必修一数学第二章测试卷(含答案)
必修一基本初等函数（I ）测试题
姓名：_______________班级：_______________考号：_______________
一、选择题
1、已知函数，若函数
有四个零点，则实数的取值范围为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2、若函数在（，）上既是奇函数又是增函数，则函数
的图象是 （ ）
3、D 已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(2+x)=f(－x)，当0≤x ≤1时，f(x)=x 2
，则
f(2015)= （ ） A.－1 B.1 C.0 D.20152
4、已知函数
为自然对数的底数)与的图象上存在关于轴对称的点，则实
数的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5、下图可能是下列哪个函数的图象( )
.
.
.
.
6、已知
，，
，则的大小关系是（）
A
． B
． C ． D ．
7、设
，，
，则的大小关系是
A. B. C. D.
8、下列函数中值域为（0，）的是（）
A. B. C. D.
9、
已知函数为自然对数的底数)
与的图象上存在关于轴对称的点，则实
数的取值范围是（）
A
．B ．C ．D ．
10、已知函数，若，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
11、已知函数
的最小值为（）
A．6 B．8 C．9 D．12
12、已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=那么的值是( )
A． B．－ C． D．－
13、下列函数中，反函数是其自身的函数
为
A． B．
C． D．
14、对于函数
，令集合，则集合M为
A．空集 B．实数集 C．单元素集 D．二元素集
15、函数y=定义域是
A． B． C． D．
二、填空题
16、函数为奇函数，则实数 .
17
、设函数
，给出下列四个命题：①函数
为偶函数；②若
其中，
则
；③函数
在
上为单调增函数；④若
，则
。则正确命题的序号
是 ．.
18、若,则定义域为 .
19
、若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是
20、
定义函数，
若存在常数
，
对于任意，
存在唯一的
，使得
，
则称函数
在
上的“均值”为
，已知
，则函数
在
上的
“均值”为 ．
21、在R+上定义一种运算“*”：对于、R+，有*=，
则方程*=的解是= 。
22、 ．
对于任意实数，符号[]表示的整数部分，即[]是不超过的最大整数，例如[2]=2；[]=2；[]=,
这个函数[
]
叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用，那么
的值为
三、简答题
23、函数（为常数）的图象过点．
（1）求的值；
（2）函数在区间上有意义，求实数的取值范围；
（3）讨论关于的方程（为常数）的正根的个数.
24、已知函数.
（I ）求函数在上的最大值、最小值；
（II ）求证：在区间上，函数的图象在函数图象的下方。
25、已知函数，其中常数满足
（1）若，判断函数的单调性；
（2）若，求时的的取值范围.
26、已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）对于任意正实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）是否存在最小的正常数，使得：当时，对于任意正实数，不等式恒成立？给
出你的结论，并说明结论的合理性.
27、已知函数
（1）证明：在上为增函数； （2）证明：方程＝0没有负数根。
28、
已知函数
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数
的图像在点处的切线的倾斜角为45°，那么实数m
在什么范围取值时，函数
在区间内总存在极值？
（Ⅲ）求证：．
四、综合题
（每空？分，共？分）
29、已知函数f(x)＝，x∈[－1,1]，函数的最小
值为h(a)．
(1)求h(a)的解析式；
(2)是否存在实数m，n同时满足下列两个条件：①m>n>3；②当h(a)的定义域
为[n，m]时，值域为[n2，m2]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
30、利用自然对数的底数(…)
构建三个基本初等函数. 探究发现，
它们具有以下结论：三个函数的图像形成的图形（如图）具有“对称美”；图形中阴影区的面积为1等
.
是函数图像的交点.
（Ⅰ）根据图形回答下列问题：①写出图形的一条对称轴方程；②说出阴影区的面积；
③写出的坐标.
（Ⅱ）设
，证明：对任意的正实数
，都有.
31、定义在R上的函数满足，当时，
且
（1）求的值．
（2）比较与的大小
参考答案
一、选择题
1、C
2、C
3、 A
4、B
5、C
6、D
7、D
8、D
【解析】解：因为函数的值域，一般要根据函数的定义域和单调性得到，因此可以满足题意的为选D.选项A不能取到1，选项B能取到0，选项C中，大于等于1,。
9、B
10、D
11、B
12、D
13、D
14、D
15、C
二、填空题
16、-1 因为函数为奇函数，所以，
即
17、①②③④
18、
19、
20、1007
21、
22、857
三、简答题
23、（1）；（2）；（3）3个.
【解析】
试题分析：（1）依题意直接代入得；（2）将代入得，
要使其在区间上有意义，只需满足对恒成立，得，令
，先确定在上的单调性（可利用求导，也可利用定义），再求在上的最小
值，即可得到实数的取值范围；（3）求方程（为常数）的正根的个数，可以转化为求函数
与图像交点个数，其中的图像和的大小有关，所以要分，，三种情况讨论，详见解析.
试题解析：（1）依题意有． 3分
（2）由（1）得，则在区间上有意义，即对
恒成立，得，令，先证其单调递增：
法1∵在上恒成立，故在递增，
法2：任取，则
因为，则，故在递增，则，得． 8分
（3）结合图象有：
①当时，正根的个数为0；
如图一
②当时，正根的个数为1；
如图二
③当时，正根的个数为2；
如图三 13分
考点：（1）待定系数法；（2）导数的应用及恒成立问题；（3）函数图像.
24、解答（I）∵f (x)=∴当x时，f (x)>0，
∴在上是增函数,
故，. ------7分
（II）设，则，
∵时，∴，故在上是减函数.
又，故在上，，即，
∴函数的图象在函数的图象的下方. ---------14分
25、解：解：⑴当时，任意，
则
∵，，
∴，函数在上是增函数。当时，同理函数在上是减函数。
⑵
当时，，则；
当时，，则。
26、
解：⑴令,得.当时，；当时，.所以函数
在上单调递减，在上单调递增. (3分)
⑵由于，所以.构造函数，则令
，得.当时，；当时，.所以函数
在点处取得最小值，即.
因此所求的的取值范围是. (7分)
⑶结论：这样的最小正常数存在. 解释如下：
.
构造函数，则问题就是要求恒成立. (9分)
对于求导得 .
令，则，显然是减函数.
又，所以函数在上是增函数，在上是减函数，而
，
，.
所以函数在区间和上各有一个零点，令为
和，并且有: 在
区间和上，
即
；在区间
上，
即. 从而可知函数
在区间和上单调递减，在区间上单调递增.
，当
时，
；当
时，
. 还有
是函数的极大值，也是最大值.
题目要找的，理由是：
当时，对于任意非零正数，，而在上单调递减，所以一
定恒成立，即题目所要求的不等式恒成立，说明
；
当时，取，显然且，题目所要求的不等式不恒成立，说
明
不能比
小.
综合可知，题目所要寻求的最小正常数就是，即存在最小正常数，当时，对于任意正实数，
不等式
恒成立. (12分)
( 注意：对于和的存在性也可以如下处理：
令，即. 作出基本函数和的图像，借助于它们的图像有
两个交点很容易知道方程有两个正实数根和，且，（实际上），可知
函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增.，当时，；
当时，. 还有是函数的极大值，也是最大值. ）
27、证明：（1）设，
，
，在上为增函数。
（2）设，则，
由＝0，必须，则，与矛盾。
所以方程＝0没有负数根。-
(解法二：设，则，，则,
故方程＝0没有负数根。)
28、（Ⅰ）
2分
当时，的单调增区间为，减区间为； 3分
当时，的单调增区间为，减区间为． 4分
（Ⅱ）函数的图像在点处的切线的倾斜角为
，于是，． 6分
7分
要使函数在区间内总存在极值.
只需，即得，
当时，函数在区间内总存在极值 9分
（Ⅲ）令，此时， 10分
由（Ⅰ）知在上单调递增，
当时，，即
对一切都成立． 12分
于是 13分
．
四、综合题
29、解：(1)由f(x)＝x，x∈[－1,1]，知f(x)∈，令t＝f(x)∈记g(x)＝y＝t2－2at＋3，则g(x)的对称轴为t＝a，故有：
①当a≤时，g(x)的最小值h(a)＝－，
②当a≥3时，g(x)的最小值h(a)＝12－6a，
③当 综上所述，h(a)＝ (2)当a≥3时，h(a)＝－6a＋12，故m>n>3时，h(a)在[n，m]上为减函数， 所以h(a)在[n，m]上的值域为[h(m)，h(n)]． 由题意，则有，两式相减得6n－6m＝n2－m2，又m≠n，所以m＋n＝6，这与m>n>3矛盾，故不存在满足题中条件的m，n的值. 30、解：（1）∵（）的图像是反比例函数（）的图像位于第 一象限内的一支， ∴（）的图像关于直线对称. 又，互为反函数，它们的图像关于直线互相 对称，从而可知： ①三个函数的图像形成的图形的一条对称轴方程为. ②阴影区、关于直线对称，故阴影区的面积为. ③. （2）， ， .（*） ∵， ∴，即. 从而可知（*），即对任意的正实数都成立. 31、解：（1） （2）