第2章 4.1~4.2 平面向量线性运算的坐标表示
§4 平面向量的坐标 4.1 平面向量的坐标表示 4.2 平面向量线性运算的坐标表示
学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.
知识点一 平面向量的正交分解
思考 如果向量a 与b 的夹角是90°，则称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b .互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？
答案 互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底. 梳理 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解. 知识点二 平面向量的坐标表示
思考1 如图，向量i ，j 是两个互相垂直的单位向量，向量a 与i 的夹角是30°，且|a |＝4，以向量i ，j 为基底，如何表示向量a ?
答案 a ＝23i ＋2j .
思考2 在平面直角坐标系内，给定点A 的坐标为(1，1)，则A 点位置确定了吗？给定向量a 的坐标为a ＝(1，1)，则向量a 的位置确定了吗？
答案 对于A 点，若给定坐标为A (1，1)，则A 点位置确定.对于向量a ，给定a 的坐标为a ＝(1，1)，此时给出了a 的方向和大小，但因为向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a 的位置还与其起点有关，所以不确定.
思考3 设向量BC →＝(1，1)，O 为坐标原点，若将向量BC →平移到OA →，则OA →
的坐标是多少？A 点坐标是多少？
答案 向量OA →的坐标为OA →
＝(1，1)，A 点坐标为(1，1). 梳理 (1)平面向量的坐标
①在平面直角坐标系中，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底.对于平面内的任意向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .我们把实数对(x ，y )叫作向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y ).
②在平面直角坐标平面中，i ＝(1，0)，j ＝(0，1)，0＝(0，0). (2)点的坐标与向量坐标的区别和联系
知识点三 平面向量的坐标运算
思考 设i ，j 是分别与x 轴，y 轴同向的两个单位向量，若设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ，根据向量的线性运算性质，向量a ＋b ，a －b ，λa (λ∈R )如何分别用基底i ，j 表示？
答案 a ＋b ＝(x 1＋x 2)i ＋(y 1＋y 2)j ， a －b ＝(x 1－x 2)i ＋(y 1－y 2)j ， λa ＝λx 1i ＋λy 1j .
梳理 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y
2).
1.相等向量的坐标相等.( √ )
2.在平面直角坐标系内，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则向量AB →
＝(x 1－x 2，y 1－y 2).( × ) 提示 AB →
＝(x 2－x 1，y 2－y 1).
3.与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量分别为：i ＝(1，0)，j ＝(0，1).( √ )
类型一 平面向量的坐标表示
例1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →
＝a ，AB →
＝b .四边形OABC 为平行四边形.
(1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →
的坐标； (3)求点B 的坐标.
考点 平面向量的坐标表示 题点 求点或向量的坐标
解 (1)如图，作AM ⊥x 轴于点M ，
则OM ＝OA ·cos 45°＝4×2
2
＝22， AM ＝OA ·sin 45°＝4×
2
2
＝2 2.
∴A (22，22)，故a ＝(22，22). ∵∠AOC ＝180°－105°＝75°，∠AOy ＝45°， ∴∠COy ＝30°. 又∵OC ＝AB ＝3，
∴C ????－32，332，∴AB →＝OC →＝????－32，332，即b ＝????－32，332.
(2)BA →＝－AB →
＝????32
，－332.
(3)OB →＝OA →＋AB →
＝(22，22)＋????－32，332＝?
???22－32，22＋332.
反思与感悟 在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标的定义求坐标.一般利用不等式思想求解，即把问题条件转化为关于参数的不等式(组)，再解不等式(组)就可以求得参数的取值范围.
跟踪训练1 已知边长为2的正三角形ABC ，顶点A 在坐标原点，AB 边在x 轴上，点C 在第一象限，D 为AC 的中点，分别求向量AB →，AC →，BC →，BD →
的坐标. 考点 平面向量的坐标表示 题点 求向量的坐标
解 如图，正三角形ABC 的边长为2，则顶点A (0，0)，B (2，0)，C (2cos 60°，2sin 60°)，
∴C (1，3)，D ????12，32.
∴AB →＝(2，0)，AC →
＝(1，3)， BC →
＝(1－2，3－0)＝(－1，3)， BD →
＝????12－2，32－0＝????－32，32.
类型二 平面向量的坐标运算
例2 已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4).设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →
＝c .
(1)求3a ＋b －3c ；
(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n 的值. 考点 平面向量的坐标运算
题点 平面向量的坐标运算的综合问题
解 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8).
(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42). (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )＝a ＝(5，－5)，
∴????? －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得?????
m ＝－1，n ＝－1.
反思与感悟 向量坐标运算的方法
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行. 跟踪训练2 已知a ＝(－1，2)，b ＝(2，1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .
考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算
解 (1)2a ＋3b ＝2(－1，2)＋3(2，1)＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7). (2)a －3b ＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1). (3)12a －13b ＝12(－1，2)－1
3(2，1)＝????－12，1－????23，13＝????－76，23. 类型三 平面向量坐标运算的应用
例3 已知点A (2，3)，B (5，4)，C (7，10).若AP →＝AB →＋λAC →
(λ∈R )，试求当λ为何值时： (1)点P 在第一、三象限的角平分线上； (2)点P 在第三象限内.
考点 平面向量坐标运算的应用
题点 利用平面向量坐标运算及向量相等求参数 解 设点P 的坐标为(x ，y )，
则AP →
＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)，
AB →＋λAC →
＝(5，4)－(2，3)＋λ[(7，10)－(2，3)]＝(3，1)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，1＋7λ). ∵AP →＝AB →＋λAC →，
∴????? x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ，则?????
x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ.
(1)若点P 在第一、三象限的角平分线上， 则5＋5λ＝4＋7λ， ∴λ＝12
.
(2)若点P 在第三象限内，则?
????
5＋5λ<0，
4＋7λ<0，∴λ<－1.
反思与感悟 (1)待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用.
(2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.
跟踪训练3 已知平面上三点的坐标分别为A (－2，1)，B (－1，3)，C (3，4)，求点D 的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点. 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求点的坐标 解 当平行四边形为ABCD 时，设D (x ，y )， 由AB →＝(1，2)，DC →
＝(3－x ，4－y )， 且AB →＝DC →
，得D (2，2).
当平行四边形为ACDB 时，设D (x ，y )， 由AB →＝(1，2)，CD →＝(x －3，y －4)，且AB →＝CD →， 得D (4，6).
当平行四边形为ACBD 时，设D (x ，y )，
由AC →＝(5，3)，DB →＝(－1－x ，3－y )，且AC →＝DB →，
得D (－6，0)，
故D 点坐标为(2，2)或(4，6)或(－6，0).
1.设平面向量a ＝(3，5)，b ＝(－2，1)，则a －2b 等于( ) A.(7，3) B.(7，7) C.(1，7) D.(1，3) 考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 答案 A
2.已知向量OA →＝(3，－2)，OB →
＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( )
A.????－4，12
B.????4，－12
C.(－8，1)
D.(8，1)
考点 平面向量的坐标表示 题点 求向量的坐标 答案 A
解析 ∵AB →＝OB →－OA →
＝(－8，1)， ∴12
AB →
＝????－4，12. 3.已知四边形ABCD 的三个顶点A (0，2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC →＝2AD →
，则顶点D 的坐标为( )
A.????2，72
B.????2，－1
2 C.(3，2) D.(1，3) 考点 平面向量的坐标表示 题点 求点的坐标 答案 A
解析 设D 点坐标为(x ，y )，则BC →＝(4，3)，AD →
＝(x ，y －2)，
由BC →＝2AD →
，得?????
4＝2x ，3＝2(y －2)，∴?????
x ＝2，y ＝72
，∴D ????2，72. 4.已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →
等于( )
A.(－7，－4)
B.(7，4)
C.(－1，4)
D.(1，4) 考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 答案 A
解析 AB →＝(3，1)，AC →＝(－4，－3)，BC →＝AC →－AB →
＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4). 5.如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a ，b ，c 满足c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，则x ＋y ＝ .
考点 平面向量坐标运算的应用
题点 利用平面向量坐标运算及向量相等求参数 答案
19
7
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，设小方格的边长为1，
则可得a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)，c ＝(3，4).
∵c ＝x a ＋y b ，∴?????
3＝x ＋2y ，
4＝2x －3y ，
解得???
x ＝177
，
y ＝2
7.
因此x ＋y ＝19
7
.
1.向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据.向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化.
2.要区分向量终点的坐标与向量的坐标.由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的
终点坐标不是向量的坐标，若A (x A ，y A )，B (x B ，y B )则AB →
＝(x B －x A ，y B －y A ).
3.向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.
一、选择题
1.已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(1，0)，那么向量3b －a 的坐标是( ) A.(－4，2) B.(－4，－2) C.(4，2)
D.(4，－2)
考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 答案 D
解析 3b －a ＝3(1，0)－(－1，2)＝(3，0)－(－1，2)＝(3＋1，0－2)＝(4，－2)，故选D. 2.已知a －1
2b ＝(1，2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于( )
A.(－2，－2)
B.(2，2)
C.(－2，2)
D.(2，－2) 考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 答案 D
3.已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，3)，c ＝(3，4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( ) A.－2，1 B.1，－2 C.2，－1 D.－1，2 考点 平面向量坐标运算的应用
题点 利用平面向量坐标运算及向量相等求参数 答案 D
解析 由????? λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4， 解得?????
λ1＝－1，
λ2＝2.
4.在?ABCD 中，已知AD →＝(3，7)，AB →＝(－2，3)，对角线AC ，BD 相交于点O ，则CO →
的坐标是( ) A.???
?－1
2，5 B.???
?－1
2，－5
C.???
?1
2，－5 D.????
12，5
考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 答案 B
解析 CO →
＝－12AC →＝－12(AB →＋AD →)＝－12×(－2，3)－12×(3，7)＝????－12，－5，故选B. 5.如果将OA →＝????32，12绕原点O 逆时针方向旋转120°得到OB →，则OB →
的坐标是( )
A.????－12，32
B.????
32
，－12
C.(－1，3)
D.?
??
?－
32，12 考点 平面向量的坐标表示 题点 求向量的坐标 答案 D
解析 因为OA →＝????32，12所在直线的倾斜角为30°，绕原点O 逆时针方向旋转120°得到OB →
所
在直线的倾斜角为150°，所以A ，B 两点关于y 轴对称，由此可知B 点坐标为?
??
?－
32，12，故OB →
的坐标是???
?－32，12，故选D.
6.若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标.现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a 在另一组基底m ＝(－1，1)，n ＝(1，2)下的坐标为( ) A.(2，0) B.(0，－2) C.(－2，0)
D.(0，2)
考点 平面向量坐标运算的应用
题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 答案 D
解析 ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2，2)， ∴a ＝－2p ＋2q ＝－2(1，－1)＋2(2，1)＝(2，4). 令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，
∴????? －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，解得?????
x ＝0，y ＝2，
∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0，2).
7.设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a ，4b －2c ，2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( ) A.(2，6) B.(－2，6) C.(2，－6) D.(－2，－6) 考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 答案 D
解析 由题意知4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，
∴d ＝－6a －4b ＋4c ＝－6(1，－3)－4(－2，4)＋4(－1，－2) ＝(－6＋8－4，18－16－8)＝(－2，－6). 二、填空题
8.已知A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →
，则x ＋y ＝ . 考点 平面向量坐标运算的应用
题点 利用平面向量坐标运算及向量相等求参数 答案
112
解析 ∵AC →＝(－2，0)－(－1，－2)＝(－1，2)，BD →
＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)， 又∵2BD →＝AC →
，即(2x －4，2y －6)＝(－1，2)， ∴?????
2x －4＝－1，2y －6＝2， 解得?????
x ＝32
，y ＝4，
∴x ＋y ＝112
.
9.已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为 . 考点 平面向量的坐标运算 题点 求点的坐标 答案 (3，3)
解析 方法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →
＝(4λ，4λ)， 则AP →＝OP →－OA →
＝(4λ－4，4λ).
又AC →＝OC →－OA →＝(－2，6)，由AP →与AC →
共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34
，
所以OP →＝34
OB →
＝(3，3)，所以点P 的坐标为(3，3).
方法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4，4)，且OP →与OB →
共线， 所以x 4＝y
4
，即x ＝y .
又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且AP →与AC →
共线， 所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3， 所以点P 的坐标为(3，3).
10.已知点A (3，－4)与B (－1，2)，点P 在直线AB 上，且|AP →|＝2|PB →
|，则点P 的坐标为 . 考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 答案 ????13，0或(－5，8)
解析 设点P 坐标为(x ，y )，|AP →|＝2|PB →|. 当点P 在线段AB 上时，AP →＝2PB →
， 即(x －3，y ＋4)＝2(－1－x ，2－y )， ∴?????
x －3＝－2－2x ，y ＋4＝4－2y ，解得?????
x ＝13
，y ＝0.
∴点P 的坐标为????13，0.
当点P 在线段AB 的延长线上时，AP →＝－2PB →. ∴(x －3，y ＋4)＝－2(－1－x ，2－y )，
即????? x －3＝2＋2x ，y ＋4＝－4＋2y ，解得?????
x ＝－5，y ＝8.
∴点P 的坐标为(－5，8).
综上所述，点P 的坐标为????13，0或(－5，8).
11.已知A (2，3)，B (1，4)，且12AB →
＝(sin α，cos β)，α，β∈????－π2，π2，则α＋β＝ . 考点 平面向量的坐标运算的应用
题点 利用平面向量的坐标运算求参数 答案 π6或－π2
解析 因为12AB →＝1
2(－1，1)＝????－12，12＝(sin α，cos β)， 所以sin α＝－12且cos β＝1
2
，
因为α，β∈????－π2，π2，所以α＝－π6，β＝π3或－π3， 所以α＋β＝π6或－π
2.
三、解答题
12.已知点A (－1，2)，B (2，8)，且AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 和CD →
的坐标.
考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 解 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，
由题意可得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3，6)，DA →＝(－1－x 2，2－y 2)，BA →
＝(－3，－6). ∵AC →＝13AB →，DA →
＝－13
BA →，
∴(x 1＋1，y 1－2)＝13(3，6)＝(1，2)，(－1－x 2，2－y 2)＝－1
3
(－3，－6)＝(1，2)，
则有????? x 1＋1＝1，y 1－2＝2和?????
－1－x 2＝1，
2－y 2＝2，
解得????? x 1＝0，y 1＝4和?????
x 2＝－2，y 2＝0.
∴C ，D 的坐标分别为(0，4)和(－2，0)，∴CD →
＝(－2，－4). 13.已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)，且OP →＝OA →＋tAB →
.
(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？ (2)四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求t 值；若不能，请说明理由. 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求参数
解 (1)OP →＝OA →＋tAB →
＝(1，2)＋t (3，3)＝(1＋3t ，2＋3t )，
若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0， ∴t ＝－2
3
.
若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0， ∴t ＝－1
3
，
若点P 在第二象限，则?????
1＋3t <0，
2＋3t >0，
∴－23 3 . (2)OA →＝(1，2)，PB →＝OB →－OP → ＝(3－3t ，3－3t ). 若四边形OABP 为平行四边形， 则OA →＝PB →， ∴? ???? 3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解. 故四边形OABP 不能成为平行四边形. 四、探究与拓展 14.已知M (－2，7)，N (10，－2)，点P 是线段MN 上的点，且PN →＝－2PM → ，则点P 的坐标为( ) A.(－14，16) B.(22，－11) C.(6，1) D.(2，4) 考点 平面向量的坐标运算 题点 求点的坐标 答案 D 解析 ∵PN →＝－2PM → ， ∴P ，M ，N 三点共线，且MP →＝13MN → . 又MN → ＝(10，－2)－(－2，7)＝(12，－9)， ∴OP →＝OM →＋MP →＝OM →＋13MN → ＝(－2，7)＋13 (12，－9)＝(－2，7)＋(4，－3)＝(2，4). 15.如图，已知在△AOB 中，A (0，5)，O (0，0)，B (4，3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB → ，AD 与BC 相交于点M ，求点M 的坐标. 考点 平面向量的坐标运算 题点 求点的坐标 解 ∵OC →＝14OA →＝1 4(0，5)＝????0，54，∴C ????0，54. ∵OD →＝12OB →＝1 2(4，3)＝????2，32，∴D ????2，32. 设M (x ，y )，则AM → ＝(x ，y －5). ∵AD → ＝????2－0，32－5＝????2，－72，A ，M ，D 三点共线， ∴设AM →＝λAD → (λ∈R )，即(x ，y －5)＝λ? ???2，－72， ∴????? x ＝2λ， y －5＝－72λ. ① ∵CM →＝????x ，y －54，CB → ＝????4，74，C ，M ，B 三点共线， ∴设CM →＝μCB → (μ∈R )，即? ???x ，y －54＝μ????4，74， ∴????? x ＝4μ， y －54＝74μ. ② 联立①②，解得x ＝12 7，y ＝2，故点M 的坐标为????127，2. 平面向量的坐标运算（一）（教案） 教学目标： 知识与技能：（1）理解平面向量的坐标概念；（2）掌握平面向量的坐标运算. 过程与方法：（1）通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力； （2）通过平面向量坐标表示和坐标运算法则的推导培养学生归纳、猜想、演绎的能力； （3）通过用代数方法处理几何问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力. 情感、态度与价值观:（1）让学生在探索中体验探究的艰辛和成功的乐趣，培养学生锲而不舍的求索精神和合作交流的团队精神，提高学生的数学素养； （2）使学生认识数学运算对于建构数学系统、刻画数学对象的重要性，进而理解数学的本质； （3）让学生体会从特殊到一般，从一般到特殊的认识规律. 教学重点和教学难点： 教学重点：平面向量的坐标运算； 教学难点：平面向量坐标的意义. 教学方法：“引导发现法”、“探究学习”及“合作学习”的模式. 教学手段：利用多媒体动画演示及实物展示平台增加直观性，提高课堂教学效率. 教学过程设计： 一、创设问题情境，引入课题. 同学们，我们知道，向量的概念是从物理中抽象出来的，人们最初对向量的研究是从几何的的角度来进行的，但是随着问题的不断深入，我们发现用图形来研究向量有一些不便之处，那么，有没有一种更简洁的方式可以来表示向量呢？ 我国著名数学家华罗庚先生说过：“数无形，少直观；形无数，难入微。”图形关系往往与某些数量关系密切联系在一起，数与形是互相依赖的，所以我们想到了用数来表示向量. 思路一：用一个数能否表示向量？（请学生回答） （不能，因为向量既有大小，又有方向） 思路二：用两个数能否表示向量？（引导学生思考） 在平面直角坐标系内，一个点和一对有序实数对之间有一一对应的关系，那么，向量是否也能找到与之对应的实数呢？ 让我们先来探讨这样一个问题： 探究一：如图，为互相垂直的单位向量，请用,i j 表示图中的向量,,,.a b c d 使1122=a e e λλ+ ，其中的1e ，2e 称为平面的一组基底. 强调：基底不唯一，只要不共线，就可作为基底，而一旦基底选定，任一向量在基底方向的分解形式就是唯一的. 二、理解概念，加深认识. 根据平面向量基本定理，我们知道，在选定基底的情况下，所给,,,.a b c d 四 个向量在基底方向的分解形式是唯一的，也就是说，这几个向量用基底、来表示的形式是唯一的，每个向量对应的这对实数对我们就将其称之为向量的坐标. 推广到平面内的任意向量，我们怎样来定义向量的坐标？（引导学生思考，请学生尝试给出定义） 如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得 a xi yj =+ …………○ 1 我们把),(y x 叫做向量的（直角）坐标，记作 资源信息表 （2）向量的坐标表示及其运算（2） 一、教学内容分析 向量是研究数学的工具，是学习数形结合思想方法的直观而又生动的内容.向量的坐标以及向量运算的坐标形式，则从“数、式”的角度对向量以及向量的运算作了精确的、定量的描述.本节课是向量的坐标及其运算的第二课时，一方面把“形”与“数、式”结合起来思考，以“数”入微，借“形”思考，体会并感悟数形结合的思维方式；另一方面通过例5的演绎推理教学，体会代数证明的严谨性，也为定比分点（三点共线）的教学提供基础. 二、教学目标设计 1．理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，巩固加深充 要条件的证明方式； 2．会用平行的充要条件解决点共线问题； 3、定比分点坐标公式. 三、教学重点及难点 课本例5的演绎证明； 分类思想，数形结合思想在解决问题时的运用； 特殊——一般——特殊的探究问题意识. 五、教学过程设计： 复习向量平行的概念： 提问：（1）升么是平行向量方向相同或相反的向量叫做平行向 量。 （2）实数与向量相乘有何几何意义 （3）由此对任意两个向量,a b ，我们可以用怎样的数量关系来刻画平行对任意两个向量,a b ，若存在一个常数λ，使得 a b λ=?成立，则两向量a 与向量b 平行 （4）思考：如果向量,a b 用坐标表示为) ,(),,(2211y x y x ==能否用向量的坐标来刻画这个数量关系12 12 x x y y λλ=??=? 思考：如果向量,a b 用坐标表示为),(),,(2211y x y x ==，则 2 121y y x x =是b a //的（ ）条件. A 、充要 B 、必要不充分 C 、充分不必要 D 、既不充分也不必要 由此，通过改进引出 课本例5 若,a b 是两个非零向量，且1122(,),(,)a x y b x y ==， 则//a b 的充要条件是1221x y x y =. 分析：代数证明的方法与技巧，严密、严谨. 证明：分两步证明， （Ⅰ）先证必要性：//a b 1221x y x y ?= 非零向量//a b ?存在非零实数λ，使得a b λ=，即 平面向量的坐标运算 一、知识精讲 1．平面向量的正交分解 把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2．平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标表示： 在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝xi ＋yj ，则把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标．记作a ＝(x ，y)，此式叫做向量的坐标表示． (2)在直角坐标平面中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0)． 3．平面向量的坐标运算 向量的 加、减法 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)．即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差) 实数与向量的积 若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 向量的 坐标 已知向量 AB 的起点 A (x 1，y 1)，终点 B (x 2，y 2)，则 AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即向量的坐标等于表示此向量的有 向线段的终点的坐标减去始点的坐标 4．两个向量共线的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ∥b ?a ＝λb ?x 1y 2－x 2y 1＝0. [小问题·大思维] 1．与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？ 提示：与x 轴平行的向量的纵坐标为0，即a ＝(x,0)；与y 轴平行的向量的横坐标为0，即b ＝(0，y )． 2．已知向量OM ＝(－1，－2)，M 点的坐标与OM 的坐标有什么关系？ 提示：坐标相同但写法不同；OM ＝(－1，－2)，而M (－1，－2)． 平面向量的基本定理及坐标运算 【考纲要求】 1、了解平面向量的基本定理及其意义. 2、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3、会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4、理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【基础知识】 一、平面向量基本定理 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ、2λ，使得2211e e λλ+=，不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 二、平面向量的坐标表示 在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量、作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任意一个向量a 可表示成a xi y j =+，由于a 与数对(,)x y 是一一对应的，因此把(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫作a 在y 轴上的坐标. 规定：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无 关，只与其相对位置有关。 三、平面向量的坐标运算 1、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则a b +=1212(,)x x y y ++. 2、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则a b -=1212(,)x x y y --. 3、设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. 4、设a =()y x ,，R ∈λ，则λa =(,)x y λλ. 5、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则b a //12210x y x y ?-=（斜乘相减等于零） 6、设a =()y x ,，则22a x y =+ 四、两个向量平行（共线）的充要条件 1、如果0a ≠，则b a //的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b a λ=（没有坐标背景） 2、如果a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则b a //的充要条件是12210x y x y -=(坐标背景) 五、三点共线的充要条件 1、A 、B 、C 三点共线的充要条件是AB BC λ= 2、设OA 、OB 不共线，点P 、A 、B 三点共线的充要条件是 (1,,)OP OA OB R λμλμλμ=++=∈. 特别地，当12 λμ==时，P 是AB 中点。 ξ10向量的数量积.平移 一．知识精讲 1． 数量积的概念 （1） 向量的夹角：如图，已知两个向量a 和b ，使=a,=b 。则)1800( ≤≤=∠θθAOB 叫做响亮a 与b 的夹角，记为 平面向量的坐标运算测试题 一、选择题（每题5分，共10题） 1. 如右图所示，平面向量AB u u u r 的坐标是（ ） A. (2,3) B. (2,3)- C. (2,3)-- D. (2,3)- 2. 已知向量3(1,)a =-r ，则向量a r 与单位向量(1,0)i =r 的夹角是（ ） A. 30o B. 60o C. 120o D. 150o 3. 设1e u r ，2e u u r 是平面中所有向量的一组基底，以下四个选项中可以作为平面中所有向量的一组基底的是（ A. 12e e +u r u u r 和12e e -u r u u r B. 122e e -u r u u r 和2e u u r C. 122e e -u r u u r 和2163e e -u u r u r D. 12e e -u r u u r 和212e e +u u r u r 4. 以下四种说法中错误的是（ ） A. 平面内任一向量都可以由这个平面内的两个不共线的向量线性表示 B. 0r 不可以作为平面中所有向量的一组基底 C. 若1e u r ，2e u u r 是平面中所有向量的一组基底，11220e e λλ=+r u r u u r ，则有120λλ== D. 若//a b r r ，则存在唯一的实数λ，使得b a λ=r r 成立 5. 向量||10a =r ，它与x 轴正方向上的夹角为150o ，则它在x 轴上的投影为（ ） A. 53- B. 5 C. 5- D. 53 6. 如图，已知(4,1)OA =u u u r ，(1,3)OB =u u u r ，点C 是AB 的三等分点，则OC = u u u r （ ） A. 7(2,)3 B. 5(,2)2 C. 5(3,)3 D. 7(2,)3-- 7. 已知向量(2,3)a =r ，(1,2)b =-r ，若ma nb +r r 与2a b -r r 共线，则m n 等于（ ） A. 12 B. 2 C. 12 - D. 2- 平 面 向 量 的 坐 标 运 算 一、【教材的地位和作用】 本节内容在教材中有着承上启下的作用，它是在学生对平面向量的基本定理有了充分的认识和正确的应用后产生的，同时也为下一节定比分点坐标公式和中点坐标公式的推导奠定了基础；向量用坐标表示后，对立体几何教材的改革也有着深远的意义，可使空间结构系统地代数化，把空间形式的研究从“定性”推到“定量”的深度。引入坐标运算之后使学生形成了完整的知识体系（向量的几何表示和向量的坐标表示），为用“数”的运算解决“形”的问题搭起了桥梁。 二、【学习目标】 根据教学大纲的要求以及学生的实际知识水平，以期达到以下的目的： 1.知识方面：理解平面向量的坐标表示的意义；能熟练地运用坐标形式进行运算。 2.能力方面：数形结合的思想和转化的思想 三、【教学重点和难点】 理解平面向量坐标化的意义是教学的难点；平面向量的坐标运算则是重点。我主要是采用启发引导式，并辅助适量的题组练习来帮助学生突破难点，强化重点。 四、【教法和学法】 本节课尝试一种全新的教学模式，以建构主义理论为指导，教师在本节课中起的根本作用就是“为学生的学习创造一种良好的学习环境”，结合本节课是新授课的特点，我主要从以下几个方面做准备：（1）提供新知识产生的铺垫知识（2）模拟新知识产生过程中的细节和状态，启发引导学生主动建构（3）创设新知识思维发展的前景（4）通过“学习论坛时间”组织学生的合作学习、讨论学习、交流学习（5）通过“老师信箱时间”指导解答学生的疑难问题（6）通过“深化拓展区”培养学生的创新意识和发现能力。 整个过程学生始终处于交互式的学习环境中，让学生用自己的活动对已有的数学知识建构起自己的理解；让学生有了亲身参与的可能并且这种主动参与就为学生的主动性、积极性的发挥创造了很好的条件，真正实现了“学生是学习的主体”这一理念。 五、【学习过程】 1.提供新知识产生的理论基础 课堂教学论认为：要使教学过程最优化，首先要把已学的材料与学生已有的信息联系起来，使学生在学习新的材料时有适当的知识冗余。在本节之前，学生接触到的是向量的几何表示；向量共线的充要条件和平面向量的基本定理为引入向量的坐标运算奠定了理论基础。尤其是平面向量的基本定理，在新授课之前，我以为应再次跟学生进行强调，揭示其本质：即平面内的任一向量都可以表示为不共线的向量的线形组合。对于基底的理解，指出“基底不唯一，关键是不共线”。这样就使得新课的导入显得自然而不突兀，学生也很容易联想到基底选择的特殊性，从而引出坐标表示。 2.新课引入 哲学家卡尔.波普尔曾指出“科学与知识的增长永远始于问题，终于问题——愈来愈深化的问题，愈来愈能启发新问题的问题”，这对数学亦不例外。 因此，在新课的引入中首先提出问题“在直角坐标系内，平面内的每一个点都可以用一对实数（即它的坐标）来表示。同样，在平面直角坐标系内，每一个平面向量是否也可以用一对实数来表示?”，问题的给出旨在启发学生的思维。而学生思维是否到位，是否可以达到自己建构新知识的目的，取决于老师的引导是否得当。 3.创建新知识 以学生为主体绝不意味着老师可以袖手旁观，在创设问题情景后学生已进入激活状态，即想说但又不知道怎么说的状态，这时需老师适当加以点拨。指出：选择在平面直角坐标系内与坐标轴的正方向相同的两个单位向量、j 作为基底，任做一个向量。由平面向量基本定理知，有并且只有一对实数x , y ，使j y i x a += 一．复习巩固 1、下列说法正确的是（D ） A 、数量可以比较大小，向量也可以比较大小. B 、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小. C 、向量的大小与方向有关. D 、向量的模可以比较大小. 2、设O 是正方形ABCD 的中心，则向量,,,AO BO OC OD u u u r u u u r u u u r u u u r 是（D ） A 、相等的向量 B 、平行的向量 C 、有相同起点的向量 D 、模相等的向量 3、给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若||||a b =r r ，则a b =r r ； ③若AB DC =u u u r u u u r ，则四边形ABCD 是平行四边形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =u u u r u u u r ； ⑤若m n =u r r ，n k =r r ，则m k =u r r ；⑥a b r r P ，b c r r P ，则a c r r P . 其中不正确的命题的个数为（B ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 4、下列命中，正确的是（ C ） A 、|a r |＝|b r |?a r ＝b r B 、|a r |＞|b r |?a r ＞b r C 、a r ＝b r ?a r ∥b r D 、｜a r ｜＝0?a r ＝0 6．如图，M 、N 是△ABC 的一边BC 上的两个三等分点， 若AB →＝a ，AC →＝b ，则MN → ＝__ _____. 7．a 、b 为非零向量，且+=+||||||a b a b ，则 （ A ） A ．a 与b 方向相同 B ．a = b C ．a =- b D ．a 与b 方向相反 8．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，在向量OB →，OC → ， OD →，OE →，OF →，AB →，BC →，CD →，EF →，DE →，FA →中与OA → 共线的向量有 个 个 个 个 （ C ） 第二章 平面向量 2．3 平面向量的基本定理及坐标表示 2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2．3.3 平面向量的坐标运算 [A 组 学业达标] 1．已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A (5，－1)，B (－1，7)，C (1，2)，则顶点D 的坐标为 ( ) A ．(－7，6) B ．(7，6) C ．(6，7) D ．(7，－6) 解析：设D (x ，y )，由AD →＝BC →，得(x －5，y ＋1)＝(2，－5)，∴x ＝7，y ＝－6，∴D (7，－6)． 答案：D 2．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2，4)，AC →＝(1，3)，则BD →＝ ( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3，5) D ．(2，4) 解析：∵AC →＝AB →＋AD →，∴AD →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)，故选B. 答案：B 3．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a ，4b －2c ，2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为 ( ) A ．(2，6) B ．(－2，6) C ．(2，－6) D ．(－2，－6) 解析：∵a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，c ＝(－1，－2)，∴4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6，20)，2(a －c )＝(4，－2)．又∵表示4a ，4b －2c ，2(a －c )，d 的 有向线段首尾相接能构成四边形，∴4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0.解得d ＝(－2，－6)．故选D. 答案：D 4．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点．若P A →＝(4， 3)，PQ →＝(1，5)，则BC →＝ ( ) A ．(－2，7) B ．(－6，21) C ．(2，－7) D ．(6，－21) 解析：如图，∵QC →＝AQ →＝PQ →－P A →＝(1，5)－(4，3)＝(－3，2)，∴PC →＝PQ →＋QC →＝(1，5)＋(－3，2)＝(－2，7)，∴BC →＝3PC →＝(－6，21)． 答案：B 5．若a ＋b ＝(－3，－4)，a －b ＝(5，2)，则向量a ＝________，向量b ＝________． 解析：a ＋b ＝(－3，－4)，① a －b ＝(5，2)．② ①＋②，得a ＝12[(－3，－4)＋(5，2)]＝(1，－1)； ①－②，得b ＝12[(－3，－4)－(5，2)]＝(－4，－3)． 答案：(1，－1) (－4，－3) 6．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)．若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________． 解析：由题意得m a ＋n b ＝(2m ，m )＋(n ，－2n )＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，即?????2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得?????m ＝2，n ＝5， 所以m －n ＝－3. ) (1212y y x x --，2 12212)()(y y x x -+-)2 2( 1 212y y x x --，)(y x ，， 22y x + ) (1212y y x x ++，)(1212y y x x --， ) (11y x λλ，2121y y x x + 01221=-y x y x （2，2） （－18，18） （－3，－3） )3231(，-E )03 7(，F 3.2 平面向量的坐标运算（1课时） 一、内容提要（2分钟） 1、设)()(2211y x B y x A ，，，，则=__________，=||__________， B A 、的中点坐标为____________。 2、设j y i x a +=j i ⊥(，)1||||==j i ，则的坐标为_______，=||a _______。 3、设)(11y x ，=，)(22y x ，= 则=+____________，=-____________， =λ____________， =?____________， ?//____________。 二、基础训练（7分钟） 1、（1分钟） （1）已知□ABCD 的三个顶点C B A 、、的坐标分别为（2-，1）、 （1-，3）、（3，4），则顶点D 的坐标为________； （2）若C B A 、、的坐标分别为（2，4-）、（0，6）、（8-，10），则 BC AB 2+，2 1 - 的坐标分别为________、________。 2、（2分钟）已知C B A 、、三点坐标分别为（1-，0）、（3，1-）、（1，2）， 31=，3 1 =。 （1）求F E 、两点的坐标； （2）求证：//。 平面向量的坐标运算（一）（教案） 中卫市第一中学俞清华 教学目标： 知识与技能：（1）理解平面向量的坐标概念；（2）掌握平面向量的坐标运算. 过程与方法：（1）通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力； （2）通过平面向量坐标表示和坐标运算法则的推导培养学生归纳、猜想、演绎的能力； （3）通过用代数方法处理几何问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力. 情感、态度与价值观:（1）让学生在探索中体验探究的艰辛和成功的乐趣，培养学生锲而不舍的求索精神和合作交流的团队精神，提高学生的数学素养； （2）使学生认识数学运算对于建构数学系统、刻画数学对象的重要性，进而理解数学的本质； （3）让学生体会从特殊到一般，从一般到特殊的认识规律. 教学重点和教学难点： 教学重点：平面向量的坐标运算； 教学难点：平面向量坐标的意义. 教学方法：“引导发现法”、“探究学习”及“合作学习”的模式. 教学手段：利用多媒体动画演示及实物展示平台增加直观性，提高课堂教学效率. 教学过程设计： 一、创设问题情境，引入课题. 同学们，我们知道，向量的概念是从物理中抽象出来的，人们最初对向量的研究是从几何的的角度来进行的，但是随着问题的不断深入，我们发现用图形来研究向量有一些不便之处，那么，有没有一种更简洁的方式可以来表示向量呢？ 我国著名数学家华罗庚先生说过：“数无形，少直观；形无数，难入微。”图形关系往往与某些数量关系密切联系在一起，数与形是互相依赖的，所以我们想到了用数来表示向量. 思路一：用一个数能否表示向量？（请学生回答） （不能，因为向量既有大小，又有方向） 思路二：用两个数能否表示向量？（引导学生思考） 在平面直角坐标系内，一个点和一对有序实数对之间有一一对应的关系，那么，向量是否也能找到与之对应的实数呢？ 让我们先来探讨这样一个问题： 探究一：如图，,i j 为互相垂直的单位向量，请用,i j 表示图中的向量,,,.a b c d 请学生动手完成并回答： 根据向量加法的几何意义，我们只要把a 分解在,i j 的方向上，就可得到： 33a i j =+ ，同理可得2b i j =-+ 33c i j =+ 42d i j =- 我们用,i j 来表示a 的这种形式是否唯一？根据是什么？（提问学生） 由此复习平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12λλ，，使1122=a e e λλ+ ，其中的1e ，2e 称为平面的一组基底. 强调：基底不唯一，只要不共线，就可作为基底，而一旦基底选定，任一 向量在基底方向的分解形式就是唯一的. 向量的坐标表示及其运算 向量的坐标表示及其运算 【知识概要】 1. 向量及其表示 1）向量：我们把既有大小又有方向的量叫向量（向量可以用一个小写英文字母上 面加箭头来表示，如a读作向量a， 向量也可以用两个大写字母上面加 箭头来表示，如AB，表示由A到B的向量. A为向量的起点，B为向量的终点）.向量AB（或a）的大小叫做向量的模，记作AB（或a）. 注：①既有方向又有大小的量叫做向量，只有大小没有方向的量叫做标量，向量与标量是两种不同的量，要加以区别； ②长度为0的向量叫零向量，记作的方向是任意的注意与0的区别 ③长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大 小，不确定方向. 例1 下列各量中不是向量的是（ D A.浮力 B.风速 C.位移 D.密度 例2 下列说法中错误 ．．的是（ A ） A.B.零向 量的长度为0 C. D.零向 例 3 把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ D ） A.B. C. D. 2）向量坐标的有关概念 ①基本单位向量: 在平面直角坐标系中，方向分别与x轴和y轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位，记为i和j. ②将向量a的起点置于坐标原点O，作OA a ， 则OA叫做位置向量，如果点A的坐标为(,) x y，它在 x 轴和 y 轴上的投影分别为 ,M N ，则 ,.OA OM ON a OA xi y j =+==+ ③ 向量的正交分解 在②中，向量OA 能表示成两个相互垂直的向量i 、j 分别乘上实数,x y 后组成的和式，该和式称 为i 、j 的线性组合，这种向量的表示方法叫做向 量的正交分解，把有序的实数对(,) x y 叫做向量a 的坐标，记为a =(,)x y . 一般地，对于以点1 1 1 (,)P x y 为起点，点2 2 2 (,)P x y 为终 点的向量12 PP ，容易推得122 121()()PP x x i y y j =-+-，于是相 应地就可以把有序实数对2 121(,) x x y y --叫做12 PP 的坐 标，记作12 PP =2 121(,) x x y y --. 3）向量的坐标运算：1 1 2 2 (,),(,)a x y b x y ==，R λ∈ 则1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (,);(,);(,)a b x x y y a b x x y y a x x λλλ+=++-=--=. 4） 向量的模：设(,)a x y =，由两点间距离公式，可求得向量a 的模()norm . 2a x =+ 注：① 向量的大小可以用向量的模来表示，即用向量的起点与终点间的距离来表示； 1 2. 3.3平面向量的坐标运算 【教学目标】 1．能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力； 2．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力. 【教学重难点】 教学重点: 平面向量的坐标运算． 教学难点: 对平面向量坐标运算的理解． 【教学过程】 一、〖创设情境〗 以前，我们所讲的向量都是用有向线段表示，即几何的方法表示。向量是否可以用代数的方法，比如用坐标来表示呢？如果可能的话，向量的运算就可以通过坐标运算来完成，那么问题的解决肯定要方便的多。因此，我们有必要探究一下这个问题：平面向量的坐标运算。 二、〖新知探究〗 思考1：设i 、j 是与x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若设a =(x 1, y 1) b =(x 2, y 2) 则a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ，根据向量的线性运算性质，向量a ＋b ，a －b ，λa （λ ∈R ）如何分别用基底i 、j 表示？ a ＋ b ＝(x 1＋x 2)i ＋(y 1＋y 2)j ， a － b ＝(x 1－x 2)i ＋(y 1－y 2)j ， λa ＝λx 1i ＋λy 1j . 思考2：根据向量的坐标表示，向量a ＋b ，a －b ，λa 的坐标分别如何？ a ＋ b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2); a － b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2); λa ＝(λx 1，λy 1). 两个向量和与差的坐标运算法则： 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 思考3：已知点A(x 1, y 1),B(x 2, y 2)，那么向量AB 的坐标如何？ 一、知识精讲 1．平面向量的正交分解 把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2．平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标表示： 在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得a＝xi＋yj，则把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标．记作a＝(x，y)，此式叫做向量的坐标表示． (2)在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)． 3．平面向量的坐标运算 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.则a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0. [小问题·大思维] 1．与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点 提示：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即a＝(x,0)；与y轴平行的向量的横坐标为0，即b＝(0，y)． 2．已知向量OM＝(－1，－2)，M点的坐标与OM的坐标有什么关系提示：坐标相同但写法不同；OM＝(－1，－2)，而M(－1，－2)．3．在基底确定的条件下，给定一个向量．它的坐标是唯一的一对实数，给定一 对实数，它表示的向量是否唯一 提示：不唯一，以这对实数为坐标的向量有无穷多个，这些向量都是相等向量． 4．向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化吗 提示：不发生变化。向量确定以后，它的坐标就被唯一确定，所以向量在平移前后，其坐标不变． 5．已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，是否有x 1x 2＝y 1 y 2 成立 提示：不一定．由于x 1x 2＝y 1y 2 的意义与x 1y 2－x 2y 1＝0的意义不同，前者不 允许x 2和y 2为零，而后者允许，当x 1＝x 2＝0，或y 1＝y 2＝0或x 2＝y 2＝0时，a ∥b 但x 1x 2＝y 1 y 2 不成立． 二、典例精析 例1、如图所示，已知△ABC ，A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M ，N ，D 分别是AB ， AC ，BC 的中点，且MN 与AD 交于点F ，求DF 的坐标． 变式练习： 若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于 ( ) ? 平面向量的坐标运算 [学习目标] 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来． 知识点一 平面向量的坐标表示 (1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． (2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ， j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝x i ＋y j ，则有序数 对(x ，y )叫做向量a 的坐标，a ＝(x ，y )叫做向量的坐标表示． (3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA → ＝(x ，y )，若A (x 1，y 1)，B (x 2， y 2)，则AB → ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)． ？ 思考 根据下图写出向量a ，b ，c ，d 的坐标，其中每个小正方形的边长是1. 答案 a ＝(2,3)，b ＝(－2,3)，c ＝(－3，－2)， d ＝(3，－3)． 知识点二 平面向量的坐标运算 (1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和． (2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差． (3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． ] (4)已知向量AB →的起点A (x 1，y 1)，终点B (x 2，y 2)，则AB → ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)． 思考 已知a ＝OA →，b ＝OB →，c ＝OC → ，如下图所示，写出a ，b ，c 的坐标，并在直角坐标系内作出向量a ＋b ，a －b 以及a －3c ，然后写出它们的坐标． 答案 易知：a ＝(4,1)，b ＝(－5,3)，c ＝(1,1)， OD → ＝a ＋b ＝(－1,4)，BA →＝a －b ＝(9，－2)，OF → ＝a －3c ＝(1，－2)． 平面向量的坐标运算 教学目的： 让学生掌握平面向量的和、差、积的运算，理解向量的坐标与端点的坐标 换算，会用向量的运算求多边形在平面直角坐标系中的坐标。 教学重点： 平面向量的和、差、积的运算。 教学难点： 用向量的运算求坐标系中的坐标。 教学过程： 一、复习提问： 在平面直角坐标中，向量如何用坐标来表示？ 二、新课： 1、平面向量和与差的运算 已知a (x 1, y 1) ，b (x 2, y 2)，求a +b ，a -b 的坐标。 解：a +b =(x 1+y 1)+( x 2+y 2)=(x 1+ x 2) + (y 1+y 2) ， 即：a +b =(x 1+ x 2, y 1+y 2)， 同理：a -b =(x 1- x 2, y 1-y 2)。 两个向量和（差）的坐标分别等于这丙个向量相应坐标的和（差） 2、平面向量的数乘 已知a ＝(x 1, y 1)和实数λ,求λa 的坐标，λa ＝λ(x 1+y 1)＝λx 1+λy 1＝（λx 1，λy 1）。 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 3、向量的坐标与端点的坐标换算 例3 已知A （x 1, y 1) ，B (x 2, y 2)，求AB 的坐标。 解：-= ＝(x 2, y 2)－（x 1, y 1) ＝(x 2－x 1, y 2－ y 1) 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。 例4 已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A(-2, 1), B(-1, 3), C(3, 4)， 试求顶点D 的坐标。 O x y B(x 2,y 2) A(x 1,y 1) 平面向量的坐标运算 教案 一、教学目标 1、知识与技能： 掌握平面向量的坐标运算； 2、过程与方法： 通过对共线向量坐标关系的探究，提高分析问题、解决问题的能力。 3情感态度与价值观： 学会用坐标进行向量的相关运算，理解数学容之间的在联系。 二、教学重点与难点 教学重点：平面向量的坐标运算。 教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确. 三、教学设想 （一）导入新课 思路 1.向量具有代数特征,与平面直角坐标系紧密相联.那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时,直线与直线的平行是一种重要的关系.关于x 、y 的二元一次方程Ax+By+C=0(A 、B 不同时为零)何时所体现的两条直线平行？向量的共线用代数运算如何体现？ 思路2.对于平面的任意向量a ,过定点O 作向量OA =a ,则点A 的位置被向量a 的大小和方向所唯一确定.如果以定点O 为原点建立平面直角坐标系,那么点A 的位置可通过其坐标来反映,从而向量a 也可以用坐标来表示,这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.事实上,向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,那么向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢？ （二）推进新课、新知探究、提出问题 ①我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),你能得出a +b ,a -b ,λa 的坐标表示吗? ②如图1,已知A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),怎样表示AB 的坐标？你能在图中标出坐标为(x 2-x 1,y 2-y 1)的P 点吗?标出点P 后,你能总结出什么结论? 活动:教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算,教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得: 图1 a + b =(x 1ｉ+y 1j )+(x 2ｉ+y 2j )=(x 1+x 2)ｉ+(y 1+y 2)j , 即a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2). 同理a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2). 一. 情境引入 上海市莘庄中学的健美操队四名队员A 、B 、C 、D 在一个长10米，宽8米的矩形表演区域EFGH 内进行健美操表演. （1）若在某时刻1t ，四名队员A 、B 、C 、D 保持如图1所示的平行四边形队形.队员A 位于点F 处，队员B 在边FG 上距F 点3米处，队员D 位于距EF 边2米距FG 边5米处.你能确定此时队员C 的位置吗？ [说明] 此时队员C 在位于距EF 边5米距FG 边5米处.这个图形比较特殊，学生很快就会得到答案，这时教师引入第二个问题. （2）若在某时刻2t ，四名队员A 、B 、C 、D 保持如图2所示的平行四边形队形.队员A 位于距EF 边2米距FG 边1米处，队员B 在距EF 边6米距FG 边3米处，队员D 位于距EF 边4米距FG 边5米处.你能确定此时队员C 的位置吗？ 二．学习新课 1. 向量的正交分解 我们称在平面直角坐标系中，方向与x 轴和y 轴正方向分别相同的的两个单位向量叫 做基本单位向量，分别记为,i j r r ，如图，称以原点O 为起点的向量为位置向量，如下图左，OA uu u r 即为一个位置向量. G H G 思考1：对于任一位置向量OA uu u r ，我们能用基本单位向量,i j r r 来表示它吗？ 如上图右，设如果点A 的坐标为 (),x y ，它在小x 轴，y 轴上的投影分别为M ，N ，那 么向量OA uu u r 能用向量OM u u u u r 与ON u u u r 来表示吗？（依向量加法的平行四边形法则可得OA OM ON =+u u u r u u u u r u u u r ），OM u u u u r 与ON u u u r 能用基本单位向量,i j r r 来表示吗？（依向量与实数相乘 的几何意义可得,OM xi ON y j ==u u u u r r u u u r r ），于是可得： OA OM ON xi y j =+=+u u u r u u u u r u u u r r r 由上面这个式子，我们可以看到：平面直角坐标系内的任一位置向量OA uu u r 都能表示成 两个相互垂直的基本单位向量,i j r r 的线性组合，这种向量的表示方法我们称为向量的正交分 解. 2.向量的坐标表示 思考2：对于平面直角坐标系内的任意一个向量a r ，我们都能将它正交分解为基本单位向量,i j r r 的线性组合吗？如下图左. 显然，如上图右，我们一定能够以原点O 为起点作一位置向量OA uu u r ，使OA a =uu u r r .于是，平面向量的坐标运算(教案)
向量的坐标表示及其运算
平面向量的坐标运算
平面向量的基本定理及坐标运算
平面向量坐标运算
(完整版)平面向量的坐标运算测试题
高一数学平面向量的坐标运算
平面向量在坐标中的运算(习题带答案)
2.3.3 平面向量的坐标运算
3.2平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算(一)(教案)
向量的坐标表示及其运算
A2.3.3平面向量的坐标运算(教学案)
平面向量的坐标运算
必修四平面向量的坐标运算(附答案)
2.3.3平面向量的坐标运算教案
平面向量的坐标运算-教(学)案
平面向量的坐标表示及其运算