宁夏回族自治区银川市第一中学等比数列经典例题

一、等比数列选择题

1．已知等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且5312a a a +=，则4

2

S S =（ ） A ．76

B ．32

C ．

2132

D ．

14

2．设{a n }是等比数列，若a 1 + a 2 + a 3 =1，a 2 + a 3 + a 4 =2，则 a 6 + a 7 + a 8 =（ ） A ．6 B ．16 C ．32 D ．64 3．若1，a ，4成等比数列，则a =（ ）

A ．1

B ．2±

C ．2

D ．2-

4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（ ） A ．80里 B ．86里 C ．90里 D ．96里 5．在3和81之间插入2个数，使这4个数成等比数列，则公比q 为（ ）

A ．2±

B ．2

C ．3±

D ．3

6

．

12

与1

2的等比中项是（ ）

A ．－1

B ．1

C

．

2

D

．2

±

7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2

13a a =，且数列{}13n S a -也为等比数列，则

n a 的表达式为（ ）

A ．12n

n a ??= ???

B ．1

12n n a +??= ???

C ．23n

n a ??= ???

D ．1

23n n a +??= ???

8．各项为正数的等比数列{}n a ，478a a ?=，则2122210log log log a a a +++=（ ）

A ．15

B ．10

C ．5

D ．3

9．数列{}n a 是等比数列，54a =，916a =，则7a =（ ） A ．8

B ．8±

C ．8-

D ．1

10．在数列{}n a 中，32a =，12n n a a +=，则5a =（ ） A ．32

B ．16

C ．8

D ．4

11．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123

111

2a a a ++=，22a =，则3S =（ ） A ．8

B ．7

C ．6

D ．4

12．已知等比数列{}n a 的前5项积为32，112a <<，则35

124

a a a +

+的取值范围为（ ） A ．73,2??????

B ．()3,+∞

C ．73,2?? ???

D ．[

)3,+∞

13．公差不为0的等差数列{}n a 中，2

3711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且

77b a =，则68b b =（ ）

A ．2

B ．4

C ．8

D ．16

14．已知q 为等比数列{}n a 的公比，且1212a a =-，31

4a =，则q =（ ） A ．1- B ．4

C ．12-

D ．12

±

15．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，22

6598225a a a a ++=，则113a a 的最大值是

（ ） A ．25

B ．

254

C ．5

D ．

25

16．数列{a n }满足2

1

1232222

n n n

a a a a -+++?+=

(n ∈N *)，数列{a n }前n 和为S n ，则S 10等于（ ）

A ．55

12?? ???

B ．10

112??- ???

C ．9

112??- ??? D ．66

12?? ???

17．.在等比数列{}n a 中，若11a =，54a =，则3a =（ ）

A ．2

B ．2或2-

C ．2-

D

18．已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-，则22

212n a a a ++

+=（ ）

A ．()2

21n -

B ．

()1213

n

- C ．41n -

D ．

()1413

n

- 19．已知{}n a 为等比数列.下面结论中正确的是（ ） A ．1322a a a +≥

B ．若13a a =，则12a a =

C ．222

1322a a a +≥

D ．若31a a >，则42a a >

20．在数列{}n a 中，12a =，对任意的,m n N *

∈，m n m n a a a +=?，若

1262n a a a ++???+=，则n =（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

二、多选题21．题目文件丢失！

22．已知1a ，2a ，3a ，4a 依次成等比数列，且公比q 不为1.将此数列删去一个数后得到

的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q 的值是（ ） A

B

C

D

23．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y ，都有

()()()f x y f x f y +=，若112

a =

，()()*

n a f n n N =∈，数列{}n a 的前n 项和n S 组成数列{}n S ，则有（ ） A ．数列{}n S 递增，且1n S < B ．数列{}n S 递减，最小值为

12

C ．数列{}n S 递增，最小值为

12

D ．数列{}n S 递减，最大值为1

24．若数列{}n a 的前n 项和是n S ，且22n n S a =-，数列{}n b 满足2log n n b a =，则下列选项正确的为（ ） A ．数列{}n a 是等差数列

B ．2n

n a =

C ．数列{}2n

a 的前n 项和为2122

3

n +-

D ．数列11n n b b +??

?????

的前n 项和为n T ，则

1n T <

25．已知等比数列{}n a 公比为q ，前n 项和为n S ，且满足638a a =，则下列说法正确的是（ ）

A ．{}n a 为单调递增数列

B ．6

3

9S S = C ．3S ，6S ，9S 成等

比数列

D ．12n n S a a =-

26．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1+14,()n n a S a n N *

==∈，数列12(1)n n n n a +?

?

+?

?+??

的

前n 项和为n T ，n *∈N ，则下列选项正确的是（ ） A ．24a =

B ．2n

n S =

C ．38

n T ≥

D ．12

n T <

27．已知数列是{}n a

是正项等比数列，且37

23

a a +=，则5a 的值可能是（ ） A ．2

B ．4

C ．85

D ．

83

28．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足111

30(2),3

n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中正确的是（ ） A ．1n S ??

?

???

是等差数列 B ．13n S n

=

C ．1

3(1)

n a n n =-

-

D ．{}

3n S 是等比数列

29．已知等比数列{}n a 中，满足11a =，2q ，n S 是{}n a 的前n 项和，则下列说法正

确的是（ ）

A ．数列{}2n a 是等比数列

B ．数列1n a ??

????

是递增数列

C ．数列{}2log n a 是等差数列

D ．数列{}n a 中，10S ，20S ，30S 仍成等比

数列

30．已知数列{}n a 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ）

A ．1{}n

a B ．2

2log ()n a

C ．1{}n n a a ++

D ．12{}n n n a a a ++++

31．已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题，其中正确的命题有（ ） A ．数列{}

n a 是等比数列

B ．数列{}1n n a a +是等比数列

C ．数列{}2

lg n a 是等比数列

D ．数列1n a ??

????

是等比数列

32．已知数列{} n a 满足11a =，1

21++=+n n a a n ，*n N ∈， n S 是数列1 n a ??????

的前n 项和，则下列结论中正确的是（ ）

A ．()21121n n

S n a -=-? B ．212

n n S S =

C ．2311222

n n n S S ≥

-+ D ．212

n n S S ≥+

33．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）

A ．1

12n n n S S ++-=

B ．12n n

a

C ．21n

n S =- D ．1

21n n S -=-

34．已知数列{}n a 满足11a =，()*123n

n n

a a n N a +=

∈+，则下列结论正确的有（ ） A ．13n a ??

+????

为等比数列 B ．{}n a 的通项公式为1

12

3

n n a +=-

C ．{}n a 为递增数列

D ．1n a ??????

的前n 项和2

234n n T n +=--

35．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意n +∈N ，均有n k n a a +>，则称

{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数，下列说法正确的是（ ）

A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列

B ．已知4

n a n n

=+

，则{}n a 是间隔递增数列 C ．已知()21n

n a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2

D ．已知2

2020n a n tn =-+，若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、等比数列选择题 1．B 【分析】

由5312a a a +=，解得q ，然后由4142

42212(1)111(1)11a q S q q q a q S q

q

---===+---求解. 【详解】

在等比数列{}n a 中，5312a a a +=， 所以421112a q a q a +=，即42210q q +-=， 解得2

12

q =

所以4142

42212(1)1311(1)12

1a q S q q q a q S q q

---===+=---， 故选：B 【点睛】

本题主要考查等比数列通项公式和前n 项和公式的基本运算，属于基础题, 2．C 【分析】

根据等比数列的通项公式求出公比2q ，再根据等比数列的通项公式可求得结果.

【详解】

设等比数列{}n a 的公比为q ，

则234123()2a a a a a a q ++=++=，又1231a a a ++=，所以2q

，

所以55

678123()1232a a a a a a q ++=++?=?=.

故选：C ． 3．B 【分析】

根据等比中项性质可得24a =，直接求解即可. 【详解】

由等比中项性质可得：

2144a =?=，

所以2a =±， 故选：B 4．D 【分析】

由题意得每天行走的路程成等比数列{}n a 、且公比为1

2

，由条件和等比数列的前项和公式求出1a ，由等比数列的通项公式求出答案即可． 【详解】

由题意可知此人每天走的步数构成

1

2

为公比的等比数列， 由题意和等比数列的求和公式可得611[1()]

2378

1

12a -=-， 解得1192a =，∴此人第二天走1

192962

?

=里， ∴第二天走了96里，

故选：D ． 5．D 【分析】

根据等比数列定义知3

813q =，解得答案.

【详解】

4个数成等比数列，则3

813q =，故3q =.

故选：D. 6．D 【分析】

利用等比中项定义得解. 【详解】

23111(

)()(2222-==±，12∴

与12的等比中项是2

± 故选:D 7．D 【分析】

设等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，111133(3)n S a na a n a -=-=-，该式可以为0，不是等比数列，当1q ≠时，11113311n n a a

S a q a q q

-=-

?+---，若是等比数列,则11301a a q -=-，可得2

3

q =，利用213a a =，可以求得1a 的值，进而可得n a 的表达式 【详解】

设等比数列{}n a 的公比为q

当1q =时，1n S na =，所以111133(3)n S a na a n a -=-=-， 当3n =时，上式为0，所以{}13n S a -不是等比数列. 当1q ≠时，(

)1111111n n

n a q a a

q S q

q q

-==-

?+---， 所以11113311n n a a

S a q a q q

-=-

?+---， 要使数列{}13n S a -为等比数列，则需

11301a a q -=-，解得2

3

q =. 21

3a a =，2

123a ??

∴= ???

，

故2

1

1

11222333n n n n a a q -+-??????=?=?= ? ? ???

??

??

.

故选：D. 【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是熟记等比数列的前n 项和公式，等比数列通项公式的一般形式，由此若11113311n n a a S a q a q q -=-?+---是等比数列，则11301a

a q

-=-，即可求得q 的值，通项即可求出. 8．A 【分析】

根据等比数列的性质，由对数的运算，即可得出结果. 【详解】 因为478a a ?=，

则()()5

2212221021210110log log log log ...log a a a a a a a a ???=+

?++=

()2475log 15a a =?=.

故选：A. 9．A 【分析】

分析出70a >，再结合等比中项的性质可求得7a 的值. 【详解】

设等比数列{}n a 的公比为q ，则2

750a a q =>，

由等比中项的性质可得2

75964a a a ==，因此，78a =.

故选：A. 10．C 【分析】

根据12n n a a +=，得到数列{}n a 是公比为2的等比数列求解. 【详解】 因为12n n a a +=，

所以1

2n n

a a +=， 所以数列{}n a 是公比为2的等比数列． 因为32a =，

所以23

5328a a q ===． 故选：C 11．A 【分析】

利用已知条件化简，转化求解即可． 【详解】

已知{}n a 为等比数列，132

2a a a ∴=，且22a =，

满足131233

2

1231322111124

a a a a a S a a a a a a a +++++=+===，则S 3＝8． 故选：A ． 【点睛】 思路点睛：

（1）先利用等比数列的性质，得132

2a a a ∴=，

（2）通分化简3

12311124

S a a a +

+==. 12．C

【分析】

由等比数列性质求得3a ，把35

124

a a a ++表示为1a 的函数，由函数单调性得取值范围． 【详解】

因为等比数列{}n a 的前5项积为32，所以53

32a =，解得32a =，则23511

4a a a a =

=，35

124

a a a +

+ 1111a a =++

，易知函数()1

f x x x

=+在()1,2上单调递增，所以351

73,242a a a ??++∈ ???， 故选：C ． 【点睛】

关键点点睛：本题考查等比数列的性质，解题关键是选定一个参数作为变量，把待求值的表示为变量的函数，然后由函数的性质求解．本题蝇利用等比数列性质求得32a =，选1a 为参数． 13．D 【分析】

根据等差数列的性质得到774a b ==，数列{}n b 是等比数列，故2

687b b b ==16.

【详解】

等差数列{}n a 中,31172a a a +=,故原式等价于2

7a -740a =解得70a =或74,a =

各项不为0的等差数列{}n a ,故得到774a b ==，

数列{}n b 是等比数列，故2

687b b b ==16.

故选：D. 14．C 【分析】

利用等比通项公式直接代入计算，即可得答案； 【详解】

()21114

221

11111

22211121644a a q a q q q q a q a q ??=-=--??????=?=-????=?=

????

， 故选：C. 15．B 【分析】

由等比数列的性质，求得685a a +=，再结合基本不等式，即可求得113a a 的最大值，得到答案. 【详解】

由等比数列的性质，可得()2

2222

65986688682225a a a a a a a a a a ++=++=+=，

又因为0n a >，所以685a a +=，所以2

68113682524a a a a a a +??=≤=

???

， 当且仅当685

2

a a ==时取等号． 故选：B . 16．B 【分析】

根据题意得到2

212311

2222

n n n a a a a ---+++

+=

，（2n ≥），与条件两式作差，得到12n n a =

，（2n ≥），再验证112a =满足12n n a =，得到12n n

a =()*

n N ∈，进而可求出结果. 【详解】 因为数列{}n a 满足2

11232222

n n n a a a a -+++

+=

， 2212311

2222

n n n a a a a ---+++

+=

，（2n ≥） 则1

112

222--=

-=n n n n a ，则12

n n a =，（2n ≥）， 又112a =

满足12n n a =，所以12

n n a =()*

n N ∈， 因此1010210123101011111

11221122

2212

S a a a a ??- ?????++=

+++==- ?+?-=?.

故选：B 17．A 【分析】

由等比数列的性质可得2

315a a a =?，且1a 与3a 同号，从而可求出3a 的值

【详解】

解：因为等比数列{}n a 中，11a =，54a =，

所以2

3154a a a =?=，

因为110a =>，所以30a >， 所以32a =， 故选：A 18．D

【分析】

由n a 与n S 的关系可求得12n n a ，进而可判断出数列{}

2

n a 也为等比数列，确定该数列的

首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式.

【详解】

已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-. 当1n =时，112a S a ==-；

当2n ≥时，(

)(

)1

1122

2n

n n n n n a S S a a ---=-=---=.

由于数列{}n a 为等比数列，则12a a =-满足12n n

a ，所以，022a -=，解得1a =，

()1

2

n n a n N -*

∴=∈，则()

2

21

124n n n

a --==，21

21444

n n n n a a +-∴==，且211a =， 所以，数列{}

2n a 为等比数列，且首项为1，公比为4， 因此，2221

2

1441

143

n n n

a a a --+++==

-. 故选：D. 【点睛】

方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：

（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或1

1n n a a q -=进行

求解；

（2）前n 项和法：根据11,1

,2n n

n S n a S S n -=?=?

-≥?进行求解；

（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；

（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第1n -项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法； （5）累乘法：当数列{}n a 中有()1

n

n a f n a -=，即第n 项与第1n -项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；

（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且

1k ≠，0k ≠）.

一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1

b

m k =

-，可得出数列1n b a k ??+??-?

?是以k 的等比数列，可求出n a ；

②取倒数法：这种方法适用于()1

12,n n n ka a n n N ma p

*--=

≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b

-=+的式子；

⑦1n

n n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式

的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可. 19．C 【分析】

取特殊值可排除A ，根据等比数列性质与基本不等式即可得C 正确，B ，D 错误. 【详解】

解：设等比数列的公比为q ，

对于A 选项，设1231,2,4a a a =-==-，不满足1322a a a +≥，故错误；

对于B 选项，若13a a =，则2

11a a q =，则1q =±，所以12a a =或12a a =-，故错误； 对于C 选项，由均值不等式可得222

1313222a a a a a +≥?=，故正确；

对于D 选项，若31a a >，则()2110a q ->，所以()

1422

1a a a q q -=-，其正负由q 的符

号确定，故D 不确定. 故选：C. 20．C 【分析】

令1m =，可得112+=?=n n n a a a a ，可得数列{}n a 为等比数列，利用等比数列前n 项和公式，求解即可. 【详解】

因为对任意的,m n N *

∈，都有m n m n a a a +=?，

所以令1m =，则112+=?=n n n a a a a ， 因为10a ≠，所以0n a ≠，即

1

2n n

a a +=， 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以2(12)6212n -=-，解得n =5，

故选：C

二、多选题 21．无

22．AB

因为公比q 不为1，所以不能删去1a ，4a ，设等差数列的公差为d ，分类讨论，即可得到答案 【详解】

解：因为公比q 不为1，所以不能删去1a ，4a ，设等差数列的公差为d ， ①若删去2a ，则有3142a a a =+，得231112a q a a q =+，即2321q q =+， 整理得()()()2

111q

q q q -=-+，

因为1q ≠，所以21q q =+， 因为0q >

，所以解得q =

， ②若删去3a ，则2142a a a =+，得31112a q a a q =+，即3

21q q =+，

整理得(1)(1)1q q q q -+=-，因为1q ≠，所以(1)1q q +=， 因为0q >

，所以解得12

q -+=，

综上q =

或q =， 故选：AB 23．AC 【分析】

计算()f n 的值，得出数列{}n a 的通项公式，从而可得数列{}n S 的通项公式，根据其通项公式进行判断即可 【详解】 解：因为112a =

，所以1

(1)2

f =， 所以2

21

(2)(1)4

a f f ===

， 31

(3)(1)(2)8

a f f f ===，

……

所以1

()2

n n a n N +=∈，

所以11(1)

122111212

n n n S -==-<-， 所以数列{}n S 递增，当1n =时，n S 有最小值1112

S a ==

，

【点睛】

关键点点睛：此题考查函数与数列的综合应用，解题的关键是由已知条件赋值归纳出数列

{}n a 的通项公式，进而可得数列{}n S 的通项公式，考查计算能力和转化思想，属于中档

题 24．BD 【分析】

根据22n n S a =-，利用数列通项与前n 项和的关系得1,1

,2n n

S n a S n =?=?≥?，求得通项n a ，然

后再根据选项求解逐项验证. 【详解】

当1n =时，12a =，

当2n ≥时，由22n n S a =-，得1122n n S a --=-， 两式相减得：12n n a a -=， 又212a a =，

所以数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列， 所以2n n a =，24n

n a =，数列{}2

n

a

的前n 项和为()14144414

3

n n n

S +--'=

=

-， 则22log log 2n

n n b a n ===，

所以()11111

11

n n b b n n n n +==-??++，

所以 1111111

(11123411)

n T n n n =-+-++-=-<++， 故选：BD 【点睛】

方法点睛：求数列的前n 项和的方法 (1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()

11122

n n n a a n n S na d +-=

=+②等比数列的前n 项和公式()

11,1

1,11n

n na q S a q q q =??=-?≠?

-?

；

(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．

(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推

广．

(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.

(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 25．BD 【分析】

根据638a a =利用等比数列的性质建立关系求出2q ，然后结合等比数列的求和公式，

逐项判断选项可得答案． 【详解】

由638a a =，可得3338q a a =，则2q

，

当首项10a <时，可得{}n a 为单调递减数列，故A 错误； 由6

63

312912S S -=

=-，故B 正确； 假设3S ，6S ，9S 成等比数列，可得2693S S S =?， 即6239(12)(12)(12)-=--不成立，

显然3S ，6S ，9S 不成等比数列，故C 错误； 由{}n a 公比为q 的等比数列，可得11

122121

n n n n a a q a a S a a q --===--- 12n n S a a ∴=-，故D 正确；

故选：BD ． 【点睛】

关键点睛：解答本题的关键是利用638a a =求得2q ，同时需要熟练掌握等比数列的求

和公式. 26．ACD 【分析】

在1+14,()n n a S a n N *

==∈中，令1n =，则A 易判断；由3

2122S a a =+=，B 易判断；

令12(1)n n n b n n a ++=

+，13

8

b =，

2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++=

==-++?+?，裂项求和3182

n T ≤<，则CD 可判断. 【详解】

解：由1+14,()n n a S a n N *

==∈，所以2114a S a ===，故A 正确；

32212822S a a =+==≠，故B 错误；

+1n n S a =，12,n n n S a -≥=，所以2n ≥时，11n n n n n a S S a a -+=-=-，

1

2n n

a a +=， 所以2n ≥时，2422n n

n a -=?=，

令12(1)n n n b n n a ++=

+，12123

(11)8

b a +=

=+， 2n ≥时，()()11

12211

(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++=

==-++?+?，

113

8

T b ==，2n ≥时，

()()2334

113111111111

8223232422122122

n n n n T n n n ++=+-+-+

+

-=-

82

n T ≤<，故CD 正确；

故选：ACD. 【点睛】

方法点睛：已知n a 与n S 之间的关系，一般用()11,12n n

n a n a S S n -=?

=?-≥?递推数列的通项，注

意验证1a 是否满足()12n n n a S

S n -=-≥；裂项相消求和时注意裂成的两个数列能够抵消求和. 27．ABD 【分析】

根据基本不等式的相关知识，结合等比数列中等比中项的性质，求出5a 的范围，即可得到所求． 【详解】

解：依题意，数列是{}n a 是正项等比数列，30a ∴>，70a >，50a >，

∴2

3737523

2326

2a a a a a +=， 因为50a >，

所以上式可化为52a ，当且仅当3a =，7a = 故选：ABD ． 【点睛】

本题考查了等比数列的性质，考查了基本不等式，考查分析和解决问题的能力，逻辑思维能力．属于中档题． 28．ABD 【分析】

由1(2)n n n a S S n -=-≥代入已知式，可得{}n S 的递推式，变形后可证1n S ??

????

是等差数列，从而可求得n S ，利用n S 求出n a ，并确定3n S 的表达式，判断D ． 【详解】

因为1(2)n n n a S S n -=-≥，1130n n n n S S S S ---+=，所以

1

11

3n n S S --=， 所以1n S ??

?

???

是等差数列，A 正确； 公差为3，又

11113S a ==，所以1

33(1)3n n n S =+-=，13n S n

=．B 正确；

2n ≥时，由1n n n a S S -=-求得1

3(1)

n a n n =

-，但13a =不适合此表达式，因此C 错；

由1

3n S n =

得1

311333

n n n S +==?，∴{}

3n S 是等比数列，D 正确． 故选：ABD ． 【点睛】

本题考查等差数列的证明与通项公式，考查等比数列的判断，解题关键由

1(2)n n n a S S n -=-≥，化已知等式为{}n S 的递推关系，变形后根据定义证明等差数列．

29．AC 【分析】 由已知得1

2

n n

a 可得以21

22

n n a -=，可判断A ；又1

111122n n n a --??

== ?

??

，可判断B ；由

122log log 21n n a n -==-，可判断C ；求得10S ，20S ，30S ，可判断D.

【详解】

等比数列{}n a 中，满足11a =，2q

，所以12n n a ，所以2122n n a -=，所以数列

{}2n a 是等比数列，故A 正确；

又1

111122n n n a --??

== ???

，所以数列1n a ??

????是递减数列，故B 不正确；

因为1

22log log 2

1n n a n -==-，所以{}2log n a 是等差数列，故C 正确；

数列{}n a 中，101010111222

S -==--，202021S =-，30

3021S =-，10S ，20S ，30S 不成

等比数列，故D 不正确； 故选：AC . 【点睛】

本题综合考查等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式，以及数列的单调性的判

定，属于中档题. 30．AD 【分析】

主要分析数列中的项是否可能为0，如果可能为0，则不能是等比数列，在不为0时，根据等比数列的定义确定． 【详解】

1n a =时，22log ()0n a =，数列22{log ()}n a 不一定是等比数列， 1q =-时，10n n a a ++=，数列1{}n n a a ++不一定是等比数列，

由等比数列的定义知1{}n

a 和12{}n n n a a a ++++都是等比数列． 故选AD ． 【点睛】

本题考查等比数列的定义，掌握等比数列的定义是解题基础．特别注意只要数列中有一项为0，则数列不可能是等比数列． 31．ABD 【分析】

分别按定义计算每个数列的后项与前项的比值，即可判断. 【详解】

根据题意，数列{}n a 是等比数列，设其公比为q ，则

1

n n

a q a +=， 对于A ，对于数列{}n a ，则有1

||n n

a q a ，{}n a 为等比数列，A 正确； 对于B ，对于数列{}1n n a a +，有

21

1n n n n

a a q a a +-=，{}1n n a a +为等比数列，B 正确； 对于C ，对于数列{}

2lg n a ，若1n a =，数列{}n a 是等比数列，但数列{}

2

lg n a 不是等比数

列，C 错误；

对于D ，对于数列1n a ??????

，有11

1

11n n n n a a a q a --==，1n a ??

????为等比数列，D 正确. 故选：ABD . 【点睛】

本题考查用定义判断一个数列是否是等比数列，属于基础题. 32．CD 【分析】

根据数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，得到1223+++=+n n a a n ，两式相减得：

22n n a a +-=，然后利用等差数列的定义求得数列{} n a 的通项公式，再逐项判断.

【详解】

因为数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈， 所以1223+++=+n n a a n ， 两式相减得：22n n a a +-=，

所以奇数项为1，3，5，7，….的等差数列； 偶数项为2，4，6，8，10，….的等差数列； 所以数列{} n a 的通项公式是n a n =， A. 令2n =时， 311111236S =++=，而 ()13

22122

?-?=，故错误； B. 令1n =时， 213122

S =+

=，而 111

22S =，故错误；

C. 当1n =时， 213122

S =+=，而 3113

2222-+=，成立，当2n ≥时，

211111...23521n n S S n =++++--，因为221n n >-，所以

11

212n n >-，所以111111311...1 (352148222)

n n n ++++>++++=--，故正确； D. 因为21111

...1232n n S S n n n n

-=

+++++++，令()1111...1232f n n n n n

=

+++++++，因为()11111

1()021*******f n f n n n n n n +-=

+-=->+++++，所以()f n 得到递增，所以()()1

12

f n f ≥=，故正确； 故选：CD 【点睛】

本题主要考查等差数列的定义，等比数列的前n 项和公式以及数列的单调性和放缩法的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于较难题. 33．BC 【分析】

先求得3a ，然后求得q ，进而求得1a ，由此求得1,,n n n n a S S S +-，进而判断出正确选项. 【详解】

由23464a a a =得33

34a =，则34a =．设等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠，由

2410a a +=，得4

410q q

+=，即22520q q -+=，解得2q

或1

2q =

．又因为数列{}n a 单调递增，所以2q

，所以112810a a +=，解得11a =．所以12n n

a ，

()

1122112

n n

n S ?-=

=--，所以()1

12

1212n n n n n S S ++-=---=.

故选：BC 【点睛】

本题考查等比数列的通项公式、等比数列的性质及前n 项和，属于中档题.

34．ABD 【分析】 由()*123n

n n

a a n N a +=

∈+两边取倒数，可求出{}n a 的通项公式，再逐一对四个选项进行判断，即可得答案. 【详解】

因为112323n n

n n a a a a ++==+，所以11132(3)n n a a ++=+，又11

340a +=≠， 所以13n a ??

+????

是以4为首项，2位公比的等比数列，11342n n a -+=?即1123n n a +=-，故选项A 、B 正确. 由{}n a 的通项公式为1123

n n a +=

-知，{}n a 为递减数列，选项C 不正确.

因为1

231n n

a +=-，所以 1n a ??????的前n 项和23112(23)(23)(23)2(222)3n n n T n +=-+-+

+-=++

+-

22(12)2312

234n n n n +-?-=?-=--.选项D 正确，

故选：ABD 【点睛】

本题考查由递推公式判断数列为等比数列，等比数列的通项公式及前n 项和，分组求和法，属于中档题. 35．BCD 【分析】

根据间隔递增数列的定义求解. 【详解】 A. ()

1111

111n k n n n k k n a a a a q

q q a q +---+=-=--，因为1q >，所以当10a <时，

n k n a a +<，故错误；

B. ()()244441++n k

n n kn a a n k n k k n k n n k n n k n +????+-?

?-=++-+=-= ? ? ? ? ?+??????

，令24t n kn =+-，t 在n *∈N 单调递增，则()1140t k =+->，解得3k >，故正确；