函数专题_一次函数的图像和性质
教学过程
一、课程导入
画出y=-x与y=-x+2的图象，找出它们的相同点和不同点
小结：直线y＝kx＋b可以看作由直线y＝kx平移___|b|__个单位而得到，当b＞0时，向___上__平移，当b＜0时，向___下__平移。即k值相同时，直线一定平行。
二、 复习预习
①如图（l ）所示，当k ＞0，b ＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；
②如图（2）所示，当k ＞0，b ﹥O 时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；
③如图（3）所示，当k ﹤O ，b ＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；
④如图（4）所示，当k ﹤O ，b ﹤O 时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．
k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大；当k<0时， y 的值随x 值的增大而减小；一次函数y ＝kx ＋b 的图象为 一条直线，与坐标轴的交点分别为)0.(k b ，(0，b)．它的倾斜程度由k 决定，b 决定该直线与y 轴交点的位置.
三、知识讲解
考点1 一次函数图象上点的坐标特征
1、 一次函数y ＝kx ＋b 的图象为一条直线，与坐标轴的交点分别为)0.(k
b ，(0，b)．它的倾斜程度由k 决定，b 决定该直线与y 轴交点的位置．
2、 正比例函数图象上的点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上，一定满足函数的解析式．根据正比例函数的定义，知x
y 是定值． 3、经过函数的某点一定在函数的图象上．在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式．
考点2 一次函数图像的平移
上加下减（b），左加右减（x）
直线y＝kx＋b可以看作由直线y＝kx平移___|b|__个单位而得到，当b＞0时，向___上__平移，当b＜0时，向___下__平移。即k值相同时，直线一定平行。
考点3 待定系数法求一次函数关系式
先设待求函数关系式（其中含有未知的常数系数），再根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法。
四、 例题精析
考点一 一次函数图象上点的坐标特征
例1、下列四个点，在正比例函数x y 52-=的图像上的点是（ ）
A ．(2,5)
B ．(5,2)
C ．(2,-5)
D ．(5,-2)
答案：D
【规范解答】： 由x y 5
2-=，得52-=x y ； A 、5
2-=x y Θ故本选项错误； B 、5
2-=x y Θ故本选项错误； C 、5
2-=x y Θ，故本选项错误； D 、5
2-=x y Θ故本选项正确； 故选D ．
分析：根据函数图象上的点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上，一定满足函数的解析式．根据正比例函数的定义，知x
y 是定值．
考点二一次函数图像的平移
例2、将直线y＝2x向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为（）
A、y＝2x－1
B、y＝2x－2
C、y＝2x＋1
D、y＝2x＋2
答案：B
【规范解答】：
直线y＝2x向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为y＝2（x－1），即y＝2x－2．
故选B．
分析：根据函数图象平移的法则进行解答即可
例3、在平面直角坐标系中，把直线y=x向左平移一个单位长度后，其直线解析式为（）A．y=x+1 B．y=x﹣1
C．y=x D．y=x﹣2
答案：A
【规范解答】：
由“左加右减”的原则可知，在平面直角坐标系中，把直线y=x向左平移一个单位长度后，其直线解析式为y=x+1．
故选A．
分析：根据“左加右减”的原则进行解答即可．
考点三待定系数法求一次函数关系式
例4、已知一次函数的图象经过(2，5)和(－1，－1)两点．
(1)画出这个函数的图象；
(2)求这个一次函数的解析式．
【规范解答】
(1)图象如图所示．
(2)设函数解析式为y ＝kx ＋b ，则???-=+-=+,
1,52b k b k 解得?
??==,1,2b k 所以函数解析式为y ＝2x ＋1．
分析： 已知两点可确定一条直线，运用待定系数法即可求出对应的函数关系式
1，若y随着x的增大而减小，则k的例5、已知关于x的一次函数y=kx+4k﹣2（k≠0）．若其图象经过原点，则k=
2
取值范围是k＜0 ．
1；k＜0．．
答案：k=
2
【规范解答】：
（1）当其图象经过原点时：
1；
4k﹣2=0，k=
2
（2）当y随着x的增大而减小时：k＜0．
1；k＜0．
故答案为：k=
2
分析：（1）若其图象经过原点，则4k﹣2=0，即可求出k的值；（2）若y随着x的增大而减小，则一次项系数当k＜0时，图象经过二．四象限．
五、课堂运用
【基础】
1、在平面直角坐标系xOy 中，点P （2，a ）在正比例函数x y 2
1 的图象上，则点Q （a ，3a －5）位于第 象限．
答案：四
【规范解答】：
∵点P （2，a ）在正比例函数x y 2
1
的图象上， ∴a ＝1，
∴a ＝1，3a －5＝－2，
∴点Q （a ，3a －5）位于第四象限．
故答案为：四
分析：把点P 坐标代入正比例函数解析式可得a 的值，进而根据点的Q 的横纵坐标的符号可得所在象限．
答案：增大．
【规范解答】：
∵一次函数y=3x-2中，k=3＞0，
∴函数值y随自变量x值的增大而增大．
一次函数图像及性质
一次函数的图象和性质教案 一、教材的地位和作用本节课主要是在学生学习了函数图象的基础上，通过动手操作接受一次函数图象是直线这一事实，在实践中体会“两点法”的简便，向学生渗透数形结合的数学思想，以使学生借助直观的图形，生动形象的变化来发现两个一次函数图象在直角坐标系中的位置关系。培养学生主动学习、主动探索、合作学习的能力。本节课为探索一次函数性质作准备。 （一）教学目的的确定教学目的是教学的出发点和归宿。因此，我根据新课标的知识、能力和德育目标的要求，以学生的认知点，心理特点和本课的特点来制定教学目的。1、知识目标（1）能用“两点法”画出一次函数的图象。 （2）结合图象，理解直线y=kx+课堂小结（k、课堂小结是常数，k≠0）常数k 和课堂小结的取值对于直线的位置的影响。 2、能力目标（1）通过操作、观察，培养学生动手和归纳的能力。（2）结合具体情境向学生渗透数形结合的数学思想。 3、情感目标（1）通过动手操作，观察探索一次函数的特征，体验数学研究和发现的过程，逐步培养学生在教学活动中的主动探索的意识和合作交流的习惯。（2）让学生通过直观感知、动手操作去经历、体会规律形成的过程。 （二）教学重点、难点用“两点法”画出一次函数的图象是研究一次函数的性质的基础，是本节课的重点。直线y=kx+课堂小结（k、课堂小结是常数，k≠0）常数k和课堂小结的取值对于直线的位置的影响，是本节课的难点。关键是通过学生的直观感知、动手操作、合作交流归纳其规律。 二、学情分析1、由用描点法画函数的图象的认识，学生能接受一次函数的图象是直线，结合“两点确定一条直线”，学生能画出一次函数图象。 2、根据学生抽象归纳能力较差，学习直线y=kx+课堂小结（k、课堂小结是常数，k≠0）常数k和课堂小结的取值对于直线的位置的影响有难度。所以教学中应尽可能多地让学生动手操作，突出图象变化特征的探索过程，自主探索出其规律。 3、抓住初中学生的心理特征，运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，吸引他们的注意力；另一方面积极创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。三、教学方法我采用自主探究—→合作交流式教学，让学生动手操作，主动去探索，小组合作交流。而互动式教学将顾及到全体学生，让全体学生都参与，达到优生得到培养，后进生也有所收获的效果。 四、教学过程 （一）设疑，导入（2分钟）师：同学们，上节课我们学习了一次函数，你能说一说什么样的函数是一次函数吗？ 师：（同学们回答的都很好）通过前面的学习我们可以发现，一次函数是一种特殊的函数，那么一次函数的图象是什么形状呢？这节课让我们一起来研究“一次函数的图象”。（板书设计） 二、自主探究——小组交流、归纳——问题升华： 1、师：问（1）你们知道一次函数是什么形状吗？（4分钟） 师：那就让我们一起做一做，看一看：（出示幻灯片）用描点法作出下列一次函数的图象。(1) y= 0.5x (2) y= 0.5x+2(3) y= 3x (4) y= 3x + 2师：（为了节约时间）要求：用描点法时，最少5个点；以小组为单位，由小组长分配，每人画一个图象。画完后，小组订正，看是否画的正确？然后讨论解决问题(1)：观察你和你的同伴画出的图象，你认为一次函数的图象是什么形状？小组汇报：一次函数的图象是直线。
二次函数图像和性质专题训练(答案)
二次函数图象专题训练 1．二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论①a 、b 异号；②当x =1和x=3时，函数值相等；③4a +b =0，④当y =4时，x 的取值只能为0．结论正确的个数有（ ） 个 A ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 2、已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的 图象如图所示，有下列结论： ①240b ac ->； ②0abc >； ③80a c +>； ④930a b c ++<．其中，正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知二次函数2 y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ， ，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③ 20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是 个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4、已知抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( ) A ． a >0 B ． b ＜0 C ． c ＜0 D ． a ＋b ＋c >0 5、如图所示的二次函数2 y ax bx c =++的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）2 40b ac ->；（2）c >1；（3）2a －b <0；（4）a +b +c <0。你认为其中错误．． 的有 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 6、已知二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ） A ．a ＞0 B ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大 C ．c ＜0 D ．3 是方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0的一个根
三角函数正余弦函数的图像及性质复习汇总
一、正弦函数和余弦函数的图象： 正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，3,,,222ππ ππ 的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 二、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质： （1）定义域：都是R 。 （2）值域： 1、都是[]1,1-， 2、sin y x =，当()22 x k k Z π π=+ ∈时，y 取最大值1；当()322 x k k Z π π=+ ∈时，y 取最小值－1； 3、cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1。 例：（1）若函数sin(3)6 y a b x π=-+的最大值为23，最小值为21 -，则=a __，=b ＿
（答：,12 a b ==或1b =-）； ⑵ 函数y=-2sinx+10取最小值时，自变量x 的集合是_________________________。 （3）周期性： ①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π； ②()sin()f x A x ω?=+和()cos()f x A x ω?=+的最小正周期都是2|| T πω=。 例：(1)若3 sin )(x x f π=，则(1)(2)(3)(2003)f f f f ++++＝___（答：0） ； ⑵．下列函数中，最小正周期为π的是（ ） A.cos 4y x = B.sin 2y x = C.sin 2x y = D.cos 4x y = （4）奇偶性与对称性： 1、正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线()2 x k k Z π π=+ ∈； 2、余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z ππ? ?+∈ ???，对称轴是直线()x k k Z π=∈ （正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点）。 例：（1）函数522y sin x π?? =- ??? 的奇偶性是______（答：偶函数）； （2）已知函数31f (x )ax b sin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则5f ()-=______（答：－5）； （5）单调性： ()sin 2,222y x k k k Z ππππ??=-+∈????在上单调递增，在()32,222k k k Z ππππ? ?++∈????单调递减； cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。特别提醒，别忘了k Z ∈！ ⑴函数y=sin2x 的单调减区间是（ ）
一次函数图像的性质
一次函数复习 大有中学程顺发 教学目标 1、理解一次函数的意义，会用待定系数法求一次函数的表达式。 2、会画一次函数图象，理解函数性质。 3、能根据图象求二元一次方程组的近似值，掌握求两函数图象交点坐标的方法。 4、会用一次函数解决简单的实际问题。 教学重点 1、一次函数的图象和性质 2、一次函数的应用 教学难点 一次函数和二元一次方程(组)、一元一次不等式（组）的关系。 教材分析 1、近几年来，一次函数的中考分值呈上升趋势，命题多为填空、选择（2—3分）和解答题（6—8分）且为中考命题热点。 2、本节主要内容有一次函数的图象和性质、利用一次函数的图象解决二元一次方程（组）和一元一次不等式（组）的问题、一次函数的应用、一次函数与几何的综合题等。 3、结合实际的应用问题涉及面广，也是近几年来各省市中考的热点问题，有行程、温度、利润、电话费等问题，特别是与经济相关的问题在近几年中考中比较常见。 教学过程 一、考点整合 1、一次函数定义：一般地，若两个变量x,y间的关系，可以表示成（k、b 常数且k≠0)的形式，则称y是x的一次函数，当b=0时，一次函数也叫正比例函数。 2、一次函数图象的画法：正比例函数的图象是过和两点的，一次函数图象是过和两点的。 3、一次函数性质：y=kx+b(k≠0)当K>0时，y随x增大而，当K<0时，y随x增大而 4、一次函数图象与k、b的符号关系如下：
5、一次函数与一元一次方程的关系： 直线y=kx+b(k≠0)与x 轴的交点 就是一元一次方程kx+b=0的解， 6、一次函数与一元一次不等式的关系： 一次函数y=kx+b 的函数值 的自变量x 的所有值，就是一元一次不等式kx+b>0的解集；一次函数y=kx+b 的函数值 的自变量x 的所有值，就是一元一次不等式kx+b<0的解集。 7、一次函数与二元一次方程（组）的关系： 一次函数表达式y=kx+b 就是一个 ，反过来任何一个二元一次方程都可转化为一次函数表达式。二元一次方程组的解就是两个一次函数图象的交点坐标。 二、典型例题 例1：已知一次函数y=kx-k,若y 随x 增大而减小，则函数图象不经过（ ） A 第四象限 B 第三象限 C 第二象限 D 第一象限 例2：直线l 1:y=k 1x+b 与直线l 2:y=k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x+b>k 2x 的解为（ ） A 、x>-1 B 、x<-1 C 、x<-2 D 、无法确定 解析：根据一次函数的性质分析图象，由图可知l 1上，y 随x 的增大而减小，l 2上，y 随x 的增大而增大，当x<-1时，l 1上的值均大于l 2上的值，当x>-1时，l 2上的值均大于l 1上的值，故可得答案。 例3：如图：一次函数图象经过点A ，且与正比例函数y=-x 的图象交于点B ，则该一次函数的表达式为（ ） A 、y=-x+2 B 、y=x+2 C 、y=x-2 D 、y=-x-2 解析：本题主要考察对一次函数图象的认识，由正比例函数的图象和一次函数图象的交点的横坐标可求出一次函数图象上的一点，再根据一次函数与y 轴的交点，已知两点即可求出一次函数的解析式。 例4：某饮料厂开发了A 、B 两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲和乙的含量如下表所示，现用甲原 料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A 、B 两种饮料共100瓶，设生产A 种饮料X 瓶，解答下列问题： （1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程； (2）如果A 种饮料每瓶的成本为2.60元，B 种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料的成本总额为Y 元，请写出Y 与X 的之间的关系式，并说明X 取值会使成本总额最低？ 甲 乙 A 20克 40克 B 30克 20克 分析：本题主要考察一次函数与一次不等式的应用，根据提议可得出一个不等式组，再由题意可得出一次函数的表达式，根据一次函数的性质和实际生活的意义可得答案。 解：（1）设生产A 种饮料X 瓶，根据题意得 20X+30（100-X ）≤2800 40X+20（100-X ）≤2800 y x o -1 -2 y=k 1x+b y=k 2x y x o -1 2 A B y=--x 饮料名称 原料名称
三角函数的图像与性质专题(含解析)
第讲三角函数的图像与性质 时间：年月日刘老师学生签名： 一、兴趣导入 二、学前测试 1．已知角α的终边上一点的坐标为 22 (sin,cos) 33 ππ ，则角α的最小正角是（） A、 5 6 π B、 2 3 π C、 5 3 π D、 11 6 π 解析．D ［角α在第四象限且 2 cos3 3 tan 23 sin 3 π α π ==-］ 2．若α是第二象限的角，且|cos|cos 22 αα =-，则 2 α 是（） A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角 解析C 22,(),,(), 2422 k k k Z k k k Z ππαπ παππππ +<<+∈+<<+∈ 当2,() k n n Z =∈时， 2 α 在第一象限；当21,() k n n Z =+∈时， 2 α 在第三象限； 而cos cos cos0 222 ααα =-?≤， 2 α ∴在第三象限； 3已知角α的终边与函数)0 (,0 12 5≤ = +x y x决定的函数图象重合，求 α α α sin 1 tan 1 cos- += 解析:在角α的终边上取点 1255 (12,5),13,cos,tan,sin 131213 P rααα -==-=-=
故αααsin 1tan 1cos - + =77 13 - 4.（湛江市实验中学2010届高三第四次月考）已知3 5 cos θ= ，且角θ在第一象限，那么2θ在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：B 3222542cos k k ππθπθπ= <∴+<<+，4242 k k ππθππ∴+<<+故2θ在第二象限. 三、方法培养 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0) ? ????π2，1 (π，0) ? ?? ??32π，－1 (2π，0) (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，? ????π2，0，(π，－1)，? ?? ??3π2，0，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 定义域 R R {x |x ≠k π＋π 2 ， k ∈Z } 图象 值域 [－1,1] [－1,1] R 对称性 对称轴：__ x ＝k π＋π 2 (k ∈Z )__ _； 对称中心： _ (k π，0)(k ∈Z )__ _ 对称轴： x ＝k π(k ∈Z )___； 对称中心： _(k π＋π 2，0) (k ∈Z )__ 对称中心：_? ?? ? ?k π2，0 (k ∈Z ) __ 周期 2π_ 2π π 单调性 单调增区间_[2k π－ π2 ， 2k π ＋ 单调增区间[2k π－π，2k π] (k ∈Z ) ____； 单调增区间_(k π－ π 2 ，k π＋
一次函数的图像及其性质
《一次函数的图象和性质》教学设计 一、教学内容分析 （一）内容 人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册“19.2.2一次函数”第二课时。 （二）内容解析 函数是数学领域中最重要的内容之一，也是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型．它反映了数量之间的对应规律，是研究数量关系的重要工具．函数思想是最重要的思想，正如F.克莱因的一句名言：“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考．” 一次函数是中学阶段接触到的最简单、最基本的函数，它在实际生活中有着广泛的应用．一次函数的学习是建立在学习了平面直角坐标系、变量与函数和正比例函数及其图象与性质的基础上的．一次函数的第一课时主要内容是一次函数的有关概念，本节课是一次函数的第二课时，主要研究一次函数图象的形状、画法，并结合图象分析一次函数的性质．它既是正比例函数的图象和性质的拓展，又是继续学习“用函数观点看方程（组）与不等式”的基础． 1.关于一次函数的图象 学生在学习一次函数的图象之前已经学习了函数的图象和正比例函数的图象，掌握了画函数图象的基本方法——描点法，因此，对于运用列表、描点、连线画出一次函数的近似图象并不生疏，但是对于一次函数的图象为一条直线的理解则是本节课的内容，所以，教学时需要在学生动手画图象的基础上，通过对一次函数与正比例函数解析式的分析比较，使学生从数的角度加深对形的理解．在了解了一次函数的图象是一条直线，以及它和正比例函数图象之间的关系后，一次函数图象的画法可以有两种，一种是平移，另一种是两点法，突出两点法画图时如何选取合适的点． 2.关于一次函数的性质 对于一次函数的性质主要是研究一次函数中的的正负对函数增减性（图象的变化趋势）的影响，对于这个性质的探究，让学生经历“先特殊化、简单化，再一般化、复杂化”的过程，通过对图象的研究和分析函数自身的性质,深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，渗透的是数形结合的思想．同时结合一次函数的图象与正比例函数图象之间的关系类比得出一次函数的性质． 从数学自身发展过程来看,正是由于变量与函数概念的引入,标志着初等数学向高等数学的迈进,是一种数学思想与观念的融入.无论从一次函数到反比例函数,再到以后的二次函数,甚至高中的其他各类函数,都是函数的某种具体形式,都为进一步深刻领会函数提供了一个平台.因此，后续学习中对反比例函数、二次函数的研究方法与一次函数的研究方法类似．也就是说，一次函数的学习为今后其他函数的学习提供了一种研究的模式．
一次函数概念图像及性质
一次函数概念、图像及性质 【教学目标】 1. 了解认识一次函数定义、图像，并能根据函数解析式画出图像 2. 理解一次函数的截距概念，会根据直线的表达式指出它在y 轴上的截距 3. 理解、掌握一次函数性质，熟悉图像所经过的象限及y 随x 变化而变化的情况 4. 能运用一次函数的图像及性质解综合型问题 【教学重难点】 1. 根据一次函数的图像确定解析式 2. 掌握一次函数性质，并能灵活运用于解题 3. 能结合一次函数知识点灵活求解综合型问题 【教学内容】 ★ 知识梳理 一、概念 定义：解析式形如)0( ≠+=k b kx y 的函数叫做一次函数 二、图像 一次函数的图象满足：（1）形状是一条直线；（2）始终经过（0 , b ）和（k b - , 0）两点 三、截距 定义：直线)0( ≠+=k b kx y 与y 轴的交点坐标是) , 0 (b ，截距是b 四、性质 1. 一次函数)0( ≠+=k b kx y ，当0>k 时，函数值y 随自变量x 的值增大而增大；当0 一、概念 例1. 下列关于x 的函数中，是一次函数的是（ ） （A ）1)1(32+-=x y （B ）x x y 1+ = （C ）x y 3-= （D ）x y 5-= 例2. 下列各式中，y 与x 成正比例关系的是 ；成一次函数关系的是 （1）x y 43= （2）x y 2 2-= （3）x y 29-= （4）x y 4= （5）52=+xy （6）765=+y x 例3. 下列说法中，不正确的是（ ） （A ）一次函数不一定是正比例函数 （B ）不是一次函数就一定不是正比例函数 （C ）正比例函数是特殊的一次函数 （D ）不是正比例函数不一定不是一次函数 例4. 下列说法不正确的是（ ） （A ）在32--=x y 中，y 是x 的正比例函数 （B ）在x y 21-=中，y 与x 成正比例 （C ）在1=xy 中，y 与x 1成正比例 （D ）在圆的面积公式2r S π=中，S 与2r 成正比例 例5. 已知b kx y +=，当3-=x 时，0=y ；当1=x 时，4=y ，求k 、b 的值 专题08 一元二次函数的图像和性质一、知识点精讲 【问题1】函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？ 为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝1 2 x2，y＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数y＝x2 的图象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系． 先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象． 先列表： x …－3 －2 －1 0 1 2 3 … x2…9 4 1 0 1 4 9 … 2x2…18 8 2 0 2 8 18 从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了． 再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2，y＝2x2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y＝2x2的图象可以由函数y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到． 同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝1 2 x2，y＝－2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数y＝ x2的图象之间的关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小． 【问题2】函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？ 同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点． 类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数y ＝a(x ＋h)2＋k(a≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”． 由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象的方法： 由于y ＝ax 2 ＋bx ＋c ＝a(x 2 ＋b x a )＋c ＝a(x 2 ＋b x a ＋224b a )＋c － 24b a 2 24()24b ac b a x a a -=++ ， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)具有下列性质： （1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为2 4(,)24b ac b a a --， 对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a - 时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2b a -时，函数取最小值y ＝2 44ac b a -． 一次函数的性质和图像 目录一、函数的定义 （一）、一次函数的定义函数。 （二）、正比例函数的定义 二、函数的性质 （一）、一次函数的性质 （二）、正比例函数的性质 三、函数的图像 （一）、一次函数和正比例函数图像在坐标上的位置 （二）、一次函数的图像 1、一次函数图像的形状 2、一次函数图像的画法 （三）、正比例函数的图像 1、正比例函数图像的形状 2、正比例函数图像的画法 3、举例说明正比例函数图像的画法 四、k、b两个字母对图像位置的影响 K、b两个字母的具体分工是： （一次项系数）k决定图象的倾斜度。 （常数项）b决定图象与y轴交点位置。 五、解析式的确定 （一）一个点坐标决定正比，两个点坐标决定一次 （二）用待定系数法确定解析式 六、两条函数直线的四种位置关系 两直线平行，k1= k2，b1≠b2 两直线重合，k1= k2，b1=b2 两直线相交，k1≠k2 两直线垂直，k1×k2=－1 （一）两条函数直线的平行 （二）两条函数直线的相交 （三）两条函数直线的垂直 一次函数、反比例函数中自变量x前面的字母k称为比例系数 这一节我们要学习正比例函数和一次函数。一次函数的解析式是y=kx+b，如果当这个式子中的b=0时，式子就变成了正比例函数y=kx。因此，正比例函数是一次函数当b=0时的特殊情况。正是因为正比例函数实际上就是一次函数，所以把正比例函数和一次函数结合在一起来学习。 在正比例函数y=kx和反比例函数y=k/x中，由于函数y与自变量x之间有比例关系，就要在自变量x前面用字母系数k表示它们之间的比例关系，因而字母k就取名为比例系数。确定了比例系数k就可以直接确定正比例函数或反比例函数的解析式。 2020高三数学培优专练1：函数的图像与性质 例1：对于函数()f x ，若a ?，b ，c ∈R ，都有()f a ，()f b ，()f c 为某一三角形的三条边，则称 ()f x 为“可构造三角形函数”，已知函数()1 x x e t f x e +=+（e 为自然对数的底数）是“可构造三角形函数”， 则实数t 的取值范围是（ ） A ．[0,)+∞ B ．[0,2] C ．[1,2] D ．1,22 ?????? 【答案】D 【解析】由题意可得：()()()f a f b f c +>，对a ?，b ，c ∈R 恒成立， 1 ()111 x x x e t t f x e e +-==+++，当10t -=时，()1f x =，()()()1f a f b f c ===，满足条件， 当10t ->时，()f x 在R 上单调递减，∴1()11f a t t <<+-=， 同理：1()f b t <<，1()f c t <<， ∵()()()f a f b f c +>，所以2t ≥，∴12t <≤． 当10t -<时，()f x 在R 上单调递增，∴()1t f a <<， 同理：()1t f b <<，()1t f c <<，∴21t ≥，12t ≥ ．∴1 12 t ≤<． 综上可得：实数t 的取值范围是1,22?????? ． 培优一 函数的图象与性质 一、函数的单调性 二、函数的奇偶性和对称性 例2：设函数()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2x f x g x +=，若对[1,2]x ∈， 不等式()(2)0af x g x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[ )1,-+∞ B ．) 22,?-+∞? C ．17,6?? - +∞???? D ．257,60?? - +∞???? 【答案】C 【解析】∵()f x 为定义在R 上的奇函数，()g x 为定义在R 上的偶函数， ∴()()f x f x -=-，()()g x g x -=， 又∵由()()2x f x g x +=，结合()()()()2x f x g x f x g x --+-=-+=， ∴1()(22)2x x f x -= -，1 ()(22)2 x x g x -=+， 又由()(2)0af x g x +≥，可得 221 (22)(22)022 x x x x a ---++≥， ∵12x ≤≤，∴ 315 2224 x x -≤-≤， 令22x x t -=-，则0t >，将不等式整理即得：2a t t ? ?≥-+ ?? ? ． ∵31524t ≤≤，∴172257660t t ≤+≤，∴176 a ≥-．故选C ． 例3：定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，当[0,2)x ∈时，2()48f x x x =-+．若在 区间[,]a b 上，存在(3)m m ≥个不同的整数i x （1i =，2，L ，m ），满足1 11 ()()72m i i i f x f x -+=-≥∑ ， 则b a -的最小值为（ ） A ．15 B ．16 C ．17 D ．18 【答案】D 三、函数的周期性 一次函数的图像及性质 知识技能目标 1.使学生熟练地作出一次函数的图象,会求一次函数与坐标轴的交点坐标； 2.会作出实际问题中的一次函数的图象. 过程性目标 1.通过画一次函数图象和实际问题中的一次函数图象，感受数学来源于生活又应用于生活； 2.探索一次函数图象的特点体会用“数形结合”思想解决数学问题． 教学过程 一、创设情境 1.一次函数的图象是什么，如何简便地画出一次函数的图象？ （一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是一条直线，画一次函数图象时，取两点即可画出函数的图象）. 2.正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象是经过哪一点的直线？ （正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象是经过原点(0，0)的一条直线）. 3.平面直角坐标系中，x 轴、y 轴上的点的坐标有什么特征？ 4.在平面直角坐标系中,画出函数12 1-=x y 的图象.我们画一次函数时,所选取的两个点有什么特征,通过观察图象,你发现这两个点在坐标系的什么地方? 二、探究归纳 1.在画函数12 1-=x y 的图象时，通过列表，可知我们选取的点是(0,-1)和(2,0)，这两点都在坐标轴上，其中点(0,-1)在y 轴上，点(2,0)在x 轴上，我们把这两个点依次叫做直线与y 轴与x 轴的交点. 2.求直线y ＝-2x -3与x 轴和y 轴的交点，并画出这条直线. 分析 x 轴上点的纵坐标是0，y 轴上点的横坐标0．由此可求x 轴上点的横坐标值和y 轴上点的纵坐标值． 解 因为x 轴上点的纵坐标是0，y 轴上点的横坐标0，所以当y ＝0时，x ＝-1.5，点(-1.5,0)就是直线与x 轴的交点；当x ＝0时，y ＝-3，点(0，-3)就是直线与y 轴的交点. 过点(-1.5,0)和(0，-3)所作的直线就是直线y ＝-2x -3. 所以一次函数y ＝kx ＋b ,当x ＝0时，y ＝b ；当y ＝0时，k b x -=.所以直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点坐标是(0,b ),与x 轴的交点坐标是?? ? ??-0,k b . 21.2 一次函数的图像和性质 1．会用两点法画出正比例函数和一次函数的图象，并能结合图象说出正比例函数和一次函数的性质；(重点) 2．能运用性质、图象及数形结合思想解决相关函数问题．(难点) 一、情境导入 做一做：在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图象． (1)y ＝12x ； (2)y ＝1 2x ＋2； (3)y ＝3x; (4)y ＝3x ＋2. 观察函数图象有什么形式？ 二、合作探究 探究点一：一次函数的图象 【类型一】 一次函数图象的画法 在同一平面直角坐标中，作出下 列函数的图象． (1)y ＝2x －1; (2)y ＝x ＋3； (3)y ＝－2x; (4)y ＝5x . 解析：分别求出满足各直线的两个特殊点的坐标，经过这两点作直线即可．(1)一次函数y ＝2x －1图象过(1，1)，(0，－1)；(2)一次函数y ＝x ＋3的图象过(0，3)，(－3，0)；(3)正比例函数y ＝－2x 的图象过(1，－2)，(0，0)；(4)正比例函数y ＝5x 的图象过(0，0)，(1，5)． 解：如图所示． 方法总结：此题考查了一次函数的作 图，解题关键是找出两个满足条件的点，连 线即可． 【类型二】 判定一次函数图象的位置 已知正比例函数y ＝kx (k ≠0)的函 数值y 随x 的增大而减小，则一次函数y ＝x ＋k 的图象大致是( ) 解析：∵正比例函数y ＝kx (k ≠0)的函数值y 随x 的增大而减小，∴k ＜0.∵一次函数y ＝x ＋k 的一次项系数大于0，常数项小于0，∴一次函数y ＝x ＋k 的图象经过第一、三、四象限，且与y 轴的负半轴相交．故选B. 方法总结：一次函数y ＝kx ＋b (k 、b 为常数，k ≠0)是一条直线．当k ＞0，图象经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k ＜0，图象经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小．图象与y 轴的交点坐标为(0，b )． 探究点二：一次函数的性质 【类型一】 判断增减性和图象经过的象限等 对于函数y ＝－5x ＋1，下列结论： ①它的图象必经过点(－1，5)；②它的图象经过第一、二、三象限；③当x ＞1时，y ＜0；④y 的值随x 值的增大而增大．其中正确的个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 解析：∵当x ＝－1时，y ＝－5×(－1)＋1＝6≠5，∴点(1，－5)不在一次函数的图象上，故①错误；∵k ＝－5＜0，b ＝1＞0，∴此函数的图象经过第一、二、四象限，故②错误；∵x ＝1时，y ＝－5×1＋1＝－4.又∵k ＝－5＜0，∴y 随x 的增大而减小，∴当x ＞1时，y ＜－4，则y ＜0，故③正确，④ 一次函数（四) 一次函数图象及性质 知识点一：一次函数的图象及其画法 例1：已知一次函数2y x =,画出图象. 方法一：①列表 方法二：①列表 ②描点 ③连线 ②描点 ③连线 ④两种方法画出的图象 （相同或不同)；正比例函数的图象是一条 。 例2:已知一次函数1y x =+，画出它的图象。 方法一:①列表 方法二:①先求与x 轴和y 轴的交点坐标 ②描点 ③连线 ②描点 ③连线 ④两种方法画出的图象 (相同或不同）；一次函数的图象是一条 ; x … -2 -1 0 1 2 … y … … （x ，y ） … … x 0 1 y （x ，y ） x … -2 —1 0 1 2 … y … … (x,y ） … … x 0 1 y （x ，y ） 总结归纳： ⑴一次函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数)的图象是 ． ⑵由于 确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可，这种方法叫两点法． ①如果这个函数是正比例函数,通常取 两点； ②如果这个函数是一般的一次函数（0b ≠），通常取 两点，即直线与两坐标轴的交点． ⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式y kx b =+的点()x y ，在其对应的图象上,这个图象就是一条直线l ,反之，直线l 上的点的坐标()x y ，满足y kx b =+，也就是说，直线l 与y kx b =+是一一对应的,所以通常把一次函数y kx b =+的图象叫做直线l ：y kx b =+，有时直接称为直线y kx b =+． 练习: 1、已知一次函数21y x =-，求直线与x 轴和y 轴的交点坐标，并画出它的图象。 解：（1）先求与x 轴和y 轴的交点 （2）描点 （3)连线 2、已知一次函数1y x =-+，求直线与x 轴和y 轴的交点坐标,并画出它的图象。 解:（1)先求与x 轴和y 轴的交点 (2）描点 （3）连线 知识点二：正比例函数和一次函数的性质 一、正比例函数性质 复习回顾 1、正比例函数的概念：形如y kx =（k 是常数，0k ≠）的函数叫做 ,其中k 叫做 。 2、正比例函数(1)y a x =-，其中______k =，则a 的取值范围是 。 x 0 y 0 （x ，y ） x 0 y 0 （x ，y ） 专题复习·函数的图像与性质（1） 班级 姓名 学号 一．选择题 1.一次函数y =2x +1的图象经过（ ） A 、第二、三、四象限 B 、第一、三、四象限 C 、第一、二、四象限 D 、第一、二、三象限 2.下列各点中，在函数2 y x = 图象上的点是（ ） A ．(2，4) B ．(－1，2) C ．(－2,－1) D ．(2 1-，1-) 3.如果已知一次函数y =kx +b 的图象不经过第三象限，也不经过原点，那么k 、b 的取值范围是（ ） A k >0且b >0 B k >0且b <0 C k <0且b >0 D k <0且b <0 4.直线y x =与抛物线2y x 2=-的两个交点的坐标分别是（ ） A （2，2），（1，1） B （2，2），（－1，－1） C （－2，－2）（1，1） D （－2，－2）（－1，1） 5.如图，直线l 1和l 2的交点坐标为（ ） A.(4,－2) B. (2,－4) C. (－4,2) D. (3,－1) 6.一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A 以每分0.1元的价格按上网所用时间计算；方式B 除收月基费20元外．再以每分0．05元的价格按上网所用时间计费。若上网所用时问为x 分．计费为y 元，如图．是在同一直角坐标 ① 图象甲描述的是方式A ： ② 图象乙描述的是方式B ； ③ 当上网所用时间为500分时，选择方式B 省钱． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 7.二次函数2y x 2x 1=-+与x 轴的交点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8.下列函数中，当x ＞0时，y 值随x 值增大而减小的是（ ） A 、2y x = B 、y x 1=- C 、3y x 4 =错误!未找到引用源。 D 、 1 y x = 错误!未找到引用源。 9.在函数y k x k =>()0的图象上有三点Ax y 111 ()，、A x y A x y 222333()()，、，，已知x x x 1230<<<，则下列各式中，正确的是（ ） A . y y 130<< B . y y 310<< C . y y y 213 << D . y y y 312<< 10.已知二次函数2y ax bx c(a 0)=++≠的图象如图所示，有下列5个结论： ① abc 0>；② b a c <+；③ 4a 2b c 0++>；④ 2c 3b <；⑤ a b m(am b)+>+，（m 1≠的实数）其中正确的结论有（ ） 《一次函数的图像和性质》教案 一、课题：一次函数的图像和性质 二、课型：新授课 三、课时：第一课时（共两课时） 四、教学内容分析 在学习此节课之前，已经学习了平面直角坐标系/函数/正比例函数等等，这为一次函数的学习打下了很好的基础，让学生们对一次函数的学习流程也有了一定的认识。在明确一次函数的图像是一条直线后，进一步结合图像研究它的性质，是学生对一次函数有了从“数”到“形”，从“形”到“数”两方面的理解，这也为今后讨论二次函数，反比例函数打下牢固的基础。 五、学情分析 八年级学生刚学函数，但有了七年级“字母表示数”和“变量之间的关系”的铺垫，他们在学习一次函数时，知识结构中印象最深的是用关系式和表格表示，数型的对应关系与他们的学习经验有很大差距，也更复杂更抽象。 此阶段的学生有很强的好奇心，但动手能力较差，而此课时正需要他们动手去画一次函数的图像，从而得出它的性质。大部分学生也正刚刚由形象思维向抽象思维发展，所以此节课的学习有一定的难度。 六、教学目标 1、知识与技能目标:能熟练做出一次函数的图像，并能通过图像 归纳总结出一些简单的性质。 2、过程与方法目标： （1）经历一次函数的图像和性质探究后，能解决一些简单的问题。 （2）进一步培养数型结合及分类讨论的意识和思想。 （3）在思考活动中培养他们的探索和动手能力及合作交流意识。 3、情感态度与价值观目标：让学生全心投入到学习活动中，积 极参与讨论，发展探索能力和创新能力。 七、教学重点、难点 重点：1、能熟练做出一次函数的图像 2、能结合图像掌握一次函数的性质 难点：一次函数的性质及应用图像解决问题 八、教学策略与方法 根据教学内容，教学目标和学生的认知水平，主要采取教师启发式、探讨式、以及鼓励式的方法进行教学，培养他们的思考能力及动手能力。 由于此节课之前已学习了正比例函数，对函数的学习流程已有了初步的认识，通过对比与正比例函数的学习模式来进行一次函数的学习，即函数解析式函数的图像函数的性质。正比例函数是特殊的一次函数，用特殊到一般的教学方法启发学生们思考一次函数的图像和性质，进而渗透数型结合及分类讨论的思想方法。 正弦函数与余弦函数的图像与性质 1．已知函数f (x )＝sin(x －π2 )(x ∈R )，下面结论错误的是________． ①函数f (x )的最小正周期为2π ②函数f (x )在区间[0，π2 ]上是增函数 ③函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称 ④函数f (x )是奇函数 2．函数y ＝2cos 2(x －π4 )－1是________．①最小正周期为π的奇函数 ②最小正周期为π的偶函数 ③最小正周期为π2的奇函数 ④最小正周期为π2 的偶函数 3．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x ，0≤x <π2 ，则f (x )的最大值为________． 4．已知函数f (x )＝a sin2x ＋cos2x (a ∈R )图象的一条对称轴方程为x ＝ π12，则a 的值为________． 5．设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象关于直线x ＝π3 对称，它的最小正周期是π，则f (x )图象上的一个对称中心是________(写出一个即可)． 6．设函数f (x )＝3cos 2x ＋sin x cos x －32 . (1)求函数f (x )的最小正周期T ，并求出函数f (x )的单调递增区间； (2)求在[0,3π)内使f (x )取到最大值的所有x 的和． B 组 1．函数f (x )＝sin(23x ＋π2)＋sin 23 x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________． 2．给定性质：a 最小正周期为π；b 图象关于直线x ＝ π3 对称．则下列四个函数中，同时具有性质ab 的是________． ①y ＝sin(x 2＋π6) ②y ＝sin(2x ＋π6) ③y ＝sin|x | ④y ＝sin(2x －π6 ) 3．若π4专题08 一元二次函数的图像和性质(原卷版)
一次函数的图像与性质
高三数学函数图像与性质专题
一次函数的图像及性质
八年级数学下册 一次函数的图像和性质教案
一次函数的图像及性质
专题复习·函数的图像与性质
一次函数的图像和性质教案
正弦函数与余弦函数的图像与性质练习题