成都市2020-2021学年高一上学期期末调研考试 数学试题(含答案)
成都市2020-2021学年高二上学期期末调研考试
数学试题
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题
1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}2,3,4M =，{}3,4N =，则()U
M N ?=（ ）
A ．{}2,3,4
B ．{}1,2,5
C ．{}3,4
D ．{}1,5
2．下列函数中，与函数y x =相等的是（ ） A
．y =
B
．3
y =
C
．4
y =
D ．2
x y x
=
3．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，且45
cox α=-． 若角α的终边上有一点(),3P x ，则x 的值为（ ） A ．4-
B ．4
C ．3-
D ．3
4．设函数()()2
22,3,
log 1, 3.
x e x f x x x ?+
C ．3
1e -
D ．2
1e -
5．已知扇形的圆心角为30°，面积为3π，则扇形的半径为（ ） A
．B ．3
C
．
D ．6
6．函数()ln 29f x x x =+-的零点所在区间是（ ） A ．()1,2
B ．()2,3
C ．()3,4
D ．()4,5
7．已知函数()2cos 216f x x π?
?
=-
- ??
?
，则函数()f x 的递减区间是（ ） A ．()7,Z 12
12k k k π
πππ??
+
+
∈???
? B ．()5,Z 1212k k k ππππ?
?
-
+∈???
?
C ．(),Z 6
3k k k π
πππ?
?
-
+
∈???
?
D ．()5,Z 3
6k k k π
πππ??
+
+
∈???
?
8．函数()2
33
x x f x =-的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．已知函数()2sin 4f x x π?
?
=+
??
?
，先将函数()f x 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移
3π个单位长度，最后得到函数()y g x =的图象，则6g π??
???
的值为（ ）
A ．1
B C ．0
D ．10．已知函数()21
1
2
x ax f x +-=
在[]1,2上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[]2,4
B ．[)2,-+∞
C ．[]4,2--
D ．(],4-∞-
11．若12
6
a -=，3log 2
b =，ln 2
c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．a b c <<
B ．b c a <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
12．设函数()2
1lg 111
x x f x x x -=-
++-，()()1212g x f x f ??
=-- ???
．若()g x 的值不小于0，则x 的取值范围是（ ） A ．3,04??-????
B ．3111,,4224????
-
-?-? ??????
C ．30,4
?? ??
?
D ．1130,,224????? ?
?????
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题
13．计算tan330?的值为______． 14．已知函数21
1x y a
-=+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点()00,P x y ，则0x 的值为______．
15．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对区间(],0-∞上的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，都有
()()
1212
0f x f x x x -<-．若实数t 满()()213f t f t +≤-，则t 的取值范围是______．
16．已知函数()()sin 03f x x πωω??
=+
> ??
?
在4,33ππ??
-
???
上单调，且将函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度后与原来的图象重合．当()0,4x π∈时，使得不等式()1
2
f x ≤成立的x 的最大值为______． 三、解答题：
17．计算下列各式的值： （Ⅰ）()
23
232021 1.538-??-+? ???
；
（Ⅱ）2log 31
lg
2ln 100
+- 18．已知tan 2θ=-，且,2πθπ??∈
???
． （Ⅰ）求sin θ，cos θ的值；
（Ⅱ）求
()()2sin sin 2cos 2cos 2ππθθππθθ??
-+- ?
????
-++ ?
??
的值．
19．已知函数()2
121
x
f x =-
+． （Ⅰ）用函数单调性的定义证明函数()f x 在R 上是增函数； （Ⅱ）当[]x 1,3∈时，求函数()()3log g x f x =的最值．
20．1986年4月26日，一场地震造成乌克兰境内的切尔诺贝利核电站爆炸并引起大火．这一事故导致约8吨
的强辐射物严重泄露，事故所在地被严重污染．主要辐射物是锶90，它每年的衰减率为2.47%，经专家模拟估计，辐射物中锶90的剩余量低于原有的8.46%时，事故所在地才能再次成为人类居住的安全区；要完全消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年．设辐射物中原有的锶90有()08a a <<吨．
（Ⅰ）设经过()
*N t t ∈年后辐射物中锶90的剩余量为()P t 吨，试求()P t 的表达式，并计算经过800年后辐射物中锶90的剩余量；
（Ⅱ）事故所在地至少经过多少年才能再次成为人类居住的安全区？（结果保留为整数） 参考数据：ln0.0846 2.47=-，ln0.97530.03=-． 21．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πω?ω???
=+>>< ??
?
的最小值为2-，其图象经过点()0,1-，且图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为2
π． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若关于x 的方程()0f x k -=在11,612ππ??????
上有且仅有两个实数根1x ，2x ，求实数k 的取值范围，并求出12x x +的值．
22．已知函数()f x =
R ，其中a 为实数．
（Ⅰ）求a 的取值范围；
（Ⅱ）当1a =时，是否存在实数m 满足对任意[]11,1x ∈-，都存在2R x ∈，使得
()()1111299331x x x x m f x --++--≥成立？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．D ；2．B ；3．A ；4．B ；5．D ；6．C ；7．A ；8．C ；9．А；10．В；11．A ；12．D 二、填空题 13
．-
14．12； 15．24,3?
?-????
； 16．113π． 三、解答题
17．解：（Ⅰ）原式()()22
3
3274912122894πππ-????
=+-+?=+-+?=
? ?????
． （Ⅱ）原式2
1
log 3
2
2
11
lg10
2
ln 2322
e -=+-=-+-
=．
18．解：（Ⅰ）由tan 2θ=-，得sin 2cos θθ=-． ∵2
2
sin cos 1θθ+=，∴21cos 5
θ=． ∵,2πθπ??
∈
???
，∴sin 0θ>，cos 0θ<． ∴cos 5θ=-，sin 5
θ=． （Ⅱ）原式2sin cos 2tan 1
cos sin 1tan θθθθθθ
++=
=
-- ∵tan 2θ=-，∴原式41
112
-+==-+．
19．解：（Ⅰ）任取1x ，2R x ∈，且12x x <． 则()()12
1222112121x x f x f x ?
?-=-
-- ?++??
()()()
12212
122222
21212121x x x x x
x -=-=++++． ∵12x x <，∴1222x x
<，即12220x x -<．
又∵(
)(
)
2121210x
x
++>，
∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <． ∴函数()f x 在R 上单调递增．
（Ⅱ）令()t f x =，函数()()3log g x f x =化为()3log h t t =． 由（Ⅰ）知当[]1,3x ∈时，函数()f x 单调递增． ∴当1x =时，函数()f x 有最小值()113
f =； 当3x =时，函数()f x 有最大值()739f =
．∴17,39t ??∈????
． 又函数()3log h t t =在17,39??????
上单调递增，
∴当1
3
t =，即1x =时，函数()h t 有最小值1-，即()g x 有最小值1-； 当7
9
t =
，即3x =时，函数()h t 有最大值32log 7-+，即()g x 有最大值32log 7-+． 20．解：（Ⅰ）由题意，得()()1 2.47%t
P t a =-，*
N t ∈． 化简，得()0.9753t P t a =，*
N t ∈．
∴()800
8000.9753
P a =．
∴经过800年后辐射物中锶90的剩余量为800
0.9753
a 吨．
（Ⅱ）由（Ⅰ），知()0.9753t
P t a =，*
N t ∈． 由题意，得0.97530.0846t
a a <，
不等式两边同时取对数，得ln 0.9753ln 0.0846t
<． 化简，得ln0.9753ln0.0846t <． 由参考数据，得0.03 2.47t -<-．∴247
3
t >． 又∵
247
82.33
≈，∴事故所在地至少经过83年才能再次成为人类居住的安全区． 21．解：（Ⅰ）由题意，得2A =，122
T π
=．
∴T π=，22T
π
ω==．∴()()2sin 2f x x ?=+．
又函数()f x 的图象经过点()0,1-，则2sin 1?=-． 由2
π
?<
，得6
π
?=-
．∴()2sin 26f x x π??
=-
??
?
． （Ⅱ）由题意，关于x 的方程()0f x k -=在11,612ππ??
?
???
上有且仅有两个实数根1x ，2x ， 即函数()y f x =与y k =的图象在11,612ππ??
?
???
上有且仅有两个交点． 由（Ⅰ）知()2sin 26f x x π?
?
=-
??
?
．令26
t x π
=-
，则2sin y t =．
∵11,612x ππ??∈?
???，∴5,63t ππ??∈????
．
则[]2,2y ∈-．其函数图象如图所示．由图可知，实数k 的取值范围为([)2,1,2-?．
①当[)1,2k ∈时，1t ，2t ，关于2
t π
=对称，则12122266t t x x πππ?
??
?
+=-
+-= ? ??
???
． 解得1223
x x π
+=
．
②当(
2,k ∈-时，1t ，2t 关于32t π=
对称，则121222366t t x x πππ?
???+=-+-= ? ??
???．
解得1253
x x π
+=
．
综上，实数k 的取值范围为(
[)2,1,2-?，12x x +的值为
23π或53
π．
22．解：（Ⅰ）由题意，函数()f x =
的定义域为R ，
则不等式2
210ax ax -+≥对任意R x ∈都成立． ①当0a =时，10≥显然成立；
②当0a ≠时，欲使不等式2
210ax ax -+≥对任意R x ∈都成立，
则20
440
a a a >??-≤?，解得01a <≤． 综上，实数a 的取值范围为[]0,1．
（Ⅱ）当1a =时，()f x =
∴当R x ∈时，()min 0f x =．
令13333x
x
x
x
t -??
=-=- ???
．显然在[]1,1x ∈-上递增，则88,33t ??∈-????．
∴()
2993311x x x x m t mt --++--=++．
令()2
1h t t mt =++，88,33
t ??∈-????
．
若存在实数m 满足对任意[]11,1x ∈-，都存在2R x ∈，使得()()11
11299
331x
x x x m f x --++--≥成立，则
只需()min 0h t ≥． ①当823m -
≤-即163m ≥时，函数()h t 在88,33??
-????
上单调递增． 则()min 864810393h t h m ??
=-=
-+≥ ???
．解得7324m ≤，与163
m ≥矛盾； ②当88323m -
<-<即161633m -<<时，函数()h t 在8,32m ??
--????
上单调递减， 在8,23m ??
-????
上单调递增．则()22
min 10242m m m h t h ??=-=
-+≥ ???． 解得22m -≤≤；
③当823m -
≥即163m ≤-时，函数()h t 在88,33??
-????
上单调递减． 则()min 864810393h t h m ??
==
++≥ ???
．解得7324m ≥-，与16
3
m ≤-矛盾． 综上，存在实数m 满足条件，其取值范围为[]2,2-．