初中数学竞赛定理大全.docx

欧拉（ Euler ）线：

同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形

的欧拉线；

且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。

九点圆：

任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；

其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的

一半。

费尔马点：

已知 P 为锐角△ ABC内一点，当∠APB＝∠ BPC＝∠ CPA＝120°时， PA ＋P B＋PC的值最小，这个点 P 称为△ ABC的费尔马点。

海伦（ Heron）公式：

塞瓦（ Ceva）定理：

在△ ABC中，过△ ABC的顶点作相交于一点P 的直线，分别

交边 BC、CA、AB与点 D、E、F，则(BD/DC)·(CE/EA) ·(AF/FB) ＝1；其逆亦真。密格尔（ Miquel ）点：

若 AE、 AF、ED、 FB四条直线相交于 A、B、C、 D、E、F 六点，

构成四个三角形，它们是△ABF、△ AED、△ BCE、△ DCF，

则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。

葛尔刚（ Gergonne）点 :

△ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F，

则 AE、 BF、 CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。

西摩松（ Simson）线：

已知 P 为△ ABC外接圆周上任意一点， PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、F为垂足，

则 D、E、F 三点共线，这条直线叫做西摩松线。

黄金分割：

把一条线段 (AB) 分成两条线段，使其中较大的线段 (AC)是原线段(AB) 与较小线段 (BC)的比例中项，这样的分割称为黄金分割。

帕普斯（ Pappus）定理：

已知点 A 、A 、A 在直线 l

1上，已知点 B 、B 、B 在直线 l

2

上，

123123

且 A1 B2与 A2 B 1交于点 X，A1B3与 A3B1交于点 Y，A2 B 3于 A3 B2交于

点 Z，则 X、Y、Z 三点共线。

笛沙格（ Desargues）定理：

已知在△ ABC与△ A'B'C' 中， AA'、BB'、CC'三线相交于点 O，

BC与 B'C' 、CA与 C'A' 、AB与 A'B' 分别相交于点 X、Y、Z，则 X、Y、Z 三点共线；其逆亦真

摩莱（ Morley ）三角形：

在已知△ABC三内角的三等分线中，分别与 BC、 CA、AB 相邻的每

两线相交于点 D、 E、F，则△DEF是正三角形，这个正三角形称为

摩莱三角形。

帕斯卡（ Paskal ）定理：

已知圆内接六边形ABCDEF的边AB、DE延长线交于点G，边BC、EF 延长线交于点 H，边 CD、FA 延长线交于点 K，则 H、G、K 三点共线。

托勒密（ Ptolemy ）定理：

在圆内接四边形中，AB·CD＋AD·BC＝AC·BD

（任意四边形都可！哇哈哈）

斯图尔特（ Stewart ）定理：

设 P 为△ ABC边 BC上一点，且 BP：PC＝ n： m，则

m· (AB2) ＋ n· (AC2) ＝ m· (BP2 ) ＋ n·(PC2) ＋（ m＋ n） (AP2)

梅内劳斯定理：

在△ ABC中，若在 BC、CA、AB或其延长线上被同一条直线

截于点 X、 Y、 Z，则 (BX/XC)· (CY/YA)· (AZ/ZB) ＝ 1

阿波罗尼斯（ Apollonius）圆

一动点 P 与两定点 A、B 的距离之比等于定比m:n，则点 P 的轨迹，是以定

比 m:n 内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆被称为阿波罗尼

斯圆，简称“阿氏圆”。

布拉美古塔（ Brahmagupta）定理：

在圆内接四边形ABCD中， AC⊥ BD，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边。

广勾股定理：

在任一三角形中，

(1)角的平方，等于两之平方和，减去某和另一在

此上的影射乘的两倍．

(2)角的平方，等于两的平方和，加上某与另一在此延上的影射乘

的两倍．

加法原理：

做一件事情，完成它有 N 法，在第一法中有 M1种不同的方法，在第二法中有M2种不同的方法，??，在第 N 法中有 M(N) 种不同的

方法，那么完成件事情共有M1+M2+?? +M(N) 种不同的方法。

比如：从北京到上海有3种方法可以直接到达上海，

1：火k1

2：机k2

3：船k3，那么从北京- 上海的方法N = k1+k2+k3

乘法原理：

做一件事，完成它需要分成n 个步，

做第一步有m1种不同的方法，

做第二步有 m2不同的方法，??，做第 n 步有 m· n 不同的方法 . 那么完成件事共有N=m1·m2·m3?mn 种不同的方法 .

正弦定理

在一个三角形中，各和它所角的正弦的比相等。

即 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R （ 2R 在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接

的直径）

这一定理对于任意三角形ABC，都有

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（ R 为三角形外接圆半径）余弦定理：

对于任意三角形，任何一边的夹角的余弦的两倍积，若三边为

平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们a, b, c三角为A,B,C，则满足性质：

a2=b2 +c2-2bc ·Cos A

b2=a2 +c2-2ac ·Cos B

c 2=a2 +b2-2ab ·Cos C

Cos C= (a2+b2-c2)/2ab

Cos B= (a2+c2-b2)/2ac

Cos A= (c^2+b^2-a^2)/2bc

解析几何中的基本公式

1、两点间距离：若A (x1, y1), B(x2, y2)，则 AB( x2 x1 ) 2( y2 y1 )2

2、平行线间距离：若l1 : Ax By C10,l 2 : Ax By C 20

C1C2

则： d

B2

A2

注意点： x， y 对应项系数应相等。

3、点到直线的距离：P(x , y ),l : Ax By C 0

则 P 到 l 的距离为： d

Ax By C

A 2

B 2

y kx b

4、直线与圆锥曲线相交的弦长公式：

F( x, y)

消 y：ax2bx c 0 ，务必注意0.

若 l 与曲线交于 A( x1, y1), B( x2, y2)则： AB(1k 2 )( x2 x1 )2

5、若 A(

x1,

y1

),(

x2

,

y2

) ，（，）。

P

在直线

AB

上，且

P

分有向线段

AB

所成

B P x y

的比为，

x x1x2

x

x1x2 12

则，特别地：=1时，P 为 AB中点且

y1y2y1y2 y y

12

变形后：x x

1或y y1 x2x y2y

6、若直线 l的斜率为 k，直线 l的斜率为 k ，则 l到 l的角为

,(0, ) 112212

适用范围： k1，k2都存在且 k1 k2－1，tan k2k1 1k1k 2

若 l 1与 l 2的夹角为，则 tan k1k2，(0,]

1k1 k22

注意：（1）l

1

到 l 2 的角，指从l 1 按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围(0, )

l

1到 l 2 的夹角：指l

1

、l 2相交所成的锐角或直角。

（2）l

1

l 2时，夹角、到角 =。

2

（3）当 l 1与 l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。

7、（ 1）倾斜角，(0, )；

（ 2） a, b 夹角，[0， ]；

（ 3）直线 l与平面的夹角，[0，]；

2

（ 4） l 1与 l 2的夹角为，[ 0， ] ，其中l1//l 2 时夹角=0；

2

（ 5）二面角,(0, ]；

（ 6） l 1到 l 2的角，(0， )

8、直线的倾斜角与斜率k的关系

a)每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。

b)若直线存在斜率 k，而倾斜角为，则 k=tan 。

9、直线 l 1与直线 l 2的的平行与垂直

（1）若 l1，l 2均存在斜率且不重合：① l 1//l2k 1 =k2

②l 1l 2k 1 k2=－ 1

（2）若l1:A1 x B1 y C10,l 2 :A2 x B2 y C 2 0若 A 、A、B 、B 都不为零

1212

① l

1//l

2

A1B1C1；

A2B2C2

② l 1l 2 A 1A2+B1B2=0；

③ l

1与 l 2 相交

A1B1

A2B2

④ l1 与l 2 重合A1B1C

1 ；

A2B2 C 2

注意：若 A2或 B2中含有字母，应注意讨论字母=0 与0 的情况。

10、直线方程的五种形式

名称方程斜截式：y=kx+b

注意点

应分①斜率不存在

②斜率存在

点斜式：

y

y

k( x x )

（1）斜率不存在： x

x

（2）斜率存在时为

y y k (x x )

两点式：

y y 1 x x 1

y 2 y 1 x 2 x 1

截距式：

x y 1

其中 l 交 x 轴于 (a,0) ，交 y

a

b

轴于 (0, b) 当直线 l 在坐标轴上， 截距相等时应分：

（1）截距 =0 设 y=kx

（ 2 ） 截 距 = a 0 设

x y

a

1

a

即 x+y= a

一般式：

Ax By C 0

（其中 A 、B 不同时为零）

11、直线 Ax By

C

0 与圆 ( x

a) 2 ( y b) 2

r 2 的位置关系有三种

Aa Bb C

若 d

B 2 ， d r 相离

A 2

d r 相切 0

d

r

相交

13、圆锥曲线定义、标准方程及性质 （一）椭圆

定义Ⅰ：若 F 1，F 2 是两定点， P 为动点，且 PF 1

PF 2

2a

F 1F 2 （ a 为

常数）则 P 点的轨迹是椭圆。

定义Ⅱ：若 F 1 为定点， l 为定直线，动点 P 到 F 1 的距离与到定直线 l 的距离之比为常数 e （0

标准方程：

x

2

y 2 1 ( a b 0) a 2

b 2

定义域： { x a x a} 值域： { x b y b}

长轴长 =2a ，短轴长 =2b

焦距： 2c

a 2 准线方程： x

c

焦 半 径 ： PF 1 e( x

a 2

) ， PF 2

e( a 2

x) ， PF 1

2a PF 2 ，

c

c

a c PF 1 a c 等（注意涉及焦半径①用点 P 坐标表示，②第一定义。）

注意：（1）图中线段的几何特征： A 1 F 1

A 2 F 2 a c ， A 1 F 2

A 2 F 1

a c

B 1 F 1

B 1 F 2

B 2 F 2

B 2 F 1

a ， A 2 B 2

A 1

B 2

a 2

b 2 等等。顶

点与准线距离、焦点与准线距离分别与 a, b, c 有关。

（2） PF 1 F 2 中经常利用余弦定理 、三角形面积公式 将有关线段 PF 1

、

．．．． ．．．．．．．

PF 2 、

PF 1 +

PF 2 、

PF 1 ? PF 2

2c ，有关角 F 1PF 2 结合起来，建立

等关系

x a cos

（3）椭圆上的点有时常用到三角换元：

；

y b sin

（4）注意题目中椭圆的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上，请补充当焦点在 y 轴

上时，其相应的性质。

二、双曲线 （一）定义：Ⅰ若 F ，F 是两定点， PF 1 PF 2 2a F 1F 2 （ a 为常数），

1 2

则动点 P 的轨迹是双曲线。

Ⅱ若动点 P 到定点 F 与定直线 l

的距离之比是常数 e （ e>1），

则动点 P 的轨迹是双曲线。 （二）图形：

（

三）性质

方程：x

2

y 21(a 0, b0)y 2x2 1 (a 0, b 0) a2 b 2 a 2b2

定义域：{ x x a或

x a} ；值域为 R；

实轴长 =2a ，虚轴长 =2b 焦距： 2c

准线方程： x a2 c

焦半径： PF1e( x a 2) ， PF2 e( a

2x) ，PF1PF22a ；

c c

注意：（1）图中线段的几何特征：AF1BF2c a ， AF2BF1a c 顶点到准线的距离： a a 2或a a 2；焦点到准线的距离：

c c

c a 2或 c a 2; 两准线间的距离 = 2a

2

c c c

（ 2）若双曲线方程为x

2y21渐近线方程：

x

2y20y b x a 2b2a2 b 2a

若渐近线方程为 y b x x y0双曲线可设为

a b

a

x2y2

a2 b 2

若双曲线与x

2

y 21有公共渐近线，可设为

x

2y 2 a 2b2 a 2b2

（0 ，焦点在 x 轴上，0 ，焦点在 y 轴上）

（ 3）特别地当a b时离心率 e2两渐近线互相垂直，分别为y=x ，此时双曲线为等轴双曲线，可设为x2y 2；

（4）注意

PF 1 F 2 中结合定义

PF 1

PF 2

2a 与余弦定理

cos F 1PF 2 ，

将有关线段

PF 1

、

PF 2

、

F 1F 2 和角结合起来。

二、抛物线

（一）定义：到定点 F 与定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线。

即：到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比是常数 e （e=1）。

（二）图形：

（三）性质：方程：

y 2

2 px, ( p 0), p

焦参数 ；

焦点： ( p

,0)

，通径 AB

2 p ；

2 p 准线：

x

；

2

焦

半 径

：

CF

x

p

,过 焦

点

弦

长

p

p

2

CD

x 1 x 2

x 1

x 2 p

2

2

注意：（1）几何特征：焦点到顶点的距离

= p

；焦点到准线的距离 = p ；通

2

径长 = 2p

顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

（ 2 ） 抛 物 线 y 2

2px 上 的 动 点 可 设 为 P ( y 2

, y ) 或

2 p

P (2 pt 2 ,2 pt )或 (x , y )其中 y

2

2 px

P