水平、竖直平面的圆周运动

水平、竖直平面的圆周运动

知识点1 向心力

1．电场

（1）大小：R f m R T

m R m R v m ma F 22222244ππω=====向 （2）方向：总指向圆心，时刻变化

点评：“向心力”是一种效果力．任何一个力，或者几个力的合力，或者某一个力的某个分力，只要其效果是使物体做圆周运动的，都可以作为向心力．“向心力”不一定是物体所受合外力．做匀速圆周运动的物体，向心力就是物体所受的合外力，总是指向圆心．做变速圆周运动的物体，向心力只是物体所受合外力在沿着半径方向上的一个分力，合外力的另一个分力沿着圆周的切线，使速度大小改变．

2．处理方法

一般地说，当做圆周运动物体所受的合力不指向圆心时，可以将它沿半径方向和切线方向正交分解，其沿半径方向的分力为向心力，只改变速度的方向，不改变速度的大小；其沿切线方向的分力为切向力，只改变速度的大小，不改变速度的方向．分别与它们相应的向心加速度描述速度方向变化的快慢，切向加速度描述速度大小变化的快慢．

做圆周运动物体所受的向心力和向心加速度的关系同样遵从牛顿第二定律：n n F ma =在列方程时，根据物体的受力分析，在方程左边写出外界给物体提供的合外力，右边写出物体需要的向心力（可选用2

222mv m R m R R T πω?? ???或或等各种形式）． 如果沿半径方向的合外力大于做圆周运动所需的向心力，物体将做向心运动，半径将减小；如果沿半径方向的合外力小于做圆周运动所需的向心力，物体将做离心运动，半径将增大．如卫星沿椭圆轨道运行时，在远地点和近地点的情况．

3．处理圆周运动动力学问题的一般步骤：

（1）确定研究对象，进行受力分析；

（2）建立坐标系，通常选取质点所在位置为坐标原点，其中一条轴与半径重合；

（3）用牛顿第二定律和平衡条件建立方程求解．

知识点2 水平面内的匀速圆周运动

1．特点：

匀速圆周运动是线速度大小不变的运动．因此它的角速度、周期和频率都是恒定不变的．物体受的合外力全部提供向心力．

2．质点做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直．

3．特例：圆锥摆

圆锥摆是运动轨迹在水平面内的一种典型的匀速圆周运动．其特点是由物体所受的重力与弹力的合力充当向心力，向心力的方向水平．也可以说是其中弹力的水平分力提供向心力（弹力的竖直分力和重力互为平衡力）

【例1】 请分析以下圆周运动的向心力来源．

【例2】 在观看双人花样滑冰表演时，观众有时会看到女运动员被男运动员拉着离开冰面在

空中做水平方

向的匀速圆周运动．已知通过目测估计拉住女运动员的男运动员的手臂和水平冰面的夹角约为45°，重力加速度为210/g m s =，若已知女运动员的体重为35 kg ，据

此可估算该女运动员（ ）

A ．受到的拉力约为

N

B ．受到的拉力约为350 N

C ．向心加速度约为10 m/s 2

D ．向心加速度约为

m/s 2 【例3】 如图所示，洗衣机内半径为r 的圆筒，绕竖直中心轴OO′转动，小物块a

靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的动摩擦因数为μ，现要使a 不下落，则圆

筒转动的角速度ω至少为（ ）

A ．r g /μ

B ．g μ

C ．r g /

D ．r g μ/

【例4】 如图所示，A 、B 、C 三个物体放在水平旋转的圆盘上，三物与转盘的最大静摩擦

因数均为μ，A 的质量是2m ，B 和C 的质量均为m ，A 、B 离轴距离为R ，C 离轴

2R ，若三物相对盘静止，则

不正确的有：（ ）

A ．C

的向心加速度最大

B ．B

的摩擦力最小

C ．转速增大时，C 比B

先滑动

光滑的水平面

D ．转速增大时，B 比A

先滑动

【例5】 在光滑杆上穿着两个小球m 1、m 2，且m 1＝2m 2，用细

线把两球连起来，当盘架匀速转动时，两小球刚好能

与杆保持无相对滑动，如图所示，此时两小球到转轴

的距离r 1与r 2之比为（ ）

A ．1∶1

B ．1

∶

C

．

2∶1 D ．1∶

【例6】 有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为L

的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r 的水平转

盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以

角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，

与竖直方向的夹角为θ，不计钢绳的重力，求转盘转动

的角速度ω与夹角θ的关系．

【例7】 如图所示，用细绳一端系着的质量为M =0.6kg 的物体A 静

止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O

吊着质量为m =0.3kg 的小球B ，A 的重心到O 点的距离为

0.2m ．若A 与转盘间的最大静摩擦力为2f N ，为使小

球B 保持静止，求转盘绕中心O 旋转的角速度ω的取值

范围．（取g =10m/s 2）

【例8】 用长为L 的细绳，系一质量为m 的小球使小球在竖直面内做圆周运动，小球运动

到某点时，线速度的大小为v .求此时小球所需的向心力为多大？

2

【例9】 对滑冰运动员的最大摩擦力为其重力的k 倍，在水平冰面上沿半径为R 的圆周滑

行的运动员，若仅依靠摩擦力来提供向心力而不冲出圆形滑道，其运动的速度应

满足（ ）

A ．kRg v ≥

B ．kRg v ≤

C ．kRg v 2≤

D ．2kRg v ≤ 【例10】 如图所示，具有圆锥形状的回转器（陀螺），半径为R ，绕它的轴在光滑的桌面上

以角速度ω快速旋转，同时以速度v 向左运动，若回转器的轴一直保持竖直，为

使回转器从左侧桌子边缘滑出时不会与桌子边缘发生碰撞，v 至少应等于（ ）

A ．R ω

B ．ωH

C ．R H g 2

D ．R H

g 2 【例11】 在一次抗洪救灾工作中，一架直升机A 用长H ＝50 m 的悬索(重力可忽略不计)系

住一质量m ＝50 kg 的被困人员B ，直升机A 和被困人员B 以v 0＝10 m/s 的速度一

起沿水平方向匀速运动，如图甲所示．某时刻开始收悬索将人吊起，在5 s 时间内，

A 、

B 之间的竖直距离以l ＝50－t 2(单位：m)的规律变化，取g ＝10 m/s 2.

（1）求这段时间内悬索对被困人员B 的拉力大小．

（2）求在5 s 末被困人员B 的速度大小及位移大小．

（3）直升机在t ＝5 s 时停止收悬索，但发现仍然未脱离洪水围困区，为将被困人

员B 尽快运送到安全处，飞机在空中旋转后静止在空中寻找最近的安全目标，

致使被困人员B 在空中做圆周运动，如图乙所示．此时悬索与竖直方向成37°

角，不计空气阻力，求被困人员B 做圆周运动的线速度以及悬索对被困人员B

的拉力．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)

【例12】质量相等的小球A、B分别固定在轻杆的中点及端点，当杆在

光滑水平面上绕O点匀速转动时，如图所示，求杆的OA段及

AB段对球的拉力之比．

【例13】质量为m A和m B的两个小球A和B用轻质弹簧连

在一起，用长为L1的细绳将A球系于O轴上，使

AB两球均以角速度ω在光滑的水平面上绕OO′轴

做匀速圆周运动，如图所示，当两球间的距离为

L2时，将线烧断，线被烧断的瞬间，两球加速度

a A和a B各是多少？

【例14】如图所示，一水平光滑、距地面高为h、边长为a的正方形MNPQ桌面上，用长为L的不可伸长的轻绳连接质量分别为m A、m B的A、B两小球，两小球在绳子拉

力的作用下，绕绳子上的某点O以不同的线速度做匀速圆周运动，圆心O与桌面

中心重合，已知m A＝0.5 kg，L＝1.2 m，L AO＝0.8 m，a＝2.1 m，h＝1.25 m，A球

的速度大小v A＝0.4 m/s，重力加速度g取10 m/s2，求：

（1）绳子上的拉力F以及B球的质量m B；

（2）若当绳子与MN平行时突然断开，则

经过1.5 s两球的水平距离；

（3）两小球落至地面时，落点间的距离．

知识点2 竖直面内的圆周运动

这类问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大．物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论．

弹力只可能向下，如绳拉

球．这种情况下有2mv F mg mg R +=≥，即gR v ≥，否则不能通过最高

点．弹力只可能向上，如车过桥．在这种情况下有

：

2

mv mg F mg v R

-=≤≤，否则车将离开桥面，做平抛运动．弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）．这种情况下，

速度大小v 可以取任意值．但可以进一步讨论：

①当v 时物体受

到的弹力必然是向下的；

当v

当v 受到的弹力恰好为零．②当弹力大小F mg <时，向心力有两解：mg F ±；当弹力大小F mg >时，向心力只有一解：F mg +；当弹力F mg =时，向心力等于零．

【例1】 用长为L 的细绳，系一质量为m 的小球使小球在竖直面内做圆周运动，小球运动

到某点时，线速度的大小为v .求此时小球所需的向心力为多大？

G F

【例2】 如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R ，小球

半径为r ，则下列说法正确的是（ ）

A ．小球通过最高点时的最小速度)(min r R g v +=

B ．小球通过最高点时的最小速度v min ＝0

C ．小球在水平线ab 以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力

D ．小球在水平线ab 以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力

【例3】 轻杆一端固定在光滑水平轴O 上,另一端固定一质量为m 的小球，如图所示，给小

球一初速度,使其在竖直平面内做圆周运动,且刚好能通过最高点P,下列说法正确

的（ ）

A ．小球在最高点时对杆的作用力为零

B ．小球在最高点时对杆的作用力为mg

C ．若增大小球的初速度,则在最高点时球对杆的力一定增大

D ．若增大小球的初速度,则在最高点时球对杆的力可能增大

【例4】 如图所示，杆长为L ，球的质量为m ，杆连球在竖直平面内绕轴O 自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为1

2

F mg =，求这时小球的瞬时速度大小．

【例5】 小球在半径为R 的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析的θ（小球与半

球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v 、周期T 的关系．（小球的半径远小于R ．）

【例6】 一辆卡车在丘陵地匀速行驶，地形如图所示，由于轮胎太旧，途中爆胎，爆胎可能

性最大的地段应是：（ ）

A ．a 处

B ．b 处

C ．c 处

Ｄ．d 处

【例7】 如图所示, 有一质量为M 的大圆环, 半径为R , 被一轻杆固结后悬挂在O 点, 处于

竖直平面内. 有两个质量为m 的小环(可视为质点) , 同时从大环的对称位置由静止

释放, 两小环同时滑到大环底部时, 速度为v , 则此时大环对轻杆的拉力大小为：

（ ）

A ．(2)m M g +

B ．2

2mv Mg R

- C ．22()v m g Mg R

++ D ．2

2()v m g Mg R -+

【例8】 轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴O ．现给球一初速度，使球和杆一

起绕O 轴在竖直面内转动，不计空气阻力，用F 表示球到达最高点时杆对小球的

作用力，则F （ ）

A ．一定是拉力

B ．一定是推力

C ．一定等于0

D ．可能是拉力，可能是推力，也可能等于0

【例9】 小物块位于半径为R 的半球形物体顶端，若给小物块一水平速度gR v o 2=

，则

物块（ ）

A ．立即做平抛运动

B ．落地时水平位移为R 2

C ．落地速度大小为

D ．落地时速度方向与地面成45°角

【例10】 如图所示，将完全相同的两小球A 、B 用长L ＝0.8 m 的细绳悬于以速度v ＝4 m/s

向右匀速运动的小车顶部，两球与小车的前、后壁接触，由于某种原因，小车突然

停止，此时悬线的拉力之比F B ∶F A 为（g 取10 2

/s m ）

A ．1∶1

B ．1∶

C ．1∶3

D ．1

∶

【例11】 如果表演“水流星”节目时（一个杯子），拴杯子的绳长为L ，绳子能承受的最大拉

力是杯子和杯内水重力的8倍，要使绳子不断裂，节目成功，则杯子通过最高点

的速度最小为______，通过最低点的速度最大为______．

【例12】如图所示，质量为m＝1 k g的小球用细线拴住，线长l＝0.5 m，

细线所受拉力达到F m＝18 N时就会被拉断．当小球从图示位

置释放后摆到悬点的正下方时，细线恰好被拉断，若此时小球

距水平地面的高度h＝5 m，重力加速度g＝10 m/s2，求小球落

地处到地面上P点的距离．（P点在悬点的正下方）

【例13】质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质木架上

的A点和C点，如图所示，当轻杆绕轴BC以角速度

ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a

在竖直方向，绳b在水平方向，当小球运动到图示位

置时，绳b被烧断的同时杆子停止转动，则（）

A．小球仍在水平面内做匀速圆周运动

B．在绳被烧断瞬间，a绳中张力突然增大

C．若角速度ω较小，小球在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动

D．若角速度ω较大，小球可在垂直于平面ABC的竖直平面内做圆周运动

【水平和竖直平面的圆周运动应用】

【例1】在半径为R的半球形碗的光滑内表面上，质量为m的小球正以角速度ω在水平面内作匀速圆周运动, 则该小球作匀速圆周运动的轨道平面离碗底的高度为

__________ .

【例2】在水平圆盘上放置一个质量m = 0.1㎏的物块, 物块与圆盘间动摩擦因数为0.4，当圆盘以角速度40rad/s绕中心轴匀速转动时, 欲使物块相对圆盘不动, 物到转轴的

最大距离为多少?

【例3】 一辆质量为4吨的汽车驶过半径为50 m 的拱形桥面, 始终保持5.0 m/s 的速率，汽

车所受阻力为车对桥面压力的0.05倍， 通过桥面最高点时, 汽车的牵引力为 ________ .

【例4】 如图所示，长为L 的细线，一端固定在O 点，另一端系一个球．把小球拉到与悬

点O 处于同一水平面的A 点，并给小球竖直向下的初速度，使小球绕O 点在竖直

平面内做圆周运动．要使小球能够在竖直平面内做圆周运动，在A 处小球竖直向

下的最小初速度应为（ ）

A ．gL 7

B ．gL 5

C ．gL 3

D ．gL 2

【例5】 由上海飞往美国洛杉矶的飞机与洛杉矶返航飞往上海的飞机，若往返飞行时间相同，

且飞经太平洋上空等高匀速飞行，飞行中两种情况相比较，飞机上的乘客对座椅的

压力（ ）

A ．相等

B ．前者一定稍大于后者

C ．前者一定稍小于后者

D ．均可能为零

【例6】 用一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥顶上，如图（1）

所示，设小球在水平面内作匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力为T ，则T 随ω2

变化的图象是图（2）中的（ ）

【例7】 在质量为M 的电动机飞轮上，固定着一个质量为m 的重物，重物到轴的距离为R ，

如图所示，为使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮转动的最大角速度不能

超过（ ）

A ．g mR m M ?+

B ．g mR

m M ?+ C ．g mR m M ?- D ．mR

Mg 【例8】 如图，细杆的一端与一小球相连，可绕过O 点的水平轴自由转动现给小球一初速

度，使它做圆周运动，图中a 、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是：（ ）

A ．a 处为拉力，b 处为拉力

B ．a 处为拉力，b 处为推力

C ．a 处为推力，b 处为拉力

D ．a 处为推力，b 处为推力

【例9】 杂技演员在做水流星表演时，用绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，

若水的质量m ＝0.5 kg ，绳长l ＝60 cm ，求：

（1）最高点水不流出的最小速率；

（2）水在最高点速率v ＝3 m/s 时，水对桶底的压力．

【例10】 如图所示，光滑的水平面上钉有两枚铁钉A 和B ，相距0.1 m 、长1 m 的柔软细绳

拴在A 上，另一端系一质量为0.5 k g 的小球，小球的初始位置在AB 连线上A 的一侧，把细线拉紧，给小球以2 m/s 的垂直细线方向的水平速度使它做圆周运动．由于钉子B 的存在，使线慢慢地缠在A 、B 上．

（1）如果细线不会断裂，从小球开始运动到细线完全缠在A、B上需要多长时间（2）如果细线的抗断拉力为7 N，从开始运动到细线断裂需经历多长时间