离散数学同步练习

华南理工大学网络教育学院

《离散数学》练习题

第一章命题逻辑

一填空题

（1）设：p：派小王去开会。q：派小李去开会。则命题：

“派小王或小李中的一人去开会”可符号化

为：。

（2）设A，B都是命题公式，A?B，则A→B的真值是。

（3）设：p：刘平聪明。q：刘平用功。在命题逻辑中，命题：

“刘平不但不聪明，而且不用功”可符号化为：。（4）设A , B 代表任意的命题公式，则等价式

A → B?。

（5）设，p：径一事；q：长一智。在命题逻辑中，命题：

“不径一事，不长一智。”可符号化为：。（6）设A , B 代表任意的命题公式，则德?摩根律为

?（A ∧ B）?。

（7）设，p：选小王当班长；q：选小李当班长。则命题：“选小王或小李中的一人当班长。”可符号化为：。（8）设，P：他聪明；Q：他用功。在命题逻辑中，命题：

“他既聪明又用功。”可符号化为：。

（9）对于命题公式A，B，当且仅当是重言式时，称“A蕴含B”，并记为A?B。

（10）设：P：我们划船。Q：我们跑步。在命题逻辑中，命题：“我们不能既划船又跑步。”可符号化为：。（11）设P , Q是命题公式，德·摩根律为：

?（P∨Q）?。

（12）设P：你努力。Q：你失败。在命题逻辑中，命题：“除非你努力，否则你将失败。”可符号化为：。

（13）设p：小王是100米赛跑冠军。q：小王是400米赛跑冠军。在命题逻辑中，命题：“小王是100米或400米赛跑冠军。”可符号化为：

。

（4）设A，C为两个命题公式，当且仅当为一重言式时，称C可由A逻辑地推出。

二．判断题

1.设A，B是命题公式，则等价式A→B??A∧B。（）

2.命题公式?p∧q∧?r是析取范式。（）

3.陈述句“x + y > 5”是命题。（）

4.110 (p=1,q=1, r=0)是命题公式((?(p∧q))→r)∨q 的成真赋值。（）

5.命题公式p→(?p∧q) 是重言式。（）

6.设A，B都是合式公式，则A∧B→?B也是合式公式。（）

7.A∨(B∧C)?( A∨B)∨(A∨C)。

（）

8.陈述句“我学英语，或者我学法语”是命题。（）

9.命题“如果雪是黑的，那么太阳从西方出”是假命题。（）

10.“请不要随地吐痰！”是命题。（）

11.P →Q ??P∧Q 。（）

12.陈述句“如果天下雨，那么我在家看电视”是命题。（）

13.命题公式（P∧Q）∨（?R→T）是析取范式。（）

14.命题公式(P∧?Q)∨R∨ (?P∧Q) 是析取范式。（）

三、选择题：在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的内。

1．设：P：天下雪。Q：他走路上班。则命题“只有天下雪，他才走路上班。”

可符号化为。

（1）P→Q

（2）Q → P

（3）? Q →? P

（4）Q ∨?P

2．(1 ) 明年国庆节是晴天。

(2 ) 在实数范围内，x+y〈3。

(3 ) 请回答这个问题！

(4 ) 明天下午有课吗？

在上面句子中，是命题的只有。

3．命题公式A与B是等值的，是指。

（1）A与B有相同的命题变元

（2）A?B是可满足式

（3）A→B为重言式

（4）A?B为重言式

4．(1 ) 雪是黑色的。

(2 ) 这朵花多好看呀！。

(3 ) 请回答这个问题！

(4 ) 明天下午有会吗？

在上面句子中，是命题的是。

5．设：P：天下大雨。Q：他乘公共汽车上班。则命题“只要天下大雨，他就乘公共汽车上班。”

可符号化为。

（1）Q→P

（2）P → Q

（3）? Q →? P

（4）Q ∨?P

6．设：P：你努力；Q：你失败。则命题“除非你努力，否则你将失败。”

在命题逻辑中可符号化为。

（1）Q→P（2）P→Q

（3）?P→Q（4）Q∨?P

7．(1 ) 现在开会吗？

(2 ) 在实数范围内，x+y >5。

(3 ) 这朵花多好看呀！

(4 )离散数学是计算机科学专业的一门必修课。

在上面语句中，是命题的只有。

8．设：P：天气好。Q：他去郊游。则命题“如果天气好，他就去郊游。”

可符号化为

（1）P→Q （2）Q → P

（3）? Q →? P （4）Q ∨?P

9．下列式子是合式公式的是。

（1）（P∨→Q）（2）?（P→（Q∨R））

（3）（P ?Q）（4）∧Q→R

10．（1）1＋101＝110 （2）中国人民是伟大的。

（3）全体起立！（4）计算机机房有空位吗？

在上面句子中，是命题的是。

11．设：P：他聪明；Q：他用功。则命题“他虽聪明但不用功。”

在命题逻辑中可符号化为。

（1）P ∧Q（2）P→Q

（3）P∨?Q（4）P∧?Q

12．(1 ) 如果天气好，那么我去散步。(2 ) 天气多好呀！

(3 ) x=3。(4 ) 明天下午有会吗？

在上面句子中是命题。

13．设：P：王强身体很好；Q：王强成绩很好。命题“王强身体很好，成绩也很好。”在命题逻辑中可符号化为。

（1）P ∨Q（2）P→Q

（3）P∧?Q（4）P∧Q

四、解答题

1．设命题公式为（?p→q）→（q→?p）。（1）求此命题公式的真值表；

（2）给出它的析取范式；

2．设命题公式为（p → q）∧（p ∨ r）。（1）求此命题公式的真值表；

（2）给出它的析取范式；

3．设命题公式为?Q∧（P→Q）→?P。

（1）求此命题公式的真值表；

（2）求此命题公式的析取范式；

4．完成下列问题

（1）求此命题公式?Q∧（P→Q）→?P 的真值表；（2）求命题公式（P∧（Q→R））→S的析取范式。

5．设命题公式为（P ∧（P→Q））→Q。

（1）求此命题公式的真值表；

（2）判断该公式的类型。

6．设命题公式为（（P ∨Q）∧?P）→Q。（1）求此命题公式的真值表；

（2）给出它的析取范式；

7．用直接证法证明

前提：P∨Q，P→R，Q→S

结论：S→R

8．用直接证法证明

前提：P→ (Q∨R)，S→?Q，P，S。

结论：R

第二章谓词逻辑一填空题

（1）若个体域是含三个元素的有限域{a，b，c}，则

?xA(x)?

（2）取全总个体域，令F(x)：x为人,G(x)：x爱看电影。则命题“没有不爱看电影的人。”可符号化为_____________________________________。（3）若个体域是含三个元素的有限域{a，b，c}，则

?xA(x)?。

（4）取全总个体域，令M(x)：x是人,G(y)：y是花, H(x,y)：x喜欢y。则命题“有些人喜欢所有的花。”可符号化为_________________________。（5）取个体域为全体人的集合。令F(x)：x在广州工作,G(x)：x是广州人。

在谓词逻辑中，命题“在广州工作的人未必都是广州人。”可符号化为_____________________________________。

（6）P(x)：x是学生，Q(x)：x要参加考试。在谓词逻辑中，命题：

“每个学生都要参加考试”可符号化为：。

（7）M(x)：x是人，B(x)：x勇敢。则命题“有人勇敢，但不是所有的人都勇敢”谓词符号化为 ___________________________________________。（8）P(x)：x是人，M(x)：x聪明。则命题“尽管有人聪明，但不是一切人都聪明”谓词符号化为 __________________________________________。（9）I(x)：x是实数，R(x)：x是正数，N(x)：x是负数。在谓词逻辑中，命题：“任何实数或是正的或是负的”可符号化为：。（10）令M(x)：x是大学生,P(y)：y是运动员, H(x, y)：x钦佩y。则命题“有些大学生不钦佩所有运动员。”可符号化为________________ _______。

二．判断题

1.设A，B都是谓词公式，则?x A??B也是谓词公式。（）

2.设c是个体域中某个元素，A是谓词公式，则A(c)??xA(x)。（）

3.?x?yA(x,y)??y?xA(x,y) 。（）

4.?x?yA(x,y)??y?xA(x,y) 。（）

5.取个体域为整数集，则谓词公式?x?y(x ? y = y ) 是假命题。（）

6.(?x)（P(x)→Q(x)）? (?x)（?P(x) ∨Q(x)）。（）

7.命题公式(P∧?Q∨ R) ∨ (?P∧Q) 是析取范式。（）

8.谓词公式(?x)(A (x) → B(x, y)) ∧R(x) 的自由变元为x, y。（）

9.（（?x）A（x）→B）?（?x）（A（x）→B）。（）

10.R(x)：“x是大学生。”是命题。（）

三、选择题：在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入

下列叙述中的内。

1．设F（x）：x是火车，G（x）：x是汽车，H（x，y）：x比y快。命题“某些汽车比所有火车慢”的符号化公式是。

（1）?y（G（y）→?x（F（x）∧H（x，y）））

（2）?y（G（y）∧?x（F（x）→H（x，y）））

（3）?x ?y（G（y）→（F（x）∧H（x，y）））

（4）?y（G（y）→?x（F（x）→H（x，y）））

2．设个体域为整数集，下列真值为真的公式是。

（1）?y?x (x – y =2)

（2）?x?y(x – y =2)

（3）?x?y(x – y =2)

（4）?x?y(x – y =2)

3．设F（x）：x是人，G（x）：x早晨吃面包。命题“有些人早晨吃面包”在谓词逻辑中的符号化公式是。

（1）（?x）（F（x）→G（x））

（2）（?x）（F（x）∧G（x））

（3）（?x）（F（x）→G（x））

（4）（?x）（F（x）∧G（x））

5．下列式子中正确的是。

（1）?（?x）P（x）?（?x）P（x）

（2）?（?x）P（x）?（?x）?P（x）

（3）?（?x）P（x）?（?x）?P（x）

（4）?（?x）P（x）?（?x）?P（x）

6．下面谓词公式是永真式的是。

a)P（x）→Q（x）

b)（?x）P（x）→（?x）P（x）

c)P（a）→（?x）P（x）

d)?P（a）→（?x）P（x）

5．设S（x）：x是运动员，J（y）：y是教练员，L（x，y）：x钦佩y。命题“所有运动员都钦佩一些教练员”的符号化公式是。

a)?x（S（x）∧?y（J（y）∧L（x，y）））

b)?x?y（S（x）→（J（y）→L（x，y）））

c)?x（S（x）→?y（J（y）∧L（x，y）））

d)?y?x（S（x）→（J（y）∧L（x，y）））

6．下列式子是合式公式的是。

（1）（P∨→Q）（2）?（P∧（Q∨R））

（3）（P ?Q）（4）∧Q→∧R

7．下列式子中正确的是。

（1）?（?x）P（x）?（?x）P（x）

（2）?（?x）P（x）?（?x）?P（x）

（3）?（?x）P（x）?（?x）?P（x）

（4）?（?x）P（x）?（?x）?P（x）

四、解答题

1．构造下面推理的证明：

前提：? x F（x）→?y（（F（y）∨ G（y））→ R（y）），

? x F（x）。

结论：? x R（x）。

2．在一阶逻辑中构造下面推理的证明

每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车。每个人或者喜欢坐汽车或者喜欢骑自行车。有的人不喜欢骑自行车。因而有的人不喜欢步行。

令F(x)：x喜欢步行。G(x)：x喜欢坐汽车。H(x)：x喜欢骑自行车。

3．在命题逻辑中构造下面推理的证明：

如果他是理科学生，他必须学好数学。如果他不是文科学生，他必是理科学生。他没学好数学，所以他是文科学生。

4．用直接证法证明：

前提：（?x）（C（x）→W（x）∧R（x）），（?x）（C（x）∧Q（x））

结论：（?x）（Q（x）∧R（x））。

第三章集合与关系

一填空题

（1）如果|A|＝n，那么|A×A|＝n2。A上的二元关系有_________个。（2）集合A上关系R的自反闭包r（R）=___________________。

（3）设集合A上的关系R和S，R={（1，2），（1，3），（3，2）}，S={（1, 3），

（2，1），（3，2）}，则S?R=。

（4）如果|A|＝n，那么|P(A)|＝2n。

（5）设集合A上的关系R和S，R={<1，2>，<2，1>，<3，4>，<4，3>}，S={<1，3>，<3，1>，<2，4>，<4，2>}，则R?S=。（6）设集合E={a, b, c}，E的幂集P(E)＝___________________________。（7）设R是定义在集合X上的二元关系，如果对于任意x, y∈X，______ ____ ____________ ，则称集合X上的关系R是对称的。（8）设关系R和S为，R={<1，2>，<3，4>，<2，2>}，S={<4，2>，<2，5>，<3，1>，<1，3>}，则R?S =______ ___ __ _______________。

（9）设R是定义在集合X上的二元关系，如果对于每个x∈X，

______ ____ ____________ ，则称集合X上的关系R是自反的。

二．判断题

1．设S，T是任意集合，如果S -T = ?，则S = T。（）2．集合A={1,2,3,4}上的关系{<1,2>,<2,3>,<2,4>,<3,4>}是一个函数。（）3．集合A={1，2，3，4}上的整除关系是等价关系。（）4．集合A 的幂集P(A)上的包含关系是偏序关系。（）5．设A={a, b, c}, R∈ A×A且R={< a, b>,< a, c>}, 则R是传递的。（）6．设A，B是任意集合，如果B ≠?，则A – B ≠ A。（）7．集合A={1,2,3}上的关系{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}是传递的。（）8．集合A={1，2，3，4}上的小于关系是等价关系。（）9．关系{∣x1, x2∈N, x1+x2<6}能构成一个函数。（）10．集合A 上的恒等关系是偏序关系。（）11．集合A={1,2,3}上的关系S={<1,1>,<1,2>,<3,2>,<3,3>}是自反的。（）12．设X={1, 2, 3}, Y={a, b, c}。函数F={<1, a>,<2, c>,<3, b>}是双射。（）13．集合A上的关系R的自反闭包r(R)=R∪IA。（）14．集合A上的偏序关系R是自反的、对称的、传递的。（）15.设A，B是任意集合，则A ⊕ B ＝(A-B) ∪(B-A)。

（）

三、选择题：在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入

下列叙述中的内。

1．设A={a，b，c}，B={a，b}，则下列命题不正确的是。

a)A－B={a，b}

b)A∩B={ a，b }

c)A⊕B={c}

d)B?A

2．设A = {a, b, c, d}, A 上的关系R = {, , , }，则它的对称闭包为。

a)R = {, , , , , , }，

b)R = {, , , , }，

c)R = {, , , , , }，

d)R = {, , , , , }，

3．对于集合{1, 2, 3, 4}上的关系是偏序关系的是。

a)R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>, <2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>}

b)R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>, <2,1>,<2,4>,<3,1>,<3,4>,<4,4>}

c)R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>, <2,1>,<3,1>,<3,3>,<4,1>,<4,4>}

d)R={<2,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>, <4,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>} 4．设A={1，2，3，4，5}，B={6，7，8，9，10}，以下哪个关系是从A到B 的单射函数。

a) f ={<1，7>，<2，6>，<3，5>，<1，9>，<5，10>}

b) f ={<1，8>，<2，6>，<3，7>，<4，9>，<5，10>}

c) f ={<1，7>，<2，6>，<3，5>，<4，6>}

d) f ={<1，10>，<2，6>，<3，7>，<4，8>，<5，10>}

5．设 A = {a, b, c}，要使关系{, , , }∪R具有对称性，则。

a)R = {, }

b)R = {, }

c)R = {, }

d)R = {, }

6．设S={Φ，{1}，{1，2}}，则S的幂集P（S）有个元素

（1）3 （2）6 （3）7 （4）8

7．设R为定义在集合A上的一个关系，若R是，则R为等价关系。

（1）反自反的，对称的和传递的（2）自反的，对称的和传递的

（3）自反的，反对称的和传递的（4）对称的，反对称的和传递的8．设S，T，M为任意集合，下列命题正确的是。

a)如果S∪T = S∪M，则T = M

b)如果S-T = Φ，则S = T

c)S-T?S

d)S⊕S = S

9．设A={1，2，3，4，5}，B={a，b，c，d，e}，以下哪个函数是从A到B的入射函数。

e)F ={<1，b>，<2，a>，<3，c>，<1，d>，<5，e>}

f)F={<1，c>，<2，a>，<3，b>，<4，e>，<5，d>}

g)F ={<1，b>，<2，a>，<3，d>，<4，a>}

h)F={<1，e>，<2，a>，<3，b>，<4，c>，<5，e>}

四、解答题

1．已知偏序集（A，≦），其中A={a，b，c，d，e}，“≦”为{（a，b），（a，c），（a，d），（c，e），（b，e），（d，e），（a，e）}∪I A。

（1）画出偏序集（A，≦）的哈斯图。

（2）求集合A的极大元，极小元，最大元，最小元。

2．设R是集合A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}上的整除关系。

（1）给出关系R；（2）画出关系R的哈斯图；

（3）指出关系R的最大、最小元，极大、极小元。

3．设R是集合A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}上的整除关系。

（2）给出关系R；

（2）给出COV A

（3）画出关系R的哈斯图；

（4）给出关系R的极大、极小元、最大、最小元。

第五章代数结构

一填空题

（1）集合S的幂集P(S)关于集合的并运算“∪”的零元为___________。（2）集合S的幂集P(S)关于集合的并运算“∩”的零元为___________。（3）集合S的幂集P(S)关于集合的并运算“∪”的么元为_____________。（4）一个代数系统＜S, * ＞，其中S是非空集合。*是S上的一个二元运算，如果，则称代数系统＜S, * ＞为广群。

二．判断题

1．含有零元的半群称为独异点。（）2．运算“＋”是整数集I上的普通加法，则群的么元是1。（）

三、填空题：在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入

下列叙述中的内。

1．下列群一定为循环群的是。

i) （运算“＋”是整数集I上的普通加法）

j) （R是实数集，“×”是普通乘法）

k) （运算“＋”是有理数集Q上的普通加法）

l) （P（S）是集合S的幂集，“⊕”为对称差）

2．运算“－”是整数集I上的普通减法，则代数系统 满足下列性质。

（1）结合律（2）交换律（3）有零元（4）封闭性3．设I是整数集，N是自然数集，P（S）是S的幂集，“×，＋，∩”是普通的乘法，加法和集合的交运算。下面代数系统中是群。

（1） （2） （3） （4） 4．下列代数系统不是群的是。

（5） （运算“＋”是整数集I上的普通加法）

（6） （P（S）是集合S的幂集，“∩”为交运算）

（7） （运算“＋”是有理数集Q上的普通加法）

（P（S）是集合S的幂集，“⊕”为对称差）

第七章图论

一填空题

（1）任何图(无向)中，度为奇数的顶点个数为。

（2）设D是一个有向图，若D中任意一对顶点都是相互可达的，则称D是_______________。

（3）既不含平行边，也不含环的图称为。

（4）经过图中一次且仅一次并且行遍图中每个顶点的回路，称为欧拉回路。

（5）一棵有n个顶点的树含有_______________边。

（6）设G =（V，E），G' =（V'，E'）是两个图，若且，称G是G的生成子图。

（7）经过图中一次且仅一次的回路，称为哈密尔顿回路。

二．判断题

1．5个顶点的有向完全图有20条边。（）

2. 已知n (n≥2)阶无向简单图G有n – 1条边，则G一定为树。（）

3. n阶无向完全图K n的每个顶点的度都是n。（）4．任何图都有一棵生成树。（）5．连通无向图的哈密尔顿回路经过图中的每条边一次且仅一次。（）6．任一图G=（V，E）的顶点的最大度数必小于G的顶点数。（）7．欧拉图一定是汉密尔顿图。（）8．无向连通图G的任意两结点之间都存在一条路。（）9．根树中除一个结点外，其余结点的入度为1。（）

三、选择题：在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的内。

1．下列为欧拉图的是。