上，点Q静止于点C处，

在△ABE与△PQB中，

12

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

AE PB

BE BC

∴△ABE≌△PQB（SAS），故②正确，

在Rt△ABE中，2222

1068

=-=-=

AB BE AE

∴BE+DE+DC=10+4+8=22，

∴点P运动了22秒，故③错误，

当t=

27

2

秒时，点P在线段DE上，点Q与点C重合，此时∠PQB≠90°，

∴△ABE与△QBP不相似，故④错误．

∴①②正确.

故选：A．

【点睛】

本题考查二次函数综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是读懂图中信息，利用信息解决问题，属于中考压轴题．6．A

【解析】

【分析】

本题需先设正方形的边长为m ，然后得出y 与x 、m 是二次函数关系，从而得出函数的图象． 【详解】

解：设正方形的边长为m ，则0m >， AE x ， DH x ， AH

m x ，

2

2

2EH AE AH ，

2

2()y x m x ， 2

2

22y x x mx

m ，

2

222y

x mx

m ，

22

112[()]24x m m ， 22

112()2

2

x

m m ， y ∴与x 的函数图象是A ．

故选：A ． 【点睛】

本题主要考查了二次函数的图象和性质，在解题时要能根据几何图形求出解析式，得出函数的图象． 7．D 【解析】 【分析】

证明△ABE 是等腰直角三角形，连接MB ，利用等高模型表示出△EMN ，△EBM ，△EAB 之间的关系即可解决问题． 【详解】

如图，连接MB ，

∵E 为DC 中点， ∴DE=CE=4，

∴AD=DE=CD=BC=4， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴90D C ∠=∠=?， ∴45DAE CBE ∠=∠=?， ∴45EAB EBA ∠=∠=? ， ∴△EAB 是等腰直角三角形， 由勾股定理AE ＝BE ＝42，

已知，AM ＝t ，EN ＝t ，ME ＝NB ＝42t -， ∵S △EMN ∶S △EMB =EN ∶EB ， ∴S △EMN =

EMB EN

S EB

?△， ∵S △EMB ∶S △EAB =EM ∶EA ， ∴S △EMB =

EAB EM

S EA

?△， ∴S=()

2

242111

4822t 22

42224242

t t t -????=-+=--+，

∵a =1

2

-

＜0， ∴当t ＝22时，S 的最大值为4.

故选：D ． 【点睛】

本题以动点问题为背景，研究三角形面积的变化．通常三角形面积问题除了底乘高的一半，经常采用的是同底等高类的三角形面积关系．

8．C 【解析】 【分析】

根据相似三角形的性质可得到DE 的值，进而得到AE 的值，根据面积公式计算即可； 【详解】

∵ABCD 是矩形，EF ∥AB ，GH ∥BC ， ∴△△ABD EOD ，

∴

AB AD

EO ED

=

， ∵AB=4，BC=6，GB=a ， ∴04E AG a ==-，

∴

46

4a DE

=

-， 解得1232a

DE -=

， ∴1233622

a a

AE -=-

=

， ∴(

)2

四边形33462

2

AGOE a

S AG AE a a a ==-=-

+， 顶点坐标为()2,6， 故答案选C ． 【点睛】

本题主要考查了二次函数的应用，准确分析是解题的关键． 9．D 【解析】 【分析】

当直线与抛物线相切时，此时直线与抛物线只有一个公共点，这直线为：y=kx+b ，代入P 点坐标，求得k 、b 的关系式，再和抛物线联立方程组利用△=0求得直线解析式有2条；当直线与抛物线的对称轴平行时也有一条.