大学生数学竞赛辅导材料
浙江省首届高等数学竞赛试题（2002.12.7） 一． 计算题(每小题5分，共30分)
1
．求极限lim x →。 2．求积分
|1|D xy dxdy -??，11{(,)2,2}22D x y x y =≤≤≤≤。 3．设2x y
x e =是方程hx y ay by ce '''++=的一个解，求常数,,,a b c h 。 4．设()f x 连续，且当1x >-时，20()[()1]2(1)x x
xe f x f t dt x +=+?
，求()f x 。 5．设21
1arctan 2n n k S k ==∑，求lim n n S →∞。 6．求积分1
2121(1)x x x e dx x ++
-?。 2003年浙江省大学生高等数学竞赛试题（2003.12.6）
一．计算题
7．求20
50sin()lim x x xt dt x
→?。 8．设31()sin x G x t t dt =?，求21()G x dx ?。
9．求2401x dx x
∞+?。 10． 求∑=∞→++n k n k n k n 12lim 。
浙江省大学生第三届高等数学竞赛试题
1．计算：(
)()2
00cos 2lim tan 1x t x x e tdt x x x →----?。
2．计算：20cos 2004
x dx x x π
ππ+-+?。
3．求函数()22,415f x y x y y =++在
(){}22,41x y x
y Ω=+≤上的最大、小值。 4．计算：()3max ,D xy x d σ??
，其中(){},11,01D x y x y =-≤≤≤≤。 5. 设()1tan 1x f x arc x
-=+，求)0()(n f 。 天津市竞赛题 1.证明??+≤?+020220
21cos 1sin dx x x dx x x ππ.
2. 设函数)(x f 在闭区间]2,2[-上具有二阶导数,,1)(≤x f 且
,4)]0([)]0([22='+f f 证明：存在一点),2,2(-∈ξ使得0)()(=''+ξξf f .
3. （1）证明：当x 充分小时,不等式422tan 0x x x ≤-≤成立.
（2）设,1tan 12
k n x n k n +=∑=求.lim n x x ∞
→ 4. 计算??????+-??? ??+-∞→61231e 2lim n n n n n n 。5. 设()x x x f +-=11arctan ，求()()05f 。
6. 对k 的不同取值，分别讨论方程01323=+-kx x 在区间()+∞,0内根的个数。
7. 设a ，b 均为常数且2->a ，0≠a ，问a ，b 为何值时，有
()()??-=??
????-+++∞
+10212d 1ln d 122x x x a x x a bx x 。 8.设121-≥a ， ,,,n ,a a n n 321121=+=+，证明：n n a ∞
→lim 存在并求其值。 9.设()x f 是区间[]2+a,a 上的函数，且()1≤x f ，()1≤''x f ，证明：()2≤'x f ，[]2+∈a,a x 。
北京市竞赛试题(2008、2007、2006)
.______,111,1.11
=-+++-→-m x x x m x m 则的等价无穷小是时设当 .________)1(,)
()2)(1()()2)(1()(.2='+++---=f n x x x n x x x x f 则设
._____)]11(1[lim ,1)0,1()(.3=++-=∞
→n
n n f y x f y 则轴上的截距为处的切线在在点已知曲线.______lim .411
=∑=∞→+n k n
k n k n e ___.
__________为处的切平面 (0,1) 在点 ),( 则曲面其中),(321)1,(且 ,微的某邻)1,0( 在点),(设函数6.22方程，域内可y x f z y x o y x y x f y x f z =+=+++=+=ρρ._____________为轴旋转的旋转曲面方程绕1
11101线.7z z y x -=-=-直.
____d )cos(d 1||||.822=+-=++?L
y y x x y x y x x L 的正向一周，则为封闭曲线设.______|)div (}1,2,2{)2,1,1(div ,2.922223=??-=--=M M z y x z y x z y x A l
l A k j i A 的方向导数方向处沿
在点则其散度设向量场._______,)1(.102222=++=+'+''++=γβαγβα则的一个特解方程是二阶常系数线性微分设x x x e y y y e x e y
._________d )cos 1(sin .52π2π2
2=?++-x x x x
2.
3.
4.
5.
6.
全国第一届预赛题首届预赛
一、填空题（20分）
第二届预赛
第三届预赛
第三届决赛
一、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）计算下列各题：
(1) x
x x x x x 222220sin cos sin lim -→ (2) [()]61
311tan 21lim x e x x x x x +--++∞→ (3) 设函数),(y x f 有二阶连续偏导数, 满足0222=+-yy y xy y x yy x f f f f f f f 且
0≠y f ,),(z x y y =是由方程),(y x f z =所确定的函数. 求22x
y ?? (4) 求不定积分()dx e x x I x x 1
11+-+=? (5) 求曲面az y x =+22和222y x a z +-=)0(>a 所围立体的表面积
二、（本题13分）讨论dx x x x x 220sin cos α+?
∞+的敛散性，其中α是一个实常数.
三、（本题13分）设)(x f 在),(∞+-∞上无穷次可微，并且满足:存在0>M ，使得M x f k ≤)()(，),(∞+-∞∈?x ，),2,1( =k ,且0)2
1(
=n f ，),2,1( =n 求证：在),(∞+-∞上，0)(≡x f
四、（本题共16分，第1小题6分，第2小题10分）
设D 为椭圆形122
22≤+b
y a x )0(>>b a ，面密度为ρ的均质薄板；l 为通过椭圆焦点），0(c - (其中222b a c -=)垂直于薄板的旋转轴. 1. 求薄板D 绕l 旋转的转动惯量J ；
2. 对于固定的转动惯量，讨论椭圆薄板的面积是否有最大值和最小值.
五、（本题12分）设连续可微函数(,)z f x y =由方程(,)0F xz y x yz --=（其中(,)0F u v =有连续的偏导数）唯一确定, L 为正向单位圆周. 试求：22(2)(2)L
I xz yz dy xz yz dx =+-+?
第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）
1.
求极限(lim 1sin n
n →∞+. 2.证明广义积分0sin x dx x
+∞
?不是绝对收敛的 3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值。
4.
过曲线)0y x =≥上的点A 作切线，使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形的面积为34
，求点A 的坐标。 二、（满分12）计算定积分2sin arctan 1cos x x x e I dx x
π
π-?=
+?