人教版九年级上册数学 二次函数中考真题汇编[解析版]
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人教版九年级上册数学二次函数中考真题汇编[解析版] 一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）
1．图①，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线y＝1 2 x
﹣2相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；
（3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝1
2
x2﹣
3
2
x﹣2；（2）﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值
为4；（3）Q的坐标为（5
3
，﹣
28
9
）或（﹣
11
3
，
92
9
）．
【解析】
【分析】
（1）根据题意先求出点B、C的坐标，进而利用待定系数法即可求解；
（2）由题意过点P作PH//y轴交BC于点H，并设点P（x，1
2
x2﹣
3
2
x﹣2），进而根据S
＝S△PHB+S△PHC＝1
2
PH?（x B﹣x C），进行计算即可求解；
（3）根据题意分点Q在BC下方、点Q在BC上方两种情况，利用解直角三角形的方法，求出点H的坐标，进而分析求解．
【详解】
解：（1）对于直线y＝1
2
x﹣2，
令x＝0，则y＝﹣2，
令y＝0，即1
2
x﹣2＝0，解得：x＝4，
故点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2），抛物线过点A、B两点，则y＝a（x+1）（x﹣4），
将点C的坐标代入上式并解得：a＝1
2
，
故抛物线的表达式为y＝
1
2
x2
﹣
3
2
x﹣2①；
（2）如图2，过点P作PH//y轴交BC于点H，
设点P（x，
1
2
x2﹣
3
2
x﹣2），则点H（x，
1
2
x﹣2），
S＝S△PHB+S△PHC＝
1
2
PH?（x B﹣x C）＝
1
2
×4×（
1
2
x﹣2﹣
1
2
x2+
3
2
x+2）＝﹣x2+4x，
∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4；
（3）①当点Q在BC下方时，如图2，
延长BQ交y轴于点H，过点Q作QC⊥BC交x轴于点R，过点Q作QK⊥x轴于点K，∵∠ABQ＝2∠ABC，则BC是∠ABH的角平分线，则△RQB为等腰三角形，
则点C是RQ的中点，
在△BOC中，tan∠OBC＝
OC
OB
＝
1
2
＝tan∠ROC＝
RC
BC
，
则设RC＝x＝QB，则BC＝2x，则RB22
(2)
x x
5＝BQ，
在△QRB中，S△RQB＝
1
2
×QR?BC＝
1
2
BR?QK，即
1
2
2x?2x＝
1
2
5，
解得：KQ
5
∴sin∠RBQ＝
KQ
BQ
5
5x
＝
4
5
，则tanRBH＝
4
3
，
在Rt △OBH 中，OH ＝OB?tan ∠RBH ＝4×
43＝163，则点H （0，﹣16
3
）， 由点B 、H 的坐标得，直线BH 的表达式为y ＝4
3
（x ﹣4）②， 联立①②并解得：x ＝4（舍去）或53
， 当x ＝
53时，y ＝﹣289，故点Q （53，﹣289）； ②当点Q 在BC 上方时，
同理可得：点Q 的坐标为（﹣113，929
）； 综上，点Q 的坐标为（53，﹣289）或（﹣113，929
）． 【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、面积的计算等，注意分类讨论思维的应用，避免遗漏．
2．如图，抛物线2y ax 2x c =++经过,,A B C 三点，已知()()1,0,0,3.A C -
()1求此抛物线的关系式；
()2设点P 是线段BC 上方的抛物线上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交线段BC 于点
,D 当BCP 的面积最大时，求点D 的坐标；
()3点M 是抛物线上的一动点，当()2中
BCP 的面积最大时，请直接写出使45PDM ∠=?的点M 的坐标
【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）点33,22D ?? ???
；（3）点M 的坐标为()0,3或
113113,22??++ ? ???
【解析】 【分析】
（1）由2y ax 2x c =++经过点()(),1,00,3A C -，利用待定系数法即可求得此抛物线的
解析式.
（2）首先设点()
2
,23,P t t t -++令2230x x -++=，求得()3,0B ，然后设直线BC 的
关系式为y kx b =+，由待定系数法求得BC 的解析式为3y x =-+，可得
()()22,3,2333D t t PD t t t t t -+=-++--+=-+，BCP 的面积为
()213
33,22
S PD t t =
?=-+利用二次函数的性质即可求解； （3）根据PD y 轴，45PDM ∠=?，分别设DM y x b =+，DM y x b =-+，根据点
33D(22，）坐标即可求出b ，再与抛物线联系即可得出点M 的坐标． 【详解】
()1将()(),1,00,3A C -分别代入22,y ax x c =++
可解得1,3,a c =-=
即抛物线的关系式为2y x 2x 3=-++．
()2设点()2,23,P t t t -++令2230,x x -++=
解得121,3,x x =-= 则点()3,0B ．
设直线BC 的关系式为(y kx b k =+为常数且0k ≠)， 将点,B C 的坐标代入，
可求得直线BC 的关系式为3y x =-+．
∴点()()22,3,2333D t t PD t t t t t -+=-++--+=-+
设BCP 的面积为,S 则()213
33,22
S PD t t =
?=-+ ∴当3
2t =时，S 有最大值，此时点33,22D ?? ???
．
()3∵
PD y 轴，45PDM ∠=?
第一种情况：令DM y x b =+,33
D(22
，） 解得：b=0 ∴2
23
y x
y x x =??
=-++?
解得：113
x =
∴113113
M 22
++（
，）
第二种情况：令DM y x b =-+,33
D(22
，） 解得：b=3 ∴2
3
23
y x y x x =-+??
=-++?
解得：x=0或x=3（舍去） ∴M 03（，）
满足条件的点M 的坐标为()0,3或113113,22??
++ ? ???
【点睛】
此题主要考查待定系数法求函数解析式和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.
3．二次函数22(0)63
m m
y x x m m =-+>的图象交y 轴于点A ，顶点为P ，直线PA 与x 轴交于点B ．
（1）当m =1时，求顶点P 的坐标； （2）若点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63
m m
y x x m m =-+>的图象上，且0b m ->，试求a 的取值范围；
（3）在第一象限内，以AB 为边作正方形ABCD ． ①求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；
②若该二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，请直接写出符合条件的整数m 的值．
【答案】（1）P （2，
1
3
）；（2）a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①D （m ，m +3）； ②2，3，4． 【解析】
【分析】
（1）把m =1代入二次函数22(0)63
m m y x x m m =-+>解析式中，进而求顶点P 的坐标即可；
（2）把点Q （a ，b ）代入二次函数22(0)63
m m
y x x m m =
-+>解析式中，根据0b m ->得到关于a 的一元二次不等式即一元一次不等式组，解出a 的取值范围即可；
（3）①过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，求出二次函数与y 轴的交点A 的坐标，得到OA 的长，再根据待定系数法求出直线AP 的解析式，进而求出与x 轴的交点B 的坐标，得到OB 的长；通过证明△ADF ≌△ABO ，得到AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，求出点D 的坐标；
②因为二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，由①同理可得：C （m+3，3），分当x 等于点D 的横坐标时与当x 等于点C 的横坐标两种情况，进行讨论m 可能取的整数值即可． 【详解】
解：（1）当m =1时，二次函数为212
163
y x x =-+， ∴顶点P 的坐标为（2，
1
3
）； （2）∵点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63
m m y x x m m =-+>的图象上， ∴2263
m m
b a a m =
-+， 即：2263
m m
b m a a -=
- ∵0b m ->， ∴
2263
m m a a -＞0， ∵m ＞0，
∴2263
a a -＞0， 解得：a ＜0或a ＞4，
∴a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；
（3）①如下图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，
∵二次函数的解析式为2263
m m y x x m =-+， ∴顶点P （2，
3
m
）， 当x=0时，y=m ， ∴点A （0，m ）， ∴OA=m ；
设直线AP 的解析式为y=kx+b(k≠0)， 把点A （0，m ），点P （2，
3
m
）代入，得： 23
m b m
k b =??
?=+??， 解得：3m k b m
?
=-?
??=?，
∴直线AP 的解析式为y=3
m
-x+m ， 当y=0时，x=3， ∴点B （3，0）； ∴OB=3；
∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=AB ，∠DAF+∠FAB=90°， 且∠OAB+∠FAB =90°， ∴∠DAF=∠OAB ， 在△ADF 和△ABO 中，
DAF OAB AFD AOB AD AB ∠=∠??
∠=∠??=?
，
∴△ADF ≌△ABO （AAS ），
∴AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3， ∴点D 的坐标为：（m ，m+3）； ②由①同理可得：C （m+3，3），
∵二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，
∴当x =m 时，3y m ≤+，可得3
2
2363
m m
m m -+≤+，化简得：32418m m -≤．
∵0m >，∴2
184m m m -≤
，∴2
18(2)4m m
--≤， 显然：m =1，2，3，4是上述不等式的解，
当5m ≥时，2
(2)45m --≥，18 3.6m ≤，此时，218(2)4m m
-->， ∴符合条件的正整数m =1，2，3，4；
当x = m +3时，y ≥3，可得2
(3)2(3)
363
m m m m m ++-+≥，
∵0m >，∴2
1823m m m ++≥
，即2
18(1)2m m
++≥， 显然：m =1不是上述不等式的解，
当2m ≥时，2
(1)211m ++≥，189m ≤，此时，218(1)2m m
++>恒成立， ∴符合条件的正整数m =2，3，4；
综上：符合条件的整数m 的值为2，3，4． 【点睛】
本题考查二次函数与几何问题的综合运用，熟练掌握二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、正方形的性质是解题的关键．
4．如图1．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:C y ax bx c =++与x 轴相交于,A B 两点，顶点为()0,442D AB =,，设点(),0F m 是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点
F 旋转180?，得到新的抛物线'C ．
()1求抛物线C 的函数表达式:
()2若抛物线'C 与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，求m 的取值范围．
()3如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线'C上的对应点P'，设M是C上的动点，N是'C上的动点，试探究四边形'
PMP N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
【答案】()1214
2
y x
=-+；()2222
m
<<()3四边形'
PMP N可以为正方形，6
m=【解析】
【分析】
（1）由题意得出A,B坐标，并代入,,
A B D坐标利用待定系数法求出抛物线C的函数表达式；
（2）根据题意分别求出当C'过点()
0,4
D时m的值以及当C'过点()
22,0
B时m的值，并以此进行分析求得；
（3）由题意设(),
P n n，代入解出n，并作HK OF
⊥，PH HK
⊥于H，利用正方形性质以及全等三角形性质得出M为()
2,2
m m
--，将M代入2
1
:4
2
C y x
=-+即可求得答案.
【详解】
解：()142
AB=
(),
22,0)
2,0
(2
A B
∴-
将,,
A B D三点代入得2
y ax bx c
=++
820.
820.
4
a b c
a b c
c
?-+=
??
++=
?
?=
??
解得
1
2
4
a
b
c
?
=-
?
?
=
?
?=
?
?
2
1
4
2
y x
∴=-+；
()2如图2
1
:4
2
C y x
=-+．
关于(),0F m 对称的抛物线为
()2
1:242
C y x m '=
-- 当C '过点()0,4D 时有()2
140242
m =-- 解得:2m =
当C '过点()22,0B 时有()
21
022242
m =-- 解得:22m =
222m ∴<<；
()3四边形'PMP N 可以为正方形 由题意设(),P n n ，
P 是抛物线C 第一象限上的点
21
42
n n ∴-+=
解得:122,2n n ==-(舍去)即()2,2P 如图作HK OF ⊥，PH
HK ⊥于H ，
MK HK ⊥于K
四边形PMP N '为正方形 易证
PHK FKM ≌
2FK HP m ∴==-
2MK HF ==
M ∴为()2,2m m --
∴将M 代入21: 42
C y x =-+得
()2
12242
m m -=-
-+ 解得:126,0m m ==(舍去)
∴当6m =时四边形PMP N ''为正方形.
【点睛】
本题考查二次函数综合题、中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，难度大.
5．如图1，抛物线2
1:C y x b =+交y 轴于()0,1A ．
（1）直接写出抛物线1C 的解析式______________．
（2）如图1，x 轴上两动点,M N 满足：m n X X n -==．若,B C （B 在C 左侧）为线段
MN 上的两个动点，且满足：B 点和C 点关于直线:1l x =对称．过B 作BB x '⊥轴交1
C 于B '，过C 作CC x '⊥轴交1C 于C '，连接B C ''．求B C ''的最大值（用含n 的代数式表示）．
（3）如图2，将抛物线1C 向下平移7
8
个单位长度得到抛物线2C ．2C 对称轴左侧的抛物线上有一点M ，其横坐标为m ．以OM 为直径作K ，记⊙K 的最高点为Q ．若Q 在
直线2y x =-上，求m 的值．
【答案】（1）2
1y x =+；（2）251|n -；（3）14m =-
或12
m =- 【解析】 【分析】
（1）将()0,1A 带入抛物线1C 解析式，求得b 的值，即可得到抛物线1C 的解析式； （2）设(),0B q ，则()2,0C q -，求()2
B C ''
并进行化简，由1n q -≤<且12,
q
n <-得21n q -<，则当()
2max
B C ''??????时，取min 2q q n ==-，带入()2B C ''，即可求得()
max
B C '
'
；
（3）依题意将抛物线1C 向下平移
7
8
个单位长度得到抛物线2C ，求得2C 解析式，根据解析式特点设21,8M m m ??+ ???，得到2
222
18OM m m ??=++ ??
?，由圆的特性易求得，⊙K 的
最高点点Q 坐标为：2111,22
28m OM m ??
??++ ?
?????，设Q y k =，则
2111228k OM m ??=
++ ???，化简得到22211084k m k m ?
?++-= ??
?，由Q 点在2y x =-上，得2Q k x m =-=-，继而得到2
31048m m -
+=，解得14m =-或12
m =-． 【详解】
解：（1）将()0,1A 带入抛物线2
1:C y x b =+，得b=1，
则2
1:1C y x =+，
（2）设(),0B q ，则()2,0C q -， ∴()
2
2
222
(2)(2)B C q q q q ''
??=--+--??
2204020q q =-+
()2
201q =-，
∵1n q -≤<且12,q n <-
21n q -<∴，
∴()
2
max
B C ''??????时，min 2q q n ==-， 即()2
2220(21)20(1)B C
n n '
'
=--=-，
∴()
max
1|B C n ''
=-，
（3）根据题意，将抛物线1C 向下平移
7
8
个单位长度得到抛物线2C ，
∴2
21:8
C y x =+， ∴2
1,8M m m ??+
??
?
， ∴2
2
2
218OM m m ??=++ ??
?，
∴由圆的特性易求得，⊙K 的最高点点Q 坐标为：
2111,22
28m OM m ??
??++ ?
?????， 设Q y k =，则2111228k OM m ??
=
++ ???
， ∴2
22111428OM k m ??
??=-+ ??????
?， 化简上式得：2
2
2
11084
k m k m ?
?++
-= ??
?， ∵Q 点在2y x =-上，则2Q k x m =-=-， ∴k m =-为上述方程的一个解， ∴分析可知1()04k m k m ??
+-
= ???
， 21148
m m m -=+∴，
∴2
31
048
m m -
+=， 解得：114m =-，212m =-（经检验114m =-，212m =-是方程2
31048
m m -+=的
解），
故14m =-
或1
2
m =-． 【点睛】
本题主要考查二次函数的图像及性质、图像平移的性质、及二次函数与一元二次方程的综合应用、最值求法等知识．解题关键是熟练掌握二次函数的性质，充分利用数形结合的思想．
6．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当0x ≥时，它们对应的函数值相等；当0x <时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数.
例如：正比例函数y x =，它的相关函数为(0)
(0)x x y x x ≥?=?
-
. （1）已知点()5,10A -在一次函数5y ax =-的相关函数的图像上，求a 的值； （2）已知二次函数2
1
42
y x x =-+-
. ①当点3,2B m ?? ???
在这个函数的相关函数的图像上时，求m 的值； ②当33x -≤≤时，求函数2
1
42
y x x =-+-
的相关函数的最大值和最小值. （3）在平面直角坐标系中，点M 、N 的坐标分别为1,12??-
???、9,12??
???
，连结MN .直接写出线段MN 与二次函数2
4y x x n =-++的相关函数的图像有两个公共点时n 的取值范围.
【答案】（1）1；（2）①22- ；②max 432y =
，min 1
2
y =-；（3）31n -<≤-，5
14
n <≤
【解析】 【分析】
（1）先求出5y ax =-的相关函数，然后代入求解，即可得到答案；
（2）先求出二次函数的相关函数，①分为m ＜0和m ≥0两种情况将点B 的坐标代入对应的关系式求解即可； ②当-3≤x ＜0时，y=x 2-4x+
1
2
，然后可 此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=-x 2+4x-1
2
，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当-3≤x≤3时的最大值和最小值； （3）首先确定出二次函数y=-x 2+4x+n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值，然后结合函数图象可确定出n 的取值范围． 【详解】
解：（1）根据题意，
一次函数5y ax =-的相关函数为5,(0)
5,(0)ax x y ax x -≥?=?
-+
， ∴把点()5,10A -代入5y ax =-+，则
(5)510a -?-+=，
∴1a =；
（2）根据题意，二次函数2
1 4
2
y x x
=-+-的相关函数为
2
2
1
4,(0)
2
1
4,(0)
2
x x x
y
x x x
?
-+-≥
??
=?
?-+<
??
，①当m＜0时，将B（m，
3
2
）代入y=x2-4x+
1
2
得m2-4m+
13
22
=，
解得：m=2+5（舍去）或m=25
-．
当m≥0时，将B（m，
3
2
）代入y=-x2+4x-
1
2
得：-m2+4m-
1
2
=
3
2
，
解得：m=2+2或m=22
-．
综上所述：m=25
-或m=22
+或m=22
-．
②当-3≤x＜0时，y=x2-4x+
1
2
，抛物线的对称轴为x=2，此时y随x的增大而减小，
∴当3
x=-时，有最大值，即2
143
(3)4(3)
22
y=--?-+=，
∴此时y的最大值为
43
2
．
当0≤x≤3时，函数y=-x2+4x
1
2
-，抛物线的对称轴为x=2，
当x=0有最小值，最小值为
1
2
-，
当x=2时，有最大值，最大值y=
7
2
．
综上所述，当-3≤x≤3时，函数y=-x2+4x
1
2
-的相关函数的最大值为43
2
，最小值为
1
2
-；（3）如图1所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．
∴当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3．
如图2所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．
∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1，
∴-n=1，解得：n=-1．
∴当-3＜n≤-1时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．
∵抛物线y=-x2+4x+n经过点（0，1），
∴n=1．
如图4所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
∵抛物线y=x2-4x-n经过点M（
1
2
，1），
∴1
4
+2-n=1，解得：n=
5
4
．
∴1＜n≤5
4
时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
综上所述，n的取值范围是-3＜n≤-1或1＜n≤5
4
．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y=-x2+4x+n的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值是解题的关键．
7．如图①抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）点D（3，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）存在．P（﹣3
4
，
19
16
）．（3）
1
539
(,)
24
M--
2
1139 (,) 24
M-
3
521 (,) 24
M
【解析】
【分析】
（1）将A,B,C三点代入y＝ax2+bx+4求出a,b,c值，即可确定表达式；
（2）在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，构建△DCB≌△GCB，求直线BG的解析式，再求直线BG与抛物线交点坐标即为P点，
（3）根据平行四边形的对边平行且相等，利用平移的性质列出方程求解，分情况讨论.【详解】
解：如图：
（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．
∴
40
16440
a b
a b
-+=
?
?
++=
?
解得
1
3
a
b
=-
?
?
=
?
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．（2）存在．理由如下：
y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣3
2
）2+
25
4
．
∵点D（3，m）在第一象限的抛物线上，
∴m＝4，∴D（3，4），∵C（0，4）
∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝45°．
连接CD，∴CD∥x轴，
∴∠DCB＝∠OBC＝45°，
∴∠DCB＝∠OCB，
在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，
再延长BG交抛物线于点P，在△DCB和△GCB中，CB＝CB，∠DCB＝∠OCB，CG＝CD，∴△DCB≌△GCB（SAS）
∴∠DBC＝∠GBC．
设直线BP解析式为y BP＝kx+b（k≠0），把G（0，1），B（4，0）代入，得
k＝﹣1
4
，b＝1，
∴BP解析式为y BP＝﹣1
4
x+1．
y BP＝﹣1
4
x+1，y＝﹣x2+3x+4
当y＝y BP时，﹣1
4
x+1＝﹣x2+3x+4，
解得x1＝﹣3
4
，x2＝4（舍去），
∴y＝19
16
，∴P（﹣
3
4
，
19
16
）．
（3）
1
539 (,)
24
M--
2
1139 (,) 24
M-
3
521 (,) 24
M理由如下，如图
B(4，0),C(0，4) ，抛物线对称轴为直线
3
2
x=，
设N(3
2
，n)，M(m, ﹣m2+3m+4)
第一种情况：当MN与BC为对边关系时，MN∥BC,MN=BC,
∴4-3
2
=0-m，∴m=
5
2
-
∴﹣m2+3m+4=
39 4 -,
∴
1
539 (,)
24
M--；
或∴0-3
2
=4-m，
∴m=11 2
∴﹣m2+3m+4=
39 4 -,
∴
2
1139 (,) 24
M-；
第二种情况：当MN与BC为对角线关系，MN与BC交点为K,则K(2,2)，
∴3
22 2
m
∴m=5 2
∴﹣m2+3m+4=21 4
∴
3
521 (,) 24
M
综上所述，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为
1
539 (,)
24
M--
2
1139 (,) 24
M-
3
521 (,) 24
M.
【点睛】
本题考查二次函数与图形的综合应用，涉及待定系数法，函数图象交点坐标问题，平行四边形的性质，方程思想及分类讨论思想是解答此题的关键.
8．如图，直线3y
x
与x 轴、y 轴分别交于点A ，C ，经过A ，C 两点的抛物线
2y ax bx c =++与x 轴的负半轴的另一交点为B ，且tan 3CBO ∠=
（1）求该抛物线的解析式及抛物线顶点D 的坐标；
（2）点P 是射线BD 上一点，问是否存在以点P ，A ，B 为顶点的三角形，与ABC 相似，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】（1）2
43y x x =++，顶点(2,1)D --；（2）存在，52,33P ??
--
???
或(4,3)-- 【解析】 【分析】
（1）利用直线解析式求出点A 、C 的坐标，从而得到OA 、OC ，再根据tan ∠CBO=3求出OB ，从而得到点B 的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数解析式，整理成顶点式形式，然后写出点D 的坐标；
（2）根据点A 、B 的坐标求出AB ，判断出△AOC 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出AC ，∠BAC=45°，再根据点B 、D 的坐标求出∠ABD=45°，然后分①AB 和BP 是