全国重点名校高考数学复习优质100专题汇编 数列中的不等关系
第55炼 数列中的不等关系
一、基础知识:
1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关,而要求的数列中的最值项,要依靠数列的单调性,所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点
2、如何判断数列的单调性:
(1)函数角度:从通项公式入手,将其视为关于n 的函数,然后通过函数的单调性来判断数列的单调性。由于n N *
∈ ,所以如果需要用到导数,首先要构造一个与通项公式形式相同,但定义域为()0,+∞ 的函数,得到函数的单调性后再结合n N *
∈得到数列的单调性
(2)相邻项比较:在通项公式不便于直接分析单调性时,可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性,通常的手段就是作差(与0比较,从而转化为判断符号问题)或作商(与1比较,但要求是正项数列)
3、用数列的眼光去看待有特征的一列数:在解数列题目时,不要狭隘的认为只有题目中的
{}{},n n a b 是数列,实质上只要是有规律的一排数,都可以视为数列,都可以运用数列的知
识来进行处理。比如:含n 的表达式就可以看作是一个数列的通项公式;某数列的前n 项和
n S 也可看做数列{}12:,,
,n n S S S S 等等。
4、对于某数列的前n 项和{}12:,,
,n n S S S S ,在判断其单调性时可以考虑从解析式出发,
用函数的观点解决。也可以考虑相邻项比较。在相邻项比较的过程中可发现:1n n n a S S -=-,所以{}n S 的增减由所加项n a 的符号确定。进而把问题转化成为判断n a 的符号问题 二、典型例题
例1:已知数列{}1,1n a a =,前n 项和n S 满足()130n n nS n S +-+= (1)求{}n a 的通项公式 (2)设2n
n n n c a λ??
=-
???
,若数列{}n c 是单调递减数列,求实数λ的取值范围 解:(1)()113
30n n n n S n nS n S S n
+++-+=?
=
12121
121411
n n n
n n n S S S S n n S S S S n n
----++∴
????
=???
- ()()()()12121326n n n n n n n
S S ++++∴
==
? 111S a == ()()216
n n n n
S ++∴=
2n ∴≥时,()()
()()
()1121116
6
2
n n n n n n n n n n n a S S -++-++=-=
-
=
当1n =时,11a =符合上式
()12
n n n a +∴=
(2)思路:由(1)可得:221n
n c n λ??
=-
?+??
,由已知{}n c 为单调递减数列可得1n n
c c +<对n N *
?∈均成立,所以代入{}n c 通项公式得到关于,n λ的不等式42
21
n n λ>
-++,即只需max
4221n n λ??>-
?
++??,构造函数或者数列求出4
221n n ??- ?++??的最大值即可 解:()2222112n n
n n n n n c n n a n λλλ??
?????=-=-=- ?
? ?++?? ??? ?
??
{}n c 是递减数列 n N *∴?∈,1n n c c +<
即+1
222
221n n n n λλ????-<- ? ?++????
424222121
n n n n λλλ?
-<-?>-++++ ∴ 只需max
4
221n n λ??>- ?++?? ① 构造函数:设()()42
121
f x x x x =
-≥++
则()()
()
()()
()()
()()
22
2
'
2
2
22
22
22414
2
42212121x x x f
x x x x x x x +-+-=-
+
=
=
++++++
(
()()
22
221x x x x -+=-
++
所以()f x
在(
单调递增,在
)
∞单调递减
()()111,233f f == n N *∴∈时,()()()max 1123
f n f f ===
即max
4
21213n n ??-=
?++?? 13λ∴> ② 构造数列:设数列{}n t 的通项公式42
21
n t n n =
-++ ()1424
2462221121n n t t n n n n n n n n
-??∴-=
---=-+≥ ?+++++?? ()()()()
()()
()()
4162212421212n n n n n n n
n n n n n n +-++++-=
=
++++
2n ∴>时,10n n t t --<,即1n n t t -<
当2n =时,21t t = 所以{}n t 的最大项为2113
t t ==
13
λ∴>
例2:已知等差数列{}n a 中,359,17a a ==,记数列1n a ??
?
???
的前n 项和为n S ,若()2110
n n m
S S m Z +-≤
∈,对任意的n N *∈恒成立,则整数m 的最小值是( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 思路:若2110n n m S S +-≤恒成立,()21max 10
n n m S S +-≤,要找n S ,则需先确定n a 的通项公式得到
1
n
a :53453a a d -==-,所以()3443n a a n d n =+-=-,发现1143n a n =-无法直接求和,21n n S S +-很难变为简单的表达式,所以考虑将{}21n n S S +-视为一个数列,通过相邻项比较寻找其单调性:()()()()2312123211n n n n n n n n S S S S S S S S ++++++---=---
()()()
23
22
111111104870898543898543n n n n a a a n n n n n n ++--=
+
-
=+-=<++-++-,进而{}21n n S S +-单调递减,
()213132max 14
45
n n S S S S a a +-=-=+=
,所以1428
1045
9
m m ≥?≥,从而4m =
答案:B
例3:已知数列{}{},n n a b
满足(()12n
b n a a a n N *
??
?=
∈,若{}n
a 为等比数列,且
1322,6a b b ==+
(1)求,n n a b (2)设()11
n n n
c n N a b *=-∈,记数列{}n c 的前n 项和为n S ① 求n S
② 求正整数
k ,使得对于n N *
?∈
,均有k n S S ≥ 解:(1)
3
2
63b b b +=?
=
6
12312a a a a a ∴=?
3
8a
∴= 2
3
1
42a q q a ∴==?=或2q
=-(舍) 112n n n a a q -∴== 12122n
b n
n a a a ++
+∴
=??
?=
()()12
2
22
1n n n b n b n n +∴=?=+
(2)① ()11111112121n
n
n n n c a b n n n n ??????=-=-=-- ? ? ?++??????
2
111111*********
1n
n S n n ??????
??
∴=++
+--+-++
-?? ? ? ?+??
??
??
???? 111221*********
n
n n n ????-?? ???????
??=-+=- ?++??-
② 思路:实质是求n S 取到最大值的项,考虑分析n S 的单调性,从解析式上很难通过函数的单调性判断,从而考虑相邻项比较。对于n S 而言,{}n S 的增减受n c 符号的影响,所以将
问题转化为判断n c 的符号。()1121n
n c n n ??
=- ?+??
可估计出当n 取得值较大时,n c 会由正项
变为负项。所以只要寻找到正负的分界点即可
解:()()()111112112n
n n
n n c n n n n +????
=-=- ? ?++????
当4n ≤时,可验证
()
1102
n
n n +-≥,从而可得0n c ≥ 设()112n n n n d +=
-,则()()()()()111
12112222n n
n n n n n n n n n d d +++++++--=-=-
当5n ≥时,{}1n n n d d d +
55
56
102n d d ?∴≤=
-< 5n ∴≥时,0n c < ()4max n S S ∴= 4k ∴=时,均有4n S S ≥
例4:已知数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =且()()12211n n nS n S n n +-+=+,数列{}n b 满足:2120n n n b b b ++-+=,35b =,其前9项和为63 (1)求,n n a b (2)令n n n n n
b a
c a b =+,
记{}n c 的前n 项和为n T ,对n N *
?∈,均有[]2,n T n a b -∈,求b a -的最小值
解:(1)()()111
221112
n n n n S S nS n S n n n n ++-+=+?
-=+ n S n ??
∴????为公差是12的等差数列
()111
1122
n S S n n n +∴
=+-=
()12n n n S +∴=
2n ∴≥时,()()11122
n n n n n n n
a S S n -+-=-=
-= 11a =符合上式 n a n ∴=
2121202n n n n n n b b b b b b ++++-+=?+= {}n b ∴为等差数列
设{}n b 前n 项和为n P 95963P
b ∴== 57b ∴= 35b =
53
153
b b d -∴=
=- 2n b n ∴=+
(2)思路:依题意可得:2112222n n n n n b a n n c a b n n n n +??=
+=+=+- ?++??
,可求出1123212n T n n n ??=+-+ ?++??,从而1123212n T n n n ??-=-+ ?++??
,
若b a -最小,则,a b 应最接近2n T n -的最大最小值(或是临界值),所以问题转化成为求1
13212n n ??-+
?++??
的范围,可分析其单调性。()1
13212f n n n ??=-+
?++??
单调递增。所以最小值为()413f =,而当n →+∞时,()3f n →,所以()f n 无限接近3,故2n T n -的取值范围为4,33??????
中的离散点,从而求出b a -的最小值 解:22221
1122222n n n n c n n n n n n ++-??=
+=++=+- ?+++??
111
11221324
2n T n n n ??
∴=+-+-+
+- ?+??
1111
122123221212n n n n n n ????=++--=+-+ ? ?++++????
1
123212n T n n n ??-=-+ ?++??
设()113212f n n n ??=-+
?++??
,可知()f n 递增
()()4
13
f n f ∴≥=
,当n →∞时,()3f n → ()f n ∴4,33??∈???? []4,3,3a b ??
∴?????
若b a -最小,则4,33a b =
= ()min 5
3
b a ∴-= 例5(2014,黄州区校级模拟)数列{}n a 的前n 项和2
4n n S =,数列{}n b 满足
()132,n n b b n n n N *--=≥∈
(1)求数列{}n a 的通项公式 (2)求证:当11
4
b ≠
时,数列{}n n b a -为等比数列 (3)在(2)的条件下,设数列{}n b 的前n 项和为n T ,若数列{}n T 中只有3T 最小,求1b 的取值范围
解:(1)()()
()2
2111
212444
n n n n n a S S n n --=-=-=-≥
111
4
a S ==符合上式 ()1
214
n a n ∴=
- (2)()1
214
n n n b a b n -=-
- 考虑()()1111332123044n n n n b b n b n b n --????
-=?-
----=?????
???
即()()1130n n n n b a b a -----= ()111
3
n n n n b a b a --∴-=
- ∴ 数列{}n n b a -为等比数列
(3)思路:由(2)可求得{}n b 通项公式()1
1111
21434
n n b b n -?
???=-+
- ???
?
???,但不知其单调性,但可以先考虑必要条件以缩小1b 的取值范围。若要3T 最小,则最起码要比24,T T 小,从而先求出1b 满足的必要条件14711b -<<-(也许最后结果是其子集),在这个范围内可判定{}n b 为递增数列,从而能保证3T 最小
由(2)可得:()1214n b n ??
-
-??
?
?
是公比为13的等比数列 ()1
111121443n n b n b -?
???∴--=- ???
????
()1
1111
21434
n n b b n -?
???∴=-+
- ???
?
??? 若要3T 最小,则必然要32323443
00T T T T T T T T <-???
?<->??即340
0b b ?>?
2
3113
1411150
11434471170434b b b b b b ??
???=-+ ???<-???
???∴???>-??????
=-+< ?????????
14711b ∴-<<-
则1111120243n
n n b b b -?
???-=--> ???????,所以{}n b 为递增数列
123140,0n n b b b b b b -∴<<<>>
>>,符合3T 最小的条件
所以14711b -<<-
小炼有话说:在求参数范围时如果不能一次准确列出参数所满足的条件,可先写出其必要条件适当缩小其取值范围,往往会给解题带来新的突破口
例6:(2014,文登市二模)各项均为正数的数列{}n a ,其前n 项和为n S ,满足
()11
21n n
n n a a n N a a *++-=∈ ,且562S a += (1)求数列{}n a 的通项公式
(2)若n N *
∈,令2n n b a =,设数列{}n b 的前n 项和为n T ,试比较
1124n n
T T ++与46
41n n +-的大小 解:(1)
22
1111
2120n n n n n n n n a a a a a a a a ++++-=?--=
()()1120n n n n a a a a ++∴+-= 1n n a a +∴=-(舍)或12n n a a +=
{}n a ∴是公比为2的等比数列 ()5155612122221
a S a a -+=?
+=-,解得:12a =
1122n n n a a -∴==
(2)思路:由(1)可得4n n b =,进而可求出()4413
n
n T =
-,比较大小只需两式作差,再进行化简通分可得()()()
1
14317412464414141n n n
n n T n T n n -++-?++-=---。利用函数或构造数列判断出1
3174
n n -+-?的符号即可
解:2
4n n n b a == ()()44144141
3
n n
n T -∴=
=
-- ()()1
11144112
12483
314444414413
n n n n n
n n T T ++++-+++∴===+--?- 467
14141
n n n +=+--
()()11431741246373711441414141414141n n n n
n n n T n T n n n n -++-?++????∴-=+-+=-= ? ?-------????设()()1
3174
1x f x x x -=+-?≥ ()'174ln43x f x -∴=-?+,可得()'0f x <
()f x ∴为减函数 ()()130f x f ∴≤=-<
131740n n -∴+-?<
11246
441
n n T n T n +++∴
<-
例7:(2014,湖南模拟)已知各项都为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且对任意的n N *
∈,
都有2
2n n n pS a pa =+(其中0p >,且p 为常数)
,记数列1n S ??
????
的前n 项和为n H
(1) 求数列{}n a 的通项公式及n H (2)当2p =时,将数列1n a ??
?
???
的前4项抽去其中一项后,剩下三项按原来的顺序恰为等比数列{}n b 的前3项,记{}n b 的前m 项和为m T ,若存在m N *
∈,使得对任意n N *
∈,总有m n T H λ<+恒成立,求实数λ的取值范围
解:(1)2
2n n n pS a pa =+ ①
()211122n n n pS a pa n ---∴=+≥ ②
①-②可得:
22112n n n n n pa a a pa pa --=-+- 22110n n n n a a pa pa -----=
()()110n n n n a a a a p --∴+--=
0n a > 10n n a a p -∴--=即1n n a a p --=
{}n a ∴为公差是p 的等差数列
在22n n n pS a pa =+令1n =得:21112pS a pa =+解得:1a p =
()11n a a n p np ∴=+-=
()()1122
n n n p
S p n +∴=++
+=
()12121111n S p n n p n n ??
∴
=?=?- ?++??
12
11121111
112231n n H S S S p n n ????????∴=
+++
=-+-++- ? ? ???+????
????
212111
n
p n p n ??=
-=?
?++?? (2)思路:本小问实质是在数列背景下的多元恒成立问题,先求,m n T H 的表达式。由已知可得:2p =时,1
n n H n =
+,要解决n T ,首先要解出等比数列{}n b 的通项公式。2p =时,
2n a n =,进而
123411111111,,,,2468a a a a ==== 显然抽去的应为
3
1
a ,所以123111,,248
b b b ===,得到12q =,112m
m T ??
=- ???
,所以要处理的恒成立不等式为:1121m
n n λ??-<+ ?+??
。 再利用最值逐步消元即可
解:2p =时,2n a n =,进而
123411111111
,,,,2468
a a a a ==== 124111,,a a a ∴
成公比为12的等比数列,即{}n b 的公比为12,且1111
2
b a ==
12n
n b ??∴= ??? 11122111212m
m m T ????-?? ?????????∴==- ???-
而由(1),当2p =时,1
n n
H n =+,所以恒成立的不等式为:
1121m
n n λ??
-<+ ?+??,所以
min 1112m n n λ????+>-?? ?+?????
? 设()112m
f m ??
=- ???
可得()f m 为递增函数
()()min 112
f m f ∴==
所以
1
12
n n λ+>+对任意的n N *∈均成立 即max
1
21n n λ??>-
?+?? 设()1112121
n g n n n =
-=-+++ ()g n 为减函数 ()()max 10g n g ∴==
0λ∴>
小炼有话说:本题在处理恒成立问题时,两个阶段对变量量词的不同导致取最大还是最小值要明确区分。第一阶段是存在m ,也就是说只要有m 满足不等式即可,所以只要最小值比右边小,就意味着已经存在这样的m ;第二阶段是对任意的n ,不等式均要成立,所以只
要()g n 最大值满足不等式,剩下的函数值也必然能满足不等式。
例8:已知数列{}n a 的前n 项和()1
122n n n S a n N -*??
=--+∈ ?
??
,数列{}n b 满足2n n n b a =
(1)求证:数列{}n b 是等差数列,并求数列{}n a 的通项公式 2n n
n a = (2)设数列{}n c 满足(
)()
1
3
1n n
n n a c n λ--=-(λ为非零整数,n N *∈),问是否存在整
数λ,使得对任意n N *
∈,都有1n n c c +>
解:(1)1
122n n n S a -??
=--+ ?
??
2
11122n n n S a ---??
∴=--+ ?
??
1
1
1111222n n n n n n n a a a a a ----??
??
∴=-++?=+ ?
?
????
11221n n n n a a --∴=+即11n n b b -=+
{}n b ∴是公差为1的等差数列 在1
122n n n S a -??
=--+ ?
??
令1n =得:
1111
122
S a a =--+?=
1121b a ∴== ()11n b b n d n ∴=+-= 2n n n
a ∴=
(2)思路:由(1)可得:
()()
()()()1
1131311232
n n n n n n n
n n n n n n a c n c n c λλλ----=-?
-=-?=-+,所以 1n n c c +>等同于()()
1
1
1
12
3
123n
n n n n
n
λλ-++-+>-+,化简可得:()
1
1
312n n λ--??-< ?
??
,
而n 的奇偶将决定()
1
1n --的符号,所以要进行分类讨论
解:由(1)可得:2n n
n a =
()()
()()()1
1131311232
n n n n n
n n n n n n n n a c n c n c λλλ---∴-=-?
-=-?=-+ 则1n n c c +>等价于:
()
()
1
11123123n
n n n n n λλ-++-+>-+
()()12233123n
n
n n n n λλ?-?+?>--+ ()()
1
1123312321n
n n n n n λλ---??>-?-??>?-
()
1
1
312n n λ--??∴-< ?
??
当n 为奇数时,恒成立不等式为:1
32n λ-??
< ?
??
所以只需1min
312n λ-??
??<=?? ???????
当n 为偶数时,恒成立不等式为:1
32n λ-??
>- ?
??
所以只需1max
33
22n λ-????>-=-??
??????? 3,12λ??
∴∈- ??? ,0Z λλ∈≠
1λ∴=-
例9:已知数列{}n a 前n 项和为n S ,且1111,22n n n a a a n
++== (1)求{}n a 的通项公式
(2)设()2,n n b n S n N *=-∈,若集合{}
|,n M n b n N λ*
=≥∈恰有4个元素,则实数λ
的取值范围 解:(1)111122n n n n n a n a a n a n ++++=
?=
1
12121112212
1
n n n n n a a a n n a a a n n -----??∴???=???=
?--??
1
1
11111222n n n
n n a n a na n a --????
??∴=?== ? ?
???
??
??
(2)思路:由(1)所得通项公式可利用错位相减法求n S ,进而得到()122n
n b n n ??
=+ ???
,
要读懂集合M 恰有4个元素的含义,根据M 描述的特点可知:M 集合中的元素应该为{}n b 从大到小排前4项的序数,所以只需判断出{}n b 的单调性,并结合单调性选出较大的前4项,便可确定λ的取值。
解:2
1112222n
n S n ????
=+?+
+ ? ?????
()2
3
1
111112122222n
n n S n n +????
????
∴=+?++-+ ? ? ? ?
????
????
两式相减可得:
2
1111112211111111112222222212
n
n n n n n n S n n n +++????-?? ???????
??????????
??=+++-=-=-- ? ? ? ? ? ?
??
??????????- ()1222n
n S n ??
∴=-+ ???
()122n
n b n n ??
∴=+ ???
下面考虑{}n b 的单调性
()()()()()()1
11112112211222n n n
n n b b n n n n n n n n --????
??
-=+--+=+--+?? ? ?
???
??????
()21222n
n n ??
=-++ ???
2n ∴=时,2220n n -++>,即21b b >
2n >时,2220n n -++<,所以234n b b b b >>>
>
而12345315335,2,,,28232
b b b b b =
==== {}n b ∴从大到小排的前4项为:2341b b b b >>=
353,322λ??∴∈ ???
例10:(2015,天元区校级模拟)已知数列{}n a 满足143n n a a n ++=+ (1)当12a =时,求数列{}n a 的前n 项和n S
(2)若对任意n N *
∈,都有22
1
1
4n n n n a a a a +++≥+成立,求1a 的取值范围
解:(1)143n n a a n ++=+ ①
()1413n n a a n -∴+=-+ ②
①-②可得: 114n n a a +--=
{}n a ∴中奇数项成等差数列,偶数项成等差数列,公差均为4 1225a a =?=
当2n k =时,()221441k a a k k =+-?=+
21n a n ∴=+
当n 为奇数时,()143432112n n a n a n n n +=+-=+-++=????
21,2,n n n a n n +?∴=??
为偶数为奇数
所以当n 为偶数时
()()13124n n n S a a a a a a -=++
+++++
()()1121221521
222244n n a a n a a n n
n n n -++=
?+?=+-+++???? 2
32
n n =+
n 为奇数时
()()2
2
1331112222
n n n S S a n n n n n -=+=-+
-+=+- (2)思路:考虑将不等式转化为1a 的不等式,由(1)可得{}n a 的奇数项,偶数项各为等差数列,所以只要通过分类讨论确定n 的奇偶,即可把1,n n a a +均用1a 表示,再求出1a 范围即可
解:由(1)可得:{}n a 的奇数项,偶数项各为等差数列,且公差为4
当n 为奇数时,1114222n n a a a n -??
=+?=+-
???
()11143432225n n a n a n a n n a +=+-=+-+-=+-
()()()()
2
2
22
111
11122+25442225n n n n a n n a a a a a a n n a +++-+-+∴≥?≥++-++- ()()
()22
1122+25443a n n a n +-+-≥+
()()()()()2
2
2211112222222525443a n a n a n a n n ∴+-+-+-+++≥+
化简后可得:22112148417a a n n -≥-+-
所以只需(
)
2
2
11max
2148417
a a n n -≥-+-
设()2
21338417842f n n n n ?
?=-+-=--- ???
()()max 121f n f ∴==- 2
1
121421a a ∴-≥-
解得:1a ≥
或1a ≤ 当n 为偶数时,同理:111422
n n
a a a n +=+
?=+,114323n n a n a n a +=+-=+- ()()2
2
22
111
123+24443
n n n n a n n a a a a a n ++-++++∴≥?≥++ 化简可得:221126843a a n n -≥-++即(
)
2
2
11max
26843
a a n n -≥-++
设()2
843g x n n =-++可得:()()max 221g x g ==-
2211111262126210a a a a a R -≥-?-+≥?∈
综上所述:172a +≥
或172
a -≤ 三、历年好题精选
1、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()10,4n
n n n a a S n N *??
>=∈ ???
(1)若21log n n n b a S =+,求数列{}n b 的前n 项和n T (2)若0,2tan 2
n n n n a π
θθ<<
=,求证:数列{}n θ是等比数列,并求其通项公式
(3)记12111
22
2
n n c a a a =-
+-++-
,若对任意的,n n N c m *∈≥恒成立,求实数m 的最大值
2、已知数列{}n a 是首项11
4
a =
的等比数列,其前n 项和n S 中342,,S S S 成等差数列 (1)求数列{}n a 的通项公式 (2)设12
log n n b a =,若1223
1
111
n n n T b b b b b b +=
+++
,求证:1162n T ≤<
3、已知数列{}n a 满足:121,3a a ==,且212cos
sin ,2
2n n
n n a a n N ππ*+??=++∈ ??
?
(1)证明:数列{}()
2k a k N *
∈为等比数列
(2)求数列{}n a 的通项公式 (3)设()21
1
212k k a
k k b a λ--=+-?(λ为非零整数),试确定λ的值,使得对任意k N *
∈,
都有1k k b b +>成立
4、已知数列{}n a 中,2a a =(a 为非零常数),其前n 项和n S 满足()()12
n n n a a S n N *
-=∈
(1)求数列{}n a 的通项公式 (2)若2a =,且
2
1114
m n a S -=,求,m n 的值 (3)是否存在实数,a b ,使得对任意正整数p ,数列{}n a 中满足n a b p +≤的最大项恰为第32p -项?若存在,分别求出,a b 的取值范围;若不存在,请说明理由
5、(2016,无锡联考)数列{}n a 的前n 项和为n S ,且对一切正整数n 都有2
1
2
n n S n a =+
. (1)求证:142n n a a n ++=+ (2)求数列{}
n a 的通项公式
(3)是否存在实数a ,使得不等式212111111n a a a ??????---<
? ????????
?对一切正整数n 都成立?若存在,求出a 的取值范围;若不存在,请说明理由
6、已知函数()233x f x x +=
,数列{}n a 满足1111,,n n a a f n N a *
+??==∈ ???
(1)求{}n a 的通项公式 (2)令()112n n n
b n a a -=
≥,1123,n n b S b b b ==++
+,
若20042
n m S -<对一切n N *
∈成立,求最小正整数m
7、(2016,贵阳一中四月考)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,且
()12n n na S n N *+=∈,数列{}n b 满足1211,24
b b ==,对任意n N *∈,都有212n
n n b b b ++=
(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式 (2)令1122n n n T a b a b a b =++
+,若对任意的n N *∈,不等式
()223n n n n nT b S n b λλ+>+恒成立,试求实数λ的取值范围
8、设数列n S 为数列{}n a 的前n 项和,且122,1,2,3,n n n S a n +=-=
(1)求{}n a 的通项公式
(2)设1
log 2n n a n b +=,数列{}n b 的前n 项和n B ,若存在整数m ,使得对任意的2,n n N
*
≥∈都有320
n n m
B B ->成立,求m 的最大值
习题答案:
1、解析:(1)2211log 1log 124n
n n n b a S n ??=+=+=- ???
()()2121222
n n n T n n n n +∴=-++
+=-?
=-
(2)由2tan n
n n a θ=可知tan 2n n n a θ=,代入14n
n n a S ??= ???
可得: 1
2tan n n n
S θ=
2n ∴≥时,111
11
2tan 2tan n n n n n n n a S S θθ---=-=
-
代入tan 2n
n n
a θ=
可得:11
tan 1122tan 2tan n n n n n n θθθ--=- 211tan tan tan 2tan n n n n θθθθ--∴=-
()122tan tan tan 21tan n
n n n
θθθθ-∴=
=-
112n n θθ-∴=,即{}n θ是公比为1
2
的等比数列
在()10,4n
n n n a a S n N *??
>=∈ ???
中,令1n =可得:112a =
111tan 214
a π
θθ∴==?=
1
1
11122n n n θθπ-+??
??∴=?= ?
???
??
1tan 22n n n
a π+?? ???∴=
(3)可知1tan 22n n n a π+?? ?
??=
为递减数列
112n a a ∴≤=
1
02
n a ∴-≤
()121211122
22
2
n n n n n
n
c a a a a a a S ∴=-
+-++-
=-+++=
- 11111
0222
n n n n n n n c c S S a ++++??-=
---=-≥ ??? {}n c ∴为递增数列
()11min 1
02
n m c c a ∴≤==-
=即m 的最大值为0 2、解析:(1)
342,,S S S 成等差数列
4324434S S S S a a a ∴-=-?=--
4311
22
a a q ∴=-?=-
1
1
1
1111422n n n n a a q
-+-??
??∴==?-=- ? ???
??
(2)由(1)可得:12
log 1n n b a n ==+
()()11111
1212
n n b b n n n n +∴
==-
++++ 11111
11123341222n T n n n ????
??∴=-+-+
+-=- ? ? ?
+++??????
1
2
n T ∴<
{}n T 为递增数列 1111
236n T T ∴≥=-=
综上所述:11
62
n T ≤<
3、解:(1)2222212cos
sin 2
2k k
k k a a π
π
+??=++ ??
?
23k a =
{}2k a ∴是公比为3的等比数列
(2)当2n k =时,1
223
3k k
k a a -=?=,即2
3n n a =
上海市2019届高三数学理一轮复习专题突破训练:数列
上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练 数列 一、填空、选择题 1、(2016年上海高考)无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ,{}3,2∈n S ,则k 的最大值为________. 2、(2015年上海高考)记方程①:x 2+a 1x+1=0,方程②:x 2+a 2x+2=0,方程③:x 2+a 3x+4=0,其中a 1,a 2,a 3是正实数.当a 1,a 2,a 3成等比数列时,下列选项中,能推出方程③无实根的是( ) A .方程①有实根,且②有实根 B . 方程①有实根,且②无实根 C .方程①无实根,且②有实根 D . 方程①无实根,且②无实根 3、(2014年上海高考)设无穷等比数列{}n a 的公比为q ,若()134lim n n a a a a →∞ =++ +,则q = . 4、(虹口区2016届高三三模)若等比数列{}n a 的公比1q q <满足,且24 344,3,a a a a =+=则12lim()n n a a a →∞ ++ +=___________. 5、(浦东新区2016届高三三模)已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若 533S S =,则53 a a = 6、(杨浦区2016届高三三模)若两整数a 、 b 除以同一个整数m ,所得余数相同,即 a b k m -=()k Z ∈,则称a 、b 对模m 同余,用符号(mod )a b m ≡表示,若10(mod 6)a ≡(10)a >,满足条件的a 由小到大依 次记为12,,,,n a a a ??????,则数列{}n a 的前16项和为 7、(黄浦区2016届高三二模) 已知数列{}n a 中,若10a =,2i a k =*1 (,22,1,2,3, )k k i N i k +∈≤<=,则满足2100i i a a +≥的i 的最小值 为 8、(静安区2016届高三二模)已知数列{}n a 满足181a =,1 311log ,2, (*)3, 21n n n a a n k a k N n k ---+=?=∈?=+?,则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为 . 9、(闵行区2016届高三二模)设数列{}n a 的前n 项和为n S , 2 2|2016|n S n a n (0a >),则使得1 n n a a +≤(n ∈* N )恒成立的a 的最大值为 . 10、(浦东新区2016届高三二模)已知数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n =-?+,* n N ∈,则这个数列的前 n 项和n S =___________. 11、(徐汇、金山、松江区2016届高三二模)在等差数列{}n a 中,首项13,a =公差2,d =若某学生对其中连
高考文科数学数列经典大题训练(附答案)
1.(本题满分14分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =, (1)证明:数列{}n a 是等比数列; (2)若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=,12b =,求数列{}n b 的通项公式. ; 2.(本小题满分12分) 等比数列{}n a 的各项均为正数,且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. … 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= (1) 求数列{}n a 的通项公式; (2) 令n n b na =,求数列的前n 项和n S 。
~ 4.已知等差数列{a n}的前3项和为6,前8项和为﹣4. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式; (Ⅱ)设b n=(4﹣a n)q n﹣1(q≠0,n∈N*),求数列{b n}的前n项和S n. % 5.已知数列{a n}满足,,n∈N×. (1)令b n=a n+1﹣a n,证明:{b n}是等比数列; (2)求{a n}的通项公式. {
、 ~
、 1.解:(1)证:因为34-=n n a S (1,2,)n =,则3411-=--n n a S (2,3,)n =, 所以当2n ≥时,1144n n n n n a S S a a --=-=-, 整理得14 3 n n a a -=. 5分 由34-=n n a S ,令1n =,得3411-=a a ,解得11=a . 所以{}n a 是首项为1,公比为4 3 的等比数列. 7分 (2)解:因为14 ()3 n n a -=, ' 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=,得114 ()3 n n n b b -+-=. 9 分 由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b
高考数学《数列》大题训练50题含答案解析
一.解答题(共30小题) 1.(2012?上海)已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足.(1)设c n=3n+6,{a n}是公差为3的等差数列.当b1=1时,求b2、b3的值; (2)设,.求正整数k,使得对一切n∈N*,均有b n≥b k; (3)设,.当b1=1时,求数列{b n}的通项公式. 2.(2011?重庆)设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2,a3=a2+4. (Ⅰ)求{a n}的通项公式; ( (Ⅱ)设{b n}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{a n+b n}的前n项和S n. 3.(2011?重庆)设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n(n∈N*). (Ⅰ)若a1,S2,﹣2a2成等比数列,求S2和a3. (Ⅱ)求证:对k≥3有0≤a k≤. 4.(2011?浙江)已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a(a∈R)设数列的前n 项和为S n,且,,成等比数列. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式及S n; ` (Ⅱ)记A n=+++…+,B n=++…+,当a≥2时,试比较A n与B n的大小. 5.(2011?上海)已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6,b n=2n+7(n∈N*).将集合{x|x=a n,n∈N*}∪{x|x=b n,n∈N*}中的元素从小到大依次排列,构成数列c1,c2,
(1)写出c1,c2,c3,c4; (2)求证:在数列{c n}中,但不在数列{b n}中的项恰为a2,a4,…,a2n,…; (3)求数列{c n}的通项公式. 6.(2011?辽宁)已知等差数列{a n}满足a2=0,a6+a8=﹣10 * (I)求数列{a n}的通项公式; (II)求数列{}的前n项和. 7.(2011?江西)(1)已知两个等比数列{a n},{b n},满足a1=a(a>0),b1﹣a1=1,b2﹣a2=2,b3﹣a3=3,若数列{a n}唯一,求a的值; (2)是否存在两个等比数列{a n},{b n},使得b1﹣a1,b2﹣a2,b3﹣a3.b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在,求{a n},{b n}的通项公式;若不存在,说明理由. 8.(2011?湖北)成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5. (I)求数列{b n}的通项公式; ] (II)数列{b n}的前n项和为S n,求证:数列{S n+}是等比数列. 9.(2011?广东)设b>0,数列{a n}满足a1=b,a n=(n≥2) (1)求数列{a n}的通项公式; (4)证明:对于一切正整数n,2a n≤b n+1+1.
2015高考数学分类汇编数列
专题六 数列 1.【2015高考重庆,理2】在等差数列{}n a 中,若2a =4,4a =2,则6a = ( ) A 、-1 B 、0 C 、1 D 、6 【答案】B 【解析】由等差数列的性质得64222240a a a =-=?-=,选B . 【考点定位】本题属于数列的问题,考查等差数列的通项公式及等差数列的性质. 【名师点晴】本题可以直接利用等差数列的通项公式求解,也可应用等差数列的性质求解,主要考查学生灵活应用基础知识的能力.是基础题. 2.【2015高考福建,理8】若,a b 是函数()()2 0,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零 点,且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p q + 的值等于( ) A .6 B .7 C .8 D .9 【答案】D 【解析】由韦达定理得a b p +=,a b q ?=,则0,0a b >>,当,,2a b -适当排序后成等比数列时,2-必为等比中项,故4a b q ?==,.当适当排序后成等差数列时,2-必不是等差中项,当a 是等差中项时,,解得1a =,4b =;当 4 a 是等差中项时,,解得4a =,1b =,综上所述,5a b p +==,所以p q +9=,选D . 【考点定位】等差中项和等比中项. 【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项,其中分类讨论和逻辑推理是解题核心.三个数成等差数列或等比数列,项及项之间是有顺序的,但是等差中项或等比中项是唯一的,故可以利用中项进行讨论,属于难题. 3.【2015高考北京,理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是( ) A .若120a a +>,则230a a +> B .若130a a +<,则120a a +< C .若120a a <<,则2a > D .若10a <,则()()21230a a a a --> 【答案】C
高考数学题型全归纳
2010-2016高考理科数学题型全归纳题型1、集合的基本概念 题型2、集合间的基本关系 题型3、集合的运算 题型4、四种命题及关系 题型5、充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明 题型6、求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数范围 题型7、判断命题的真假 题型8、含有一个量词的命题的否定 题型9、结合命题真假求参数的范围 题型10、映射与函数的概念 题型11、同一函数的判断 题型12、函数解析式的求法 题型13、函数定义域的求解 题型14、函数定义域的应用 题型15、函数值域的求解 题型16、函数的奇偶性 题型17、函数的单调性(区间) 题型18、函数的周期性 题型19、函数性质的综合 题型20、二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系
题型21、二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分布及条件题型22、二次函数"动轴定区间"、"定轴动区间"问题 题型23、指数运算及指数方程、指数不等式 题型24、指数函数的图像及性质 题型25、指数函数中的恒成立的问题 题型26、对数运算及对数方程、对数不等式 题型27、对数函数的图像与性质 题型28、对数函数中的恒成立问题 题型29、幂函数的定义及基本性质 题型30、幂函数性质的综合应用 题型31、判断函数的图像 题型32、函数图像的应用 题型33、求函数的零点或零点所在区间 题型34、利用函数的零点确定参数的取值范围 题型35、方程根的个数与函数零点的存在性问题 题型36、函数与数列的综合 题型37、函数与不等式的综合 题型38、函数中的创新题 题型39、导数的定义 题型40、求函数的导数 题型41、导数的几何意义 题型42、利用原函数与导函数的关系判断图像
高考数学数列大题训练答案版
高考数学数列大题训练 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项,且1,641≠=q a 公比 (Ⅰ)求n a ;(Ⅱ)设n n a b 2log =,求数列.|}{|n n T n b 项和的前 解析: (1)设该等差数列为{}n c ,则25a c =,33a c =,42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即:223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-,Q 1q ≠, ∴121, 2q q ==,∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ,{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -= ∴当17n ≤≤时,0n b ≥,∴(13)2 n n n n T S -== (8分) 当8n ≥时,0n b <,12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422 n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2 n n n n n T n n n n -?≤≤∈??=?-?-≥∈??**N N 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ,其中.154=a (Ⅰ)求321,,a a a ; (Ⅱ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅲ)求数列}{n a 的前n 项和n S 解:(1)由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得:,73=a 同理得.1,312==a a (2)由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a
高考数学题型全归纳:数学家高斯的故事(含答案)
数学家高斯的故事 高斯(Gauss,1777—1855)、著名的德国数学家。1777年4月30日出生在德国的布伦兹维克。父亲是一个砌砖工人,没有什么文化。 还在少年时代、高斯就显示出了他的数学才能。据说、一天晚上,父亲在计算工薪账目、高斯在旁边指出了其中的错误、令父亲大吃一惊。10岁那年、有一次老师让学生将1、2、3、…连续相加、一直加到100、即1+2+3+…+100。高斯没有像其他同学那样急着相加、而是仔细观察、思考、结果发现: 1+100=101、2+99=101、3+98=101、…、50+51=101一共有50个101、于是立刻得到: 1+2+3+…+98+99+100=50×101=5050 老师看着小高斯的答卷、惊讶得说不出话。其他学生过了很长时间才交卷、而且没有一个是算对的。从此、小高斯“神童”的美名不胫而走。村里一位伯爵知道后、慷慨出钱资助高斯、将他送入附近的最好的学校进行培养。 中学毕业后、高斯进入了德国的哥廷根大学学习。刚进入大学时、还没立志专攻数学。后来听了数学教授卡斯特纳的讲课之后、决定研究数学。卡斯特纳本人并没有多少数学业绩、但他培养高斯的成功、足以说明一名好教师的重要作用。 从哥廷根大学毕业后、高斯一直坚持研究数学。1807年成为该校的数学教授和天文台台长、并保留这个职位一直到他逝世。 高斯18岁时就发明了最小二乘法、19岁时发现了正17边形的尺规作图法、并给出可用尺规作出正多边形的条件、解决了这个欧几里得以来一直悬而未决的问题。为了这个发现、在他逝世后、哥廷根大学为他建立了一个底座为17边形棱柱的纪念像。
对代数学、高斯是严格证明代数基本定理的第一人。他的《算术研究》奠定了近代数论的基础、该书不仅在数论上是划时代之作、就是在数学史上也是不可多得的经典著作之一。高斯还研究了复数、提出所有复数都可以用平面上的点来表示、所以后人将“复平面”称为高斯平面、高斯还利用平面向量与复数之间的一一对应关系、阐述了复数的几何加法与乘法、为向量代数学奠定了基础。1828年高斯出版《关于曲面的一般研究》、全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学。并提出了内蕴曲面理论。高斯的数学研究几乎遍及当时的所有数学领域、而且在不少方面的研究走在了时代的前列。他在数学历史上的影响可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列。 高斯一生共有155篇论文。他治学严谨、把直观的概念作为入门的向导、然后试图在完整的逻辑体系上建立其数学的理论。他为人谨慎、他的许多数学思想与结果从不轻易发表、而且、他的论文很少详细写明思路。所以有的人说:“这个人、像狐狸似的、把沙土上留下的足迹、用尾巴全部扫掉。”
【高考数学专题突破】《专题三第讲数列求和及综合应用学案》(解析版)
第2讲 数列求和及综合应用 数列求和问题(综合型) [典型例题] 命题角度一 公式法求和 等差、等比数列的前n 项和 (1)等差数列:S n =na 1+ n (n -1)2 d (d 为公差)或S n =n (a 1+a n ) 2 . (2)等比数列:S n =???? ?na 1,q =1,a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q 1-q ,q ≠1其中(q 为公比). 4类特殊数列的前n 项和 (1)1+2+3+…+n =1 2n (n +1). (2)1+3+5+…+(2n -1)=n 2 . (3)12+22+32+…+n 2 =16n (n +1)(2n +1). (4)13+23+33+…+n 3=14 n 2(n +1)2 . 已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=3a n 2a n +3 ,n ∈N * .
(1)求证:数列???? ?? 1a n 为等差数列; (2)设T 2n = 1 a 1a 2- 1 a 2a 3+ 1 a 3a 4- 1 a 4a 5 +…+ 1 a 2n -1a 2n - 1 a 2n a 2n +1 ,求T 2n . 【解】 (1)证明:由a n +1=3a n 2a n +3,得1a n +1=2a n +33a n =1a n +2 3 , 所以 1 a n +1-1a n =23. 又a 1=1,则1a 1=1,所以数列???? ??1a n 是首项为1,公差为2 3的等差数列. (2)设b n = 1 a 2n -1a 2n - 1 a 2n a 2n +1 =? ??? ?1a 2n -1-1a 2n +11a 2n , 由(1)得,数列???? ??1a n 是公差为2 3的等差数列, 所以 1 a 2n -1 - 1 a 2n +1=-43,即 b n =? ????1a 2n -1-1a 2n +11a 2n =-43×1a 2n , 所以b n +1-b n =-43? ????1a 2n +2-1a 2n =-43×43=-16 9. 又b 1=-43×1a 2=-43×? ????1a 1+23=-20 9 , 所以数列{b n }是首项为-209,公差为-16 9的等差数列, 所以T 2n =b 1+b 2+…+b n =- 209n +n (n -1)2×? ?? ??-169=-49(2n 2 +3n ). 求解此类题需过“三关”:第一关,定义关,即会利用等差数列或等比数列的定义,判断所给的数列是等差数列还是等比数列;第二关,应用关,即会应用等差(比)数列的前n 项和公式来求解,需掌握等差数列{a n }的前n 项和公式:S n = n (a 1+a n ) 2 或S n =na 1+ n (n -1) 2d ;等比数列{a n }的前n 项和公式:S n =?????na 1,q =1,a 1(1-q n )1-q ,q ≠1;第三关,运算关,认真运算,此类题将迎刃而解. 命题角度二 分组转化法求和 将一个数列分成若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数列等),然后分别求和.也可先根据通项公式的特征,将其分解为可以直接求和的一些数列的和,再分组求和,即把一个通项拆成几个通项求和的形式,方便求和. 已知等差数列{a n }的首项为a ,公差为d ,n ∈N * ,且不等式ax 2 -3x +2<0的解集为(1,
高考数学大题题型解答技巧
高考数学大题题型解答技巧 六月,有一份期待,年轻绘就畅想的星海,思想的热血随考卷涌动,灵魂的脉搏应分 数澎湃,扶犁黑土地上耕耘,总希冀有一眼金黄黄的未来。下面就是小编给大家带来 的高考数学大题题型解答技巧,希望大家喜欢! 高考数学大题必考题型(一) 排列组合篇 1.掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。 2.理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题。 3.理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单 的应用问题。 4.掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题。 5.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义。 6.了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件 的概率。 7.了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事 件的概率乘法公式计算一些事件的概率。 8.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率. 立体几何篇 高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道,解答题1道),共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内。选择填空题考核立几中的计算型问题,而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题,当然,二者均应以正确的空间想象为前提。随着新的 课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展。从 历年的考题变化看,以简单几何体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是 常考常新的热门话题。 知识整合 1.有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题,是在解决立体几何问题的过程中,大量的、反复遇到的,而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺 少的内容,因此在主体几何的总复习中,首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手,通过较为基本问题,熟悉公理、定理的内容和功能,通过对问题的分析与概括,掌握
最新高考数学数列题型专题汇总
1. 高考数学数列题型专题汇总 1 一、选择题 2 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且S S n n =∞ →lim .下列 3 条件中,使得()*∈ 2. 4、如图,点列{A n },{B n }分别在某锐角的两边上,且 19 1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N , 20 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ,(P Q P Q ≠表示点与不重合). 21 若1n n n n n n n d A B S A B B +=,为△的面积,则 22 23 A .{}n S 是等差数列 B .2{}n S 是等差数列 24 C .{}n d 是等差数列 D .2{}n d 是等差数列 25 【答案】A 26 27 28 29 30 二、填空题 31 1、已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若16a =,350a a +=,则 32 6=S _______.. 33 【答案】6 34 35 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 36 高考数学数列题型专题 汇总 公司内部档案编码:[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08] 高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且S S n n =∞ →lim .下列 条件中,使得()*∈ A .{}n S 是等差数列 B .2{}n S 是等差数列 C .{}n d 是等差数列 D .2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若16a =,350a a +=,则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ,{}3,2∈n S ,则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4,a n +1=2S n +1,n ∈N *,则 a 1= ,S 5= . 【答案】1 121 第一章集合与常用逻辑用语 第一节集合 题型1-1 集合的基本概念 题型1-2 集合间的基本关系 题型1-3 集合的运算 第二节命题及其关系、充分条件与必要条件题型1-4 四种命题及关系 题型1-5 充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明 题型1-6 求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数取值范围 第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 题型1-7 判断命题的真假 题型1-8 含有一个量词的命题的否定 题型1-9 结合命题真假求参数的取值范围 第二章函数 第一节映射与函数 题型2-1 映射与函数的概念 题型2-2 同一函数的判断 题型2-3 函数解析式的求法 第二节函数的定义域与值域(最值) 题型2-4 函数定义域的求解 题型2-5 函数定义域的应用 题型2-6 函数值域的求解 第三节函数的性质——奇偶性、单调性、周期性 题型2-7 函数奇偶性的判断 题型2-8 函数单调性(区间)的判断 题型2-9 函数周期性的判断 题型2-10 函数性质的综合应用 第四节二次函数 题型2-11 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系 题型2-12 二次方程的实根分布及条件 题型2-13 二次函数“动轴定区间” “定轴动区间”问题 第五节指数与指数函数 题型2-14 指数运算及指数方程、指数不等式题型2-15 指数函数的图象及性质 题型2-16 指数函数中恒成立问题 第六节对数与对数函数 题型2-17 对数运算及对数方程、对数不等式 题型2-18 对数函数的图象与性质 题型2-19 对数函数中恒成立问题 第七节幂函数 题型2-20 求幂函数的定义域 题型2-21 幂函数性质的综合应用 第八节函数的图象 题型2-22 判断函数的图象 题型2-23 函数图象的应用 第九节函数与方程 题型2-24 求函数的零点或零点所在区间 题型2-25 利用函数的零点确定参数的取值范 围 题型2-26 方程根的个数与函数零点的存在性 问题 第十节函数综合 题型2-27 函数与数列的综合 题型2-28 函数与不等式的综合 题型2-29 函数中的信息题 第三章导数与定积分 第一节导数的概念与运算 题型3-1 导数的定义 题型3-2 求函数的导数 第二节导数的应用 题型3-3 利用原函数与导函数的关系判断图像 题型3-4 利用导数求函数的单调性和单调区间 题型3-5 函数的极值与最值的求解 题型3-6 已知函数在区间上单调或不单调,求 参数的取值范围 题型3-7 讨论含参函数的单调区间 题型3-8 利用导数研究函数图象的交点和函数 零点个数问题 题型3-9 不等式恒成立与存在性问题 题型3-10 利用导数证明不等式 题型3-11 导数在实际问题中的应用 第三节定积分和微积分基本定理 题型3-12 定积分的计算 题型3-13 求曲边梯形的面积 第四章三角函数 第一节三角函数概念、同角三角函数关系式和 诱导公式 题型4-1 终边相同角的集合的表示与识别 题型4-2 α 2 是第几象限角 题型4-3 弧长与扇形面积公式的计算 题型4-4 三角函数定义 题型4-5 三角函数线及其应用 题型4-6 象限符号与坐标轴角的三角函数值 题型4-7 同角求值——条件中出现的角和结论 中出现的角是相同的 题型4-8 诱导求值与变形 第二节三角函数的图象与性质 题型4-9 已知解析式确定函数性质 题型4-10 根据条件确定解析式 题型4-11 三角函数图象变换 第三节三角恒等变换 题型4-12 两角和与差公式的证明 题型4-13 化简求值 第四节解三角形 题型4-14 正弦定理的应用 题型4-15 余弦定理的应用 题型4-16 判断三角形的形状 题型4-17 正余弦定理与向量的综合 题型4-18 解三角形的实际应用 第五章平面向量 第一节向量的线性运算 题型5-1 平面向量的基本概念 题型5-2 共线向量基本定理及应用 题型5-3 平面向量的线性运算 题型5-4 平面向量基本定理及应用 题型5-5 向量与三角形的四心 题型5-6 利用向量法解平面几何问题 第二节向量的坐标运算与数量积 题型5-7 向量的坐标运算 题型5-8 向量平行(共线)、垂直充要条件的坐 标表示 题型5-9 平面向量的数量积 题型5-10 平面向量的应用 第六章数列 第一节等差数列与等比数列 题型6-1 等差、等比数列的通项及基本量的求 解 题型6-2 等差、等比数列的求和 题型6-3 等差、等比数列的性质应用 题型6-4 判断和证明数列是等差、等比数列 题型6-5 等差数列与等比数列的综合 第二节数列的通项公式与求和 题型6-6 数列的通项公式的求解 题型6-7 数列的求和 第三节数列的综合 题型6-8 数列与函数的综合 题型6-9 数列与不等式综合 第七章不等式 第一节不等式的概念和性质 题型7-1 不等式的性质 题型7-2 比较数(式)的大小与比较法证明不 等式 第二节均值不等式和不等式的应用 题型7-3 均值不等式及其应用 题型7-4 利用均值不等式求函数最值 题型7-5 利用均值不等式证明不等式 题型7-6 不等式的证明 第三节不等式的解法 题型7-7 有理不等式的解法 题型7-8 绝对值不等式的解法 第四节二元一次不等式(组)与简单的线性规 划问题 题型7-9 二元一次不等式组表示的平面区域 题型7-10 平面区域的面积 题型7-11 求解目标函数中参数的取值范围 题型7-12 简单线性规划问题的实际运用 第五节不等式综合 题型7-13 不等式恒成立问题中求参数的取值 范围 题型1、集合的基本概念 题型2、集合间的基本关系 题型3、集合的运算 题型4、四种命题及关系 题型5、充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明 题型6、求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数范围题型7、判断命题的真假 题型8、含有一个量词的命题的否定 题型9、结合命题真假求参数的范围 题型10、映射与函数的概念 题型11、同一函数的判断 题型12、函数解析式的求法 题型13、函数定义域的求解 题型14、函数定义域的应用 题型15、函数值域的求解 题型16、函数的奇偶性 题型17、函数的单调性(区间) 题型18、函数的周期性 题型19、函数性质的综合 题型20、二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系 题型21、二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分布及条件 题型22、二次函数"动轴定区间"、"定轴动区间"问题 题型23、指数运算及指数方程、指数不等式 题型24、指数函数的图像及性质 题型25、指数函数中的恒成立的问题 题型26、对数运算及对数方程、对数不等式 题型27、对数函数的图像与性质 题型28、对数函数中的恒成立问题 题型29、幂函数的定义及基本性质 题型30、幂函数性质的综合应用 题型31、判断函数的图像 题型32、函数图像的应用 题型33、求函数的零点或零点所在区间 题型34、利用函数的零点确定参数的取值范围 题型35、方程根的个数与函数零点的存在性问题 题型36、函数与数列的综合 题型37、函数与不等式的综合 题型38、函数中的创新题 题型39、导数的定义 题型40、求函数的导数 题型41、导数的几何意义 题型42、利用原函数与导函数的关系判断图像 题型43、利用导数求函数的单调区间 题型44、含参函数的单调性(区间) 题型45、已知含参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间,求参数范围题型46、函数的极值与最值的求解 题型47、方程解(函数零点)的个数问题 题型48、不等式恒成立与存在性问题 突破点5 数列求和及其综合应用 (对应学生用书第19页) [核心知识提炼] 提炼1 a n 和S n 的关系 若a n 为数列{a n }的通项,S n 为其前n 项和,则有a n =??? ? ? S 1,n =1,S n -S n -1,n ≥2. 在使用这个关系 式时,一定要注意区分n =1,n ≥2两种情况,求出结果后,判断这两种情况能否整合在一起. 提炼2求数列通项常用的方法 (1)定义法:①形如a n +1=a n +c (c 为常数),直接利用定义判断其为等差数列.②形如 a n +1=ka n (k 为非零常数)且首项不为零,直接利用定义判断其为等比数列. (2)叠加法:形如a n +1=a n +f (n ),利用a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n -1),求其通项公式. (3)叠乘法:形如 a n +1a n =f (n )≠0,利用a n =a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n -1 ,求其通项公式. (4)待定系数法:形如a n +1=pa n +q (其中p ,q 均为常数,pq (p -1)≠0),先用待定系数法把原递推公式转化为a n +1-t =p (a n -t ),其中t =q 1-p ,再转化为等比数列求解. (5)构造法:形如a n +1=pa n +q n (其中p ,q 均为常数,pq (p -1)≠0),先在原递推公式两边同除以q n +1 ,得 a n +1q n +1=p q ·a n q n +1q ,构造新数列{ b n }? ? ???其中b n =a n q n ,得b n +1=p q ·b n +1q ,接下来用待定系数法求解. (6)取对数法:形如a n +1=pa m n (p >0,a n >0),先在原递推公式两边同时取对数,再利用待定系数法求解. 提炼3数列求和 数列求和的关键是分析其通项,数列的基本求和方法有公式法、裂(拆)项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法和并项法等,而裂项相消法,错位相减法是常用的两种方法. 提炼4数列的综合问题 数列综合问题的考查方式主要有三种: (1)判断数列问题中的一些不等关系,可以利用数列的单调性比较大小,或者是借助数列对应函数的单调性比较大小. (2)以数列为载体,考查不等式的恒成立问题,此类问题可转化为函数的最值问题. (重庆)22.(本小题满分12分,(1)小问4分,(2)小问8分) 在数列{}n a 中,()2 1113,0n n n n a a a a a n N λμ+++=++=∈ (1)若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式; (2)若()0 001,2,1,k N k k λμ+= ∈≥=-证明:01 0011 223121 k a k k ++<<+++ 【答案】(1)132n n a -=?;(2)证明见解析. 试题分析:(1)由02λμ==-,,有212,(n N )n n n a a a ++=∈ 若存在某个0n N +∈,使得0n 0a =,则由上述递推公式易得0n 10a +=,重复上述过程可得 10a =,此与13a =矛盾,所以对任意N n +∈,0n a ≠. 从而12n n a a +=()N n +∈,即{}n a 是一个公比q 2=的等比数列. 故11132n n n a a q --==?. (2)由0 1 1k λμ= =-,,数列{}n a 的递推关系式变为 21101 0,n n n n a a a a k +++ -=变形为2101n n n a a a k +??+= ?? ?()N n +∈. 由上式及13a =,归纳可得 12130n n a a a a +=>>>>>>L L 因为22220010000 11111 1 11n n n n n n n a a k k a a k k k a a a k k +-+= = =-+? ++ +,所以对01,2n k =L 求和得() () 00011211k k k a a a a a a ++=+-++-L 01000010200000011111 111111112231313131 k a k k k k a k a k a k k k k k ??=-?+?+++ ? ?+++????>+?+++=+ ? ++++??L L 另一方面,由上已证的不等式知001212k k a a a a +>>>>>L 得 00110000102011111 111k k a a k k k k a k a k a +??=-?+?+++ ? ?+++?? L 0000011111 2221212121 k k k k k ??<+ ?+++=+ ?++++??L 综上:01001 12231 21 k a k k ++ <<+ ++ 考点:等比数列的通项公式,数列的递推公式,不等式的证明,放缩法. 高考数学题型全归纳 1高考数学必考七个题型 第一,函数与导数 主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。 第二,平面向量与三角函数、三角变换及其应用 这一部分是高考的重点但不是难点,主要出一些基础题或中档题。 第三,数列及其应用 这部分是高考的重点而且是难点,主要出一些综合题。 第四,不等式 主要考查不等式的求解和证明,而且很少单独考查,主要是在解答题中比较大小。是高考的重点和难点。 第五,概率和统计 这部分和我们的生活联系比较大,属应用题。 第六,空间位置关系的定性与定量分析 主要是证明平行或垂直,求角和距离。主要考察对定理的熟悉程度、运用程度。 第七,解析几何 高考的难点,运算量大,一般含参数。 高考对数学基础知识的考查,既全面又突出重点,扎实的数学基础是成功解题的关键。 针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识,正确理解基本概念,正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆,形成技能。以不变应万变。 2高考数学题型全归纳 题型1、集合的基本概念 题型2、集合间的基本关系 题型3、集合的运算 题型4、四种命题及关系 题型5、充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明 题型6、求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数范围题型7、判断命题的真假 题型8、含有一个量词的命题的否定 题型9、结合命题真假求参数的范围 题型10、映射与函数的概念 题型11、同一函数的判断 题型12、函数解析式的求法 题型13、函数定义域的求解 题型14、函数定义域的应用 题型15、函数值域的求解 题型16、函数的奇偶性 题型17、函数的单调性(区间) 题型18、函数的周期性 题型19、函数性质的综合 题型20、二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系 题型21、二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分布及条件 题型22、二次函数"动轴定区间"、"定轴动区间"问题 题型23、指数运算及指数方程、指数不等式 题型24、指数函数的图像及性质 题型25、指数函数中的恒成立的问题 题型26、对数运算及对数方程、对数不等式 题型27、对数函数的图像与性质 题型28、对数函数中的恒成立问题 题型29、幂函数的定义及基本性质 题型30、幂函数性质的综合应用 题型31、判断函数的图像 题型32、函数图像的应用 题型33、求函数的零点或零点所在区间 专题达标检测 一、选择题 1.在等差数列{a n }中,若a 2+2a 6+a 10=120,则a 3+a 9等于 ( ) A .30 B .40 C .60 D .80 解析:由等差数列性质:若m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q ,故a 2+2a 6+a 10=4a 6 =120,故a 6=30,a 3+a 9=2a 6=2×30=60. 答案:C 2.(2009·宁夏、海南理)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且4a 1,2a 2,a 3成等差数列,若 a 1=1,则S 4等于 ( ) A .7 B .8 C .15 D .16 解析:设等比数列的公比为q ,则由4a 1,2a 2,a 3成等差数列.得4a 2=4a 1+a 3.∴4a 1q =4a 1+a 1q 2.∴q 2-4q +4=0 ∴q =2,∴S 4=a 1(1-q 4)1-q =15. 答案:C 3.等比数列{a n }中,a 1=512,公比q =-1 2,用Πn 表示它的前n 项之积:Πn =a 1·a 2·…·a n , 则Πn 中最大的是 ( ) A .Π11 B .Π10 C .Π9 D .Π8 解析:Πn =a 1a 2…a n =a n 1· q 1+2+… +n -1=29n ????-12(n -1)n 2=(-1)n (n -1)22-n 2 +19n 2 ,∴ 当 n =9时,Πn 最大.故选C 答案:C 4.设函数f (x )=x m +ax 的导函数f ′(x )=2x +1,则数列?? ?? ?? 1f (n )(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n +1 B.n +2n +1 C.n n -1 D.n +1n 解析:∵f ′(x )=m x m -1+a =2x +1, ∴m =2,a =1, ∴f (x )=x 2+x =x (x +1),q a (D )7.08.0,01-<<-
高考数学数列题型专题汇总
q a (D )7.08.0,01-<<-
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